Корнилов И.А. Элементы страховой математики

Подождите немного. Документ загружается.

формализует ее, обсуждает с группой путь ее решения и вызывает к

доске студента для реализации намеченного решения, результаты

должны получить содержательную интерпретацию.

В качестве задания для самостоятельной подготовки предлагается

каждому студенту составить и решить свою аналогичную задачу.

Целесообразно при этом подсказать, в каких пределах должны

находиться значения исходных данных (чтобы избежать, или, по

крайней мере, уменьшить возможность получения абсурдных

результатов).

При контроле заданий следует оценивать не только формально

выполненные вычисления, но и оригинальность сформулированной

задачи, а также интерпретацию результатов. При обнаружении

парадоксальных результатов в студенческих работах следует выяснить

причину и довести эту информацию до сведения группы.

Материал данной книги можно, в принципе, изложить за один

семестр (еженедельно по одной лекции и одному практическому

заданию), если сначала лектор вводит слушателей в проблему и

указывает задачи, которые слушатели должны самостоятельно

разобрать. При этом надо предупредить о наиболее важных и тонких

моментах. Между лекцией и практическим занятием слушатели

прорабатывают заданные примеры. На практическом занятии слушатели

у доски решают предложенный преподавателем аналогичный пример

(большинство таких примеров приведено в приложении). После чего

каждый из них дома составляет и решает свой аналогичный пример.

Разумеется, разбору в аудитории подлежат только наиболее сложные и

трудоемкие задачи.

В течение семестра целесообразно провести одну-две аудиторные

контрольные работы по лекционному (теоретическому) материалу. Для

этого можно использовать приведенные в приложении тесты и

контрольные вопросы.

На последнем занятии возможна итоговая контрольная работа по

усложненным задачам, в которых комбинируются две простые, ранее

разобранные задачи, например, страхование дома от двух-трех причин

при распределенном риске, страхование автомобиля одновременно от

угона и от аварии с франшизой (при распределенном риске) и т.д. Такие

же задачи можно вынести на экзамен, который лучше проводить

письменно.

Автор с благодарностью примет всю информацию по этим

вопросам.

Пользуясь возможностью, автор выражает благодарность

рецензентам: к.э.н. Г.М. Гамбарову и к.ф.-м.н. В.В. Новикову, а также

зав. каф. Математической статистики и эконометрики д.э.н., проф. В.С.

Мхитаряну, д.т.н., проф. А.М. Дуброву и к.э.н., доц. М.А. Скорик за

участие в обсуждении книги и ряд ценных замечаний и рекомендаций.

1. Профессия – Актуарий

1.1. Основные положения

Для заключения страхового контракта необходимы три условия:

- потенциальный клиент должен осознавать, что наступление

страхового случая нанесет ему и его семье серьезный материальный

урон;

- он должен быть уверен, что при наличии договора страховая

компания выполнит свои обязательства перед ним, и тем самым

материальные потери будут компенсированы (полностью или в

значительной мере);

- клиент должен иметь материальные возможности для оплаты

страховой защиты.

Третье условие предполагает соответствие между объемом и

качеством страховой защиты и платой за нее. При этом подразумевается,

что процесс не детерминированный, а стохастический, и что

существующий риск можно оценить количественно. То есть для

определенного промежутка времени, для которого составляется договор,

известна вероятность того, что страховой случай произойдет, и величина

ущерба, возникшего в результате этого случая, которая подлежит

возмещению.

При более общем подходе следует говорить об известном законе

распределения величины ущерба. А при переходе от индивидуального

риска отдельного страхователя к коллективному риску совокупности

страхователей (который интересует страховщика) необходима

информация о законе распределения суммарного ущерба. Он

определяется на основании распределения величины ущерба в одном

страховом случае и распределения количества случаев в единицу

времени.

Естественно, нет смысла страховать невозможные или

достоверные события, поэтому страхование возникает только для

стохастических процессов, а не для детерминированных, с заранее

известным результатом.

Вероятностные характеристики исследуемого процесса

определяются, как правило, на основании предыдущего опыта, то есть

статистически, опираясь на результаты обработки более ранних

фактических данных об исследуемом процессе. Поскольку эти

характеристики могут зависеть от времени, возникает задача

прогнозирования хода процесса. От точности решения этой задачи во

многом зависит результат исследования в целом. То есть достоверность

оценок таких величин, как тарифы, страховые резервы, вероятность

разорения компании, плата за перестрахование и т.д.

Все вышеперечисленное позволяет сформулировать требования к

актуарию. Актуарий должен на основании реальных данных об

исследуемом процессе определить основные закономерности и

тенденции развития этого процесса, и по результатам прогноза

спланировать некоторую финансовую операцию, которая обеспечивает

оптимальные (в определенном смысле) результаты, (например,

максимальный доход при заданном уровне надежности). Либо он, в

качестве эксперта, оценивает эффективность подобной операции.

Поэтому актуарий должен быть специалистом в области математики,

экономики и в правовой сфере.

Актуарные расчеты опираются на моделирование потока

поступлений и платежей с учетом многих факторов (инфляции,

процентной ставки, динамики цен различных ценных бумаг и т.д.). Это

позволяет рассчитать тарифы и премии, оценить риск финансовой

деятельности.

Актуарий обязательно принимает участие в разработке

инвестиционных программ компании, оценке ее платежеспособности и

величины ее страховых резервов, составлении отчетности. Поэтому он,

как правило, входит в состав правления страховой компании,

специализирующейся на страховании жизни.

Иногда независимый актуарий привлекается для проведения

“актуарного оценивания”, в частности, он в качестве эксперта участвует

в судебных делах для оценки финансовой ситуации. При этом

обязательно указывается исходная информация, методика расчетов,

результаты и их интерпретация.

Актуарий отличается от аудитора, основной функцией которого

является проверка правильности различного рода счетов, актов и других

административных документов. Отличается и от экономиста -

аналитика, который оценивает ситуацию только на качественном уровне

(как правило, без использования точных методов).

1.2. Решающее правило Байеса

Прежде, чем анализировать актуарные задачи, проиллюстрируем

данный подход на примере решения проблем, весьма далеких от

страхования, но более наглядных.

1. Поставщик и потребитель.

Из всей большой партии товара N проверяется малая выборка n.

Определяется число бракованных (не первосортных) изделий m. По

величине доли m/n делается вывод о пригодности (или непригодности)

всей большой партии N. Необходимо заранее договориться о граничном

значении этой доли, обозначенной p. Правило приемки: если m/n > p ,

партия отвергается; иначе принимается.

Неравенство может быть нестрогим, в случае точного равенства

возможен контроль второй выборки, и т.д.

Очевидно, что имеет место как риск поставщика, так и риск

потребителя. Если M - число бракованных изделий во всей партии N, то

риск поставщика заключается в том, что m/n ⋅ N > M, то есть выборка

хуже всей партии, а риск потребителя - в противоположном событии.

Изобразим ситуацию графически. На горизонтальной оси m/n

откладываем значение p, а по вертикали откладываем значения

вероятностей Р

и Р

, (см. Рис. 1.1).

Риск

поставщика

Риск

потребителя

макс.возм.

значение

РР

Р1 (m/n>p)

проверяется лучшая

Р2 (m/n<p)

проверяется худшая

Р*

Рис. 1.1. m/n - доля брака в выборке , p* - граница приема партии.

Очевидно, что если установить p=0, то m/n > p всегда, поэтому

=1, а P

=0. По мере увеличения p увеличивается P

и уменьшается P

Когда p достигнет своего максимального значения, P

=0, P

=1. Если

распределение непрерывно (вероятность попасть в точку равна 0), то

=1, иначе меньше 1.

Поставщик, чтобы минимизировать свой риск, стремится сдвинуть

точку p вправо. При этом возрастает риск потребителя. Поэтому

потребитель стремится минимизировать свой риск, а для этого ему надо

сдвинуть точку p влево. Очевидно, что достигнуть компромисса они

могут только на принципе минимизации суммарного риска. Графически

это означает, что площадь фигуры совместного риска не может быть

меньше площади фигуры, ограниченной нижними ветвями и

горизонтальной осью. А это достигается, если оба риска равны. Таким

образом, в данном случае суммарный риск поставщика и потребителя

минимален, если их риски равны.

Такой результат получился потому, что плата каждой стороны за

свою ошибку одинакова. То есть в этом случае результат определяется

по правилу равенства вероятностей: P

. Однако это не всегда так.

2. Риски не равноценны.

В предыдущем примере предполагается, что плата за ошибку

одинакова, поэтому можно минимизировать не суммарную плату, а

сумму вероятностей. Весовые коэффициенты при этих вероятностях

одинаковы. Но если эти коэффициенты различны (например, в задаче

ПВО), то картина модифицируется. Простое правило гласит, что должны

совпадать вероятности пропуска реальной цели и обнаружения ложной

цели (помехи), а взвешенное правило требует сначала умножить

вероятность обнаружения помехи на цену ложной тревоги, а

вероятность пропуска реальной цели на цену ее пропуска, и только

затем сравнивать эти два произведения. (Рис. 1.2).

вер.

⋅

цена ложной вер.

⋅

цена пропуска

тревоги цели

вер-ть вероятность

помехи реальной цели

Рис. 1.2.

На горизонтальной оси - уровень сигнала, при котором надо

объявлять тревогу. Таким образом, простое правило опирается на

равенство вероятностей ошибиться, а более общее и точное взвешенное

правило требует равенства плат за ошибку.

3. Страховщик и страхователь.

По договору страхователь платит взносы, как правило, в течение

всего срока действия договора. Если страховой случай не наступил, то

он заплатил только за свое спокойствие, так как его взносы ему не

возвращаются (за очень редким исключением), а остаются страховщику.

В этом состоит риск страхователя.

Риск страховщика в том, что если страховой случай произошел

после уплаты клиентом первого взноса, то страховщик обязан заплатить

оговоренную контрактом сумму, значительно превышающую размер

страхового взноса (премии).

Поэтому для определения соответствия между размером (и

условиями) страхового возмещения и величиной страховой премии

необходимо приравнять риски страховщика и страхователя с учетом

вероятности наступления страхового случая и величины убытков от

него. (Рис. 1.3).

S - страховая сумма

⋅

p = П

⋅

П - страховая премия

p 1

Рис. 1.3.

Убытки могут быть фиксированы (страхование на случай смерти)

или случайны (переменны), например, в случае пожара или других

стихийных бедствий, аварии, нанесения ущерба другому лицу (наезд на

пешехода) и т.д. Тогда возникает дополнительная задача: оценки

вероятности того, что нанесенный ущерб составит определенную сумму

(или будет в определенных пределах).

Таким образом, есть сложное событие. Если А - случайное

событие - наступление страхового случая, а Bi - случайные события, что

величина ущерба составила Si, то актуария интересует условная

вероятность события Bi/A, то есть условное распределение случайной

величины ущерба при наступлении страхового случая.

Кроме того, его интересует и фактор времени: когда произойдет

событие А. Потому что от этого зависит размер полученных им от

страхователя взносов к этому моменту. Следовательно, имеет место не

случайное событие А, а некоторая случайная величина A(t). И связанное

с ней распределение, которое, например, указывает вероятность, что до

момента t событие А не произойдет. (Рис. 1.4).

вероятность получения

всех взносов

Рис. 1.4.

На рисунке изображено равномерное непрерывное поступление

взносов, при дискретном поступлении линия - ступенчатая.

Наконец, актуария интересует и размер процентной ставки,

которая показывает интенсивность наращения накапливаемой в

результате взносов суммы.

В идеале должно быть так, что к моменту наступления страхового

случая накопленная с учетом процентов сумма должна обеспечить

выплату страхового возмещения в размере среднего ущерба

(математического ожидания ущерба). Понятно, что если рассматривать

индивидуальный риск, который интересует страхователя, то такое

требование означает необходимость компенсировать весь ущерб. Это

приведет к слишком высоким тарифам, что сделает страхование

недоступным или неприемлемым.

Поэтому страховщик действует несколько иначе. Он оперирует не

с индивидуальным, а с коллективным риском. То есть страховщик

стремится установить такое соотношение между страховым взносом и

страховым возмещением, при котором практически в любой момент

времени суммы взносов, собранных к этому моменту со всех клиентов

(данной однородной группы договоров), было бы достаточно для

выплаты всех возмещений в этой группе (по случаям, происшедшим к

этому моменту времени). (Рис. 1.5).

взносы

выплаты

возмещений T

Рис. 1.5.

Таким образом, принцип эквивалентности обязательств

страховщика и страхователя математически выражается в равенстве

математических ожиданий двух величин: суммы всех страховых взносов

и суммы всех страховых возмещений. Именно из этого условия

определяется размер рисковой премии. С учетом рисковой надбавки

получается нетто - премия. А затем на основании этой величины

вычисляется брутто - премия. Далее решаются задачи определения

величины собственного капитала и страховых резервов для снижения

вероятности разорения компании, выбора наиболее рациональных

условий перестрахования, наконец, составляется инвестиционный

портфель.

1.3. Изменение цены денег

Прежде, чем проиллюстрировать использование решающего

правила Байеса для определения рисковой премии, необходимо внести

некоторые уточнения.

В договоре поставщика и потребителя деньги и товар переходят из

рук в руки, в принципе, одновременно и единовременно. А при

заключении договора между страховщиком и страхователем момент

выплаты страховой суммы заранее неизвестен (за период действия

договора страхового случая может и не наступить, тогда не будет и

выплаты возмещения). Процесс выплат страховых взносов (премий), как

правило, растянут на весь период действия договора. Поэтому, если

договор заключен на сравнительно длительный срок, то необходимо

учесть изменение цены денег во времени. (Рис. 1.6).

накопленная сумма в момент времени t

сумма с %

ее современна я цена

номинальные

взносы t

Рис. 1.6.

Следовательно, принцип эквивалентности обязательств двух

сторон принимает вид: современные цены рисков страховщика и

страхователя равны.

Отсюда вытекает общее правило для определения соответствия

между страховой суммой и взносами. Сначала определяется

математическое ожидание современной цены выплачиваемой

страховой суммы. На основе этого вычисляется современная цена

страховой защиты. (Осуществляется переход от современной

единовременной рисковой премии к нетто – премии и далее к

современной единовременной брутто - премии). И наконец, используя

аппарат ренты /30/, находится размер взносов.

В принципе, можно сначала определить периодическую нетто-

премию (рассроченную) по единовременной, а уже затем по ней искать

периодическую брутто - премию. Отметим, что брутто - премия

включает в себя нетто - премию, нагрузку на ведение дела, на прибыль

(если страховое общество является акционерным, а не обществом

взаимного страхования). В последнем варианте прибыль, полученная за

счет взносов страхователей, распределяется между ними.

Разумеется, на размер взносов влияет фактор надежности. Как

правило, для оценки этого используется показатель вероятности

разорения страховой компании (методика расчета этой вероятности

неоднозначна и будет рассмотрена далее). Снижение этой вероятности

достигается путем создания страховых резервов самой компании и

заключением договоров о перестраховании. Однако эта вероятность

никогда не достигает нуля!

На следующем графике (1.7) показаны основные вероятностные

закономерности:

• вероятность того, что до момента t страховой случай не

наступил;

• вероятность противоположного события (страховой случай

наступил);

• плотность вероятности наступления страхового случая (и

вероятность наступления случая в промежутке (t, t+dt)).

q(t) - вероятность отсутствия

случа я на (0,Т )

плотность вероятности

p(t) - вероятность наступления

стра хового случа я на (0,Т )

Рис. 1.7.

Видно, что страховой случай не обязательно наступает за период

действия договора (0,T). Вероятность этого события Р<1, тогда на этом

интервале площадь под кривой плотности меньше единицы. Если

рассматривать противоположное событие (наступление случая), то его

вероятность определяется высотой этой кривой в точке Т. А эта высота

численно равна площади под кривой плотности.

1.4. Изменение величины ущерба

На следующем рисунке изображена плотность вероятности

распределения величины ущерба при наступлении страхового случая.

Отмечена область наиболее часто встречающегося ущерба и указана

граница слишком большого ущерба (предельное возмещение). (Рис. 1.8).

граница области слишком

большого ущерба

плотность

наиболее

вероятный ущерб предельное возмещение

Рис. 1.8.

В данном примере предполагается, что величина ущерба S не

зависит от момента t, когда произошел страховой случай. Но возможно

наличие зависимости S(t). Если зависимость величины ущерба от

времени отсутствует, то сравнительно просто определяется средний

возможный ущерб M(S) при условии, что нет слишком больших

ущербов.

Тогда можно вернуться к предыдущему рисунку и считать, что в

каждом произошедшем страховом случае выплачивается возмещение

M(S). Теперь необходимо увязать процесс накопления взносов

страхователя с произведением M(S) на вероятность наступления

страхового случая. Это проиллюстрировано на следующем рисунке 1.9.

плотность

⋅

ма т.ожид.(ущерба )

плотность вероятности

наступления случа я

Рис. 1.9.

Накопление номинальных взносов происходит по прямой, однако,

с учетом процентов накопленная сумма возрастает по некоторой

ломаной, которая в пределе стремится к экспоненте.

Итак, в среднем (для большого числа клиентов) должно

выполняться условие равенства современных цен математических

ожиданий двух величин: накопленной суммы взносов и величины

возмещения.

1.5. Эквивалентность обязательств сторон

Из выведенного в конце предыдущего параграфа условия следует,

что надо приравнять две суммы по моменту t: в левой части

суммируются произведения вероятности наступления страхового случая

в промежутке (t, t+dt) на сумму накопленных к этому моменту взносов,

а в правой части - произведения средней выплаты M(S) на те же

вероятности. Тогда справа M(S) умножается на вероятность того, что

страховой случай произойдет на (0,T), то есть правая часть определена

полностью.

В левой части неизвестен размер премии R. Его можно определить

по известной плотности распределения вероятности и множителю (1+i)

Ситуацию можно проиллюстрировать на следующем рисунке 1.10.

возмещение

плотность

взносы

Рис. 1.10.

Отмечены плотность вероятности, накопленная сумма и

произведение плотности на размер выплаты. Видно, что коэффициент

пропорциональности уменьшается с ростом t , то есть речь идет о

современной цене. Также видно, что сначала выплата превышает

накопленную сумму (риск страховщика), а затем накопленная сумма

превышает выплату (риск страхователя). Однако площади под этими

двумя кривыми равны - принцип равенства рисков (эквивалентности

обязательств).

Отметим, что учитывается процентная ставка i , и сравниваются

«приведенные» площади. Именно из этого условия и определяется

размер рисковой премии.

Замечание. Для иллюстрации принципа эквивалентности

обязательств сторон рассмотрим договор, заключенный на n лет.

Стороны договорились проводить расчеты при процентной ставке i.

Страховые премии вносятся в начале года, а выплата возмещения

осуществляется в конце года, в течение которого произошел страховой

случай. При этом страховая сумма выплачивается полностью.

На основании имеющейся информации страховщик оценил

вероятности случайных событий At, состоящих в том, что страховой