Корнилов И.А. Элементы страховой математики
Подождите немного. Документ загружается.
Московский международный институт эконометрики,
информатики, финансов и права
Корнилов И.А.
Элементы страховой
математики
Москва 2003
2
УДК 519. 22: 368
ББК 22. 172: 65. 9 (2) 261. 7
К 674
Корнилов И.А. Элементы страховой математики. /Московский
международный институт эконометрики, информатики, финансов и
права. 2003. – 337 с.
В настоящей книге рассмотрены основные задачи актуария страховой
компании. Сформулированы принципиальные подходы к решению этих
задач. Приведены некоторые реальные задачи и показаны методы их
решения на числовых примерах. Продемонстрировано соответствие
результатов актуарных расчетов и правил поведения на страховом
рынке. Книга может быть использована студентами, слушателями
специального факультета и аспирантами, изучающими страховое дело.
Рецензенты: к.э.н. Г.М. Гамбаров,
к.ф.-м.н. В.В. Новиков.
© Корнилов Игорь Алексеевич, 2003
© Московский международный институт эконометрики, информатики,
финансов и права, 2003
3
Оглавление
Введение........................................................................................................... 7
1.
Профессия – Актуарий ......................................................................... 12
1.1. Основные положения.......................................................................... 12
1.2. Решающее правило Байеса................................................................. 13
1.3. Изменение цены денег........................................................................ 17
1.4. Изменение величины ущерба ............................................................ 19
1.5. Эквивалентность обязательств сторон ............................................. 20
1.6. Некоторые сведения из страховой практики ................................... 22
1.7. Примеры задач актуария в страховой компании ............................. 23
1.8. Замечания о работе актуария страховой компании......................... 26
1.9. Анализ риска страховщика и путей его снижения .......................... 28
1.10. Аналитические и численные методы решения актуарных
задач ……………………………………………………………………...30
2.
Примеры элементарных актуарных задач .......................................... 33
2.1. Расчет размера прибыли и возмещения............................................ 33
2.2. Единовременная рисковая премия ....................................................35
2.3. Пример распределенного риска......................................................... 36
2.4. Пример комбинированного страхования.......................................... 38
2.5. Страхование ответственности владельца автомобиля .................... 39
2.6. Рисковая надбавка............................................................................... 41
2.7. Нетто - премия..................................................................................... 44
2.8. Переход от единовременной рисковой премии к периодической .45
2.9. Использование коэффициента рассрочки в страховой практике... 49
2.10. Замечание о равенстве рисков страховщика и страхователя ..... 52
2.11. Некоторые особенности расчета размера выплат при
наступлении страхового случая............................................................... 55
2.12. Понятие о начальном капитале (резерве) и перестраховании.... 56
2.13. Оценка объема риска, передаваемого на перестрахование ........ 57
3.
Традиционные задачи оценки риска страховщика............................ 60
3.1. Степень риска ...................................................................................... 60
3.2. Частичные убытки .............................................................................. 65
3.3. Связанные и независимые страхования............................................ 67
3.4. Максимальная величина принимаемого риска ................................ 70
3.5. Размер капитала................................................................................... 73
4.
Актуарные проблемы при распределенном риске............................. 75
4.1. Риск страховщика ............................................................................... 75
4.2. Участие страхователя в возмещении ущерба .................................. 76
4.3. Франшиза ............................................................................................. 78
4
4.4.
Характеристики объема страховой ответственности...................... 80
4.5. Расчет рисковой надбавки и нетто-премии...................................... 86
4.6. Размер возмещения ............................................................................. 87
5.
Вероятностно-статистическое исследование страхового портфеля 89
5.1. Использование функции распределения ущерба при оценке
вероятности разорения страховщика ...................................................... 89
5.2. Процентные точки............................................................................... 90
5.3. Коэффициент вариации. Степень риска. .......................................... 92
5.4. Влияние степени риска на рисковую надбавку ............................... 93
6.
Особенности имущественного страхования ...................................... 96
6.1. Основные положения.......................................................................... 96
6.2. Специфика актуарных задач в имущественном страховании ........ 99
6.3. Некоторые актуарные вопросы автотранспортного страхования 101
6.4. Динамика реальной цены застрахованного имущества................ 104
6.5. Применение процедуры свертки при расчете рисковой премии с
учетом динамики процессов на рынке страхования имущества........ 106
6.6. Оценка риска на основе данных страховщика............................... 108
6.7. Практика оценки финансовой устойчивости страхования ........... 109
6.8. Оценка хозяйственно-финансовых рисков..................................... 110
6.9. Показатели тарифной ставки ........................................................... 112
6.10. Некоторые примеры имущественного страхования ................. 114
7.
Модели риска....................................................................................... 117
7.1. Постановка задачи ............................................................................ 117
7.2. Индивидуальные модели.................................................................. 118
7.3. Среднее и дисперсия в индивидуальных моделях риска.............. 119
7.4. Коллективные модели риска............................................................ 122
8.
Некоторые специальные задачи страхования имущества .............. 125
8.1. Расчет нетто-премии в договоре о комбинированном
страховании.............................................................................................. 125
8.2. Обсуждение процесса формирования рисковой надбавки в
договоре комбинированного страхования............................................ 127
8.3. Специфика страхования больших рисков ...................................... 128
8.4. Страхование риска невозвращения кредита .................................. 131
8.5. Предоставление скидки страхователю за многолетнее
сотрудничество........................................................................................141
8.6. Особенности страхования космических рисков ............................ 143
9.
Анализ поведения страховщика на страховом рынке..................... 147
9.1. Анализ однородного страхового портфеля с применением
нормальной аппроксимации................................................................... 147
5
9.2.
Пример комплексного решения основных актуарных задач
(надбавка, начальный резерв, перестрахование, вероятность
разорения) с использованием пуассоновской аппроксимации .......... 153
9.3. Обсуждение проблемы выбора аппроксимации биномиального
распределения нормальным законом и распределением Пуассона... 161
9.4. Закон Пуассона и экспоненциальное распределение. Их
использование в страховании. ............................................................... 165
9.5. Использование процедуры свертки в оценке общего ущерба ..... 169
9.6. Объединение дискретных рисков.................................................... 171
9.7. Однородные риски ............................................................................ 172
9.8. Неоднородные риски ........................................................................ 176
9.9. Особый случай .................................................................................. 180
9.10. Использование отрицательного биномиального распределения
при моделировании потока требований об оплате .............................. 181
10.
Концепции и проблемы определения рисковой надбавки.............. 184
10.1. Традиционные подходы ............................................................... 184
10.2. Элементы теории полезности ...................................................... 185
10.3. Сравнение различных договоров с помощью функции
полезности................................................................................................ 189
10.4. Понятие о доверительных оценках в страховании.................... 190
10.5. Некоторые проблемы определения рисковой надбавки. .......... 192
11.
Перестрахование ................................................................................. 198
11.1. Основные принципы перестрахования. Основные договора ... 198
11.2. Особенности перестрахования имущества. Пример различных
вариантов договоров о перестраховании.............................................. 201
11.3. Анализ целесообразности заключения договора о
перестраховании...................................................................................... 204
12.
Концептуальные проблемы перестрахования (и некоторые смежные
вопросы) ....................................................................................................... 213
12.1. Проблема определения размера удержания............................... 213
12.2. Проблема резервов........................................................................ 214
12.3. Исследование позиции цедента при перестраховании ............. 215
12.4. Сравнение и графическая иллюстрация ..................................... 219
12.5. Сравнение квотного и эксцендентного перестраховочных
договоров ................................................................................................. 222
12.6. Учет инфляции .............................................................................. 223
12.7. Влияние информации на цену договора..................................... 224
12.8. Позиции цедента и перестраховщика ......................................... 226
12.9. Некоторые практические рекомендации .................................... 227
12.10. Перестрахование и взнос страхователя ...................................... 229
12.11. Объединение распределенных рисков........................................ 230
12.12. Перестрахование суммарного распределенного риска............. 231
6
13.
Некоторые концептуальные проблемы оценки устойчивости....... 235
13.1. Задача о разорении........................................................................ 235
13.2. Вероятность разорения................................................................. 238
13.3. Нормальная аппроксимация при расчете вероятности
разорения.................................................................................................. 238
13.4. Влияние капитала на вероятность разорения ............................ 240
13.5. Суммарный ущерб в портфеле из двух договоров .................... 246
13.6. Сложные пуассоновские процессы ............................................. 247
13.7. Неравенство Лундберга................................................................ 248
13.8. Дисперсия, как мера стабильности ............................................. 249
13.9. Взаимные услуги по перестрахованию....................................... 250
13.10. Роль дисперсии в формировании рисковой надбавки .............. 251
13.11. Распределение надбавки между субпортфелями....................... 253
13.12. Влияние перестрахования на вероятность разорения............... 254
14.
Статистические модели в страховании.............................................257
14.1. Модель оперативного управления запасами денежных средств
страховщика............................................................................................. 257
14.2. Статистическая модель страхового пула, основанная на идеях
теории игр ................................................................................................ 261
14.3. Исследование риска в страховании методом ковариационного
анализа с факторизацией качественных переменных ......................... 268
Заключение .................................................................................................. 282
15.
Рекомендуемая литература ................................................................ 285
Приложение1. Сведения из теории вероятностей и математической
статистики. ................................................................................................... 287
Приложение 2. Практикум по курсу «Основы актуарных расчетов».... 302
7
Введение
В 1995/96 учебном году на факультете «Статистика» создана
специализация: «Актуарий для банков, страховых компаний и фирм». К
июлю 2001 г. на кафедре математической статистики и эконометрики
состоялось 5 выпусков (более 150 человек) по этой специализации.
Среди предметов, изучаемых студентами в рамках этой специализации,
одну из ведущих позиций занимает курс «Основы актуарных расчетов».
Цель данного предмета – дать студентам представление о принципах
страховой математики и помочь им выработать навыки выполнения
актуарных расчетов.
В настоящее время в развитых странах литература, посвященная
актуарным вопросам, насчитывает несколько тысяч наименований. На
русском языке есть всего несколько книг, в которых рассмотрены общие
принципы актуарных расчетов, и еще несколько книг по актуарным
расчетам в страховании жизни (и пенсий). Поэтому автор надеется, что
данное пособие поможет хотя бы отчасти уменьшить дефицит
литературы. И будет способствовать проявлению интереса студентов (и
аспирантов) к данному направлению.
Составленные автором за 1996-2001 г.г. учебно-методические
материалы должны дать слушателям представление об основных
направлениях работы актуария и познакомить будущих специалистов с
основными задачами и методами их решения. Вместе с тем возникла
необходимость объединения в одной книге материала по данному
учебному курсу. Тем более, что за время преподавания данной
дисциплины накоплен значительный опыт, позволивший
скорректировать содержание и методику преподавания предмета
“Основы актуарных расчетов”. Предлагаемая книга является
объединением и обобщением пяти ранее составленных автором книг по
данному предмету и предназначена, прежде всего, для консолидации
учебного курса. Кроме того, в книгу включены новые разделы.
В одном учебном курсе невозможно осветить все направления
работы актуария. Поэтому конкретизируем круг рассмотренных задач.
Основное внимание уделено расчету чисто рисковой премии,
обеспечивающей эквивалентность обязательств сторон: страховщика и
страхователя. Кроме этого, рассмотрена надбавка на безопасность,
призванная компенсировать отклонения от среднего ущерба и, тем
самым, обеспечить безубыточность страхования. Проиллюстрирована
возможность повышения вероятности выживания страховщика с
помощью резерва и перестрахования.
В учебном курсе не рассматривается такой важный вопрос, как
формирование нагрузки (на ведение дела, прибыль, превентивные
мероприятия и т.д.), поскольку здесь большую роль играет специфика
компании. Практически не затронуты проблемы обработки реальных
8
страховых договоров и происшедших в них страховых случаев, а также
данных официальной отчетности страховых организаций. Это
объясняется отсутствием доступа к реальным данным. Кроме того, по
мнению автора, перечисленные вопросы должны составить предмет
самостоятельного учебного (специального) курса.
В соответствии с концепцией данного курса предлагается
следующая последовательность материала. Сначала формулируется
принцип эквивалентности обязательств сторон, рассматриваются
некоторые нюансы, указывается правило формирования
единовременной рисковой премии, анализируется влияние нюансов в
трактовке принципа эквивалентности на премию. Далее приведены
элементарные задачи, доступные на интуитивном уровне, и помогающие
понять основные проблемы.
Затем приводятся примеры вычисления единовременной рисковой
премии для некоторых договоров (например, для комбинированного
страхования). Изучив единовременную рисковую премию, можно
переходить к рассмотрению периодической (рассроченной) рисковой
премии и сформулировать основные принципы такого перехода.
Далее исследуется риск страхователя. Рассматривается как
фиксированный ущерб, так и распределенный по некоторому закону.
Определяются характеристики риска. Это позволяет перейти к
исследованию риска страховщика, учитывающего объем страховой
ответственности, обусловленный договором, и на основе характеристик
риска страховщика – найти рисковую премию.
Далее рассматривается страховой портфель, вводится понятие
суммарного ущерба и определяются правила его оценки. Это позволяет
сформулировать роль рисковой надбавки. Определить относительную и
абсолютную надбавку. Указать правила для их вычисления и
взаимосвязь между надбавкой, объемом портфеля и его надежностью.
Вводится понятие степени риска и указываются направления его
использования. Исследуется надбавка в комбинированном договоре и
процесс распределения суммарной рисковой надбавки между
несколькими субпортфелями с различными рисками.
Поскольку надбавка не всегда может обеспечить требуемую
надежность, страховщик использует резервы и перестрахование. (В
частности, проиллюстрированы различия подходов при фиксированном
ущербе и распределенном. В первом можно опираться на число
страховых случаев и надо округлять это значение до ближайшего
большего целого числа. Во втором – используется общий ущерб,
результат не округляется.)
Далее рассмотрены основные принципы выполнения актуарных
расчетов при перестраховании и подходы к определению страховых
резервов. Наконец, показаны возможности учета некоторых частных
вопросов: франшизы, инфляции и т.д. Кроме того, можно инвестировать
9
временно свободные средства, и с помощью полученной прибыли
повышать надежность и конкурентоспособность страховой компании.
Разумеется, последние из перечисленных вопросов – очень сложны,
поэтому решения, принимаемые в страховой практике, часто сильно
зависят от специфики страховщика. Из-за этого (а также из-за
ограничений по времени и необходимости специального программного
обеспечения) целый ряд вопросов и методов лишь обозначается в
рамках данного курса, чтобы будущие специалисты, по крайней мере,
ориентировались в этих проблемах.
По нашему мнению, объединение учебного материала в одной
книге позволяет получить хорошее представление о принципах
выполнения актуарных расчетов. Пятилетняя практика преподавания
обеспечила соответствие уровня изложения материала и степени
подготовки студентов, от которых требуется знание высшей математики
в пределах традиционного вузовского курса.
В процессе работы с немногочисленными источниками (как по
именно актуарным проблемам, так и по содержательным вопросам
страхования) автор столкнулся с неоднозначностью в использовании
терминов, что можно объяснить сравнительной новизной актуарной
темы в России. В отечественной литературе к настоящему времени
возникла некоторая неоднозначность в терминологии. Даже в
сравнительно простых вопросах – определении ставок и премий.
Например, в кн. К. Бурроу «Основы страховой статистики»
используются термины: «рисковая премия», которая обеспечивает
эквивалентность обязательств сторон, «нетто-премия», включающая в
себя рисковую надбавку для обеспечения безубыточности страхования,
«брутто-премия» (или «страховой взнос»), содержащая, кроме нетто-
премии, еще и нагрузку (на ведение дела и прибыль). Именно этот набор
терминов и используется в данной книге (и учебном курсе).
Однако, существуют и другие точки зрения.
В кн. В.В. Шахова «Страхование» (основной учебник по данному
направлению) используются те же термины (РП, НП, БП) (стр.112-113).
В то же время при анализе имущественного страхования упоминается
лишь «нетто-ставка» и «брутто-ставка». Причем первая трактуется как
«основная часть тарифной ставки». «Рисковая» - вообще не
упоминается! (стр. 131), для личного страхования эти вопросы не
рассматриваются.
В кн. А.А. Гвозденко «Основы страхования» приводится структура
страхового тарифа (при страховании туристской деятельности), где
«брутто-ставка» = «нетто-ставка + «дельта-надбавка» (стр. 169). А на
стр. 179 говорится, что «брутто-ставка включает нетто-ставку и
нагрузку». Этот же подход отражен в формуле 6.14 на стр. 184.
«Рисковая ставка» - не упоминается.
В «Словаре страховых терминов» также фигурируют лишь нетто-
ставка и брутто-ставка.
10
В кн. Г.И. Фалина /26/, посвященной страхованию жизни и
пенсионных схем, нетто-премия обеспечивает эквивалентность
обязательств сторон, а вместе с надбавкой образует брутто-премию.
Той же точки зрения, основанной на специфике этого вида
страхования, придерживается и Х. Гербер /5/.
В документах Росстрахнадзора (например, в Методике по личному
страхованию) фигурирует «брутто-ставка» и ее часть – «нетто-ставка»,
что соответствует Г.И. Фалину и Х. Герберу.
В документах, посвященных страхованию “non-life”, в нетто-ставке
выделяется “основная часть нетто-ставки” (которая в данной книге (и у
К. Бурроу) обозначалась, как «рисковая ставка») и «рисковая надбавка».
Подобная ситуация – следствие незавершенности процесса
формирования отечественной страховой (и, соответственно, актуарной)
терминологии. Поэтому автор счел целесообразным уточнить некоторые
использованные в работе термины.
“Ставка” относится к одной единице страховой суммы. В отличие
от этого, “премия” соответствует всей страховой сумме (и равна ставке,
умноженной на сумму).
“Взнос” (или “страховой платеж”) тождественен страховой
премии (брутто-премии).
«Рисковая премия» (в некоторых источниках: «чисто рисковая
премия») обеспечивает эквивалентность обязательств сторон.
“Надбавка рисковая” (надбавка на безопасность) создается для
выплат возмещения, превышающего среднее.
“Нагрузка” предназначена для покрытия расходов на ведение дела,
проведение мероприятий, снижающих риск, создание запасов,
получение прибыли.
В связи с этим структура страхового взноса (брутто-премии):
Брутто-премия = нетто-премия + нагрузка.
Нетто-премия = рисковая премия + рисковая надбавка.
В основном, расчеты приведены для «премии», а не для «ставки». С
точки зрения автора, этот подход более принципиален и универсален.
Рекомендации по проведению практических занятий и организации
самостоятельной подготовки
На первых двух-трех практических занятиях целесообразно
напомнить некоторые сведения из теории вероятностей и
математической статистики: найти математические ожидания и
дисперсии закона Пуассона и экспоненциального распределения, найти
оценки параметров этих законов с помощью метода максимального
правдоподобия, выполнить процедуру свертки для этих распределений,
построить производящую функцию (см. Приложение).
На следующих занятиях начинается разбор собственно актуарных
примеров. Преподаватель формулирует содержательную задачу,