Корнилов И.А. Элементы страховой математики

Подождите немного. Документ загружается.

случай произойдет именно в t-й год с момента заключения договора.

(Для простоты считаем, что договор заключен 01.01, тогда момент

выплаты 31.12 совпадает с моментом подведения итогов работы

компании за год.).

Поскольку временные интервалы (календарные годы) не

пересекаются, то рассматриваемые события – несовместны. Кроме того,

по договору возмещению подлежит лишь один страховой случай. (При

страховании жизни или пенсии это очевидно, а в имущественном

страховании после выплаты возмещения действие договора

прекращается, но может быть составлен новый договор.)

Наконец, необходимо учесть, что страхового случая может и не

наступить за эти n лет, поэтому полная группа событий должна

содержать и соответствующее событие A0. Таким образом, если n=1, то

страховщик обязательно получит взнос R (с вероятностью 1), поэтому

M(A)=R, а для выплаты возмещения: M(S)=S⋅p

⋅v + 0⋅q

⋅v = S⋅p

⋅v.

Отсюда M(A)=M(S), т.е. R

=S⋅p

⋅v. На практике страховщик часто

назначает R=S⋅p

Если n=2, то страхователь первую премию вносит обязательно, а

вторую только, если за первый год не произошло случая. Т.е. он внес

либо одну премию с вероятностью p

, либо две премии с вероятностью:

(1-p

)=q

Поэтому: M(A) = R⋅p

+ R(1+v)⋅(1 - p

) = R(1+v) - R⋅v⋅p

Первое слагаемое указывает на дисконтирование вносимых

премий, а второе – на риск недополучения некоторых премий.

Аналогично: M(S)=S⋅v⋅p

+S⋅v⋅v⋅p

+ 0⋅v⋅v⋅ (1-p

-p

)=S⋅v⋅(p

⋅v)

Тогда: R

=S⋅v⋅(p

⋅v)/(1+v - v⋅p

Если n>2, то страхователь вносит суммарную дисконтированную

премию:

M(A) = R⋅p

+ R(1+v)⋅p

+ ...+R (1+v+...+v

n-2

)⋅p

n-1

= R(1+...+v

n-1

)⋅(1-p

-...-p

n-1

) = R ⋅ K

Последнее слагаемое несколько отличается от приведенной в /30/.

()

MS Svp Sv p Sv p SL

=⋅⋅+⋅⋅++⋅⋅ =⋅

...

Приравняв M(A)=M(S), получим R=S⋅ (L/K), где L/K – “ставка”.

Очевидно, R зависит от n, т.е. R(n), поэтому представляет интерес

характер этой зависимости. Аналитически эту зависимость в общем виде

показать сложно, но численные расчеты показывают, что начиная с

некоторого n : R(n+1) < R(n) . Этот факт и лежит в основе “скидки”,

предоставляемой клиенту при увеличении срока страхования

(процентная ставка начинает влиять сильнее, чем сумма вероятностей

наступления страхового случая).

1.6. Некоторые сведения из страховой практики

Отметим, что в личном страховании (жизни и пенсии) вероятности

существенно зависят от t, в имущественном эта зависимость

уменьшается (но и здесь вероятность совершить аварию на старом

автомобиле больше, чем на новом), и это позволяет теоретически

считать вероятности одинаковыми в целях упрощения расчетов. Однако,

в этих видах страхования часто практикуется заключение договоров

только на один год, что снижает актуальность этих упрощений. Но в

качестве упражнения это – полезно.

На практике актуарные расчеты проводятся по несколько иной

схеме. Сначала на основе математического ожидания предстоящей

выплаты возмещения определяют единовременную цену страховки

(которую надо заплатить при заключении контракта). А затем уже на

основании этого единовременного взноса с помощью аппарата ренты

находят размер периодических взносов.

Согласно общим правилам страхования, эти периодические

взносы должны вноситься в начале каждого периода, поэтому, чем

раньше внесены деньги, тем дольше они «работают», то есть приносят

больший доход, следовательно, номинально внесенная сумма при этом

уменьшается. Различие тем больше, чем выше процентная ставка.

Замечание. В простейшей модели страхования предполагается,

что если страховой случай произошел, то величина ущерба

фиксирована, и, следовательно, выплачивается одинаковое возмещение.

Но это - идеальная ситуация, а в действительности положение иное.

Даже в качественно однородном портфеле страховые случаи могут

привести к различным величинам ущерба (например, при страховании от

пожара или при автомобильной аварии не по вине застрахованного).

Поэтому возникает задача оценки распределения величины ущерба, и

соответственно, величины возмещения.

Перед актуарием возникает задача поиска компромисса между

двумя противоположными стремлениями. С одной стороны, разбиение

всего портфеля на мелкие группы повышает однородность каждой из

них, и тем самым несколько снижает элемент случайности в каждой

группе. С другой стороны, в более крупной группе отклонения чаще

компенсируют друг друга (а не складываются), что повышает

надежность.

Кроме того, каждого клиента интересует только его собственный

договор со страховой компанией. А компанию интересует весь

портфель договоров. Поэтому возникает задача определения

суммарного ущерба по всему портфелю и, следовательно, суммарного

возмещения. Здесь в актуарных расчетах используется аппарат «свертки

функций», который позволяет получить аналитическое решение

(функцию распределения величины суммарного ущерба). Следует

учитывать также и возможность численного моделирования на ПЭВМ.

Наконец, особое внимание приходится уделять проблеме больших

рисков, не рассмотренных в приведенном примере. К таким случаям

относятся, например, пожар в музее или во дворце. Оценка возможного

ущерба в этом случае должна проводиться особенно тщательно и

комплексно, и с самого начала предполагать распределение риска путем

перестрахования.

Отметим, что с математических позиций эти случаи представляют

собой резко выделяющиеся наблюдения и во избежание их сильного

искажающего влияния должны быть удалены из выборки и

анализироваться отдельно.

Таким образом, перед актуарием возникает двухэтапная задача.

Сначала целесообразно разбить весь качественно неоднородный

портфель на несколько однородных «субпортфелей», в каждом из

которых вариация ущерба не очень велика и величина ущерба

подчиняется одному и тому же закону распределения.

А затем целесообразно попытаться объединить результаты,

полученные по каждому из субпортфелей. Эта задача также

нетривиальна, поскольку требует оценки не только среднего

совместного ущерба, но и величины отклонения от этого среднего и

вероятности такого отклонения, то есть речь идет об исследовании

совместного распределения.

1.7. Примеры задач актуария в страховой компании

Исторически первой задачей, которую пришлось решать

актуарию, была задача определения величины страховой премии,

обеспечивающей эквивалентность рисков страховщика и страхователя,

то есть равенство современных величин их возможных потерь. При

иллюстрации мы вначале, для простоты, будем считать пример без учета

процесса наращения /24, 30/, то есть, что сумма собранных премий

должна быть равна сумме выплаченных страховых возмещений.

Предположим, что актуарий проанализировал страховые договора

определенного типа и выяснил влияние различных факторов на

возможность возникновения страхового случая и величину убытков.

Тогда он может разбить все неоднородное множество договоров на

несколько однородных подмножеств (групп). Это позволяет внутри

каждой группы рассматривать не ущерб по каждому договору, а

суммарный ущерб, что для страховщика значительно важнее.

Пусть на основании предыдущего опыта выяснено, что за единицу

времени (год) в группе из n договоров произошло m случаев. Тогда

частость m/n позволяет оценить вероятность p наступления страхового

случая.

Если из года в год эти эмпирические значения m/n практически

равны, то есть их колебания случайны и не содержат тренда, то нет

необходимости в прогнозировании поведения этой величины.

Достаточно знать ее среднее значение. При большом общем числе

наблюдений (договоров) можно с высокой надежностью утверждать, что

истинное значение параметра p будет находиться в очень узком

доверительном интервале.

Тогда можно для дальнейших расчетов взять не точечную оценку

p, а правую границу доверительного интервала. (Это уменьшит

вероятность разорения страховой компании, но несколько снизит ее

конкурентоспособность.)

Теперь можно приступить к планированию политики компании

относительно этого вида риска на следующий год. Собранные премии

должны обеспечить выполнение страховщиком своих обязательств.

Однако он сможет это сделать только, если фактическое число

страховых случаев будет равно своему математическому ожиданию

(принцип эквивалентности риска) или меньше его. В последнем случае

страховщик даже получит доход.

Однако его больше интересует противоположная ситуация:

превышение фактического числа случаев над ожидаемым, которая

может привести к разорению страховой компании. Во избежание этого

страховщик использует такие средства, как рисковую надбавку,

распределение риска путем перестрахования, а также привлекает

собственный капитал для создания начального резерва.

Отдельная и очень важная задача – оценка страховых резервов.

Страховой резерв – это выраженный в денежной форме размер будущих

обязательств. На эту величину пассивов страховщик должен иметь

активы. Собственные средства в страховании называются “маржа

платежеспособности”. Они оцениваются по принципу компромисса

между надежностью и прибылью. Этот вопрос будет рассмотрен далее.

Решение этого комплекса задач начинается с построения

доверительного интервала для числа страховых случаев. При этом

страховщика интересует самая неблагоприятная ситуация: выход за

правую границу, и соответственно, вероятность этого. Разность между

правой границей и средним значением и представляет ту часть риска

страховщика, как предпринимателя, которую он хочет (и должен!)

устранить (предотвратить).

Очевидно, что прямое повышение надежности функционирования

компании вызовет расширение доверительного интервала, то есть

увеличение разности между правой границей и средним значением. И

если это среднее значение не изменится, то отношение этой разности к

среднему значению (относительная погрешность) возрастет. И тогда

страховщик сталкивается с проблемой допустимой величины рисковой

надбавки.

Эта надбавка призвана отдалить правую границу и тем самым

уменьшить вероятность выхода за нее. Поэтому любой разумный клиент

согласен платить эту надбавку, если она мала по сравнению с величиной

премии, рассчитанной из принципа эквивалентности. На практике в

страховании жизни относительная рисковая надбавка составляет до 10%,

в имущественном страховании 35% - 40%. (Причина различия указана

далее.) Поэтому возможность снизить вероятность разорения компании

простым увеличением этой надбавки (за счет клиента!) ограничена из-за

конкуренции.

Следовательно, необходимо учитывать возможность возникновения

на страховом рынке ситуации, при которой придется снижать эту

надбавку. Возникает задача поиска разумного компромисса между

повышением надежности и повышением конкурентоспособности.

Очевидно, играет роль и объем портфеля. Чем он больше, тем компания

устойчивее. Она может поддерживать высокую конкурентоспособность,

уменьшая надбавку (то есть, снижая тариф) практически без ущерба для

надежности.

Когда же возможности повышения надежности путем введения

рисковой надбавки исчерпаны, компания привлекает свои средства.

Если величина начального капитала рассчитана правильно, то он

расходуется и пополняется таким образом, что (в среднем) не

возрастает и не убывает. Отметим, что излишний начальный капитал -

это средства, извлеченные из оборота. Они не приносят доход (или

приносят значительно меньший доход, чем возможно), поэтому слишком

большой резерв нецелесообразен. К тому же для предпринимателя важно

соотношение между своими средствами и привлеченными (собранными

премиями).

Но и снижение капитала недопустимо, так как может помешать

компании выполнить свои обязательства, и тем самым, подорвать

доверие к страховой компании, да и к страховому бизнесу в целом.

Поэтому государственные органы, курирующие страховой бизнес,

особенно жестко контролируют именно эту сторону деятельности

страховых компаний.

Повысить надежность можно и путем перестрахования, однако за

услуги перестраховочной компании надо платить, в то время как свой

капитал остается в своем распоряжении. Поэтому актуарий обязан

тщательно просчитать все возможные варианты перестрахования и

сконструировать оптимальную комбинацию надбавки, капитала и

перестрахования, обеспечивающую решение многоцелевой задачи:

высокую надежность и конкурентоспособность и еще прибыль. (До сих

пор мы не упоминали нагрузку, включающую расходы на ведение дела и

превентивные мероприятия, а также прибыль акционеров.)

1.8. Замечания о работе актуария страховой компании

Общая схема функционирования страхового общества может быть

представлена следующим образом. Имеется однородное множество

договоров, число которых достаточно велико, а вероятность

наступления страхового случая в каждом отдельном договоре очень

мала и приблизительно одинакова для каждого конкретного клиента.

Страховая сумма, выплачиваемая клиенту при наступлении страхового

случая, в простейшем случае также одинакова.

Актуарий должен решить для данной страховой компании

следующие задачи:

- определить величину рисковой премии, обеспечивающей

эквивалентность обязательств и риска у страховщика и страхователя;

- определить величину рисковой надбавки;

- определить величину страхового запаса (капитала),

обеспечивающего выживание (неразорение) компании с определенной

надежностью;

- проанализировать возможность повышения устойчивости

компании с помощью перестрахования и рассчитать плату за

перестрахование при различных условиях договора о перестраховании;

- оценить положение компании на страховом рынке и, в

зависимости от ситуации, сформулировать подтвержденные расчетами

рекомендации по укреплению позиций компании.

Важно отметить, что конкретного клиента интересует только его

собственный договор, то есть индивидуальный риск. Для отдельного

клиента страховой случай может либо наступить с вероятностью p, либо

не наступить с вероятностью q=1-p. Следовательно, страхователь

рискует премией П с вероятностью 1-p, а страховщик рискует разницей

между страховой суммой и полученной премией (S-П) с вероятностью p.

Поэтому принцип эквивалентности риска сторон (при отсутствии

индексации) приводит к уравнению: (S-П)p=П(1-p), отсюда: П=Sp.

рисковая

надбавка

рисковая капитал перестрахо-

премия вание риск

предпринимателя

вероятность

Рис. 1.11.

На данном рисунке – плотность распределения риска в одном

договоре. Это иллюстрирует задачи страховщика в отношении одного

клиента.

Если договоров несколько, то компанию интересует не отдельный

договор и наступление случая в нем, а общее число случаев для всего

портфеля и сумма всех выплат, то есть коллективный риск по всему

портфелю. N страхователей внесут в виде премий по П, в среднем

следует ожидать Np страховых случаев, в каждом из которых придется

выплатить возмещение S. Т.е. NП=NpS или П=Sp. Результат тот же.

Рисковая премия не зависит от числа договоров в портфеле. Но

рассчитанная на основе рисковой премии нетто-премия – зависит от N (и

как будет показано далее, от надежности). Соответственно, это

отразится и на брутто-премии (где добавится влияние еще и третьих

факторов).

Для отдельного клиента имеет место биномиальный закон

распределения, поэтому для однородного портфеля общее число случаев

за срок действия договора подчиняется закону Пуассона (формула

Пуассона аппроксимирует формулу Бернулли). Отметим, что при

определенных условиях оба распределения можно аппроксимировать

нормальным законом.

Данное обстоятельство объясняет причину широкого применения

указанных распределений (а также тесно связанных с ними других

законов) в актуарных расчетах. Например, если число случаев за

единицу времени подчиняется распределению Пуассона, то

длительность временного интервала между двумя очередными случаями

подчиняется экспоненциальному распределению. (Основные

вероятностно-статистические принципы приведены в Приложении.)

Проиллюстрируем графически, за счет каких составляющих

обеспечивается покрытие риска страховщика. (Рис. 1.13).

СРП

СPH

Рис 1.13

Здесь изображена плотность распределения ущерба во всем

портфеле. Распределение приближается к нормальному. На

горизонтальной оси (размер суммарного возмещения) намечены области

ответственности отдельных составляющих.

В начале, для упрощения, будем считать, что размер выплат

фиксирован. Тогда общий убыток страховщика пропорционален числу

страховых случаев. Если объем однородного портфеля велик, а

вероятность страхового случая в одном договоре мала, то применима

пуассоновская аппроксимация. Наибольшее значение плотности в точке

λ=N⋅p (интенсивность потока заявок или математическое ожидание

количества заявок – исков о возмещении понесенного ущерба). Как было

показано ранее, если страховая сумма, выплачиваемая при наступлении

страхового случая во всех договорах постоянна и равна S, а

единовременная страховая премия, вносимая клиентом для обеспечения

эквивалентности риска, равна П, то из равенства собранной суммы

взносов: П⋅N и общей суммы выплат: S⋅λ=S⋅N⋅p следует: П=p⋅S.

Однако нетрудно заметить, что собранная сумма взносов

(рисковых премий) обеспечивает выплату компенсаций только при

благоприятной для страховщика ситуации, когда фактическое число

случаев не превосходит его математического ожидания: m<N⋅p=λ. То

есть при таких условиях помощь может быть оказана только первым λ

клиентам. При меньшем количестве случаев компания сохраняет часть

невостребованных средств. Но нельзя обращать эту сумму в прибыль,

она должна быть направлена в страховой фонд (резерв) на случай

превышения фактического числа выплат над ожидаемым в следующем

году.

На практике возможно использование остатка для распределения

между страхователями, у которых не было страховых случаев (в виде

поощрения) или эти средства можно пустить в оборот, чтобы в

дальнейшем вернуть клиентам несколько большую сумму. Важно, что

эта часть средств, собранных с клиентов, (но не истраченных на выплату

возмещений), не становится собственностью (или даже доходом)

компании, а продолжает принадлежать совокупности клиентов и должна

использоваться в их интересах.

1.9. Анализ риска страховщика и путей его снижения

Но события могут развиваться и по неблагоприятному для

компании сценарию, когда уже на начальном этапе (в первый год) сумма

выплат превысит сумму собранных рисковых премий. Тогда компания

будет в состоянии выплатить компенсацию лишь первым λ

пострадавшим клиентам за счет собранных рисковых премий.

Каждый разумный клиент понимает, что такая ситуация может

ударить по нему, если именно он окажется (λ+1)-м, поэтому он согласен

заплатить несколько больше, чем рисковая премия, чтобы избежать

этого. Эта идея и лежит в основе «рисковой надбавки», которая

добавляется к рисковой премии для обеспечения безубыточности и

повышения устойчивости компании. Сумма этих двух составляющих

называется нетто-премией.

Однако и из соображений разумности, и из-за конкуренции эта

надбавка не может быть слишком большой. Важно, сколько

дополнительных страховых случаев (сверх ожидаемого λ) она

покрывает. Это зависит от поведения кривой плотности распределения

справа от точки λ. Чем круче она убывает, тем эффективнее работает

надбавка (меньший % надбавки по отношению к рисковой премии

обеспечивает больший % неразорения компании).

Если рисковая надбавка отсутствует, то весь последующий риск

(после λ) компания вынуждена обеспечить за свой счет. То есть, либо

увеличивать начальный капитал из своих средств, либо обращаться к

перестраховщику, оплачивая его услуги из своих средств (все собранные

рисковые премии полностью возвращаются клиентам в виде страховых

возмещений, в среднем!).

Таким образом, как будет видно в дальнейшем, надбавка

используется для повышения надежности компании, но пути

достижения этой цели (и соответственно, использования надбавки)

могут различаться.

Итак, (рис. 1.11.) наибольшая доля риска страховщика

покрывается собранными рисковыми премиями (около 60%) и рисковой

надбавкой, которая в зависимости от вида страхования и поведения

кривой плотности распределения составляет (10% - 20%). Далее

начинается зона ответственности капитала (начального резерва).

Очевидно, что создание слишком большого резерва нецелесообразно из-

за того, что средства, отвлеченные в резерв, либо вообще не приносят

дохода, либо приносят его значительно меньше, чем при

инвестировании. Создание резерва - необходимость, направленная на

повышение надежности.

Возникает задача поиска разумного компромисса между

величиной резерва и надежностью. Поэтому величина резерва может

меняться в зависимости от ситуации (подотрасли страхования,

конкретного вида кривой плотности распределения риска, процентной

ставки, политики компании на страховом рынке и т.д.). Соответственно

меняются и границы зоны ответственности резерва за риск, причем, как

правая, так и левая.

Дело в том, что в зависимости от ситуации на рынке компания

иногда вынуждена уменьшать величину рисковой надбавки.

Соответственно уменьшается вероятность неразорения. Поэтому для

поддержания устойчивости на прежнем уровне необходимо расширить

зону ответственности резерва, то есть увеличить резерв (привлечь

дополнительный собственный капитал).

Другой причиной увеличения резерва может быть слишком

большая плата за перестрахование. Тогда компания вынуждена

уменьшить долю риска, передаваемого на перестрахование, и

соответственно увеличить резерв. Наконец, из-за общей экономической

ситуации эффективность инвестиций может снизиться. И компании

выгоднее увеличить резерв, но при этом снизить передаваемый в

перестрахование риск и плату за него.

На практике начальный резерв создают таким, чтобы он вместе с

рисковой премией и рисковой надбавкой обеспечил вероятность

неразорения в пределах 90% - 95%. А на перестрахование передают

последующий риск. Таким образом, ответственность перестраховщика

начинается с указанной надежности, и он обеспечивает дальнейшее

повышение надежности, например, до 95% - 99% .

Заметим, что ни одна компания в отдельности, ни группа

компаний, работающих по принципу взаимного страхования, не в

состоянии обеспечить 100% надежности (вероятности неразорения).

Для этого им необходим резерв такого объема, который вместе с

собранными премиями был бы в состоянии обеспечить выплату всех N

страховых возмещений. Если предположить, например, что вероятность

p=0.1, то собранные рисковые премии обеспечивают покрытие только

10% совокупности страховых сумм.

Это означает, что совокупность страховых компаний перед

началом работы на страховом рынке должна иметь свои резервы в

размере 90% от совокупности страховых сумм, то есть в 9 раз больше

суммы премий, которые им только еще предстоит собрать. А с учетом

возможности возникновения страховых случаев у всех клиентов

одновременно сразу после внесения первого взноса (и начала

ответственности страховщика!) это соотношение приближается к 10, что

делает страхование, как бизнес, невозможным.

Таким образом, риск предпринимателя в страховом бизнесе

состоит в невозможности обеспечить 100%-ю надежность. Поэтому в

страховании можно говорить только о вероятности неразорения за

конечный интервал времени. На бесконечном интервале вероятность

разорения любого страховщика равна единице!

1.10. Аналитические и численные методы решения актуарных

задач

Возвращаясь к проблеме определения оптимальной величины

страхового резерва и оптимальных границ зоны ответственности резерва

за риск, видим, что при аналитическом подходе к решению этой

проблемы актуарий должен работать с доверительными интервалами

для числа страховых случаев.

Эта задача нетривиальна даже при сравнительно простых

распределениях числа случаев, например, при распределении Пуассона,

когда для заданного интервала необходимо определить вероятность

попадания в него. Еще сложнее обратная задача построения границ

интервала по заданной вероятности, поскольку можно варьировать

границы и получить множество приемлемых решений.

Поэтому в актуарных исследованиях широко применяется прием

аппроксимации сложных распределений более простыми, что позволяет

получить аналитическое решение. Если этот прием не срабатывает,

исследователь прибегает к численному моделированию на ПЭВМ.