Корнилов И.А. Элементы страховой математики

Подождите немного. Документ загружается.

141

случай произойдет на третьем этапе, то ущерб компенсируется в полном

объеме.)

Разумеется, различие риска страховщика в этих двух договорах

отразится и на тарифах.

В первом договоре ожидаемый ущерб страховщика (а не банкира,

так как защита – не полная!) составит:

7.0

×0.021 + 7.0×0.017 + 4.28× 0.013 = 0.147 + 0.119 + 0.056 = 0.322.

Это и есть рисковая премия, на основе которой определяется

нетто-премия и брутто-премия.

Во втором договоре ожидаемый ущерб страховщика равен:

7.0×0.021 + 5.735×0.017 + 1.811×0.013 = 0.147 + 0.097 + 0.024 = 0.268.

На основе этой рисковой премии находится тариф.

Перечисленные примеры иллюстрируют лишь некоторые

принципиальные моменты подобных договоров. На практике

страховщик, заинтересованный в заключении договора, показывает

потенциальному клиенту несколько альтернативных схем, с расчетами

не только тарифов, но и возможных выплат в различных ситуациях,

чтобы клиент, соизмерив свои стремления и возможности, выбрал

наиболее приемлемый для себя вариант страховой защиты.

8.5. Предоставление скидки страхователю за многолетнее

сотрудничество

С целью создания устойчивой клиентуры этот прием часто

практикуется на цивилизованном страховом рынке. Возможно, внешне

это и выглядит, как демпинг, но в действительности таковым не

является. Проанализируем этот процесс.

Предположим, что речь идет о страховании дома. Договор

заключается на 1 год, и по окончании этого срока стороны могут

продлить его действие. Страховой взнос – единовременный (при

заключении или возобновлении договора). Если экономическая

ситуация стабильна, то инфляцией можно пренебречь.

Для простоты иллюстрации считаем цену дома и характер

страхуемого риска постоянными. Тогда рисковая премия каждый год –

одинакова. Если объем портфеля также не претерпел существенных

изменений, и не изменилось требование к надежности, обеспечиваемой

собранной суммарной рисковой надбавкой, то и эта надбавка тоже

постоянна. Соответственно, одинаковой должна быть и брутто-премия.

Однако, страховщик предоставляет клиенту (у которого в первый

год не было страхового случая!) скидку. Т.е. «старый» клиент за

одинаковый договор платит меньше, чем «новый». Причиной этого

является, отчасти, большая предсказуемость старого клиента. Именно

так это и объясняется страховым агентом своему клиенту. Но главная

причина не в этом.

142

Пример 7. Пусть в первый год клиент заплатил: рисковую премию

+ рисковую надбавку (40% от рисковой премии) + нагрузку на ведение

дела (10% от тарифа). Т.е. он заплатил: 1.40/0.90 = 1.556 рисковой

премии.

Во второй год (т.к. у него не было страхового случая) ему при

возобновлении договора предоставлена скидка. Дело в том, что в 1-й год

рисковая премия пошла на то, чтобы уравновесить риски сторон,

нагрузка использована на ведение дела, а рисковая надбавка (если

суммарный ущерб был не больше среднего) отправлена в резерв. Это

позволяет страховщику без ущерба для надежности (и для своей

прибыли) взять с этого клиента не всю надбавку, а лишь часть ее,

например, 90%.

Тогда взнос составит: (1.0 + 0.4

×0.9)/0.9 = 1.511 рисковой премии.

Т.е. для него скидка составила: 1 – 1.511/1.556 = 0.029 или 2.9%.

На третий год (при благополучном втором!) страховщик

предоставляет еще большую скидку (он берет только 80% от надбавки).

Тогда взнос составит: (1 + 0.4

×0.8)/0.9 = 1.467 от рисковой премии. Т.е.

меньше первоначального на: 1 – 1.467/1.556 = 0.057 или на 5.7%. И т.д.

Здесь надо учесть, что на второй год страховщик добавил к

оставшейся в его распоряжении рисковой надбавки в 40% еще 36%, а в

3-й год – еще 32%! Т.е. «по справедливости» он должен был во 2-й год

(и далее!) вообще не брать рисковой надбавки с этого клиента. Тогда

взнос того составил бы 1.111 рисковой премии (меньше на 40%!) Это

слишком заметно. Страхователь может и задуматься.

Понятно, что долголетнее сотрудничество выгодно, прежде всего,

страховщику. Он не только получает «надежного» клиента, который его

«не подводит», но еще и за его счет повышает свою надежность. Но это

выгодно и страхователю. Если он обратится к другому страховщику, то

будет вынужден платить полный взнос.

Поэтому, даже если страхователь - достаточно грамотный, он не

сможет убедить страховщика предоставить ему большую скидку.

Придется довольствоваться предложенной! А страховщик объясняет

дело исключительно своей любезностью и расположением к этому

конкретному клиенту. По аналогии, например, с договором о

комбинированном страховании.

Замечание. При обсуждении предоставленной скидки мы, в

первом приближении, проигнорировали действие процентной ставки.

Неистраченная рисковая надбавка не просто сохранилась, а еще и

принесла определенный доход. Поэтому эффект усилился,

следовательно, скидка должна быть еще больше.

143

8.6. Особенности страхования космических рисков

Книга Д.А. Медведчикова /17/ является продолжением

предыдущих работ автора в этом направлении и содержит большой

объем реальных данных, а также интерпретацию изложенных фактов.

Поэтому книга интересна не только страховщикам-практикам, но и

полезна в учебном процессе. В связи с этим целесообразно остановить

внимание на примере расчета тарифа при страховании риска утери

космического аппарата (17, с. 127).

Пример 8. Число договоров: n = 15, (n

= 3, n

= 7, n

= 5).

Страховые суммы равны: S

= 80, S

= 60, S

= 90 (млн. долл.).

Общая страховая сумма:

Σn

= 3

80 + 7

60 + 5

90 = 1110.

Утерян один аппарат за 60 и один за 90, т.е. сумма выплаченных

компенсаций: 60 + 90 = 150.

Исходя из этого, автор книги, опираясь на убыточность

страховой суммы, определяет «страховую ставку»:

150/1110 = 13.5135%.

Далее автор, с учетом нагрузки в 15% и доходов страховщика в

2.5% определяет «страховой взнос» (точнее, «тарифную ставку»):

13.5135

100/(100 – 15 + 2.5) = 15.444%.

Однако, представляется, что формула – неточна! Должно быть:

13.5135

100/(100 - 15 - 2.5) = 16.38%.

Обсуждение. (Возможно, автор имел в виду нагрузку не 15%, а

10%). Однако, это можно считать «опечаткой». Более серьезным

представляется принципиальный недостаток - отсутствие даже

упоминания о рисковой надбавке, что приводит к излишне

оптимистичным для страховщика результатам. Кроме того, сомнение

вызывает сам подход, тем более, что несколько ранее (на стр. 122) автор

приводит «правильную» формулу для оценки надежности аппарата.

Отдавая должное квалификации автора книги и его

компетентности в содержательной стороне вопроса, следует отметить,

что с вероятностно-статистических позиций приведенная методика

расчета тарифа содержит существенные неточности. Убыточность

страховой суммы может дать хорошее представление о вероятности

ущерба только при однородном портфеле большого объема. А в данном

примере это условие не выполняется.

Поэтому методика расчета должна быть иной. Для большей

наглядности сначала мы проигнорируем различие страховых сумм и

будем считать, что надежность аппаратов одинакова, т.е.

характеризуется одной и той же (неизвестной) вероятностью. Тогда

оценкой этой вероятности “p” будет частость “m/n”.

Если n и p малы, то возможна ситуация, когда m = 0, (т.е. m/n = 0).

Создается иллюзия нулевой вероятности страхового случая (и

соответственно, нулевой рисковой ставки!). Понятно, что в реальности

144

так быть не может! В теории вероятностей и математической статистики

есть задача построения доверительного интервала для генеральной доли

/23, 27/. В частности, при m = 0, очевидно, что левая граница

доверительного интервала есть 0, а правая граница (в соответствии с

принципом практической невозможности событий, вероятность

которых близка к 0, т.е. меньше, чем 1 - γ), определяется из условия:

P{ 0 < p < 1 - (1 - γ)

1/n

} = γ

В данном примере n = 15, γ = 0.999 (из содержательных

соображений для космического аппарата брать меньшую доверительную

вероятность попадания в интервал нецелесообразно; однако, далее это

обстоятельство будет проанализировано). Тогда

1 - γ = 0.001, т.е. 0.001

1/15

= 0.631; 1 - 0.631 = 0.369 = 37%.

Итак, вероятность возникновения страхового случая может

достигнуть 37%, и практически не может превзойти это значение.

Нетрудно посчитать, что при нетто-ставке в 37% брутто-ставка

составит: 37

100/(100-15-2.5) = 44.48%. Вряд ли страхователь согласится

платить столь высокую цену! Придется прибегнуть к перестрахованию

(о чем шла речь в книге, но без объяснения причин, тем более без

иллюстрации на числовом примере).

Но эти результаты получены в предположении об отсутствии

страховых случаев в прошлом (m = 0). Посмотрим, как изменятся

результаты, если страховые случаи раньше произошли (m = 2).

Тогда доверительный интервал для вероятности определяется из

формулы Бернулли. Алгоритм изложен, например, в кн. /23/. Пусть k

число успехов при n испытаниях. Тогда функция распределения:

F(m; p) = P{k ≤ m} =

∑

k-nkk

p)-(1pC

убывает с ростом p, так как ее производная отрицательна:

dF/dp =

∑

k-n1-kk

p)-(1kpC

∑

1-k-nkk

p)-(1k)p-(nC

0p)(1pnC

1mnmm

<−⋅⋅−

−−

−

Обозначим: m

(p) наименьшее целое число, для которого:

– F(m

(p);p) ≥ 1 – γ.

Тогда (m

(p)-1) - наибольшее целое число, для которого:

F(m

(p) - 1; p) < γ.

Пусть: α = 1 - γ. Представим α в виде: α = α

+ α

. Тогда с

вероятностью ≥ γ имеем условие:

)()(

pmkpm

αα

≤

−

Каждое неравенство решается на основе уравнения: y = m

(p).

Его решение относительно р обозначим: m

-1

(y). Тогда:

145

)()(

pkmpkmp =≤≤=

−

αα

Это двойное неравенство, задающее доверительный интервал для

р, выполняется с надежностью не ниже γ (коэффициент доверия).

При малом n решение этого двойного неравенства может быть

найдено с помощью таблиц биномиального распределения /2/ (табл. 5.2).

Например, k = 2, n – k = 13.

γ = 0.95, γ = 0.975, γ = 0.995,

0.024 < p < 0.363 0.017 < p < 0.405 0.007 < p < 0.486.

Видно, что правая граница стремительно смещается вправо при

повышении требований к надежности. На практике это означает

увеличение ставки при малой выборке, т.е. отсутствии (или

недостаточности) информации о процессе.

Некоторое неудобство использования указанных таблиц вызвано

фиксированными значениями γ. Однако, это легко преодолевается с

помощью, например, системы MathCAD, которая позволяет

генерировать широкий спектр законов распределения.

Для сопоставимости построим доверительные интервалы с m = 0.

γ = 0.95, γ = 0.975, γ = 0.995,

0 < p < 0.181 0 < p < 0.218 0 < p < 0.298.

Видно, что в зависимости от требуемой надежности нетто – ставка

составляет от 18% до 30% даже при отсутствии страховых случаев в

прошлом. При наличии 2-х случаев в тех же 15 испытаниях нетто –

ставка существенно повышается и составляет уже от 36% до 49%.

Замечание. Если правая граница доверительного интервала для

генеральной доли характеризует нетто-ставку, гарантирующую

определенную надежность, а точечная оценка “m/n” – рисковую ставку,

обеспечивающую эквивалентность обязательств сторон, то их разность

указывает рисковую надбавку. Очевидно, что в данном примере из-за

малого объема выборки эта надбавка слишком велика. Поэтому крайне

ограничена возможность использовать надбавку для повышения

устойчивости страхования. Но приведенные расчеты позволяют оценить

потребность в средствах!

Обобщение. Рассмотрев ситуацию с однородными (в смысле

одинаковых страховых сумм и вероятностей возникновения страхового

случая) рисками, можно обобщить эту задачу в следующих

направлениях:

- одинаковые вероятности, но разные суммы;

- разные вероятности, но одинаковые суммы;

- разные вероятности и разные суммы.

146

Все эти задачи подробно проанализированы в кн. /10/. Вместе с

тем следует отметить, что малые значения n

в данном примере

затрудняют использование приема объединения разных субпортфелей в

один портфель.

Предложение. В данных обстоятельствах при определении тарифа

представляется более целесообразным использовать идею «подобного

риска» /6/. Одна составляющая соответствует ситуации с отсутствием

страховых случаев в прошлом (например, при переходе на новую

технику), а вторая – учитывает информацию о подобном риске

(страховые случаи с предыдущими моделями). Разумеется, весовые

коэффициенты придется пересчитывать после каждого запуска.

Выводы. Полученные численные результаты объясняют

некоторые моменты, отмеченные в книге /17/. В частности, наличие

временного интервала, когда выплаты существенно превышали сборы, и

страховщики терпели убытки. Это – следствие ориентации на

убыточность страховой суммы при невозможности (или трудоемкости)

количественно оценить характеристики объективного риска. Кроме того,

высокие ставки вызывают сомнения в целесообразности страхования

риска. А снижение тарифа достигается за счет рисковой надбавки, что

отражается на устойчивости. Быстрое изменение конструкций также

уменьшает объем выборки. Компенсировать это увеличением

относительной надбавки нельзя. Поэтому приходится прибегать к

перестрахованию (со всеми изложенными в книге последствиями).

147

9. Анализ поведения страховщика на страховом рынке

9.1. Анализ однородного страхового портфеля с применением

нормальной аппроксимации

В одном из ранее рассмотренных примеров (о рисковой надбавке)

страховщик не смог решить свои проблемы за счет средств, собранных в

виде премий.

Пример 1. Напомним: n=1000, p=0.1; исследовать процесс.

Решение. Показано: M(m)=np=100, D(m)=npq=90,

=9.49,

тогда при

=0.1 : P(m<np(1+

)=110) = 1 - 0.145 = 0.855,

а если P(m<116.6

≅

117) = 0.96 , то

1 = 0.166 > 0.1 .

Если на рынке установилась средняя относительная рисковая

надбавка 10% , то произвольно повысить ее до 16.6% страховщик не

может из-за конкуренции. Поэтому он вынужден для повышения своей

надежности либо вкладывать свои средства (т.е. капитал) – создать

начальный резерв, либо прибегнуть к перестрахованию. (Собственные

средства играют роль резерва для повышения устойчивости

страхования.)

Пример 2. Рассмотрим первую возможность. Собранные нетто-

премии обеспечивают возможность выполнить свои обязательства по

выплате возмещений, если число страховых случаев не превысит 110. А

для надежности 96% необходимо иметь возможность оплатить случаи

до 117-го включительно. Отметим, что 117-й случай либо произойдет,

либо нет, поэтому необходимо округлить 116.6 до ближайшего целого

большего числа.

Итак, страховщику не достает средств для выплаты 7 страховых

случаев, т.е. ему нужен капитал в размере 7 страховых возмещений.

Например, если страховая сумма равна 500, то капитал, при котором

гарантируется заданная надежность, равен 7

×500=3500, а не

6.6

×500=3300.

Пример 3. Если у страховщика своих средств для резерва нет,

(или он считает целесообразным пустить свои средства в оборот),

заключается договор о перестраховании. Распределим зоны

ответственности.

При 0<m<np(1+

θ )=110 страховщик выплачивает возмещение за

счет собранных нетто-премий. При 110=np(1+

)<m<np+st=117

ответственность делится между страховщиком и перестраховщиком.

Первый выплачивает фиксированное число возмещений: np(1+

θ )=110, а

второй – все остальное: m-np(1+

)=m-110. Наконец, при m>np+st=117

148

риск не обеспечен, это и составляет предпринимательский риск

страховщика. (Страховщик считает, что в его портфеле не может

произойти более 117 случаев. Поэтому он не принимает мер на случай

этой ситуации. Он не создает резерв, и не вносит в перестраховочный

договор условие выплаты перестраховщиком возмещения в 118-м

страховом случае. Т.е., если произойдет 118-й страховой случай,

возникнет техническое разорение цедента.)

Отметим, что левая граница ответственности перестраховщика

может быть сдвинута. За перестрахование надо платить, своих средств у

страховщика нет, поэтому он пытается расплатиться деньгами своих

клиентов. (В принципе, страховщик всегда использует деньги клиентов

для решения возникающих проблем. Здесь имеется в виду собранная в

этом году единовременная суммарная нетто-премия.)

Он собрал взносов на сумму: 110

×500=55000, а средние

ожидаемые выплаты составляют 100

×500=50000, поэтому ожидаемая

прибыль (до перестрахования) составит 5000. Страховщик делится

ожидаемой прибылью с перестраховщиком для повышения своей

надежности. Но это означает, что собранных средств недостаточно для

оплаты возмещения, по крайней мере, 110-го случая.

Обсуждение. Весь риск X можно разбить на 3 части: Y – риск

страховщика, Z – риск перестраховщика, W – необеспеченный риск.

Очевидно, X=Y+Z+W, тогда M(X)=M(Y)+M(Z)+M(W); но с

дисперсиями это не так. Есть ковариация. Для анализа дисперсии (и

процесса, в целом)надо выбрать аппроксимацию. Поскольку p=0.1 >>0 ,

то применить закон Пуассона нельзя, но допустима нормальная

аппроксимация.

Однако, надо быть готовым к появлению неточностей, вызванных

этим. Например, потерей «хвостов» нормального распределения,

невозможностью принять отрицательные значения, погрешностями при

замене дискретного распределения непрерывным, различием

результатов при использовании локальной теоремы Лапласа и

интегральной теоремы Лапласа и т.д. (Кстати, если ущерб фиксирован,

т.е. общий ущерб в портфеле – кратен числу страховых случаев, то

локальная теорема – предпочтительнее!). Наконец, есть и

вычислительные погрешности.

Это обстоятельство иллюстрирует сложность актуарных задач. В

учебном курсе демонстрируется лишь принципиальный подход. На

цивилизованном страховом рынке, в условиях жесткой конкуренции

выигрывает тот, кто считает точнее!

Итак, надо найти M(X), M(Y), M(Z) (и возможно, M(W) ).

Для нормального закона распределения X

∼ N(µ, σ) плотность:

()

2σ

µx

2πσ

−

; выполняется условие:

149

1f(x)dx =

∫

+∞

∞−

;

µf(x)dxxM(x) =⋅=

∫

+∞

∞−

; тогда понятно, что при сужении

интервала интегрирования до (0, n) интеграл от положительной функции

уменьшится, поэтому математическое ожидание всего риска X будет

несколько меньше, чем

µ=np.

Для дальнейшего нам понадобится

∫

⋅

f(x)dxx

, при разных a, b .

Обозначим этот интеграл через J(a,b) .Итак, установлено, что

M(X) = J(0,n)

≅ np (но < np);

M(Y) = J(0,np+np

) + (np+np

) ⋅

∫

npqtnp

np θnp

f(x)dx

=J(0,110) + 110

⋅

∫

117

110

f(x)dx

;

M(Z) = J(np+np

, np+σt) – (np+np

) ⋅

∫

npqtnp

npθnp

f(x)dx

= J(110,117) – 110

⋅

∫

117

110

f(x)dx

;

M(W) = J(np+

σt, n) =J(117, 1000).

Для вычисления интеграла типа J сделаем замену переменных,

традиционную при работе с нормальным распределением:

npx

−

Тогда: x=np+

σt, dx=σ⋅dt, t1=(a-np)/ σ, t2=(b-np)/σ; следовательно:

()

[]













−+⋅=

=+−⋅=+

+=+=⋅⋅

−−

−

∫∫

∫∫∫

2σ

µx

2π

∆Φ

dte

2π

)Φ(t)Φ(t

µdtte

2π

dte

2π

µσdte

2πσ

tσµdxe

2πσ

Итак, необходимо только вычислить t1, t2 и использовать свойства

экспоненты и функции Лапласа.

150

1) M(X)=J(0, n)=J(0, 1000); на практике: n>>np (1000>>100), и

при большом портфеле n: np>>

σ =

npq

(100>>9.49),

поэтому t1 = (0-np)/

σ = -np/σ = -100/9.49 =-10.53 < -5;

t2 = (n-np)/

σ = 900/9.49 = 95 >>5,

т.е. Ф(t1)

≅ -1 , Ф(t2) ≅ +1; т.е. M(X) ≅ np = 100.

2) M(Y)= J(0, np+np

) + (np+np

) ⋅

∫

npqtnp

npθnp

f(x)dx

=J(0, 110) + 110

∫

117

110

f(x)dx

= ?

t1=-np/

σ=-10.53; t2=np

/σ=1.053; Ф(t1)=-1; Ф(t2)=0.708;

J=50

⋅(1+0.708) + 9.49/2.51⋅ (e

-55.1

– e

-0.555

) =

=85.4 – 3.78

⋅0.575 = 85.4 – 2.17 = 83.23;

110

⋅

∫

117

110

f(x)dx

= 110⋅0.5(Ф(t) – Ф(np

/σ)) =

=55

⋅(Ф(1.79) – Ф(1.053)) = =55(0.9265 – 0.7077) = 12.034.

Итак, риск страховщика после перестрахования составил:

M (Y) = 83.23 + 12.034 = 95.26 < 100 .

3) M(Z) = J(np+np

θ , np+σt) – 12.03 = J(110, 117) – 12.03 .

Здесь: t1 = 1.053; t2 = t = 1.79;

J = 50

⋅(Ф(1.79) - Ф(1.053)) + 3.78(e

-0.555

– e

-1.602

) = 50(0.9265 -

0.7077) + 3.78(0.575-0.201) = 10.94 + 1.77 = 12.71.

Следовательно: M(Z) = 12.71 – 12.03 = 0.68.

На практике необходимо указать, кто возмещает 110 – й случай.

Поэтому:

M(Z) = J(110.01 ; 117) – 12.03.

Риск перестраховщика достаточно мал, что объясняется

сравнительно большим n. Интересно, что суммарный риск страховщика

и перестраховщика равен 95.26 + 0.68 = 95.94 < 100. Это из-за отказа от

100% -й надежности. Разность 4.06 должна составить необеспеченный

риск.

4) M(W) = J(np+

σt, n) = J(116, 1000) =

=50(1 - Ф(1.79)) + 3.78(e

-1.602

– e

-100

) = 50(1-0.9265) + 3.78×0.201 =

=3.68 + 0.76 = 4.44, т.е. M(W) = 4.44.

Подведем итоги: 95.26 + 0.68 + 4.44 = 100.38 > 100. Несовпадение

объясняется приведенными в начале раздела факторами. Отметим, что

страховщик может рассчитывать на увеличение своей ожидаемой

прибыли до 110-95.26 = 14.74 возмещений (7370). А за перестрахование

придется заплатить всего 0.68

⋅1.15 = 0.782 е.с.с. (391 у.е.), что вполне

приемлемо! Разница зачисляется в резерв, что позволит в будущем