Корнилов И.А. Элементы страховой математики
Подождите немного. Документ загружается.
171
Производящая функция суммы двух независимых случайных
величин равна произведению их производящих функций (см., например,
Феллер).
Итак: f(z) = 0.8×z
0
+ 0.1×z
1
+ 0.1×z
2
. Тогда для суммы 4-х СВ:
f1(z) ⋅f2(z) ⋅f3(z) ⋅f4(z) = (f(z))
4
= 0.1
4
⋅ (8 + z + z
2
)
4
= … =
= 10
(-4)
⋅ (4096 + 2048z + 2432z
2
+ 800z
3
+ 481z
4
+ 100z
5
+ 38z
6
+ 4z
7
+ z
8
).
Отбирая коэффициенты при степенях z, получаем искомые
вероятности (те же самые, которые получили ранее!).
9.6.
Объединение дискретных рисков
Проблема
объединения рисков в страховом бизнесе занимает одну
из ключевых позиций, и поэтому актуарии уделяют ей особое внимание.
Идея базируется на естественном предположении, что если для
однородного портфеля вероятность одновременной реализации
большого числа страховых случаев пренебрежимо мала, то еще менее
вероятно совпадение пиков выплат для различных портфелей (в
условиях независимости). Поэтому создается возможность оперативного
маневрирования резервами страховой компании. Это позволяет снизить
свой начальный капитал без ущерба для надежности.
Именно данное обстоятельство стимулирует компании расширять
круг своих интересов и при этом пытаться вторгнуться в чужую сферу
влияния в условиях жесточайшей конкуренции между страховщиками.
Вопрос в том, успеет ли компания собрать значительную сумму
страховых взносов прежде, чем на нее обрушится лавина требований о
выплате возмещений.
И, чтобы выдержать эту экстремальную нагрузку, необходимы
резервы, которые были созданы раньше (в других группах договоров).
Поэтому, планируя политику компании на страховом рынке, актуарий
обязан не только рассчитать общий объем ожидаемых требований, но и
оценить интенсивность потока требований на каждом отрезке времени.
В идеале он стремится так спланировать процесс, чтобы
развести пики
выплат
по разным рискам (частям портфеля).
Разумеется, здесь можно проиллюстрировать лишь самые простые
задачи этого комплекса, которые, однако, могут дать предварительное
представление о проблеме.
Рассмотрим случай слияния двух (или большего числа) компаний.
Здесь возникает проблема объединения однородных рисков в один
портфель. Преимущества более крупного портфеля достаточно
подробно изложены выше. Поэтому в данном разделе рассмотрим
технические вопросы этого объединения. В первую очередь нас будет
интересовать, какие именно риски можно объединить на самых простых
условиях.
172
Пример 16. Первая компания имеет портфель (n
1
=400; p
1
=0.01;
λ
1
=4), а вторая: (n
2
=600; p
2
=0.01; λ
2
=6) и (n
3
=200; p
3
=0.02; λ
3
=4).
Можно ли объединить первую группу договоров со второй или
третьей? На что ориентироваться: равенство
вероятностей или
интенсивностей? (Свойства пуассоновских потоков “неизвестно”)
9.7.
Однородные риски
Пример 17. Очевидно, объединять «арифметически» можно только
однородные группы с одинаковыми вероятностями, то есть первую и
вторую (p
1
= p
2
). Тогда в новой группе: n= n
1
+ n
2
= 1000; λ = λ
1
+λ
2
= 10.
Рассмотрим первый субпортфель:
n = 400 p = 0.01
λ = 4
k Pk
Σ Pk k⋅Pk
. . . . . . . . . . . .
4 0.195 0.629 0.781
5 0.156 0.785 0.781
6 0.104 0.889 0.625
7 0.059 0.949 0.417
8 0.030 0.979 0.238
9 0.013 0.992 0.119
10 0.005 0.997 0.053
11 0.002 0.9991 0.021
Аналогично можно получить значения вероятностей и для второго
субпортфеля:
n = 600 p = 0.01
λ = 6
k Pk
Σ Pk k⋅Pk
. . . . . . . . . . . .
6 0.161 0.606 0.964
7 0.138 0.744 0.964
8 0.103 0.847 0.826
9 0.069 0.916 0.619
10 0.041 0.957 0.413
11 0.023 0.980 0.248
12 0.011 0.991 0.135
13 0.005 0.996 0.068
14 0.002 0.9986 0.031
15 0.001 0.9995 0.013
Страховщик вправе рассчитывать на повышение устойчивости
компании при этом объединении. Предполагается, что можно снизить
суммарный начальный резерв без ущерба для надежности (вероятности
неразорения).
Анализируя каждый из этих вариантов аналогично ранее
рассмотренному примеру, получим для (600; 0.01; 6). Суммарные
173
рисковые премии равны 6 и обеспечивают только 60% вероятность
неразорения. Рисковая надбавка в 10% (0.6) не позволяет обеспечить
выплату возмещения для 7-го случая. Если требуется обеспечить
надежность 0.9 (что в реальности недостаточно), то необходим
начальный резерв для выплаты возмещения в 7-м, 8-м, 9-м страховых
случаях, т.е. 3 - 0.6 = 2.4 е.с.с.
Аналогично, при надежности 0.95 требуется обеспечить выплату
7-10 случаев, т.е. нужен начальный резерв 3.4 е.с.с., а для надежности
0.99 (используемой на практике) обеспечение 7-12 случаев резерв 5.4
е.с.с. Для обеспечения «сверхнадежности» 0.999 потребуется резерв 8.4
е.с.с., чтобы оплатить требования 7-15.
Для второй группы (400; 0.01; 4) получим аналогичные
результаты. Собранная сумма рисковых премий обеспечит надежность
менее 63% и оплаты первых 4-х случаев. Надбавка равна 0.4 и не
обеспечивает 5-й случай. Для надежности 0.9 необходим резерв в 2.6
е.с.с. и соответственно:
0.95 3.6
0.99 4.6
0.999 6.6
Сравним сумму результатов по этим двум группам с результатами
по «объединенной» группе.
Надежность 0.9 0.95 0.99 0.999
сумма резервов 2.4+2.6=5 3.4+3.6=7 5.4+4.6=10 8.4+6.6=15
общий резерв 3 4 7 10
Таким образом, с точки зрения соотношения между надежностью
и величиной резерва преимущества объединенного портфеля очевидны.
Однако мы еще не анализировали перестрахование.
Необходимо для каждого малого портфеля определить
оптимальную политику перестрахования и сравнить сумму цен этих
двух перестраховочных договоров с ценой договора о перестраховании
для объединенного портфеля.
Проведя выкладки аналогично группе (1000; 0.01; 10), получим.
Для группы (600; 0.01; 6) (напомним, что передаваемый риск начинается
со следующей единицы после последней удерживаемой):
Надежность Удерживаются передаются резерв цена договора
0.9 1 – 6 7 - 9 0 0.62
0.95 1 – 7 8 - 10 0.77 0.42
и т.д.
Например, при надежности 0.9 надо обеспечить оплату случаев: 7-9.
174
Если передаются на перестрахование случаи (7-9), то риск
перестраховщика:
0.550.3162.410.069)0.103(0.13860.62)0.83(0.96
Pk6kPk6)(kPk
9
7
9
7
9
7
=⋅−=++⋅−++=
=⋅−⋅=−⋅
∑∑∑
Рисковая премия за перестрахование 0.55, тогда нетто-премия
0.62.
Оказывается, рисковой надбавки достаточно для оплаты договора
о перестраховании. Идеальная ситуация для страховщика, но
надежность слишком мала.
Для надежности 0.95 передаются 7-10 случаи и сумма
соответственно равна: 0.55 + (0.41 - 6⋅0.0413) = 0.71. Этой рисковой
премии соответствует нетто-премия 0.80. Невозможно оплатить услуги
перестраховщика за счет текущих взносов своих клиентов. А выплата
разницы (0.80 - 0.6 = 0.20) из средств самого страховщика приводит к
разорению компании, что не входит в ее планы. И надежность
недостаточна.
Поэтому страховщик передает перестраховщику только риски по
случаям 8-10. Тогда:
0.571.491.860.21371.86
0.041)0.069(0.10370.41)0.62(0.837)(kPk
10
8
=−=⋅−=
=++⋅−++=−⋅
∑
Соответственно, для надежности 0.95 рисковая премия 0.37
означает нетто-премию 0.42 е.с.с.
Следовательно, надбавки 0.6 достаточно для оплаты
перестрахования, и для покрытия риска по 7-му случаю создается
начальный резерв из своих средств: 7+0.42-6.6=0.82 .
Аналогичные расчеты для передачи на перестрахование случаев
9-10. Предположим, что с учетом процентной ставки наиболее
рациональным является именно рассмотренный вариант, где создается
резерв в 0.82, удерживаются риски 1-7 случаев и передаются риски 8-10
случаев. Видно, что перестрахование стабилизирует ситуацию.
Далее можно рассмотреть вариант с надежностью 0.99 и для него
выбрать оптимальное поведение. В реальности все эти методы
запрограммированы, что позволяет указать итоговое решение, минуя
промежуточные результаты.
Теперь проанализируем перестрахование второго «малого»
портфеля (λ = 4).
При надежности 0.9 оставляем риск 1-4, передаем 5-7, надбавка
0.4, риск перестраховщика:
175
0.551.281.830.060)0.104(0.15640.420.630.78
Pk4Pkk4)(kPk
7
5
7
5
7
5
=−=++⋅−++=
=⋅−⋅=−⋅
∑∑∑
НП = 0.62. То есть надбавка не обеспечивает оплаты
перестрахования и поэтому этот вариант не удовлетворительный. И
надежность мала (этот вариант на практике бракуется сразу из-за
надежности).
Для иллюстрации продолжим рассмотрение вариантов с
надежностью (0.9). Передаем только 6-7 случаи. Тогда риск
перестраховщика:
0.230.821.050.060)(0.10450.42)(0.63
Pk5Pkk5)(kPk
7
6
7
6
7
6
=−=+⋅−+=
=⋅−⋅=−⋅
∑∑∑
НП = 0.26. Следовательно, надбавка позволяет оплатить
перестрахование, но необходимо из своих средств создать резерв:
1- (0.4 - 0.26) = 0.86.
Аналогично анализируется надежность 0.95. На основании
предыдущего варианта ясно, что передавать 5-й случай
нецелесообразно. Поэтому анализируем ситуацию передачи 6-8 случаев.
0.330.961.290.19251.29
0.029)0.059(0.10450.24)0.42(0.635)(kPk
8
6
=−=⋅−=
=++⋅−++=−⋅
∑
НП= 0.37. Тогда необходим начальный резерв: 1 - (0.4 - 0.37) = 0.97.
Поскольку собранные рисковые премии составляют 4, а нетто-
премии равны 4.4, то дальнейшее увеличение резерва нецелесообразно.
(Это можно и проверить.) Поэтому остановимся на данном варианте. В
реальных расчетах на ПЭВМ введение подобных ограничений позволяет
существенно уменьшить перебор вариантов.
Итак, для потока (λ = 4) результаты можно свести в таблицу:
Надежность Оставленные переданные резерв риск перестраховщика
0.9 1-5 6-7 0.86 0.26
0.95 1-5 6-8 0.97 0.37
176
Объединив результаты по двум «малым» потокам, получим:
Надежность Оставленные переданные резерв риск
перестраховщика
0.9 5+6=11 12-16 0.86+0=0.86 0.62+0.26=0.88
0.95 5+7=12 13-18 0.77+0.97=1.74 0.42+0.37=0.79
В то же время для объединенного портфеля (λ = 10) получим :
Например,
0.39;0.3942.422.8140.220112.814
0.052)0.073(0.095110.729)0.948(1.137Pk11)(k
14
12
≅=−=⋅−=
=++⋅−++=⋅−
∑
0.53.0.3850.9150.035)11(0.5210.394Pk11)(k
15
12
=−=⋅−+=⋅−
∑
Если РП=0.39, то НП=0.44, и для РП=0.53 НП=0.60
Итак:
Надежность Оставленные переданные резерв риск
перестраховщика
0.9 1-11 12-14 0.44 0.44
0.95 1-11 12-15 0.60 0.60
Собранной НП (11) достаточно для оплаты всех удерживаемых
случаев (до 11-го включительно). Поэтому перестрахование
оплачивается из резерва (величины совпали). Разумеется, такое
совпадение – частный случай, но интересный!
И в этом случае преимущества большого портфеля очевидны (и по
цене перестрахования, и по величине резерва), причем по мере
повышения надежности эти преимущества становятся все рельефнее. В
качестве самоконтроля рекомендуется проверить это для вероятности
неразорения 0.99.
9.8.
Неоднородные риски
При объединении групп с различными рисками (p
1
=0.01; p
2
=0.02)
ситуация несколько усложняется, здесь возникает аналог схемы
взаимного оказания услуг по перестрахованию. Идея в том, что в обеих
группах пики выплат возмещений, как правило, приходятся на разные
моменты времени. Это несовпадение и позволяет «перекачивать»
средства из одного портфеля в другой, т.е. иметь меньший суммарный
начальный резерв.
Если дело происходит в рамках одной страховой компании, то не
важно, где какой резерв создается, поскольку резервы - общие. И не
важно, кто, кому, на какую сумму оказывает услуги, и каков риск
каждой подгруппы. То есть ответственность первого портфеля по
отношению ко второму может не совпадать с противоположной
ответственностью.
177
Совсем иначе обстоит дело в том случае, если две различные
компании оказывают друг другу услуги по
взаимному перестрахованию.
Здесь есть только один очевидный (но практически не встречающийся)
вариант с
равной ответственностью. Если оба портфеля абсолютно
одинаковы. n
1
=n
2
; p
1
=p
2
, тогда и λ
1
=λ
2
.
Во всех остальных случаях (n
1
≠n
2
или p
1
≠p
2
даже при λ
1
=λ
2
)
необходимо рассчитывать условия договора, обеспечивающие
соответствие между передаваемыми друг другу рисками размерами
оплаты этой передаваемой ответственности. И решение этой задачи не
сводится к арифметической разности цен перестрахования. (Но в первом
приближении, для оценки разбалансированности взаимных обязательств
этот подход вполне приемлем.)
Пример 18. Проиллюстрируем объединение двух пуассоновских
потоков с различными значениями вероятностей p
1
и p
2
.
Есть два потока (500; 0.02; 10) и (400; 0.01; 4). Отметим, что
распечатки этих двух потоков в отдельности ранее уже
проанализированы: второй поток - явно, а первый имеет те же значения
вероятностей, как и поток (1000, 0.01, 10), потому что в пуассоновских
потоках все определяется значением параметра λ, а у этих двух потоков
λ=10.
Решение. Для первого известны вероятности P1(m1=k1),
k1=0,1,2,..., 21; для второго, соответственно, P2(m2=k2), k2=0,1,2,..., 11.
Последующие вероятности можно считать нулевыми. Составляем
матрицу P1⋅P2 размера 21⋅11. А затем с помощью этой матрицы
находим вероятности сложных событий.
P(m1+m2 = k) = Σ P((m1=k1)∧(m2=k2)) , k
1
+k
2
=k.
Например, если k=12 , то следует учесть, что не имеет смысла
рассматривать k2>11 (вероятность такого события практически равна 0).
Тогда получим:
P(m1+m2=12) =
= P((m1=12)∧(m2=0)) + P((m1=11)∧(m2=1)) + ... +P((m1=1)∧(m2=11)) =
= 0.095⋅0.018 + 0.114⋅0.073 + ... + 0.019⋅0.030 + 0 + 0 =
= 0.002+0.008+0.018+0.025+0.023+0.015+0.007+0.002+0.001 = 0.101
Итак, P(m1+m2=12)=0.101. Аналогично определяются все
остальные вероятности. (Если теперь “вспомнить”, что для
пуассоновских потоков можно просто складывать интенсивности, то
получим: P(m=12/λ=14)= 0.098, расхождение объясняется округлениями
на промежуточных этапах.) Целью данного примера была иллюстрация
принципа объединения.
Замечание. В непрерывном случае сумма превращается в
интеграл, а вся операция получила название «
свертки функций» /27/,
которая широко используется в актуарных расчетах /6, 22, 24, 25, 26/.
(Принцип свертки см. в Приложении.)
178
Теперь можно определить более интересную для страховщика
вероятность того, что число случаев в двух потоках вместе
не превысит
заданного числа, P(m1+m2<k) = ΣP
r
{m1+m2=i}; i=0,1,...,k . Это и есть
вероятность неразорения.
Пример 19. Для решения этой задачи сначала строится
распределение в каждом субпортфеле отдельно. Далее можно составить
таблицу, аналогичную таблице для одного потока, где будут указаны: k,
P(m=k), P(m<k), k⋅P(m=k),
∑
=
=⋅
k
0i
i)P(mi
.
Это позволит решить аналогичную задачу, то есть при различной
надежности (вероятности неразорения) найти величину начального
резерва и плату за перестрахование. Отметим, что числа внутри таблицы
характеризуют
плотность двумерного распределения.
В частности, выделена диагональ: m1+m2=12. Просуммируем
значения:
0.002+0.008+0.018+0.025+0.023+0.015+0.007+0.002+0.001=0.101
Аналогично определяются значения для других диагоналей,
соответствующих общему числу страховых случаев: 11, 10, и т.д.
Суммируем эти числа и получаем вероятность того, что число
страховых случаев в объединенном портфеле не превысит 12.
k2 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
k1 P1/P2 .018 .073 .146 .195 .195 .156 .104 .059 .030 .014
0 0
1 0
2 .002
3 .008 0
4 .019
0.001
5 .038
0.002
6 .063
0.007
7 .090
0.015
8 .113
0.023
9 .125
0.025
10 .125
0.018
11 .114
0.008
12 .095
0.002
13 .073
14 .052
15 .035
16 .022
17 .013
18 .007
19 .004
20 .002
21 .001
179
Замечание. Рассмотренные примеры показывают, что задача
определения тарифов не является
единственной для актуария. Это даже
не
основная его задача. Она занимает весьма небольшую часть его
рабочего времени. И решается
единовременно при установлении
тарифов на
следующий финансовый год. Здесь учитываются и
собственные данные, и рекомендации «С
трахнадзора» или актуарного
центра. Сравниваются свои тарифы со средними на рынке и
оцениваются позиции своей компании. Выводы по этому разделу
актуарных исследований являются одним из факторов для выработки
рекомендаций по
политике компании на рынке.
Но для решения этой (глобальной для компании) задачи более
важной является оценка
вероятности разорения компании и тесно
связанная с этим оценка
динамики активов. Данную задачу необходимо
решать
периодически, причем тем чаще, чем менее устойчиво положение
компании.
Актуарий обязан немедленно информировать правление компании
о приближении величины активов к
критическому рубежу, а также о
выявленной
устойчивой тенденции к снижению активов. При этом он
обязан дать объяснение
причин такого снижения и свои рекомендации по
стабилизации.
Активы могут снижаться вследствие определенных действий
компании на страховом рынке (предпринятой попытке завоевания новой
ниши и связанного с этим снижения цен на свои услуги, открытия
филиалов на новой для себя территории, взятия на себя обязательств
другой компании из-за объединения или по договору о перестраховании
и т.д.).
В таких случаях подобная тенденция предусмотрена при
составлении соответствующего плана и тогда актуарию надо только
следить за отклонениями фактического положения дел от
прогнозируемого.
Ситуация резко осложняется при возникновении
непредусмотренной тенденции. Здесь особенно актуальны оперативная
диагностика
причин и выработка предложений по стабилизации. На
практике это может быть вызвано, например, неоправданным принятием
на страхование некоторых рисков.
Естественно, очень важной является задача исследования
зависимости вероятности разорения за определенный период от
начальной величины резерва. Временной интервал в страховании может
быть достаточно велик (несколько лет), но он всегда конечен, поскольку
на бесконечном временном интервале любая компания разоряется с
вероятностью 1. Решение этой задачи позволяет планировать поведение
компании на страховом рынке.
180
9.9.
Особый случай
До сих пор мы рассматривали ситуацию, когда
один договор мог
породить
не более одного страхового случая. При обоснованном
требовании страховщик выплачивал возмещение, т.е. выполнял свои
обязательства, и на этом действие договора
прекращалось, хотя стороны
могли составить
новый договор.
Однако возможна ситуация, когда, согласно договору, например, в
автотранспортном страховании, страховщик несет ответственность в
течение
определенного времени, даже, если возникнет несколько
страховых случаев, т.е. когда один договор может породить
несколько
исков.
Если ущерб в i-м случае равен Yi, то общий ущерб составит:
X = ∑ Yi , i = 1, …, k . Предполагается, что Yi – независимы, хотя,
в действительности, это условие не всегда выполняется; например,
автомобиль после ремонта имеет больше шансов попасть в аварию, чем
новый. Следует также учитывать, что на частоту наступления страховых
случаев могут влиять одни факторы (например, возраст водителя), а на
величину предъявляемого иска – другие (марка автомобиля). Поэтому
предварительно весь портфель разбивается на несколько однородных
субпортфелей. Вначале предположим, что портфель однороден, и
проанализируем X.
[] [ ]
[ ] [] [] []
;YMkMYMnnkP
nk YiMnkPYiMXM
1n
1n
k
1
k
1
⋅=⋅⋅==
=
=⋅==
=
∑
∑∑∑
∞
=
∞
=
[]
[]
[]
()
[]
()
()
()
()
[]
()
[]
;YM1)k(kMYMkM
M(Y)M(Y)
2
1nn
2YMnnkP
YY2YMnkP
YMnkPYMXM
2
2
1n
2
1nji
ji
k
1
2
i
1n
2
k
1
i
2
k
1
i
2
⋅−+⋅=
=
⋅⋅
−⋅
⋅+⋅⋅==
=
⋅⋅+⋅==
=
⋅==
=
∑
∑∑∑
∑∑∑
∞
=
∞
=≠
∞
=