Корнилов И.А. Элементы страховой математики

Подождите немного. Документ загружается.

181

[]

()

[]

()

[]

() ( )

[]

()

() ()

()

[]

()

[]

()

[]

()

[]

() ( ) ( )()

[]

()

()()

[]

()

[]

() ( )

[]

() () () ()

[]

.YMkDYDkM

YMkMYMkMkMYMYDkM

YMkMYMkMkMYMkM

YMkMYM1)k(kMYMkM

M(X)XMXD

222

⋅+⋅=

=⋅−⋅−++⋅=

=−⋅−+⋅=

=⋅−⋅−+⋅=

=−=

Получены выражения для

M(X), D(X). Это позволяет оценить

степень риска.

(Именно на этой формуле основан переход от характеристик

ущерба страховщика при наступлении страхового случая в

характеристикам полного ущерба.)

9.10. Использование отрицательного биномиального

распределения при моделировании потока требований об оплате

Это распределение числа страховых случаев используется

аналогично распределению Пуассона, однако, имеет особенности.

Например, при страховании автомобиля от аварии

интенсивность

зависит от числа дней с плохой погодой. Т.е. не является константой, а

представляет из себя

случайную величину с некоторой плотностью

распределения

. Поэтому возникает необходимость предварительного

усреднения параметра

λ, используя это распределение.

=M(П

(λ)) =

()

∫∫

∞

−

∞

⋅⋅⋅=⋅

x)(i

λi

(x)dxfexi!1(x)dxf(x)п

Если N договоров разбиты на k однородных групп (по возрасту

водителя, особенностями его здоровья и характера, сложности

маршрутов его поездок и т.д.) с

договоров в каждой группе, то в

каждой группе можно использовать

пуассоновскую модель со своим

постоянным значением параметра λ

. Доля этой группы в общем

портфеле

/N = A

Рассмотрим наудачу выбранный договор (не зная, к какой группе

он принадлежит). Случайное событие

состоит в принадлежности

выбранного довора к

i-й группе. Для этого договора распределение

числа исков за рассматриваемый период равно:

()()

(

)

(

)

λ)/n!e(λMeλ1/n!ABPB|nkP

λ)(n

−⋅=⋅⋅⋅=⋅=

∑

−

где среднее берется по распределению Ai . (При увеличении числа

договоров используется непрерывная аппроксимация).

182

Итак, параметр

λ подчиняется Гамма – распределению: Г(β, α)

βx1α

д(α(

(x)f

−−

⋅⋅=

Это – удобная модель, если

λ колеблется около λ

с возможными,

но

маловероятными большими отклонениями. Тогда:

∫∫

∞

+−−+

∞

−−−

⋅⋅=⋅⋅⋅⋅=

1)x(β1αi

βx1α

dxex

д(α(i!

dxex

д(α(

t = (β+1)⋅ x, x=t/(β+1), dx=dt/(β+1);

α)д(i

д(α(i!1)(β

dtet

д(α(i!1)(β

αi

t1αi

αi

+⋅

⋅⋅+

=⋅⋅

⋅⋅+

∞

−−+

∫

Учитывая, что

Г(х) =(х-1)⋅Г(х-1) , получим окончательно:

= (1/i!) ⋅ α (α+1)…(

α+i-1) ⋅ p

⋅ q

, где p = β/(β+1) , q = 1/(β+1) .

Если вероятности обладают указанным свойством, то

распределение называется отрицательным биномиальным с

параметрами:

p и α.

Соответствующая производящая функция:

П(z) = M(z

) =

∞

∑

⋅ П

∞

∑

(-zq)

/ (i!) (-α)… (-α-i+1) ⋅ p

= (1-zq)

(- α)

⋅ p

= (p/(1-zq))

M(k) =

′

П ()1

= αq/p , D(k) =

′

П ()1 +

′

П ()1 – (

′

П ()1 )

= αq / p

; т.е.

D(k) = M(k)/p >M(k) .

Пример 20.

Портфель составляет 50000 договоров

автотранспортного страхования. Согласно собранной статистике о числе

аварий за год:

m0 = 40544, m1 = 8082, m2 = 1205, m3 = 145, m4 = 20,

m5 = 3, m6 = 1.

Требуется смоделировать число аварий. /24, 25/.

Решение.

Найдем среднее значение и дисперсию числа аварий на

один договор.

M=0.22056, D=0.2441182 (т.е. на 10% больше). Для

распределения

Пуассона эти величины должны совпадать (при столь

большом

N), поэтому различие в 10% вызывает сомнение в

возможности использовать пуассоновскую модель. Однако достоинства

последней заставляют “попытать счастья”. Составим таблицу:

i m

(т.п.)

0 40544 40103

1 8082 8845

2 1205 975

3 145 72

4 20 4

5 3 0

6 1 0

183

Видно, что пуассоновская модель неадекватна, причем отклонения

подталкивают страховщика к неоправданному оптимизму, а это вызовет

жестокое разочарование на практике. Следовательно, наши надежды на

пуассоновскую модель

не оправдались, поэтому мы вынуждены

усложнить модель и использовать

отрицательное биномиальное

распределение

Из свойств этого распределения известно:

M=aq/p , D=αq/p

Получили систему уравнений для

p и α, решая которую:

p=M/D=0.93, и α=M

/ (D – M) = 2.06,

определили значения параметров для модели.

Используя последние, найдем теоретические частоты, соответственно:

40547 8080 1195 156 19 2 0.

Расхождение с эмпирическими частотами минимально, модель

адекватна.

184

10.

Концепции и проблемы определения рисковой надбавки

10.1. Традиционные подходы

Ранее установлено, что использовать рисковую премию без

надбавки нельзя, так как при достаточно длительном периоде

деятельности страховая компания будет неизбежно разорена даже при

очень больших (но конечных) начальных резервах. Смысл надбавки -

обеспечить

безубыточность, а не компенсировать себестоимость

страхования (расходы на ведение дел не рассматриваются).

Исторически первым методом

включения надбавки в тариф стал

неявный способ, при котором рисковая премия просто умножалась на

некоторый поправочный коэффициент, больший единицы. То есть

надбавка была пропорциональна самой рисковой премии:

P=(1+d)⋅M(Z).

Неопределенность возникает из-за того, что будущее возмещение

может отличаться от своего математического ожидания. Кроме того,

математическое ожидание будущих ущербов

не обязано совпадать со

средним значением ущерба в прошлом.

Недостаток этого метода - отсутствие учета изменения разброса

ущерба. Чтобы исправить это, можно вместо указанного поправочного

коэффициента включить в тариф добавление, пропорциональное: либо

среднему квадратическому отклонению:

P = M(Z)+b⋅S(Z), либо

дисперсии

P=M(Z)+c⋅VAR(Z).

Различие этих двух подходов в том, что для полностью зависимых

рисков

Z1 и Z2, (коэффициент корреляции равен единице) S-надбавка

обладает свойством

аддитивности (а VAR-надбавка - нет), и, наоборот,

для независимых рисков

Z1, Z2 имеет место противоположная ситуация.

В настоящее время исследователи после долгих споров пришли к

компромиссу, что следует включать обе составляющие, причем сделать

это можно двояко:

либо построить линейную комбинацию:

M(Z) + c1⋅S(Z) + c2⋅VAR(Z),

либо ввести надбавку

ковариационного типа, то есть

рассматривать существующий портфель риска

Z и новый риск Z1; тогда

премия за новый риск

Z1 будет равна:

M(Z1) + d⋅COV(Z1; Z-Z1).

Сложность второго подхода в том, что необходимо установить

характер зависимости между существующим портфелем и новым

риском; а с другой стороны, премия за

Z1 зависит от того, был ли этот

риск

Z1 застрахован раньше, чем другие риски, зависящие от Z

(например,

Z2, Z3, ...), стали частью этого портфеля или нет. Цена

страхового договора зависит от

очередности. (Опять возникает вопрос

185

точного представления того,

какой именно информацией обладает

актуарий).

Подход, основанный на

ковариации, имеет практическое

применение при страховании (и перестраховании)

крупных

промышленных

рисков. В этих договорах подобный контроль (проверка,

не содержатся ли в ранее сформированном портфеле элементы нового

риска) имеет решающее значение. И размер премии существенно

повышается с ростом страховых сумм.

Иногда строят конструкцию надбавки, опираясь на так

называемую

производящую функцию, для которой очень удобно

использовать

логарифм:

f(t) = lnM(e

t⋅z

) ,

′

f()0

=M(Z),

′

f()0 =VAR(Z),

′

f()0 =m3(Z),

но не

′

()0

= m4(Z).

Иногда возможен вариант, основанный на принципе

максимального возможного возмещения риска:

P= p⋅M(Z) + (1-p) ⋅ MAX(Z), p>0.

Замечание:

в этой формуле необходимо предполагать конечность

MAX(Z), в противном случае P= ∞, то есть риск нестрахуем.

Ранее отмечено, что на практике часто нагрузку конструируют:

a⋅M(Z) + b⋅S(Z) + c⋅VAR(Z) .

В теоретическом плане весьма интересен подход, основанный на

функции полезности.

10.2. Элементы теории полезности

Рассмотрение основных понятий начнем с некоторых

сравнительно простых примеров. Интуитивно ясно, что для малой

компании потеря одного миллиона у.е. (условно) будет иметь

катастрофические последствия, а для большой - означает лишь

незначительный убыток. Это означает, что функции полезности у

разных компаний - различны. Причем играет роль не только абсолютная

величина потерь, но и относительная. Кроме того, обе компании будут

считать, что для каждой из них потерять два миллиона - тяжелее, чем

потерять один.

Поэтому

функция полезности должна обладать следующими

двумя свойствами: она должна быть строго возрастающей, то есть

′

UX()> 0; и скорость возрастания должна убывать, то есть

′′

UX()< 0.

(Рис. 10.1).

186

U (x)

Рис. 10.1.

Очевидно, что обладающая этими свойствами функция

инвариантна относительно линейного преобразования, то есть U(X) и

V(X) = a⋅U(X)+b эквивалентны, так как одинаково ранжируют суммы.

Теперь рассмотрим пример из страхования, используя введенные

обозначения. Семья (муж, жена, двое детей) из среднего класса заняла в

банке

100000 у.е. и купила дом. Свой долг они будут погашать в течение

30 лет (практически до выхода на пенсию). Потеря дома для этой семьи

означает финансовую катастрофу. Поэтому они заключают договор о

страховании дома. (Эта ситуация достаточно хорошо иллюстрирует

мотивы страхования, в принципе).

Понятно, что страховая компания устанавливает такое

соотношение между взносами и возмещением, что сама она,

в среднем,

всегда остается в выигрыше. Но в отдельных случаях, конечно, не

исключено, что компания может проиграть. Клиенты понимают, что они

заплатят

больше, чем в среднем они получат, однако они сознательно

идут на это во

избежание катастрофических потерь.

С другой стороны банк, выдавая кредит, интересуется

платежеспособностью клиента и, соблюдая свои интересы, требует,

чтобы дом был застрахован (как строение; домашнее имущество его не

интересует, кредит выдан на покупку дома). Это обеспечивает ему

возвращение долга, даже при катастрофе (без страховки семья

становится неплатежеспособной).

Возникает вопрос об оценке

полезности страхования. Какую

малую сумму (разность между суммой взносов и

ожидаемой суммой

потерь) согласна потерять эта семья во избежание катастрофических

потерь?! Это - достаточно сложная реальная задача, решение которой

зависит от многих факторов.

Пример 1. Принцип решения таких задач проиллюстрируем на

более простой. Пусть мотоцикл стоит

1000 у.е. и владелец оценивает

вероятность его полной потери в

0.1. Какова максимальная сумма,

которую он

согласен заплатить за страховую защиту от указанной

случайной полной потери?

Решение. При всем субъективизме оценок важно отметить, что

заплаченная сумма должна несколько

превышать ожидаемый средний

187

убыток, равный

1000⋅0.1=100. Пусть, например, владелец согласен

заплатить

120 у.е. Тогда можно построить функцию надежности.

Сначала определяются крайние значения (ведь функция

инвариантна относительно линейного преобразования). Итак, пусть

X -

стоимость имущества через некоторый промежуток времени. Тогда

U(0)=0, U(1000)=1. При отказе от страхования - значение

соответствующей функции полезности:

0.9⋅1 + 0.1⋅0 = 0.9.

А при заключении договора:

U(1000-120)=U(880). Приравняв эти

две величины, получим:

U(880)=0.9. Графически можно убедиться, что

точка (

880; 0.9) лежит над отрезком, соединяющим точки (0;0) и

(

1000;1).

Продолжим рассмотрение примера с мотоциклом. Пусть

вероятность его списания равна

0.2, а владелец готов заплатить за

страховку

230. Тогда, выполнив аналогичные расчеты, получим:

U(770)=0.8.

Отметим, что если клиент согласен заплатить не 230, а 250, то

U(750)=0.8. Это означает, что при возрастании потерь с 750 до 880 (на

130) функция полезности возросла с 0.8 до 0.9 то есть на 0.1 - на столько

же как и при возрастании потерь с

880 до 1000 то есть на 120. Это

противоречит свойствам функции полезности. Следовательно,

неразумно клиенту соглашаться на тариф

250 вместо 230.

Понятно, что рассмотренный пример носит несколько

искусственный характер. На практике функцию полезности обычно

определяют с помощью

экспертных оценок. После определения

функции полезности можно сравнить два экономических

исхода X и Y с

элементами

случайности.

Вместо сравнения их по критерию

ожидаемых убытков можно

сравнить их на основе ожидаемой полезности. Например, при

начальном капитале

A выбирается:

MAX ( M(U(A+X)), M(U(A+Y)) ) .

Это и указывает рациональный выбор соответственно X или Y.

В качестве примера рассмотрим

экспоненциальную функцию:

U(x) = -e

-b⋅x

. Тогда:

′

Ux() =

()

′

−

⋅−

= (-1) ⋅ e

-b⋅x

⋅ (-b) = b e

bx−⋅

> 0.

()

′′

′

Ux Ux

() () =

()

′

⋅−

= b⋅e

-b⋅x

⋅ (-b) = -b⋅b⋅e

-b⋅x

= -b

⋅e

-b⋅x

< 0 .

Проанализируем зависимость решения от начального капитала

M(U(A+X)) = M(-e

-b⋅ (X+A)

) = M(-e

(-b⋅X-b⋅A)

) = M(-e

-b⋅X

⋅e

-b⋅A

) =

= e

-b⋅A

⋅M(-e

-b⋅X

)

Аналогично: M(U(A+Y)) = e

-b⋅A

⋅M(-e

-b⋅Y

188

Поэтому сравнение

M(U(A+X)) и M(U(A+Y)) сводится к

сравнению

M(-e

-b⋅X

) и M(-e

(-b⋅Y)

), то есть нет зависимости от начального

капитала

A. (Богач и бедняк будут действовать одинаково!) Это

замечательное свойство экспоненциального распределения достаточно

широко используется в актуарных расчетах при исследовании функции

полезности.

В более общем случае исходят из суммы

P, которую владелец в

состоянии заплатить за полную страховую защиту. (Например, агент

спрашивает клиента, какую сумму в месяц тот может платить за

страхование жизни или другое накопительное страхование, и по

величине взноса определяет величину страховой суммы.). После этого

можно сравнить два варианта решения клиента: страховаться или нет.

Ожидаемые

полезности вариантов:

M(полезность страхования) = M(U(A-P)) = U(A-P),

M(бесполезность страхования) = M(U(A-X)).

Сравнивая эти две величины, клиент делает выбор.

C учетом возрастания

U(x) можно получить максимальный

страховой взнос, который потенциальный клиент готов заплатить за

договор. Это есть сумма

G, при которой: U(A-G) = M(U(A-X)).

На практике клиент может согласиться вносить за договор сумму,

превышающую свои ожидаемые убытки. Это не противоречит критерию

ожидаемой полезности. Если

U(x)>0,

′

>Ux() 0,

′

Ux() 0, то из теории

вероятности /27/ известно:

M(U(x)) < U(M(x))

Тогда:

U(A-G) = M(U(A-X)) < U(M(A-X)) = U(A-M(X)),

Т.е.

A-G<A-M(X) и G>M(X), т.е. максимальный страховой взнос,

на который согласен клиент, больше ожидаемых убытков.

Итак, позиция страхователя прояснилась. Теперь страховщик

должен сам определиться со

своими интересами и критериями. Его

интересует

минимальный взнос H, при котором он может принять риск

X. Очевидно, это зависит от начального капитала страховщика W.

Искомая величина

H определяется из соотношения:

U(W) = M(U(W+H-X)) .

Убедимся, что H > M(X).

U(W) = M(U(W+H-X)) < U(M(W+H-X)) = U(M(W)+M(H)-M(X)) =

=U(W+H-M(X))

U(W) < U(W+H-M(X))

; тогда из монотонности U(x) следует:

W < W+H-M(X) или H-M(X) > 0, т.е. H > M(X).

Подведем предварительные итоги: страховщик должен получить

не меньше, чем некоторая величина H > M(X), а клиент согласен

заплатить

не больше, чем другая величина G > M(X). Очевидно, они

смогут договориться, только если:

G > H > M(X). Это и есть

количественное выражение условия возможности заключить договор:

U(A-G) = M(U(A-X)), U(W) = M(U(W+H-X)), G > H > M(X)

189

10.3. Сравнение различных договоров с помощью функции

полезности

Пример 2. Пусть функция полезности имеет вид:

U(x) = x

2/3

, x>0. Ущерб X равномерно распределен на (0;100).

Есть возможность застраховать риск в трех компаниях на следующих

условиях:

а) полная страховая защита за взнос

52;

в) защита с безусловной франшизой в

10, (при взносе 42),

т.е. выплата равна

0, если X<10 , и равна X-10, если X>10;

c) частичная защита (при взносе

45 ):

выплата

X, если X<50, и выплата (50 + (X-50)/2), при X>50.

Возможен и

отказ от страхования.

Владелец располагает капиталом в

150. Какой вариант ему

предпочесть?

Решение. Сначала заметим, что если убытков не будет, то

U(150 - 0) = U(150) = 150

2/3

= 28.23

Если убытки максимальны, то

U(150 - 100) = U(50) = 50

2/3

= 13.57

Таким образом, получены данные для построения шкалы. Сравним

варианты.

1) Отказ от страхования. Ожидаемая полезность:

()

21.34dxx1500.01X))M(U(150

100

2/3

=⋅−⋅=−

∫

2) Страховаться в компании A. Капитал к концу срока:

150-52 = 98, а его полезность: U(98) = 98

2/3

= 21.26

3) Страховаться в компании B. Капитал: (150-42-X) при X<10,

или (150-42-10) при X>10, тогда его полезность:

()

21.33dx980.01dxx1080.01

100

2/3

=⋅⋅+⋅−⋅

∫∫

4) Страховаться в компании C.

Капитал:

105, при X<50;

либо

(150-45-X+(50+(X-50)/2)) = 130 - 0.5⋅X, при X>50 .

Тогда полезность:

()

21.35dxX0.51300.01dx1050.01

100

2/3

=⋅⋅−⋅+⋅⋅

∫∫

Теперь сравниваем результаты и выбираем max функции

полезности. Очень маленькое преимущество у компании

С при всей

парадоксальности предложенных ей условий и предварительных наших

представлений.

190

Рассмотрим еще некоторые примеры. Пусть имущество не

подвергнется ущербу с вероятностью

0.75. Ущерб, если он будет,

распределен

экспоненциально со средним, равным 100. Тогда

ожидаемые убытки составят 25. В данном случае используется

условное математическое ожидание.

Для дальнейших исследований необходимо построить функцию

полезности. В частности, можно показать (см. Карри /6/), что если

клиент использует функцию:

U(x) = -e

-0.005⋅x

то при полной защите ему придется согласиться заплатить 44.63 (при

средних убытках

25, он переплатит 19.63). А если договор

предусматривает возмещение лишь половины ущерба (то есть в среднем

не

25, а 12.5), то клиент заплатит 28.62 (больше на 16.12).

10.4. Понятие о доверительных оценках в страховании

В страховой компании часто возникает ситуация, при которой

конкретный клиент в течение длительного времени периодически

продлевает свой страховой договор (например, страхование дома).

Компания

накапливает информацию о нем за это время. Поэтому к

данному клиенту может быть применен как подход, общий для всех

клиентов из некоторой однородной группы, так и

индивидуальный,

основанный на его

специфике. Следовательно, у компании есть два

источника

информации об этом клиенте.

Проблема состоит в том, как, используя эти два источника,

получить сведения, не противоречащие, а дополняющие друг друга, и за

счет этого уточнить представления об исследуемом объекте, а,

следовательно, и цену его индивидуального контракта.

В книге Карри /6/ показано принципиальное решение этой задачи.

Прежде, чем ввести понятие доверительного взноса, рассмотрим

иллюстративный пример. Несколько лиц заключили определенные

договоры на год, причем страховая компания

впервые стала работать с

этими рисками. Поэтому она устанавливает взносы на основе работы с

подобными рисками (отдавая себе отчет в условности этого подхода).

Затем прошло несколько лет работы по новым рискам (и новым

договорам, тарифам), у компании появилась информация, которой ранее

не было и которую теперь можно использовать.

Некий страхователь хочет продлить свой договор с компанией еще

на один год. На каких условиях будет продлен договор?

Пусть

- среднее годичных страховых выплат (общая сумма всех

произведенных выплат, деленная на число лет работы с этим риском).

При определении размера страхового взноса на

предстоящей год

возможны следующие подходы: