Коновалов Б.И., Лебедев Ю.М. Теория автоматического управления
Подождите немного. Документ загружается.
лова (рис. 4.6). Каждому значению
ω
соответствуют определенные
значения
)(
ω
X
и
)(ω
Y
, т.е. определенная точка на плоскости. При
0=ω функция
0
)( ajA =ω
, т.е. годограф начинается на действи-
тельной оси. При
∞
→ω функция )(
ω
j
A
тоже неограниченно воз-
растает по модулю.
Формулировка критерия Михайлова звучит следующим образом:
система устойчива, если годограф
)(
ω
j
A
, начинаясь на дейст-
вительной положительной полуоси, огибает против часовой
стрелки начало координат, проходя последовательно
n квадран-
тов комплексной плоскости, где
n - порядок системы.
Годограф устойчивой САУ четвертого порядка изображен на
рис. 4.6,
а. При нарушении порядка прохождения квадрантов ком-
плексной плоскости САУ неустойчива (рис.4.6,
б). Если же система
находится на границе устойчивости, то годограф Михайлова прохо-
дит через начало координат на частоте
к
ω
(рис. 4.6, в), т.е. на грани-
це устойчивости
[]
[]
==
=
=
.0)()(Im
,0)()(Re
кк
кк
ωω
ω
ω
YjA
XjA
(4.3)
Следует отметить то обстоятельство, что расчетные выражения
для граничных параметров, полученные по критериям Гурвица и
Михайлова, совпадают. Продемонстрируем это для САУ третьего
порядка, характеристический полином для которой имеет вид
II Y(ω) I
ω
ϕ X(ω)
0
a
0
III IV
а
II Y(
ω
) I
ω
ϕ X(ω)
0
a
0
III IV
б
II Y(ω) I
ω
ϕ X(ω)
0
a
0
III IV
в
Рис.4.6. Годограф Михайлова для устойчивой (а), неустойчивой (б)
САУ и САУ на г
р
анице
у
стойчивости
(
в
)
01
2
2
3
3
)( apapapapA +++= . Тогда, в соответствии с (4.4). на гра-
нице устойчивости получим:
[]
[]
()
=−=
=−=
.0)(Im
,0)(Re
2
к31кк
2
к20к
ωωω
ωω
aajA
aajA
Выразим из первого уравнения квадрат частоты
2
к
ω и подставим
результат во второе уравнение, не учитывая тривиальное решение
0
к
=ω :
2
0
2
к
a
a
=ω
,
0
2
0
31
=⋅−
a
a
aa ,
или
0
0321
=− aaaa
, что совпадает с формулой (4.1).
Физический смысл величины
к
ω
- это частота колебаний систе-
мы на границе устойчивости.
Годограф Михайлова можно строить по точкам, изменяя частоту
от нуля до бесконечности с определенным шагом и вычисляя каждый
раз значение
)( ω
j
A
.
Можно поступить по-другому: найти точки пересечения годогра-
фа с осями и соединить их плавной линией. Для этого, определив из
уравнения
0)( =ω
X
значения частот, соответствующих точкам пе-
ресечения годографа
)(
ω
j
A
с мнимой осью, подставляют их в выра-
жение )(ω
Y
. В результате получают соответствующие координаты.
Аналогично находят точки пресечения
)(
ω
j
A
с действительной
осью, приравнивая нулю мнимую часть
)(
ω
Y
.
Из формулировки критерия следует, что система устойчива, если
нули
)(ω
X
и )(ω
Y
чередуются с ростом ω, начиная с 0=ω , когда
0)( =ω
Y
, а 0)( >ω
X
.
Пример
4.3.
По критерию Михайлова оценить устойчивость САУ, приведен-
ной на рис.4.5.
В соответствии с рассмотренным выше для этой системы
=++++= )101,0()13,003,0()(
p
2
pKppppA
,
01
2
2
3
3
apapapa +++=
где. 030
3
,a = , 3,0
2
=a , 084,1)4,801,01(
1
=
⋅
+
=
a , 4,8
0
=a .
Проведем в характеристическом полиноме
)(
p
A
замену операто-
ра
p
на переменную ω
j
и произведем разделение действительной и
мнимой частей. Тогда получим:
(
)
(
)
.03,0084,1)(
,3,04,8)(
23
31
22
20
ω−ω=ω−ω=ω
ω−=ω−=ω
aaY
aaX
Приравняем мнимую часть
)(
ω
Y
к нулю и определим частоты
20
, ωω
:
1-
20
c 01.6
03,0
084,1
,0 ==ω=ω .
Теперь к нулю приравняем действительную часть
)(ω
X
и опре-
делим частоту
1
ω :
1-
1
c 29,5
3,0
4,8
==ω
Поскольку
210
ω
<ω<ω
, т.е. частоты, соответствующие равенст-
ву нулю действительной и мнимой частей
)(
ω
j
A
, чередуются (или,
как говорят, перемежаются), САУ устойчива. В этом легко убедить-
ся, рассчитав значения действительной и мнимой частей соответст-
венно на таких частотах:
4,8)(
0
=ωX ; 44,201,63,04,8)(
2
2
−=⋅−=ωX ;
(
)
29,129,503,0084,129,5)(
2
1
=⋅−⋅=ωY .
Поскольку
0)(
0
>ωX , 0)(
1
>
ω
Y , 0)(
2
<
ω
X , годограф Михай-
лова последовательно проходит I, II, и III квадранты комплексной
плоскости, что подтверждает устойчивость САУ.
Критерий Михайлова широко используется для построения об-
ластей устойчивости. Уравнения границы устойчивости в простран-
стве двух варьируемых параметров
1
x
и
2
x
, согласно этому крите-
рию, имеют вид:
.
0),,(
0),,(
21
21
=ω
=
ω
xxY
xxX
(4.4)
Исключив из этих уравнений параметр
ω
, можно получить урав-
нение границы устойчивости, связывающее входящие в выражения
),,(
21
ωxxX
и
),,(
21
ωxxY
варьируемые параметры
1
x
и
2
x
. Тогда
область устойчивости строиться будет так же, как по критерию Гур-
вица (см. пример 4.3).
С другой стороны, можно построить границы устойчивости по
приведенной системе уравнений, используя
ω
как параметр, который
изменяют от 0 до
∞. Каждому значению
ω
при этом соответствует
определенная точка границы устойчивости. Этот метод получения
границы устойчивости принято называть методом D - разбиения.
Система уравнений (4.5) может быть линейной и нелинейной и
способ ее разрешения относительно параметров
1
x
и
2
x
может быть
различным. Поэтому рассмотрим применение D – разбиений на кон-
кретных примерах.
Пример 4.4.
Применяя D – разбиения, построить область устойчивости для
САУ, структурная схема которой приведена на рис. 4.7.
Пусть
10
1
=
k
,
2
2
=k
,
1-
3
c4=k ,
5,0
oc
=
k
,
5,0
1
=
T
с,
1.0
2
=T
с,
05.0
1
=τ с, 01.0
3
=
τ
с.
Передаточная функция разомкнутой цепи и характеристический
полином САУ будут иметь вид:
W
1
(p) W
2
(p) W
3
(p)
g y
Woc(
p)
Рис.4.7. П
р
име
р
п
р
оведения D
–
р
азбиений.
()
1
1
1
11
+
+
pT
pk
τ
oc
k
1
2
2
+pT
k
(
)
p
pk 1
33
+
τ
()
(
)
()( )
11
11
)(
21
31p
рц
++
+
τ
+τ
=
pTpTp
ppK
pW
,
(
)( )
(
)
(
)
,
1111)(
01
2
2
3
3
31p11
apapapa
ppKpTpTppA
+++=
=
+
τ
+
τ
+
+
+=
где
1-
321p
c 40==
oc
kkkkK ,
p0
Ka
=
,
(
)
31p1
1 τ+
τ
+
=
Ka ,
31p212
ττ++= KTTa ,
2313
TTa
=
.
Вариант 1
. Проведение D – разбиений в плоскости параметров
11
Tx = ,
p2
Kx = . Тогда
220
)( xxa = ,
(
)
31221
1)(
τ
+
τ
+
=
xxa ,
31221212
),(
τ
τ
++
=
xTxxxa ,
2113
)( Txxa
=
,
и систему уравнений (4.5) можно представить в виде:
()
[]
()
[]
=ω−τ+τ+ω=ω−ω
=ωττ++−=ω−
.01)()(
,0),()(
2
21312
2
1321
2
312212
2
21220
Txxxaxa
xTxxxxaxa
(4.6)
Упорядочив систему уравнений (4.6) относительно варьируемых
параметров, перенеся свободные члены в правые части и исключив
из второго уравнения тривиальное решение
0
=
ω
, получим:
(
)
()
−=τ+τ+ω−
ω=ωττ−+ω−
.1
,1
2311
2
2
2
22
2
311
2
xxT
Txx
(4.7)
Система уравнений (4.7) является линейной относительно варьи-
руемых параметров
1
x и
2
x , поэтому для ее решения можно вос-
пользоваться методами линейной алгебры, например, формулой
)()()(
1
ωωω
BAX ⋅=
−
,
где
=
2
1
)(
x
x
ω
X – вектор решений системы (4.7);
1
31
2
2
2
31
2
1
1
)(
−
−
τ+τω−
ωττ−ω−
=ω
T
A
– обращенная матрица системы
(4.7);
−
ω
=ω
1
)(
2
2
T
B
– вектор правых частей уравнений системы
(4.7).
Эту систему можно также решить через определители, определив
неизвестные как
)(
)(
)(
1
1
ω∆
ω
∆
=ω
x
x ,
)(
)(
)(
2
2
ω∆
ω
∆
=ω
x
x ,
где
)( ),( ),(
11
ω
∆ω∆ω∆
x
x
- определители системы (4.7), причем
31
2
2
2
31
2
1
)(
τ+τω−
ωττ−ω−
=ω∆
T
,
31
2
31
2
2
1
1
1
)(
τ+τ−
ωττ−ω
=ω∆
T
x
,
1
)(
2
2
2
2
2
2
−ω−
ωω−
=ω∆
T
T
x
.
Таким образом, решая систему (4.7) каким-либо способом, полу-
чим:
(
)
[
]
()
[
]
2
31231
2
31231
2
1
1
1
)(
ωττ−−τ+τω
−τ+τ−ττω
=ω
T
T
x
,
()
2
31231
2
2
1
1
1
)(
ωττ−−τ+τ
+ω
−=ω
T
T
x
.
Легко видеть, что для заданных значений постоянных времени
при критических частотах
0
кр1
=
ω
и
1
31
312
кр2
c 284,28
−
=
ττ
τ−τ−
=ω
T
знаменатели формул для )(
1
ωx и
)(
2
ωx обращаются в нуль, поэтому этих частот нужно избегать при
построении области устойчивости САУ.
В табл. 4.1 приведены рассчитанные значения варьируемых па-
раметров
)(
1
ω
x и )(
2
ωx при изменении частоты от 7 до 23 с
-1
, а на
рис.4.8 показана область устойчивости САУ, построенная по таблич-
ным данным.
Таблица 4.1
ω
7 9 11 13 15 17 19 21 23
)(
1
ωx
0,69 0,5 0,4 0,36 0,346 0,351 0,237 0,433 0,545
)(
2
ωx
39,7 50,4 65,1 85,3 113 152 210 301 464
Для определения расположения штриховки оценим устойчивость
САУ при различных значениях
p
K , рассчитав частоты, как это де-
лалось в примере 4.3 по формулам
0
0
=ω ,
21
31p
2
)(1
TT
K τ+τ+
=ω
,
31p21
p
1
ττ
ω
KTT
K
++
=
.
При
40
p
=K с
-1
значения частот 246,8
2
=
ω
с
-1
, 032,8
1
=ω с
-1
.
Т.к.
210
ω
<
ω<ω , т.е. частоты чередуются, САУ устойчива. При
100
p
=K
с
-1
значения частот 832,11
2
=
ω
с
-1
, 403,12
1
=
ω
с
-1
.
x
2
(ω)
x
1
(ω)
Рис.4.8. Область устойчивости САУ при
x
1
(ω) = T
1
, x
2
(ω) = K
р
0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9
0
250
500
750
1000
САУ устойчива
Здесь
320
ω<ω<ω , т.е. чередование частот нарушается, следова-
тельно, САУ неустойчива. При
5000
p
=
K с
-1
значения частот
9,24
2
=ω с
-1
, 254,24
1
=ω с
-1
. Поскольку
210
ω
<
ω
<
ω
, САУ сно-
ва устойчива.
Таким образом, область устойчивости расположена с внешней
стороны границы, как показано штриховкой на рис. 4.8.
Асимптоты
0
0
=a
и
0
3
=
a
являются прямыми 0
p
=K ,
0
1
=
T
,
т.е. совпадают с осями координат.
Вариант 2
. Проведем D – разбиения в плоскости параметров
11
τ
=x ,
p2
Kx = . Тогда
220
)( xxa =
,
(
)
312221
1),( τ+
+
=
xxxxa
,
31221212
),(
τ
+
+= xxTTxxa ,
32113
)( aTTxa =
=
.
Система уравнений (4.5) примет вид:
()
[]
()
[]
=ω−τ++ω=ω−ω
=ωτ++−=ω−
.01)(
,0),()(
2
3312
2
321
2
312212
2
21220
axxaxa
xxTTxxxaxa
(4.8)
Система (4.8) является нелинейной, поскольку в обоих ее уравне-
ниях присутствует произведение варьируемых параметров, поэтому
ее можно решить только путем подстановки.
Выразим из второго уравнения системы переменную
2
x и под-
ставим получившееся значение в первое уравнение:
31
2
3
12
1
),(
τ+
−ω
=ω
x
a
xx
,
0
11
2
31
31
2
3
21
31
2
3
=ω
τ
τ+
−ω
++−
τ+
−ω
x
x
a
TT
x
a
,
отсюда
[
]
,
)(
1(
)(
32133
22
2
2133
1
τ−++τωω
−ω+τ−
=ω
TTa
TTa
x
1
)(
)(
2
3
2
32133
22
2
+τω
τ−++τωω
=ω
TTa
x
.
В полученных соотношениях присутствуют две критические час-
тоты:
0
кр1
=ω и
33
213
кр2
τ
−−τ
=ω
a
TT
(уравнение 01
2
3
2
=+τω дает
мнимые решения), причем, для заданных значений
213
, , TT
τ
частота
кр2
ω также принимает только мнимые значения, поэтому при прове-
дении дальнейших расчетов нужно избегать только значения
0=ω .
Рассчитанные значения варьируемых параметров
)(
1
ωx
и
)(
2
ω
x
приведены в табл. 4.2 при изменении частоты от 7 до 23 с
-1
.
Таблица 4.2
ω
7 9 11 13 15 17 19 21 23
)(
1
ω
x
0,038 0,05 0,055 0,056 0,056 0,055 0,054 0,051 0,049
)(
2
ω
x
30 50 77,8 112 155 206 268 342 469
На рис. 4.9 показана область устойчивости САУ для принятых
варьируемых параметров. Она также располагается с внешней сторо-
ны границы устойчивости, поскольку при
40050
p
<
<
K нарушается
чередование частот
2
ω
и
1
ω
.
x
2
(ω)
x
1
(ω)
Рис.4.9. Область устойчивости САУ при
x
1
(ω) = τ
1
, x
2
(ω) = K
р
0.04 0.045 0.05 0.055 0.06
0
100
200
300
400
500
600
САУ устойчива
Следует отметить, что построение области устойчивости с помо-
щью D – разбиений является более общим подходом к решению этой
задачи. Так, например, если бы в примере 4.3 данная задача решалась
посредством критерия Гурвица, то граница устойчивости представ-
лялась бы двумя кривыми
)(
1121
xfx
=
и )(
1222
xfx
=
, точку сопря-
жения которых определить весьма сложно. При проведении D – раз-
биений этот вопрос разрешается автоматически, поскольку граница
устойчивости – единая зависимость.
4.5. Критерий устойчивости Найквиста
Критерий устойчивости Найквиста позволяет оценить устойчи-
вость замкнутой САУ по ее разомкнутой цепи. Для этого в переда-
точной функции
)()(
рц
pWpW
=
производят замену оператора
p
на
переменную
ω
j
и на комплексной плоскости при изменении частоты
от нуля (если это возможно) до бесконечности строят АФЧХ
)(
ω
jW
(годограф Найквиста).
Если разомкнутая цепь устойчива (а это всегда имеет место, если
САУ не содержит неустойчивых неминимально-фазовых звеньев), то
формулировка критерия Найквиста звучит следующим образом.
Для устойчивости замкнутой САУ необходимо и достаточно,
чтобы годограф Найквиста при изменении
ω
от 0 до ∞ не охва-
тывал точку с координатами
(
)
0,1 j
−
.
На рис. 4.10 изображены основные из возможных ситуаций про-
хождения годографа Найквиста на комплексной плоскости. Сплош-
ная кривая 1 на рис.4.10,
а соответствует абсолютно устойчивой
замкнутой САУ (системе, которая остается устойчивой при умень-
шении коэффициента передачи разомкнутой цепи), а пунктирная
кривая 2 – условно устойчивой САУ (системе, устойчивой только в
некотором диапазоне изменения коэффициента передачи разомкну-
той цепи, как это было в примере 4.4). Сплошная кривая 3 на рис. 4.3,
б проходит через критическую точку с координатами
()
0,1 j−
и это
означает, что замкнутая система находится на колебательной границе
устойчивости. Пунктирная кривая 4 охватывает критическую точку,
поэтому замкнутая САУ неустойчива.
Физический смысл критерия Найквиста заключается в том, что
при увеличении частоты входного воздействия сигнал, проходящий
по цепи обратной связи, оказывается в противофазе с входным. Это
равносильно замене отрицательной обратной связи на положитель-
ную. Если же при этой частоте разомкнутый контур обладает усиле-