Коновалов Б.И., Лебедев Ю.М. Теория автоматического управления
Подождите немного. Документ загружается.
нием (т.е.
1
p
>K
), то замкнутая САУ становится неустойчивой (лю-
бое увеличение сигнала на выходе приводит к увеличению сигнала
на входе по цепи обратной связи, что вызывает дальнейший рост вы-
ходного сигнала и т.д.).
Для аналитических расчетов с помощью критерия Найквиста ус-
ловия нахождения системы на границе устойчивости можно запи-
сать, используя вещественную и мнимую частотные функции ра-
зомкнутой цепи:
[]
[]
=ω
−=
ω
π
π
.0)(Im
,1)(Re
jW
jW
(4.9)
где
π
ω
- частота, соответствующая повороту радиус-вектора АФЧХ
разомкнутой цепи на угол
π
−
, т.е. до совпадения с отрицательной
вещественной полуосью, ее называют
частотой переворота фазы.
При решении практических задач для оценки устойчивости САУ
не обязательно строить годограф Найквиста, достаточно в частотной
передаточной функции разомкнутой цепи
)(
ω
j
W
приравнять к нулю
мнимую часть и определить из получившегося частоту переворота
фазы
π
ω (или ее квадрат). Затем подставить получившееся значение в
вещественную часть
)(
ω
j
W
и вычислить ее модуль. Если
1)(Re
<
ω
π
jW , то система устойчива, в противном случае – неус-
тойчива.
Рис.4.10. Варианты годографа Найквиста для устойчивой (а),
неустойчивой САУ и САУ на границе устойчивости (
б)
ImW(jω)
Re
W(jω)
-1 0
ω = 0
ω
1
2
а
ImW(jω)
Re
W(jω)
-1 0
ω = 0
ω
4
3
б
Несмотря на наглядность критерия Найквиста и его физическую
прозрачность, он имеет один существенный технический недостаток
– вычислительные трудности, возникающие при разделении вещест-
венной и мнимой частей
)(
ω
jW . Особенно это проявляется, если
САУ содержит форсирующие звенья. Если же таких звеньев в струк-
туре нет, то задача анализа устойчивости по критерию Найквиста
решается просто. Продемонстрируем это на примере.
Пример 4.5.
По критерию Найквиста получить выражение для оценки устой-
чивости и определить ее граничный коэффициент передачи для САУ,
изображенной на рис.4.3.
В примере 4.1 была получена передаточная функция разомкнутой
цепи
()( )( )
()( )( )
.
111
111
)()(
21
p
21
oc21
рц
+++
=
=
+++
==
pTpTpT
K
pTpTpT
kkk
pWpW
oc
oc
Произведем в
)(
p
W
замену оператора
p
на переменную
ω
j
и
выделим в знаменателе получившегося выражения мнимую и веще-
ственную части:
()( )()()
.
)()(
)]1([])([1
)1)]((1[
111
)(
p
21
2
oc21oc2121
2
p
oc2121
2
p
oc21
p
ω+ω
=
=
ω−++ω++−ω−
=
=
ω++ω+ω−
=
=
ω+ω+ω+
=ω
jyu
K
TTTTTjTTTTT
K
TjTTjTT
K
TjTjTj
K
jW
По правилам деления комплексных чисел [1] числитель и знаме-
натель полученного выражения нужно умножить на комплексную
сопряженную функцию
)()(
ω
−
ω
jy
u . Однако, поскольку при опре-
делении частоты переворота фазы мнимая часть приравнивается к
нулю и знак перед ней не играет роли, то операцию умножения на
комплексную сопряженную функцию можно не проводить, приняв
0)1()(Im
21
2
oc21
=ω−++=ω
π
π
TTTTTjW ,
])([1
)(Re
oc2121
2
p
TTTTT
K
jW
+−ω−
=ω
π
π
.
Выразив из первого уравнения квадрат частоты
π
ω , получим
oc21
oc21
2
TTT
TTT
+
+
=ω
π
, тогда
()
.
111
1
])([1
)(Re
oc21
oc21
p
oc2121
oc21
oc21
p
++++−
=
=
++
++
−
=ω
π
TTT
TTT
K
TTTTT
TTT
TTT
K
jW
При 1)(Re <ω
π
jW система будет устойчивой.
На границе устойчивости
1)(Re
−
=
ω
π
jW , т.е.
()
1
111
1
oc21
oc21
гp
−=
++++−
TTT
TTT
K
,
отсюда
()
1
111
oc21
oc21гp
−
++++=
TTT
TTTK
.
Зададимся конкретными значениями коэффициентов передачи и
постоянных времени. Пусть
5,0 ,10 ,5
21
=
=
=
oc
kkk , 5,0
1
=T с,
1,0
2
=T с, 05,0
oc
=T с. Тогда по полученным соотношениям при
255,0105
p
=⋅⋅=K получим
22
c 260
−
π
=ω , 1263,1)(Re >=ω
π
jW ,
следовательно, система с такими параметрами будет неустойчивой.
Ее граничный коэффициент передачи
()
pгp
8,191
05,0
1
1,0
1
5,0
1
05,01,05,0 KK <=−
++++= .
Критерий Найквиста позволяет оценить устойчивость САУ,
содержащих звенья чистого запаздывания.
Пусть звено чистого запаздывания с передаточной функцией
τ− p
e (при единичном коэффициенте передачи) включено последова-
тельно с системой без запаздывания с передаточной функцией
)(
0
pW .
Результирующие передаточная и частотная передаточная функ-
ции разомкнутой цепи будут иметь вид
τ
−
=
p
epWpW )()(
0
,
ω
τ
−
ω=ω
j
ejWjW )()(
0
.
Поскольку
)(
00
0
)()(
ω
ϕ
ω=ω
j
eAjW , то
[
]
ωτωϕ
ωω
−
=
)(
0
0
)()(
j
eAjW .
Таким образом, звено чистого запаздывания вносит лишь допол-
нительный фазовый сдвиг. При этом изменяется АФЧХ, т.е. меняют-
ся условия устойчивости (характеристика “закручивается” по часо-
вой стрелке). При некотором
τ
система станет неустойчивой.
По АФЧХ системы без запаздывания можно определить гранич-
ное (предельное) значение запаздывания
гр
τ
, что поясняется по-
строением на рис.4.11.
Пусть АФЧХ устойчивой САУ без запаздывания
)(
0
ωjW пересе-
кает окружность единичного радиуса на частоте
cp
ω
=
ω
(как будет
показано выше, это частота среза) при повороте радиус-вектора
АФЧХ на угол
cp
ϕ . При введении в САУ звена чистого запаздыва-
ния на границе устойчивости конец этого радиус-вектора совпадет с
точкой
()
0,1 j− и будет справедливым соотношение
π−
=
τω−ϕ
кpcpcp
, отсюда
cp
cp
гp
ω
ϕ
+
π
=τ
.
4.6. Оценка устойчивости САУ по
логарифмическим частотным характеристикам. Запасы
устойчивости
В соответствии с критерием Найквиста об устойчивости можно
судить не только по АФЧХ, но и совместно по амплитудной и фазо-
вой частотным характеристикам разомкнутой цепи. Обычно при этом
пользуются логарифмическими характеристиками, что представляет
большое удобство в силу простоты их построения. Но если ЛАЧХ
используется асимптотическая, то расчеты будут достаточно грубы-
ми.
Если АФЧХ не охватывает точку
(
)
0,1 j
−
, то при частоте, на ко-
торой
1)( =
ω
А
, абсолютное значение фазы больше
π
−
. Но значение
1)( =
ω
A
А=1 соответствует 0)(lg20)(
=
=
ω
ω
A
G
. Поэтому для ус-
тойчивости замкнутой САУ необходимо, чтобы ЛАЧХ разомкнутой
цепи пересекла ось абсцисс раньше, чем фаза, спадая, окончательно
ImW
0
(jω)
W
0
(jω)
-1 0 ReW
0
(jω)
ϕ
0
ω = ω
0
Рис. 4.11. Определение граничного
запаздывания
перейдет за значение - π.
Однако
0)( =ω
G
на частоте среза
cp
ω
, а π−
=
ω
ϕ
)( на частоте
переворота фазы
π
ω . Следовательно, система будет абсолютно ус-
тойчива, если
πcp
ω<ω .
На рис. 4.12 для ЛАЧХ, показанной сплошной линией это нера-
венство соблюдается
(
)
πcp1
ω
<
ω
, значит, САУ устойчива,
гpp1
KK < . При увеличении коэффициента передачи
p
K ЛАЧХ сме-
щается вверх и на границе устойчивости (пунктирная кривая) при
гpp2
KK = частоты
cp2
ω и
π
ω
равны друг другу. Дальнейшее уве-
личение величины
p
K до
p3
K приводит к неустойчивости системы,
тогда
πcp3
ω
>ω
(штрихпунктирная кривая).
Возможен и более сложный случай. Как было показано в примере
4.4, САУ устойчива при
40
p1
=
K
с
-1
. При этом ее АФЧХ будет два-
жды пересекать отрицательную вещественную полуось, как показано
на рис. 4.10, а, при частотах
1
π
ω
и
2
π
ω
. ЛАЧХ такой системы изо-
бражена сплошной линией на рис. 4.13 и ее частота среза
cp1
ω
меньше любой из частот
1
π
ω
и
2
π
ω
. При 100
p2
=
K с
-1
частота среза
2cp21 ππ
ω
<ω<ω (на рис. 4.13 ЛАЧХ показана пунктирной линией)
G(ω)
20lgK
p3
20lgK
p2
20lgK
p1
ω
cp1
ω
cp2
ω
cp3
0 lgω
ϕ(ω) ω
π
0 lgω
π
−
Рис. 4.12. Оценка устойчивости САУ по ЛАЧХ и ЛФЧХ
и САУ становится неустойчивой. При
500
p3
=
K
с
-1
САУ снова ста-
нет устойчивой, хотя частота среза
cp3
ω
(ЛАЧХ изображена штрих-
пунктирной линией на рис. 4.13) больше частот
1
π
ω
и
2π
ω .
Эта ситуация характерна для условно устойчивых систем и для
них оценка устойчивости по логарифмическим частотным характе-
ристикам выглядит по-другому: система будет устойчивой, если
все частоты переворота фазы больше частоты среза или если ее
ЛФЧХ до частоты среза принимает значение
π−=
ω
ϕ
)(
четное
число раз. Именно такая ситуация имеет место при
500
p3
=K с
-1
.
При оценке устойчивости САУ одного факта устойчивости не-
достаточно. Необходимо еще оценить величину запаса устойчивости,
т.е. степени удаленности системы от границы устойчивости.
Основное распространение в качестве меры запаса устойчивости
получили вытекающие из критерия Найквиста две величины - запас
устойчивости по фазе
ϕ
∆ и запас устойчивости по амплитуде
G
∆ .
Запас устойчивости по амплитуде
G
∆
определяется величи-
ной допустимого подъема ЛАЧХ, при котором система окажется на
границе устойчивости. Таким образом, запас по амплитуде представ-
ляет собой запас по коэффициенту передачи разомкнутой цепи по
отношению к его граничному по устойчивости значению:
.lg20lg20
pгр
KKG −=∆
(4.10)
G(
ω
)
20lgK
p3
20lgK
p2
20lgK
p1
ω
cp1
ω
cp2
ω
cp3
0 lgω
ϕ(ω) ω
π1
ω
π2
0 lgω
π
−
Рис. 4.13. Варианты ЛАЧХ и ЛФЧХ для условно устойчивой САУ
Оценку запаса устойчивости САУ по амплитуде можно также
провести, зная частоту переворота фазы
π
ω
, тогда
|
π
)(
ωω
ω
=
=∆ GG . (4.11)
Таким образом, для определения запаса устойчивости по ампли-
туде необходимо либо по любому из критериев устойчивости рассчи-
тать
гр
K
и воспользоваться далее формулой (4.10), либо вычислить
частоту
π
ω и применить формулу (4.11).
Запас устойчивости по фазе определяется величиной
ϕ∆ , на
которую должно возрасти запаздывание по фазе в системе с частотой
среза
cp
ω , чтобы система оказалась на границе устойчивости.
При вычислении запаса устойчивости по фазе нужно вначале оп-
ределить частоту среза из уравнения
1)(
рц
=
ω
A
и затем найти
)(
ррц с
ωϕ . Тогда запас устойчивости по фазе, вычисленный в граду-
сах, будет равен
[]
π
⋅ωϕ+π=ϕ∆
180
)(
ррц с
.
При наличии логарифмических частотных характеристик запасы
устойчивости отсчитываются прямо с графиков, например, как пока-
зано на рис. 4.14, а.
Помимо ЛАЧХ и ЛФЧХ, с этой же целью можно использовать и
АФЧХ (разомкнутой цепи), что проиллюстрировано на рис.4.14, б.
Для определения запаса устойчивости по фазе нужно провести
радиус-вектор из начала координат через точку АФЧХ, для которой
выполняется условие
1)(
=
ω
А
. Для нахождения этой точки графиче-
ски следует из начала координат провести окружность радиусом
1=R . Угол между этим лучом и отрицательной действительной по-
луосью и будет
ϕ
∆ .
Запас устойчивости по амплитуде характеризует удаленность
точки АФЧХ
)(
π
ωA от границы устойчивости, т.е. от точки с коор-
динатами
)0,1(
j
− (
π
ω - это частота, при которой фаза составляет
значение минус π), выраженную в логарифмических единицах. Сле-
довательно,
)(lg20)(lg201lg20lg20
ππ
ω
=
ω
−
=
∆=
∆
AAAG .
4.7. Частотные характеристики разомкнутых систем
Как было показано в разделе 3.2.1, передаточные и частотные
функции последовательно соединенных звеньев перемножаются, а их
логарифмические характеристики – складываются, т.е.
∏
=
=
n
i
i
pWpW
1
)()(
,
∏
=
ω=ω
n
i
i
jWjW
1
)()(
,
∏
=
ω=ω
n
i
i
jAA
1
)()(
,
∑
=
ωϕ=ωϕ
n
i
i
1
)()( ,
∑
=
=
n
i
i
GG
1
)()(
ωω
.
Отсюда вытекает правило построения ЛАЧХ и ЛФЧХ разомкну-
той одноконтурной САУ: строят логарифмические характеристики
звеньев и затем их графически складывают.
Но для построения асимптотической ЛАЧХ применяют более
простой метод, который сформулируем после рассмотрения конкрет-
ных примеров
G(ω)
lgω
0 ω
cp
∆G
ϕ(ω) lgω
ω
π
∆φ
π
−
а
Рис. 4.14. Запасы устойчивости САУ на логарифмических
частотных характеристиках (а) и на АФЧХ (б)
ImW(jω)
∆A ∆φ
А(ω
π
)
-1 0 ReW(jω)
б
Пример 4.6.
Построить асимптотическую ЛАЧХ для разомкнутой цепи САУ с
передаточной функцией
)1)(1(
)1(
)(
22
2
2
211
1p
рц
+++
+
τ
=
pTpTpTp
pK
pW ,
где
2
p
c 60
−
=K , 1
1
=
τ
с, 10
1
=
T с, 1,0
2221
=
=
TT с.
По виду передаточной функции можно заключить, что система
состоит из последовательно соединенных интегрирующего, форси-
рующего, инерционного звеньев и звена второго порядка.
Определим, каким является звено второго порядка, рассчитав его
коэффициент демпфирования:
5,0
1,02
1,0
2
21
22
=
⋅
==ξ
T
T
.
Поскольку
1<
ξ
, звено второго порядка является колебательным.
Рассчитаем частоты сопряжения по соотношению
i
i
Т
1
,c
=
ω
, где
i
T - постоянная времени i -го звена
1
1
1
1,0
1
−
==ω c
T
,
1
1
2
1
1
−
=
τ
=ω c ,
1
21
3
10
1
−
==ω c
T
,
где
1
ω – частота сопряжения инерционного звена,
2
ω – частота сопряжения форсирующего звена,
3
ω – частота сопряжения колебательного звена.
Будем считать, что коэффициент передачи интегрирующего звена
равен коэффициенту передачи разомкнутой цепи САУ, а коэффици-
енты передачи всех остальных звеньев равны единице.
Определим величину
6,3560lg20lg20
p0
=
=
=
KG дБ.
На рис. 4.15 показан процесс построения асимптотической ЛАЧХ
разомкнутой цепи САУ. Ломаные линии 1,2,3, 4 являются ЛАЧХ ин-
тегрирующего, инерционного, форсирующего и колебательного
звеньев. Так как коэффициенты передачи всех звеньев, кроме интег-
рирующего, приняты единичными, то ЛАЧХ этих звеньев при
i,c
ω
ω
< совпадают с осью частот.