Коновалов Б.И., Лебедев Ю.М. Теория автоматического управления
Подождите немного. Документ загружается.
Б.И. Коновалов, Ю. М. Лебедев
ТЕОРИЯ АВТОМАТИЧЕСКОГО
УПРАВЛЕНИЯ
Учебное пособие
ТОМСК – 2002
Министерство образования Российской Федерации
Томский межвузовский центр
дистанционного образования
β+
β
q
q
e
q
γ
−
−1
ТОМСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ СИСТЕМ
УПРАВЛЕНИЯ И РАДИОЭЛЕКТРОНИКИ (ТУСУР)
Б.И. Коновалов, Ю.М. Лебедев
ТЕОРИЯ АВТОМАТИЧЕСКОГО
УПРАВЛЕНИЯ
Учебное пособие
2002
Рецензенты:
лаборатория импульсных технологий сварки и наплавки
Института физики прочности и материаловедения Сибирского
отделения Российской академии наук (заведующий лабораторией
доктор технических наук Ю.Н. Сараев),
доцент кафедры теоретических основ электротехники Томского
политехнического университета, кандидат технических наук А.М.
Купцов
Коновалов Б.И., Лебедев Ю.М.
Теория автоматического управления: Учебное пособие. - Томск:
ТУСУР, 2002. – 221 с
Учебное пособие соответствует программе семестрового курса лекций
по теории линейных систем автоматического управления. Содержит
основные понятия, передаточные функции, частотные и временные
характеристики различных звеньев и систем автоматического управления.
Исследуется устойчивость непрерывных и импульсных систем,
производится оценка качества переходных и установившихся режимов
работы этих систем. Рассмотрены методы синтеза последовательных
корректирующих устройств.
Предназначено для студентов, обучающихся на всех формах обучения с
использованием дистанционных образовательных технологий.
Коновалов Борис Игоревич,
Лебедев Юрий Михайлович, 2002
ТУСУР, 2002
СОДЕРЖАНИЕ
Введение ……………………………………………………………………..…
1. Классификация САУ ……………………...………………………………...
2. Математическое описание линейных непрерывных САУ
2.1. Линеаризация статических характеристик и дифференциальных
уравнений ……………………………………………………………..….
2.2. Понятие передаточной функции ………………………………………..
2.3. Частотные характеристики ……………………………………...………
2.4. Временные функции и характеристики ………………………………..
2.5. Структурные схемы и их преобразование ……………………………..
3. Типовые звенья САУ
3.1. Понятие типового звена. Классификация типовых динамических
звеньев САУ ……..………………………………………………………
3.2. Минимально фазовые звенья
3.2.1. Звенья первого порядка …………………………………………..
3.2.2. Звенья второго порядка …………………………………………..
3.3. Особые звенья линейных САУ
3.3.1. Неминимально фазовые звенья …………………………………..
3.3.2. Звено чистого запаздывания ……..………………………………
4. Устойчивость САУ
4.1. Передаточные функции линейных непрерывных САУ ……………….
4.2. Понятие устойчивости линейных непрерывных САУ …….………….
4.3. .Критерий устойчивости Гурвица ………………………………………
4.4. .Критерий устойчивости Михайлова ……………………...……………
4.5. .Критерий устойчивости Найквиста ……………………………………
4.6. Оценка устойчивости по логарифмическим частотным
характеристикам. Запасы устойчивости ……………………………...
4.7. Частотные характеристики разомкнутых систем …………...………..
5. Оценка качества управления
5.1. Показатели качества управления в статическом режиме работы
САУ. Статические и астатические системы …………………..….…..
5.2. Показатели качества в динамических режимах работы САУ ……….
5.3..Косвенные методы оценки качества переходного процесса ...………
5.3.1. Частотные критерии оценки качества .………..………………..
5.3.2. Корневые критерии оценки качества ……...…….……………..
5.3.3. Интегральные критерии качества …...………………………….
6. Коррекция САУ
6.1. Понятие коррекции. Способы коррекции САУ ………………………
6.2. Синтез последовательных корректирующих устройств …...………..
6.3. Оптимальные характеристики САУ. Настройка систем на
технический и симметричный оптимумы ……………………...……..
7. Классификация дискретных САУ ………………………………………….
8. Основы математического описания САУ с АИМ
8.1. Понятие решетчатой функции. Разности решетчатых функций и
разностные уравнения ……………………………………………...….
8.2. Понятие дискретного преобразования Лапласа ……………………..
8.3.
Z
-преобразование ……………………………………………………..
9. Передаточные функции и частотные характеристики систем с АИМ
9.1. Передаточные функции разомкнутых систем с АИМ …………..….
9.2. Основные правила преобразования структурных схем. Уравнения
и передаточные функции замкнутых систем с АИМ ………………..
9.3. Частотные характеристики систем с АИМ …………………………..
10. Устойчивость систем с АИМ
10.1. Условия устойчивости систем с АИМ ……………………..……….
10.2. Анализ устойчивости САУ с АИМ
10.2.1. Аналог критерия Гурвица ………………………..…….…….
10.2.2. Аналог критерия Михайлова ……………………..………….
10.2.3. Аналог критерия Найквиста ……………….………..……….
11. Переходные и установившиеся процессы в замкнутых системах с АИМ.
Оценка качества управления
11.1. Переходные характеристики замкнутых систем с АИМ ………….
11.2. Показатели качества управления в системах с АИМ
11.2.1. Показатели качества в статическом режиме работы ……...
11.2.2. Оценка качества управления в динамических режимах …..
Список рекомендуемой литературы ……………………………….……
Приведенные уравнения полностью описывают процессы в САУ.
Если в них исключить переменные
)( ),(
t
t
x
ε
, то получим дифферен-
циальное уравнение САУ:
,...).,,...;,,,...;,,()(
y
y
f
f
f
g
g
g
t
y
′
′
′
′
′
′
′′′
=
ψ
(2.4)
Уравнение (2.4) описывает поведение системы во времени, опре-
деляет переходные процессы и обычно называется уравнением ди-
намики.
Однако в форме дифференциальных уравнений математическое
описание в теории автоматического управления обычно не применя-
ется вследствие сложности решения таких уравнений.
Исследование САУ существенно упрощается при использовании
прикладных математических методов операционного исчисления.
Возьмем некоторый элемент САУ, имеющий один вход и один
выход. Если на его вход подать сигнал
)(
t
x
, то изменение выходного
сигнала
)(
t
y
во времени будет описываться дифференциальным
уравнением
n-ой степени:
).(
)(
)()(
)(
)()()(
01
1
1
1
01
1
1
1
txb
dt
tdx
b
d
t
txd
b
d
t
txd
b
tya
dt
tdy
a
dt
tyd
a
dt
tyd
a
m
m
m
m
m
m
n
n
n
n
n
n
++⋅⋅⋅++=
=++⋅⋅⋅++
−
−
−
−
−
−
(2.5)
Пусть
{} {}
∫∫
∞
−
∞
−
====
00
)()()( ,)()()( dtetytypYdtetxtxpX
ptpt
LL – изо-
бражения по Лапласу величин
)(
t
x
и )(
t
y
. Тогда при нулевых на-
чальных условиях, т.е. при
0)0()0()0(
)1(
==⋅⋅⋅=
′
=
−m
xxx и
0)0()0()0(
)1(
==⋅⋅⋅==
−n
yyy , в соответствии с теоремой о диффе-
ренцировании оригиналов [1, 2], получим
)(
)(
),(
)(
pYp
dt
tyd
pXp
dt
txd
n
n
n
m
m
m
=
=
LL . (2.6)
С учетом (2.6), дифференциальное уравнение (2.5), содержащее
функции
)(
t
x
и )(
t
y ., при нулевых начальных условиях равносиль-
но линейному алгебраическому уравнению, содержащему изображе-
ния этих функций
)(
p
X
и )(
p
Y
:
(
)
(
)
).(
)(
01
1
1
01
1
1
pXbpbpbpb
pYapapapa
m
m
m
m
n
n
n
n
++⋅⋅⋅++=
=++⋅⋅⋅++
−
−
−
−
(2.7)
Таким образом, формально переход от дифференциального урав-
нения к алгебраическому относительно изображения при нулевых
начальных условиях получается путем замены символов дифферен-
цирования оригиналов функций
dt
d
d
t
d
d
t
d
n
n
n
n
..., , ,
1
1
−
−
соответственно
на
ppp
nn
..., , ,
1−
и функций )( ),(
t
y
t
x
- их изображениями
)( ),(
p
Y
p
X
. С комплексной переменной
p
, как и с другими члена-
ми алгебраического уравнения, можно производить различные дей-
ствия: умножение, деление, вынесение за скобки и т.д.
Каждый элемент САУ в общем случае описывается дифференци-
альным уравнением вида (2.5). Следовательно, при выводе диффе-
ренциального уравнения системы в целом необходимо совместно
решить систему дифференциальных уравнений.
Преобразование Лапласа позволяет свести задачу решения сис-
темы дифференциальных уравнений высших порядков к решению
системы алгебраических уравнений. Определив из алгебраических
уравнений изображение
)( p
Y
искомой функции
)(
t
y
, находят эту
функцию, пользуясь таблицами оригиналов и изображений или по
известным формулам обратного преобразования Лапласа.
Преобразование дифференциального уравнения по Лапласу дает
возможность ввести одно из фундаментальных понятий – понятие
передаточной функции.
Из уравнения (2.7) определим отношение изображения выходной
величины к изображению входной:
)(
)(
)(
01
1
1
01
1
1
pW
apapapa
bpbpbpb
pX
pY
n
n
n
n
m
m
m
m
=
++⋅⋅⋅++
++⋅⋅⋅++
=
−
−
−
−
. (2.8)
Отношение изображения выходной величины элемента (или сис-
темы) к изображению его входной величины при нулевых начальных
условиях называется передаточной функцией элемента (или систе-
мы).
Согласно (2.8), передаточная функция
)(
p
W
является дробно-
рациональной функцией комплексной переменной
p
:
,
)(
)(
)(
pA
pB
pW =
где
01
1
1
)( apapapapA
n
n
n
n
++⋅⋅⋅++=
−
−
– полином степени n,
01
1
1
)( bpbpbpbpB
m
m
m
m
++⋅⋅⋅++=
−
−
– полином степени m ,
причем
nm ≤ .
Из определения передаточной функции следует, что:
)()()(
p
W
p
X
p
Y
⋅
=
.
Передаточная функция является основной формой математиче-
ского описания объектов в теории автоматического управления и так
как она полностью определяет динамические свойства объекта, то
первоначальная задача расчета САУ сводится к определению переда-
точной функции.
Рассмотрим примеры по определению передаточной функций не-
которых простейших схем, характерных для электроники.
Пример 2.1.
Вывести передаточную функцию для схемы на рис.2.3, считая
входным воздействием приложенное напряжение
u , а выходным –
ток в цепи
i .
Процессы в схеме описы-
ваются уравнением
).(
)(
)( tRi
d
t
tdi
Ltu +=
Перейдем к изображениям
по Лапласу:
).)(()()()(
R
L
ppIp
RI
p
L
pIp
U
+
=
+
=
Составим передаточную функцию как отношение изображения
выходной величины к изображению входной величины:
R L
u i
Рис.2.3. Схема к примеру 2.1
,
1
1
1
1
)(
)(
)(
+
=
+
=
+
==
Tp
k
p
R
L
R
RLppU
pI
pW
где
R
k
1
=
– коэффициент передачи,
R
L
T =
- постоянная времени.
Передаточные функции принято записывать в такой форме, что-
бы свободные члены полиномов от
p
равнялись бы единице, что и
сделано как в рассмотренном примере, так и в последующих.
Пример 2.2.
Вывести передаточную функцию схемы на рис.2.4, считая вход-
ной величиной напряжение
1
u , а выходной –
2
u .
При выводе передаточной функ-
ции будем считать, что цепочка не
нагружена (никаких элементов к
выходным зажимам не подключено,
либо эти элементы имеют сопротив-
ление, стремящееся к бесконечно-
сти) и сопротивление источника
входного напряжения настолько ма-
ло, что им можно пренебречь.
Система уравнений, описывающих процессы в устройстве, схема
которого изображена на рис 2.4, имеет вид:
=
=
+=
.
)(
)(
),()(
),()()(
2
1
dt
tdu
Ctu
tutu
tutRitu
C
C
C
C
Подставив третье уравнение в первое, получим:
=
+=
).()(
),(
)(
)(
2
1
tutu
tu
dt
tdu
RCtu
C
C
C
R
С
1
u
2
u
i
Рис.2.4. Схема к примеру 2.2
Перейдем к изображениям:
(
)
=
⋅
+
=
).()(
),(1)(
2
1
pUpU
pURCppU
C
C
Передаточная функция
()
1
1
1
1
)(1
)(
)(
)(
)(
1
2
+
=
+
=
⋅+
==
TpRCppURCp
pU
pU
pU
pW
C
C
,
где
RC
T
=
– постоянная времени.
Пример 2.3.
Вывести передаточную функцию схемы на рис.2.5, считая вход-
ной величиной
1
u , выходной
2
u , при допущениях, сформулирован-
ных в примере 2.2.
Составляем два уравнения по второму закону Кирхгофа, одно
уравнение по первому закону Кирхгофа и расписываем выходную
величину:
=
+=
=
+=
).()(
,
)(
)()(
),()(
),()()(
222
12
11
221
tiRtu
dt
tdu
Ctiti
tiRtu
tiRtutu
R
C
RR
RC
RC
Из второго и третьего уравнений соответственно получим:
.
)()(
)( ,
)(
)(
1
2
1
1
dt
tdu
C
R
tu
ti
R
tu
ti
CC
R
C
R
+==
i
C
C
i
R1
R1
R2
u
1
u
2
i
R2
Рис.2.5. Схема к примеру 2.3