Коновалов Б.И., Лебедев Ю.М. Теория автоматического управления
Подождите немного. Документ загружается.
тонно уменьшается с ростом частоты, начиная со значения
k
, по об-
ратно квадратичной зависимости.
ЛАЧХ звена показана на рис.3.3, в. Но эта же характеристика мо-
жет быть представлена приближенно ломаной линией, которая пока-
зана на том же рисунке. Эта приближенная характеристика называет-
ся асимптотической ЛАЧХ. Такое название связано с тем, что эта
характеристика составлена из двух асимптот, к которым стремится
ЛАЧХ при ω → 0 и ω → ∞.
При малых значениях ω можно считать
1
22
<<
ω
T
, то есть
11
22
≈+ωT , следовательно .lg20)(
k
G
≈
ω
Q(
ω
)
k
ω
= 0 P(
ω
)
W(j
ω
)
ω
а
A(
ω
)
k
0
ω
б
G(
ω
)
Асимптотическая ЛАЧХ
k
lg20 Точная ЛАЧХ
3дБ - 20 дБ/дек
0 lgω
T
1
lg
ϕ(
ω
) lgω
4
π
−
2
π
−
в
Рис. 3.3. Частотные ха
р
акте
р
истики ине
р
ционного звена
ЛФЧХ
Соответственно характеристика представляет собой прямую, па-
раллельную оси абсцисс и проходящую на уровне
k
lg20
. Это первая
асимптота, к которой стремится ЛАЧХ при ω → 0.
С другой стороны, на больших частотах
;1
22
>>ω T ;1
22
TT ω≈ω+ .lg20lg20)(
T
k
G
ω−
=
ω
В этом случае характеристика представляет собой прямую,
имеющую наклон минус 20 дБ/дек. Действительно, при увеличении
ω на декаду, т.е. в 10 раз,
(
)
.10lg20lg20lg2010lg20lg20)( −
ω
−
=
⋅
ω
−=ω TkTkG
Таким образом, величина
G( )
ω
уменьшилась на 20 lg10, т.е. на
20 дБ. Эта линия является асимптотой, к которой стремится ЛАЧХ
при ω → ∞. Обе асимптоты пересекаются в точке, соответствующей
частоте
.
1
T
=
ω
Поэтому эта частота называется частотой сопря-
жения (сопрягающей частотой).
Максимальное расхождение между точной (
т
G ) и асимптотиче-
ской (
а
G ) ЛАЧХ наблюдается при частоте сопряжения.
Вычислим это расхождение, подставив в соотношения для
т
G и
а
G значения частоты сопряжения
T
1
c
=
ω
:
32lg201lg20lg20lg20)()(
2
ат
==+
+−=ω−ω
T
T
kkGG
дБ.
От параметров звена рассматриваемая величина не зависит.
На этом же рисунке показана ЛФЧХ: при ω → ∞ значение ϕ из-
меняется от 0 до минус
π
2
. При этом в точке
Т
1
с
=ω имеем ϕ
π
=−
4
.
Переходная функция инерционного звена может быть выведена
по формуле (2.14). Если
1
)(
+
=
Tp
k
pW
, то
k
B
p
B
=
=)(
,
1)( += Tpp
A
,
T
p
A
=
′
)(
. Передаточная функция имеет один полюс
T
p
1
1
= . Тогда по формуле (2.14) получим
−=
⋅
−
+=
′
+=
−
−
T
t
T
t
tp
ek
T
T
kek
pAp
Be
A
B
th 1
1
1)()0(
)(
11
1
,
а импульсная переходная функция
.
)(
)(
T
t
e
T
k
d
t
tdh
t
−
==
ω
Переходная характеристика представлена на рис.3.4, а.
Динамические свойства звена характеризуются постоянной вре-
мени
T
. Постоянная времени может быть определена как время, в
течение которого выходная величина достигла бы своего нового ус-
тановившегося значения, если бы она изменялась с постоянной ско-
ростью, равной скорости изменения ее в начальный момент времени
(см. рис. 3.4, а).
Коэффициент передачи
k
определяет свойства звена в устано-
вившемся режиме.
В рассмотренных выше примерах по определению передаточных
функций схемы на рис. 2.3, 2.4,. 2.7, а являются инерционными (апе-
риодическими) звеньями. Реализация этого звена на операционном
усилителе приведена на рис. 3.4, в. Действительно, если
1
1
1
)( ,)(
2
2
2
2
oc1вх
+
=
+
⋅
==
CpR
R
Cp
R
Cp
R
pZRpZ
,
C
R2
R1
в
Рис.3.4. Временные характеристики инерционного звена (а, б) и
его реализация на операционном усилителе (в)
)(
t
h
k
0
T
t
а
)(
t
w
T
k
0
t
б
то
()
11)(
)(
)(
21
2
вх
oc
+
−=
+
−=−=
Tp
k
CpRR
R
pZ
pZ
pW ,
где
CRT
R
R
k
2
1
2
, == .
Пример 3.1.
Асимптотическая ЛАЧХ апериодического звена имеет частоту
среза
1-
cp
c 100=ω . Коэффициент передачи звена 10=
k
. Требуется
определить постоянную времени
T
.
Решение
Нужно на графике или мысленно провести из точки на оси частот
2100lglglg
cp
=
=
ω=ω прямую с наклоном минус 20 дБ/дек до пе-
ресечения с горизонталью, проведенной на уровне
2010lg20lg20)(
=
==ω
k
G
. Координата точки пересечения по оси
частот даст логарифм сопрягающей частоты
1lg
c
=ω , отсюда
10
c
=ω и 1,0
10
11
c
==
ω
=Т с.
3.2.1.5. Форсирующее звено
Часто в литературе это звено именуется как пропорционально-
дифференцирующее. Выходная величина этого звена пропорцио-
нальна входной и производной от входной величины. Передаточная
функция и основные частотные функции:
(
)
;1)(
+
τ
=
pkpW
()
;1)(
+
τ
ω=ω jkjW
[
]
;)(Re)( kjWP
=
ω
=
ω
[
]
;)(Im)(
ω
τ
=
ω
=
ω
kjWQ
;1)()(
22
+τω=ω=ω kjWA ;arctg
)(
)(
arctg)( ωτ=
ω
ω
=ωϕ
P
Q
.1lg20lg20)(lg20)(
22
+τω+=ω=ω kAG
Звено характеризуется двумя параметрами – коэффициентом пе-
редачи
k
и постоянной дифференцирования
τ
.
На рис. 3.5, а – в приведены частотные характеристики форси-
рующего звена, они обратны характеристикам инерционного звена.
АФЧХ (рис. 3.5, а) имеет вид полуокружности радиуса
2
k
с цен-
тром в точке
0,
2
j
k
, расположенной в первом квадранте комплекс-
ной плоскости. АЧХ (рис. 3.5, б) монотонно возрастает с ростом час-
Рис. 3.5. Частотные характеристики форсирующего звена (а – в)
и его реализация на операционном усилителе (г)
A(
ω
)
k
0
ω
б
Q(ω)
ω
W(jω)
P(ω)
0 k
a
C R2
R1
г
G(
ω
)
+20 дБ/дек
20 lg k
0
τ
1
lg
lg ω
ϕ(ω)
2
π
4
π
0
lg ω
в
тоты, начиная со значения
k
. Низкочастотные асимптоты ЛАЧХ
форсирующего (рис.3.5, в) и инерционного звеньев совпадают, но
высокочастотная асимптота ЛАЧХ форсирующего звена имеет на-
клон плюс 20 дБ/дек. Частота сопряжения равна
τ
ω
1
c
=
. ЛФЧХ
форсирующего звена точно такая же, как и у инерционного, только
фаза имеет положительные значения.
Переходная характеристика форсирующего звена
[]
1)()(
+
= tkth
τδ
, т.е. равна сумме переходных характеристик диф-
ференцирующего и пропорционального звеньев. В начальный мо-
мент времени она имеет скачек бесконечной амплитуды, как и у иде-
ального дифференцирующего звена, а далее проходит горизонтально,
как и у пропорционального звена.
На рис. 3.5, г приведена схемная реализация форсирующего звена
на операционном усилителе (на пассивных четырехполюсниках это
звено не реализуется). Поскольку в схеме
2ос
1
1
1
1
вх
)( ,
1
1
1
)( RpZ
CpR
R
Cp
R
Cp
R
pZ =
+
=
+
⋅
=
,
то
()
)1
1
)(
)(
)(
1
1
2
вх
oc
+−=
+
−=−= pk
CpR
R
R
pZ
pZ
pW
τ
,
где
CR
R
R
k
1
1
2
, ==
τ
.
Остальные звенья первого порядка образованы путем последова-
тельного соединения рассмотренных звеньев и их относят к типовым
ввиду широкого применения в САУ.
3.2.1.6. Инерционное форсирующее звено
Это звено представляет последовательное соединение инерцион-
ного
)(
ин
pW и форсирующего
)(
форс
pW
звеньев, поэтому их пере-
даточные функции и АЧХ перемножаются, т.е.
(
)
,
1
1
)()()(
форсин
+
+
τ
=⋅=
Tp
pk
pWpWpW
1
1
)()()(
22
22
форсин
+
+
=⋅=
T
k
AAA
ω
τω
ωωω
,
а ЛАЧХ и ЛФЧХ – складываются:
,1lg20
1lg20lg20)()()(
22
22
форсин
+ω−
−+τω+=ω+ω=ω
T
kGGG
(
)()
T⋅ω
−
τ
⋅
ω
=
ω
ϕ
+ωϕ
=
ωϕ arctgarctg)()()(
форсин
.
На рис. 3.6 а, б изображены логарифмические частотные харак-
теристики инерционного форсирующего звена, их вид существенно
зависит от соотношения постоянных времени
τ
и
T
. При
T
<
τ
(рис.3.6, а) ЛАЧХ имеет наклон –20 дБ/дек после частоты сопряже-
ния
T
1
c1
=
ω
и нулевой наклон после частоты сопряжения
τ
ω
1
c2
= .
При
T
>
τ
(рис.3.6, б) ее наклон +20 дБ/дек после частоты сопряже-
ния
τ
=ω
1
c1
и нулевой наклон после
T
1
c2
=ω . ЛФЧХ в результате
суммирования составляющих )(
ин
ω
ϕ
и )(
форс
ω
ϕ
(на рис.3.6, а, б
они показаны штрихпунктирными линиями) имеет колоколообраз-
ную форму.
Расчетное выражение для переходной функции инерционного
форсирующего звена может быть получено по формуле (2.15) при
()
1)( += pkpB
τ
, 1)(
+
= Tp
p
A
,
T
p
A
=
′
)( ,
T
p
1
1
= :
−+=
−
+−
+=
′
+=
−
−
T
t
T
t
tp
e
T
k
T
T
e
T
k
k
pAp
epB
A
B
th 11
1
1
)(
)(
)0(
)0(
)(
11
1
1
τ
τ
.
При
0=
t
, переходная характеристика будет иметь начальный
скачок, равный
T
kh
τ
=)0( , а при
∞
=
t
установившееся значение
k
h =∞)( . Если
T
<
τ
скачок на переходной характеристики (рис.3.6,
в) будет меньше установившегося значения, а при
T
>
τ
скачок на
переходной характеристике (рис.3.6, г) превышает установившееся
значение.
Рис. 3.6. ЛАЧХ и ЛФЧХ (а, б), переходные характеристики (б,
в) инерционного форсирующего звена (а – в) и варианты его реализа-
ция на операционном усилителе (г, е)
C R3
R2
R1
д
C R2 R3
R1
е
G(
ω
) -20 дБ/дек
G
0
lg
1
τ
0
T
1
lg
lg
ω
π
2
ϕ(ω)
π
4
0
lg
ω
4
π
−
2
π
−
а
G(
ω
) +20 дБ/дек
G
0
T
1
lg
0
lg
1
τ
lg
ω
π
2
ϕ(ω)
π
4
0
lg
ω
4
π
−
2
π
−
б
h(t)
k
T
k
τ
0 t
в
h(t)
T
k
τ
k
0 t
г
Схемная реализация инерционного форсирующего звена также
зависит от соотношения
τ
и
T
. На рис. 3.6, д приведена его реализа-
ция на операционном усилителе при
T
<
τ
, для этой схемы
== )( ,)(
ос1вх
pZRpZ
()
()
1
1
1
1
32
32
32
32
++
+⋅
=
++
+⋅
=
CpRR
CpRR
Cp
RR
Cp
RR
. Пере-
даточная функция
()
()
()
1
11
1
)(
32
3
1
2
1
32
32
++
+
⋅−=
++
+
⋅
−=
CpRR
CpR
R
R
R
CpRR
CpRR
pW
,
то есть
1
2
R
R
k =
,
CR
3
=
τ
,
(
)
CRRT
32
+
=
.
В схеме на рис. 3.6, е
T
<
τ
, и для такого звена
1
3
R
R
k =
,
()
CRR
21
+=
τ
, CRT
2
= .
3.2.1.7. Изодромное звено
Это звено представляет последовательное соединение интегри-
рующего и форсирующего звеньев, его передаточная функция имеет
вид
(
)
p
pk
pWpWpW
1
)()()(
форсинт
+
=⋅=
τ
.
Как и в предыдущем случае, ЛАЧХ и ЛФЧХ складываются, т.е.
ωτωωωω
lg201lg20lg20)()()(
22
форсинт
−++=+= kGGG ,
()
2
arctg)()()(
форсинт
π
τωωϕωϕωϕ
−⋅=+= .
На рис. 3.7 а, приведены ЛАЧХ и ЛФЧХ изодромного звена. До
частоты сопряжения
τ
ω
1
c
= ЛАЧХ проходит с наклоном –20 дБ/дек,
а после нее – горизонтально. Суммарная ЛФЧХ представляет собой
ЛФЧХ форсирующего звена, смещенную за счет интегрирующего
звена на угол
2
π
− .
Переходная функция изодромного звена может быть выведена по
формуле (2.15), поскольку изображение выходной величины будет
содержать нулевой полюс кратности 2, т.е.
[
]
()
[
]
()
tkepk
dp
d
epB
dp
d
th
p
pt
p
pt
+τ=+τ==
==
||
00
1)()( .
Переходная характеристика звена (рис.3.7, б) будет представлять
собой линейную зависимость, смещенную относительно начала ко-
ординат на величину
τ
k
.
Рис. 3.7. ЛАЧХ и ЛФЧХ (а), переходная характеристика (б),
изодромного звена и его реализация на операционном
усилителе (в)
h(t)
kτ
0 t
б
C R2
R1
в
G(ω) -20дБ/дек
G
0
0
lg
1
τ
lg
ω
π
2
ϕ(ω)
π
4
lg
ω
0
4
π
−
2
π
−
а