Колпаков Б.А., Лебедев Б.О. Техническая физика. Часть 1 - Теплофизические основы судовой энергетики

Подождите немного. Документ загружается.

147

15.3 Стационарная теплопроводность цилиндрической

стенки

Особенность передачи теплоты через цилиндрическую стенку за-

ключается в том, что тепловой поток передаётся в условиях изменяю-

щейся поверхности теплообмена – меньшей внутри и большей снаружи.

Поэтому плотность теплового потока здесь переменная, и использовать

формулы для теплопроводности плоской стенки нельзя.

Пусть через стенку трубы, имеющей внутренний диаметр d

, на-

ружный d

и длину l, в радиальном направлении передаётся тепловой

поток Ф при изменении температуры стенки от t

до t

, как это показа-

но на рисунке 15.3,а.

Если выделить внутри стенки кольцевой слой радиусом r и толщи-

ной dr, то можно принять внутреннюю и наружную поверхности этого

элементарного цилиндра одинаковыми из-за малой толщины и рассмат-

ривать этот слой как плоскую стенку. Разность температур между по-

верхностями выделенного элемента бесконечно мала и равна dt.

По закону Фурье для выделенного кольцевого элемента

Рисунок 15.3

б)

НГАВТ - Стр 151 из 239

Новосибирская Государственная Академия Водного Транспорта

148

qAФ

2×-== (15.17)

При разделении переменных и интегрировании выражения (15.17)

в пределах изменения температур от t

до t

и радиуса от r

до r

, полу-

чается

222

ln,, ×=-×-=×-=

òò

plplpl

После замены радиусов соответствующими диаметрами и некото-

рого преобразования последнее выражение имеет вид:

)/ln(

)(

ttl

(15.18)

Если левую и правую части формулы (15.18) разделить на длину

цилиндра l , то получается выражение для линейной плотности теплово-

го потока, отнесенного к 1 м длины:

)/ln(

)(

lФq

(15.19)

Для многослойной цилиндрической стенки, показанной на рисунке

15.3,б, справедлива следующая система равенств:

)ln(

)(

)/ln(

)(

)/ln(

)(

ttl

(15.20)

При совместном решении трёх уравнений, получается следующая

формула:

ncc

ttl

)(

(15.21)

Линейная плотность теплового потока при теплопроводности мно-

гослойной стенки равна

НГАВТ - Стр 152 из 239

Новосибирская Государственная Академия Водного Транспорта

149

ncc

lФq

)(

(15.22)

НГАВТ - Стр 153 из 239

Новосибирская Государственная Академия Водного Транспорта

149

16 Конвективный теплообмен

16.1 Закон Ньютона-Рихмана

Конвективным теплообменом называют распространение теплоты

в жидкой или газообразной среде с неоднородным распределением тем-

пературы, осуществляемое макроскопическими элементами среды при

ее перемещении.

При естественной конвекции или вынужденном движении потока

вдоль твердой поверхности около стенки в жидкости или газе образует-

ся гидродинамический пограничный слой, где из-за внутреннего трения -

вязкости происходит изменение скорости от нулевой (у самой поверхно-

сти) до скорости основного ядра потока. Структура пограничного слоя

изменяется по длине обтекаемой поверхности, как это показано на ри-

сунке 16.1.

На начальном участке образуется ламинарный слой с увеличиваю-

щейся толщиной

. Воздействие нормальных к поверхности пульса-

ций скорости, вызванное трением, приводит к разрушению ламинарного

пограничного слоя и образованию турбулентного пограничного слоя

Рисунок 16.1

кр

пл

НГАВТ - Стр 154 из 239

Новосибирская Государственная Академия Водного Транспорта

150

толщиной

, в котором все же сохраняется тонкий ламинарный под-

слой.

Наряду с гидродинамическим пограничным слоем в потоке суще-

ствует тепловой пограничный слой, в котором температура изменяется

от температуры стенки до температуры основного ядра потока. В общем

случае толщины гидродинамического и теплового пограничных слоев

различны, но взаимосвязь между ними наблюдается. Обобщение данных

показывает следующее:

lrndd

/// c

оТ

1» , (16.1)

где

,,, c

- соответственно, кинематическая вязкость, теплоемкость,

плотность и теплопроводность жидкости.

Интенсивность теплообмена между жидкостью и стенкой во мно-

гом зависит от структуры и толщины пограничного слоя.

Для расчета процесса теплоотдачи используется формула Ньюто-

на-Рихмана

)ta(tq

Cп

-= , (16.2)

где q - плотность теплового потока,

- коэф-

фициент теплоотдачи,

t - температура потока,

t - температура стенки.

Коэффициент теплоотдачи

, характери-

зующий количество теплоты, передаваемой в

единицу времени через единицу площади при

разности температур потока и стенки в 1 К,

измеряется в Дж/(кг·К). Численное значение

коэффициента теплоотдачи зависит от многих

факторов: скорости движения потока, темпера-

туры стенки и потока, вязкости, плотности,

теплоемкости и других параметров жидкости

или газа.

Когда встречается задача с многозначными, сложными функцио-

нальными связями, используется два пути её решения: аналитический с

использованием физико-математического аппарата и эксперименталь-

ный.

В первом случае на основе знания физики процесса составляются

дифференциальные уравнения, описывающие и учитывающие особен-

ности явлений и эффектов, влияющих на развитие процесса, затем при-

Ри

сунок 16.2

НГАВТ - Стр 155 из 239

Новосибирская Государственная Академия Водного Транспорта

151

нимаются условия однозначности - геометрические, начальные, гранич-

ные, и система уравнений решается с определением конкретных значе-

ний искомых параметров.

Второй путь связан с созданием экспериментальной установки,

проведением опытов, обработкой полученных результатов и определе-

нием искомых величин или взаимосвязей между параметрами.

История развития теплотехники показала, что при изучении про-

цессов теплоотдачи оба этих метода имеют недостатки. Ввиду сложно-

сти дифференциальных уравнений и необходимости введения упроще-

ний в условия постановки задачи, результаты расчетов зачастую имеют

большие погрешности. Данные экспериментального метода оказывают-

ся справедливыми лишь для конкретных условий проведения опытов, и

вольный перенос полученных результатов на другие похожие случаи

является неправомерным.

В начале 20-го века была разработана новая теория решения таких

сложных задач - теория подобия или теория обобщенных переменных.

Эта теория синтезировала достоинства аналитического и эксперимен-

тального методов: на основе дифференциальных уравнений определя-

ются безразмерные комплексы переменных величин, характеризующих

рассматриваемый процесс, а интегральные взаимосвязи-решения, спра-

ведливые для многих подобных процессов, находятся эксперименталь-

ным путем. Эта теория позволила определить условия моделирования

физических процессов.

16.2 Основы теории подобия

Из школьного курса математики

известно, что подобными называются

геометрические фигуры, у которых

отношение длин любых сходственных

сторон равны. Так, для подобных тре-

угольников, изображенных на рисунке

16.3:

АВ/ав=BC/вс=CА/са=

k ,

где

k - постоянный множитель.

С этих позиций может быть

Рисунок 16.3

С а

НГАВТ - Стр 156 из 239

Новосибирская Государственная Академия Водного Транспорта

152

рассмотрено подобие физических процессов и явлений, хотя решение

при этом оказывается более сложным, так как кроме геометрического

подобия должно быть соблюдено подобие полей физических констант и

переменных величин, связанных между собой сложными зависимостя-

ми.

При подобии физических процессов исходят из следующего:

- подобные процессы должны происходить в подобных геомет-

рических системах;

- подобные процессы должны описываться одними и теми же

дифференциальными уравнениями и иметь одинаковую физическую

сущность;

- в подобных процессах поля физических величин (скоростей, тем-

ператур, давлений и др.) должны быть подобны.

Подобными полями одноименных величин называют поля, различие

которых сводится к неодинаковости их масштабов.

Смысл теории достаточно полно выражают теоремы подобия.

Первая теорема подобия, разработанная Ньютоном, говорит о

том, что подобные между собой явления или процессы имеют одина-

ковые значения чисел (критериев) подобия - безразмерных комплексов,

составленных из параметров, определяющих данное явление или про-

цесс.

Вторая теорема подобия , доказанная Букингамом, утверждает,

что числа подобия, полученные из дифференциальных уравнений, одно-

временно являются и числами подобия, полученными из решения (инте-

грала) этих уравнений, то есть интеграл дифференциального уравне-

ния или системы уравнений может быть представлен как функция

чисел подобия дифференциального уравнения.

Третья теорема подобия (теорема Кирпичёва-Гухмана) доказы-

вает необходимость и достаточность сформулированных выше тре-

бований для суждения о подобии процессов: подобны те процессы,

условия однозначности которых подобны и числа подобия, составлен-

ные из условий однозначности, равны.

Порядок определения чисел подобия из дифференциальных урав-

нений можно показать на простом примере получения числа Нуссельта.

При турбулентном движении потока передача теплоты происходит

за счет перемешивания частиц движущейся среды, и изменение темпе-

ратуры в направлении нормали к стенке весьма незначительно. В преде-

лах ламинарного слоя распространение теплоты возможно только теп-

НГАВТ - Стр 157 из 239

Новосибирская Государственная Академия Водного Транспорта

153

лопроводностью, так как в пределах этого слоя жидкость или газ дви-

жутся струйно, то есть без перемешивания. Для такого пограничного

слоя справедливо как уравнение Фурье, так и уравнение Ньютона-

Рихмана:

бДt

q=-л =

, (16.3)

где

- температурный градиент в пограничном слое.

Для двух подобных процессов теплообмена между стенкой и пото-

ком

t ,

(16.4)

¢¢

(16.5)

где параметры со значком ¢ определяют первую систему, а со значком ²

- вторую систему.

Из условий подобия вводятся множители подобных преобразова-

ний:

C C

C =

;;;

(16.6)

Если выразить параметры второй системы через параметры первой

и введенные множители

Cll CCtt C ×

,,,

llaa

то, после подстановки в уравнение 16.5 , получается:

tCC

×=

(16.7)

Уравнения (16.7) и (16.4 ) тождественны в том случае, если

1==

откуда

;

Последний комплекс, равный единице, называют индикатором по-

добия.

Если в индикатор подобия подставить значения множителей из со-

отношений (16.6), то получается следующее:

idem.

lб

лlб

¢¢

¢¢¢¢

НГАВТ - Стр 158 из 239

Новосибирская Государственная Академия Водного Транспорта

154

Последнее равенство говорит о том, что в подобных процессах те-

плообмена комплекс

= ,

называемый числом Нуссельта, имеет одно и то же числовое значение.

Это число определяет соотношение теплоты, переданной конвективной

теплоотдачей, к теплоте, переданной теплопроводностью.

Подробный анализ, аналогичный вышеприведенному, относитель-

но уравнений движения, энергии и неразрывности потока, выполнен-

ный в главе 18, выявил следующие числа гидродинамического и тепло-

вого подобия:

lщ

=Re - Рейнольдса число, характеризующее отношение сил

инерции к силам внутреннего трения (вязкости);

Cr D=

- Грасгофа число, определяющее соотношение гра-

витационных и вязкостных сил;

a/Pr

= - Прандтля число, характеризующее механизм и способ-

ность распространения теплоты в потоке;

= - Фурье число, отражающее соответствие между тем-

пом изменения теплотехнических условий в окружающей среде и тем-

пом перестройки температурного поля внутри тела;

= - Эйлера число, представляющее собой соотношение

сил статического давления к динамическим силам;

= - гомохронности число, характеризующее нестацио-

нарность процессов и определяющее сходственные моменты времени в

подобных системах.

Числа подобия можно перемножать и делить. При этом в системе

критериев, определяющих процесс, кроме вновь полученного, должен

быть один из исходных. Таким образом образованы:

GrRa - Рэлея число, PrRe

Pe - Пекле число.

В перечисленных числах подобия:

НГАВТ - Стр 159 из 239

Новосибирская Государственная Академия Водного Транспорта

155

- определяющая, то есть характерная, скорость потока жидкости

или газа (средняя по сечению, максимальная или иная);

l - определяющий, то есть характерный для геометрической систе-

мы линейный размер (диаметр, длина и др.);

- коэффициент объемного расширения движущейся среды;

a -коэффициент температуропроводности cреды;

- температурный напор (разность температур стенки и потока);

- время;

- теплопроводность газа или жидкости;

с – теплоёмкость движущейся среды;

- плотность газа или жидкости

При изучении процессов конвективного теплообмена определяе-

мым или искомым является число Нуссельта, поскольку оно содержит

коэффициент теплоотдачи, а остальные числа подобия являются опреде-

ляющими. Влияние определяющих критериев на искомый может быть

различным - существенным или пренебрежительно малым в зависимо-

сти от влияния физических эффектов на данный процесс.

Взаимосвязь между критериями, определяемая экспериментальным

путём, в общем случае имеет такой вид:

)PrRe l.....l/,Gr,f(Nu

= , (16.8)

где ll

/ - симплекс, характеризующий геометрическое подобие и пред-

ставляющий собой отношение характерных линейных размеров.

Конкретные уравнения обычно представлены в виде степенных за-

висимостей типа

,)l...(l/GrANu

adb

= Re (16.9)

где A,b,d,a - опытные коэффициенты.

При этом обязательно оговариваются условия проведения экспери-

ментов:

- какая скорость потока считается определяющей;

- какой линейный размер геометрической системы принят в качест-

ве определяющего;

- какая температура (потока, стенки или иная) является опреде-

ляющей при нахождении значений физических параметров среды (плот-

ности, вязкости и пр.);

НГАВТ - Стр 160 из 239

Новосибирская Государственная Академия Водного Транспорта