Колесников А.А. Синергетические методы управления сложными системами: механические и электромеханические системы
Подождите немного. Документ загружается.
x
2
x
3
ν
1
= ω, ν
4
= −x
3ψ
1 − x
2
2ψ
− x
2
3ψ
,ν
5
= x
2ψ
1 − x
2
2ψ
− x
2
3ψ
,
ψ
4
=0 ψ
5
=0
˙x
2ψ
(t)=
1 − x
2
2ψ
− x
2
3ψ
x
2ψ
− ωx
3ψ
,
˙x
3ψ
(t)=
1 − x
2
2ψ
− x
2
3ψ
x
3ψ
+ ωx
2ψ
.
x
2ψ
= r cos ϕ x
3ψ
= r sin ϕ
˙r(t)=r − r
3
,
˙ϕ(t)=ω.
r(t)=
r
2
0
r
2
0
+(1− r
2
0
) e
−2t
;
x
2ψ
(t)=r(t)cos(ϕ
0
+ ωt) ,x
3ψ
(t)=r(t)sin(ϕ
0
+ ωt) .
u
4
u
5
ψ
4
= γ(x
4
− ν
4
)+x
5
− ν
5
,
ψ
5
= ξ(x
4
− ν
4
)+x
5
− ν
5
,
ν
4
ν
5
ψ
4
ψ
5
(γ − ξ)u
4
=(γ − ξ)
C − B
A
x
1
x
5
+(γ − ξ)
x
4
(1 − x
2
2
− 2x
2
3
)+
+ x
2
x
3
x
5
− x
1
x
2
1 − x
2
2
− x
2
3
−
1
T
4
ψ
4
+
1
T
5
ψ
5
;
T
4
> 0,T
5
> 0,γ= ξ,
(γ − ξ)u
5
=(γ − ξ)
B − A
C
x
1
x
4
+(γ − ξ)
x
5
(1 − 2x
2
2
− x
2
3
)+
+ x
2
x
3
x
4
− x
1
x
2
1 − x
2
2
− x
2
3
−
ξ
T
4
ψ
4
+
γ
T
5
ψ
5
.
ψ
4
=0 ψ
5
=0
r
s
=1 ω
u
1
u
4
u
5
ψ
1
=0 ψ
4
=0 ψ
5
=0
ψ
s
= γ
s1
(x
1
− ν
1
)+γ
s4
(x
4
− ν
4
)+γ
s5
(x
5
− ν
5
),s=1, 4, 5.
ψ
s
ν
1
=0 ν
4
= β
1
x
3
ν
5
= −α
1
x
2
T
s
˙
ψ
s
(t)+ψ
s
=0,s=1, 4, 5,
u
1
=
A − C
B
x
3
x
4
+
D
1
D
;
u
4
=
C − B
A
x
1
x
5
+
D
4
D
;
u
5
=
B − A
C
x
1
x
4
+
D
5
D
,
D =
$
$
$
$
$
$
$
$
γ
11
γ
14
γ
15
γ
21
γ
24
γ
25
γ
31
γ
34
γ
35
$
$
$
$
$
$
$
$
; D
1
=
$
$
$
$
$
$
$
$
Φ
1
γ
14
γ
15
Φ
2
γ
24
γ
25
Φ
3
γ
34
γ
35
$
$
$
$
$
$
$
$
;
D
4
=
$
$
$
$
$
$
$
$
γ
11
Φ
1
γ
15
γ
21
Φ
2
γ
25
γ
31
Φ
3
γ
35
$
$
$
$
$
$
$
$
; D
5
=
$
$
$
$
$
$
$
$
γ
11
γ
14
Φ
1
γ
21
γ
24
Φ
2
γ
31
γ
34
Φ
3
$
$
$
$
$
$
$
$
.
Φ
1
= β
1
γ
14
x
1
x
2
+ α
1
γ
15
x
1
x
3
+(β
1
γ
14
x
4
− α
1
γ
15
x
5
)
1 − x
2
2
− x
2
3
−
1
T
1
ψ
1
;
Φ
2
= β
1
γ
44
x
1
x
2
+ α
1
γ
45
x
1
x
3
+(β
1
γ
44
x
4
− α
1
γ
45
x
5
)
1 − x
2
2
− x
2
3
−
1
T
4
ψ
4
;
Φ
3
= β
1
γ
54
x
1
x
2
+ α
1
γ
55
x
1
x
3
+(β
1
γ
54
x
4
− α
1
γ
55
x
5
)
1 − x
2
2
− x
2
3
−
1
T
5
ψ
5
.
ψ
1
=0
ψ
4
=0 ψ
5
=0
˙x
2ψ
(t)=−α
1
x
2ψ
1 − x
2
2ψ
− x
3
3ψ
;
˙x
3ψ
(t)=−β
1
x
3ψ
1 − x
2
2ψ
− x
3
3ψ
.
x
2ψ
x
3ψ
x
2ψ
˙x
2ψ
(t)+x
3ψ
˙x
3ψ
(t)=−(α
1
x
2
2ψ
+ β
1
x
2
3ψ
)
1 − x
2
2ψ
− x
3
3ψ
.
r
2
= x
2
2ψ
+ x
2
3ψ
α
1
= β
1
= α r
˙r(t)=−αr
√
1 − r
2
,
x
2
x
3
ψ
k
=0
r(t) α>0 t →∞ α<0
t →∞ r
s
=1
T
1
> 0 T
4
> 0 T
5
> 0
u
1
ψ
1
= x
1
=0
ν
1
ν
4
ν
5
λ
i0
λ
ik
ω
i0
= ω
ik
=0
x
1
x
2
α
1
= β
1
=0
x
1
= x
4
= x
5
=0
T
1
T
4
T
5
α
i
=0 β
i
=0 x
2
x
3
α
i
β
i
A =7 B =8 C =9 α
1
= β
1
=1 T =1 γ
11
=3 γ
25
=5
γ
24
= γ
31
=2 γ
14
= γ
15
= γ
21
= γ
34
= γ
35
=1
0 ÷ t
1
=0, 5 t t
2
=1, 5
A =7 B =8 C =9 t = t
1
÷ t
2
A =30 B =1 C =3
A B C
x
1
x
4
x
5
x
2
x
3
M
i
J =
∞
0
&
ψ
2
1
+ ψ
2
4
+ ψ
2
5
+ T
2
1
˙
ψ
2
1
(t)+T
2
4
˙
ψ
2
4
(t)+T
2
5
˙
ψ
2
5
(t)
'
dt.
ψ
1
ψ
4
ψ
5
J =
∞
0
&
R
1
x
2
1
,x
2
4
,x
2
5
+ R
2
x
2
2
,x
2
3
+ R
3
u
2
1
,u
2
4
,u
2
5
+Φ
x
1
,...,x
5
,u
1
,u
4
,u
5
'
dt,
R
1
= a
2
1
x
2
1
+ a
2
4
x
2
4
+ a
2
5
x
2
5
R
2
= b
2
2
x
2
2
+ b
2
3
x
2
3
R
3
= k
2
1
u
2
1
+ k
2
4
u
2
4
+ k
2
5
u
2
5
Φ(x
1
,...,x
5
,u
1
,u
4
,u
5
)
x
1
,...,x
5
u
1
,u
4
,u
5
a
k
b
k
k
r
R
1
R
2
R
3
A B C
α
2
α
3
β
3
γ ρ ψ
4
ψ
5
R
1
R
2
R
3
Φ
x
1
= V
x
x
2
= V
y
x
3
= V
z
x
4
= ω
x
x
5
= ω
y
x
6
= ω
z
x
7
= x
g
x
8
= y
g
x
9
= z
g
x
10
= θ x
11
= ψ x
12
= ϕ u
1
= T u
2
= δ u
3
= δ u
4
=∆δ
V =
V
2
x
+ V
2
y
+ V
2
z
α ≈−V
y
/V β ≈ V
z
/V
˙x
1
(t)=
u
1
− 0, 5ρV
2
v
2/3
−c
α
x
x
2
/V + c
β
x
x
3
/V + c
δ
x
u
2
+ c
δ
x
u
3
−
− m
z
x
5
x
3
+ m
y
x
6
x
2
/m
x
;
˙x
2
(t)=
0, 5ρV
2
v
2/3
−c
α
y
x
2
/V + c
ω
z
y
x
6
+ c
δ
y
u
2
−
− m
x
x
6
x
1
+ m
z
x
4
x
3
/m
y
;
˙x
3
(t)=
0, 5ρV
2
v
2/3
c
β
z
x
3
/V + c
ω
y
z
x
5
+ c
δ
z
u
3
−
− m
y
x
4
x
2
+ m
x
x
5
x
1
/m
z
;
˙x
4
(t)=0, 5ρV
2
v
m
β
x
x
3
/V + m
ω
x
x
x
4
+ m
∆δ
x
u
4
/J
x
;
˙x
5
(t)=
0, 5ρV
2
v
m
β
y
x
3
/V +m
ω
y
y
x
5
+m
δ
y
u
3
−x
4
x
6
(J
x
−J
z
) −x
1
x
3
(m
x
−m
z
)
/J
y
;
˙x
6
(t)=
0, 5ρV
2
v
−m
α
z
x
2
/V +m
ω
z
z
x
6
+m
δ
z
u
2
−x
4
x
5
J
x
−J
y
−x
1
x
2
m
y
−m
x
/J
z
;
˙x
7
(t)=x
1
− x
2
x
12
+ x
3
x
11
;˙x
8
(t)=x
1
x
12
+ x
2
− x
3
x
10
;
˙x
9
(t)=−x
1
x
11
+ x
2
x
10
+ x
3
;˙x
10
(t)=(x
4
+ x
4
x
10
x
12
− x
5
x
12
+ x
6
x
2
12
)/(1 + x
10
x
12
);
˙x
11
(t)=(x
5
− x
6
x
12
)/(1 + x
10
x
12
); ˙x
12
(t)=(x
6
+ x
5
x
11
)/(1 + x
10
x
12
).
u = u(x)
u
4
y
∗
g
V
∗
ϕ
∗
x
8
= y
∗
g
x
1
= V
∗
x
11
= ϕ
∗
x
10
=0
ψ
1
= x
1
− γ
1
;
ψ
2
= x
2
− γ
2
;
ψ
3
= x
5
− γ
3
;
ψ
4
= x
4
− γ
4
; .
γ
i
T
i
˙
ψ
i
+ψ
i
=0,i=1, ..., 4
ψ
i
=0,i =1, ..., 4
u
1
=0, 5ρV
2
v
2/3
−c
α
x
x
2
/V + c
β
x
x
3
/V + c
δ
x
u
2
+ c
δ
x
u
3
+ m
z
x
5
x
3
− m
y
x
6
x
2
+
+ m
x
˙γ
1
(t) − m
x
(x
1
− γ
1
) /T
1
;
u
2
=
c
α
y
x
2
/V − c
ω
z
y
x
6
+
2
ρV
2
v
2/3
m
x
x
6
x
1
− m
z
x
4
x
3
+ m
y
˙γ
2
(t)−
+ m
y
(x
2
− γ
2
) /T
2
/c
δ
y
;
u
3
=
− m
β
y
x
3
/V − m
ω
y
y
x
5
+
2
ρV
2
v
x
4
x
6
(J
x
− J
z
)+x
1
x
3
(m
x
− m
z
)+
+ J
y
˙γ
3
(t) − J
y
(x
5
− γ
3
) /T
3
/m
δ
y
;
u
4
=
− m
β
x
x
3
/V − m
ω
x
x
x
4
+
2J
x
ρV
2
v
˙γ
4
(t) − (x
4
− γ
4
) /T
4
/m
∆δ
x
.
γ
i
˙γ
i
(t)
γ
i
x
1
= V
∗
ψ
1
=0 γ
1
= V
∗
˙γ
i
(t)
˙γ
i
(t) γ
i
˙x
8
(t)=V
∗
x
12
+ γ
2
− x
3
x
10
;
˙x
10
(t)=
γ
4
+ γ
4
x
10
x
12
− γ
3
x
12
+ x
6
x
2
12
1+x
10
x
12
;
˙x
11
(t)=
γ
3
− x
6
x
12
1+x
10
x
12
.
γ
2
γ
3
γ
4
ψ
5
= x
8
− y
∗
g
;
ψ
6
= x
10
;
ψ
7
= x
11
− ϕ
∗
.
ψ
5
=0 ψ
6
=0 ψ
7
=0
ψ
1
=0 γ
2
γ
3
γ
4
˙
ψ
i
+ ψ
i
=0,i=5, ..., 7
γ
2
= −V
∗
x
12
+ x
3
x
10
− x
8
+ y
∗
g
;
γ
3
= x
12
x
6
− x
11
− x
10
x
11
x
12
+ ϕ
∗
(1 + x
10
x
12
);
γ
4
= −x
11
x
12
− x
10
+ ϕ
∗
x
12
.
γ
1
γ
2
γ
3
γ
4
u = u(x)