Клепко В.Ю., Голець В.Л. Вища математика в прикладах і задачах
Подождите немного. Документ загружается.
571
Відповіді до задач та прикладів
6.65.
3
27
x
e
(9x
2
– 6x + 2) + C. 6.66.
2
4
x
+
1
4
x
sin2x +
1
8
cos2x + C.
6.67.
3
1
3
x
ln |1+x| –
3
9
x
+
2
6
x
–
3
x
+ C. 6.68. x
arctgx –
1
2
ln|1+x
2
|–
–
1
2
arctg
2
x + C. 6.69.
2
5
2
ln5
x
(x
2
–
2
ln5
x
+
2
4
ln 5
) + C. 6.70.
2
x
(coslnx+
+
sinlnx) + C. 6.71.
3
13
x
e
(3sin2x – 2cos2x) + C. 6.72. x
arctg
41x
–
–
1
16
41x
+ C. 6.73.
3
(3)
3
x
(ln
2
(x+3) –
2
3
ln|x+3| +
2
9
) + C.
6.74. x
ln|16x
2
+9| – 2x +
3
2
arctg
4
3
x
+ C. 6.75.
2
6cos 3
x
x
–
1
18
tg3x+
+ C.
6.79. 2
2x
+
2
arctg
2
2
x
+ C. 6.80. 2(
x
– ln(
1
x
))+
+
C. 6.81. x +
5
6
6
5
x
+
2
3
3
2
x
+
2
x
+
3
3
x
+
6
6
x
+ 6ln |
6
1x
|+
+ C.
6.82.
6
5
(
5
6
x
+ 2
5
12
x
+ 2ln |
5
12
x
–1) + C. 6.83.
3
2
(x+1)
2/3
–
–3(x+1)
1/3
+ 3ln|1+
3
1x
| + C. 6.84. 2
1ln
x
+ ln |lnx| +
+2ln|
1ln
x
–1| + C. 6.85. 8
3
x
+
1
3
ln
33
33
x
x
+ C.
6.86.
3
10
2
3
(5 1)x
–
6
5
3
51x
+
1
12
ln|
3
512x
| + C.
6.87.
1
4
2
3
(1 3 )x
+ +
3
4
3
13
x
+
9
8
ln|
3
21 3 3x
| + C.
572
Клепко В.Ю., Голець В.Л. «Вища математика в прикладах і задачах»
6.88.
4x
+
9
4
3
4x
+
27
4
6
4x
+
81
8
ln|
6
243x
| + C.
6.89.
2
5
25
x
+ 2
2
ln
25 2
25 2
x
x
+ C. 6.90. –
2
5
51x
+
2ln
511
511
x
x
+ C. 6.91. 2
x
– 12
3
x
+ 96
6
x
– 384ln|
6
x
+4| + C.
6.92. ln |ln x| + C. 6.93. x – 2
x
+ 2ln|
x
+1| + C. 6.98.
1
3
ln
5
2
x
x
+ C.
6.99.
1
4
arctg
21
2
x
+ C. 6.100.
1
33
arctg
31
3
x
+ C. 6.101.
1
2
ln|4x
2
–
–4x+5| +
1
4
arctg
21
2
x
+ C. 6.102. ln
2
(
4
)
|
3
|
x
x
+ C. 6.103. arcsin(x – 2)+
+C. 6.104.
1
3
arcsin
31
3
x
+ C. 6.105. 3
2
22xx
– 4ln|x+1+
+
2
22xx
| + С. 6.106. C –
2
32
x
x
– 4arcsin
1
2
x
.
6.110. ln
|1|
21
x
x
+ C. 6.111.
3
11
ln|3x+1| +
2
33
ln|2x–3| –
1
3
ln|x| + C.
6.112.
3
3
x
+
2
2
x
+ 4x + ln
25
3
(2)
(2)
xx
x
+ C. 6.113. 2ln|x| + ln|x+2| +
+
10
2
x
+ C. 6.114. x
2
– 4x +
1
2
ln|x+1| + 2ln|x–2| +
27
2
ln|x+3| + C.
6.115.
1
x
+ ln
2x
x
+ C. 6.116. lnCx(x–1) +
2
1x
. 6.117.
1
10 3
ln
3
3
x
x
–
573
Відповіді до задач та прикладів
–
1
52
arctg
2
x
+ C. 6.118. C –
2
1x
– ln|x+1| –
2
2
x
– ln|x+2|.
6.119. ln|x–1|(x
2
+4x+13) – 2arctg
2
3
x
+ C. 6.120. ln
2
610
|1|
xx
x
+
+5arctg(x–3) + C. 6.121. ln
2
2
1
(2)
x
x
+ 3arctg x –
3
2
x
+ C.
6.122.
3
3
x
– 2ln |x–3| + ln |x
2
+2| +
1
2
arctg
2
x
+ C.
6.123.
11
6
ln
2
2
2
1
x
xx
+
1
32
arctg
2
x
–
1
3
arctg
21
3
x
+ C.
6.124.
3
2
ln
2
2
1
4
xx
x
+
1
3
arctg
21
3
x
+ arctg x + C.
6.125. ln|x – 1| –
2
21
(1)
x
x
+ C. 6.126.
1
22
ln
2
2
x
x
+
+
1
23
ln
3
3
x
x
+ C. 6.127. ln
2
1
x
x
–
2
1
x
+ C. 6.135. C –
–
1
8
(cos 4x +
1
2
cos 8x). 6.136. 3(sin
6
x
+
1
5
sin
5
6
x) + C. 6.137.
1
2
(
1
2
sin 2x –
1
8
sin 8x) + C. 6.138. –cos x +
3
cos
3
x
+ C. 6.139. sin x –
3
2sin
3
x
+
+
5
sin
5
x
+ C. 6.140.
1
2
x – sin
2
x
+ C. 6.141.
1
2
x +
1
12
sin 6x + C.
6.142.
1
2
x –
1
12
sin 6x + C. 6.143.
3
t
g
3
x
– tg x + x + C.
574
Клепко В.Ю., Голець В.Л. «Вища математика в прикладах і задачах»
6.144.
1
5
ln
5tg
2
5tg
2
x
x
+ C. 6.145.
2
3
arctg
5tg 4
2
3
x
+ C.
6.146.
1
23
ln
tg 3 2 3
2
tg 3 2 3
2
x
x
+ C. 6.147.
4
25
x –
3
25
ln|tg x + 2| +
+
2
5(tg 2)x
–
3
25
ln|cosx| + C. 6.148.
9
27
ln
7t
g
1
7t
g
1
x
x
–
–
1
14
ln|7tg
2
x–1| + C. 6.149.
1
18
ln
tg
10tg 9
x
x
+ C. 6.150. C –
–
9
4(2 tg 5)x
–
1
4
ln|2tg x+5|. 6.151.
7
65
x +
4
65
ln|7+4tg x| +
+
4
65
ln|cos x| + C. 6.152.
1
10
arctg
5tg
2
x
+
7
10
ln|5tg
2
x+2| + C.
6.158.
3
2
3
2
x
+ 2
x
+ 3
3
x
+ 6
6
x
+ 6ln|
6
x
–1| + C.
6.159. 6ln
6
6
1
x
x
+ C. 6.160.
4
3
4
3
x
–
4
3
ln|
4
3
x
+1| + C.
6.161. 4
4
x
+ 2ln|1+
x
| – 4arctg
4
x
+ C. 6.162. 4
4
3x
+
+4ln|
4
31x
| + C. 6.163.
3
(2 1)
6
x
–
1
2
21x
+ C.
575
Відповіді до задач та прикладів
6.164. C –
23
3
(1 )
3
x
x
. 6.165.
2
9
9
x
x
+ C. 6.166.
25
2
arcsin
5
x
–
–
2
x
2
25
x
+ C. 6.167. –ln|
3
8x
+2| +
1
4
ln|
2
3
(8)x
–2
3
8x
+4|+
+
1
23
arctg
3
81
3
x
. 6.168.
2
4
x
x
– arcsin
2
x
+ C.
6.169.
1
9
2
9
x
x
+ C. 6.170.
2
x
2
16
x
+ 8arcsin
4
x
+ C.
6.171.
1
108
23
3
(36)x
x
+ C. 6.178.
1
19
6
. 6.179. 0. 6.180.
7
72
.
6.181. –5(
5
16 1
). 6.182.
2
7
3
. 6.183. arctg
1
7
. 6.184.
1
2
ln 2.
6.185.
33
3
. 6.186.
3
8
S
+
ln2
2
. 6.187.
1
3
ln
5
4
. 6.188. 1. 6.189. 0.
6.190.
6
S
. 6.191.
6
S
. 6.192. 2. 6.193. 1. 6.194.
21
. 6.195.
4
S
.
6.196.
4
3
. 6.197.
1
5
ln
4
3
. 6.206. 4. 6.207. 7 + ln4. 6.208. 2 – ln2.
6.209.
7
16
. 6.210. 4 –
S
. 6.211. ln2. 6.212. 1,5(ln4–1). 6.213. 0.
6.214.
15
256
–
ln2
64
. 6.215.
4
S
–
1
2
ln2 –
2
32
S
. 6.216.
3
2
ln3 –
1
4
. 6.217. 2 –
5
e
.
6.218.
1
4
–
2
3
4e
. 6.219.
2
8
S
–
3
2
. 6.220.
2
–
23
3
. 6.221.
3
–
3
S
.
576
Клепко В.Ю., Голець В.Л. «Вища математика в прикладах і задачах»
6.222. ln2 – 1. 6.226.
5
5
24
(кв.од.). 6.227. 4,5 (кв.од.). 6.228.
2
4
3
(кв.од.).
6.229.
3
30
8
(кв.од.). 6.230. 24 (кв.од.). 6.231.
2
10
3
(кв.од.). 6.232. (4 –
–ln27)
(кв.од.). 6.233.
112
9
7
(кв.од.). 6.234.
5
5
24
(кв.од.). 6.235. 9 (кв.од.).
6.236.
1
21
3
(кв.од.). 6.237. 2(
2
3
S
) (кв.од.). 6.238.
1
8
(кв.од.).
6.239.
2
10
3
(кв.од.). 6.240.
1
3
(кв.од.). 6.244.
3
4
+
1
2
ln2 (л.од). 6.245. 1+
+ ln
3
2
(л.од). 6.246. 3 +
1
2
ln
9
5
(л.од). 6.247.
2
3
2
(л.од). 6.248.
1
2
ln3 (л.од).
6.249. 8 (л.од). 6.250. 15 (л.од). 6.251.
3
3
S
(л.од). 6.252. 48 (л.од).
6.253.
23
(л.од). 6.258.
2
S
(куб.од). 6.259.
19,2
S
(куб.од).
6.260.
2
S
(куб.од). 6.261.
14
3
S
(куб.од). 6.262.
16
15
S
(куб.од).
6.263.
8
3
S
(куб.од). 6.264.
5
S
(куб.од). 6.265.
2
3
S
(куб.од).
6.266.
2
S
(e
4
+ e
–4
– 2) (куб.од). 6.267.
2
3
S
(куб.од). 6.274. 17;
5
3
.
6.275. 61;
91 1
3
. 6.276. ln
17
14
+ 5. 6.277.
3
4
ln
17
13
+ 4. 6.287. 220.
6.279. 910. 6.280. 348,88. 6.281. 800. 6.282. a) 4,8%;
19
60
; б) 4,96%; 0,313.
6.283. 1,5. 6.284. a) P
1
= 61,47; P
2
= 66,42; друга стратегія краще;
577
Відповіді до задач та прикладів
б) P
1
= 5,976; P
2
= 7,535; друга стратегія краще. 6.286. Точне зна+
чення 1,97512; метод трапецій 2,02018; метод Сімпсона 1,98558.
6.287. Mетод трапецій 0,915728; метод Сімпсона 0,915985. 6.288. 0,746825.
6.294. a)
1
2
; б)
1
ln2
; в)
1
2
; г)
3
2
; д) розбіжний; ж)
S
; з) –1; и)
2
3
4
125
;
і) –1; ї) 6
3
2
. 6.298. a) 1; б) (e – 1)
2
; в)
12
S
. 6.299.
121
486
. 6.300.
13
13
15
.
6.301.
1
4
3
. 6.302. a) 6 – 4ln2
|
3,28; б)
5
20
6
; в)
1
2
–
1
e
; г)
1
13
3
;
д)
21
; ж) 5.
Глава VIІ. Диференційні рівняння
7.4. x
2
(1 + y) = C. 7.5. x
2
+ y
2
= lnCx
2
. 7.6. y = Csin x – a. 7.7. Cx =
1
y
y
.
7.8.
22
11xyC
. 7.9. y
2
– 1 = 2ln
1
1
x
e
e
. 7.10. 1 + y
2
= C(1 – x
2
).
7.11. 10
x
+ 10
–y
= C. 7.12. y =
C
x
. 7.13. y = x. 7.14. y
2
– 1 = 2ln
1
1
x
e
e
.
7.15. 1 + y
2
= 2(1–x
2
). 7.16. 10
x
+ 10
–y
= 11. 7.17. y =
2
x
e
. 7.18. y = –2x.
7.19. y = –x. 7.23. arctg
y
x
= ln(C
22
x
y
). 7.24. ylny + x = Cy.
7.25. y = xtgCx. 7.26. 2Cy = C
2
x
2
+ 1. 7.27. y = xe
1+
Cx
. 7.28. y – 2x = Cx
2
(y+x).
7.29. x
2
+ y
2
= Cy. 7.30. y
2
= x
2
(2ln|Cx|). 7.31. x
2
= C
2
+ 2Cy. 7.32.
y
x
e
= Cy.
7.33. y = x(2arctgCx +
2
k
S
S
), k
Z. 7.37. y =
2
2
()
2
x
x
ec
. 7.38. y = Cx
2
1
x
e
+
+ x
2
. 7.39. y = (x + C)(1 + x
2
). 7.40. y = Cx
2
+ x
4
. 7.41. y = (2x + 1)(C+
578
Клепко В.Ю., Голець В.Л. «Вища математика в прикладах і задачах»
Розділ VІІІ. Ряди
8.5. a) S=
3
4
; S
n
=
1
2
(
3
2
–
1
2n
); б) S
n
=
1
2
(
1
1
21n
); S=
1
2
. 8.6. a) Не
виконується;
б) Виконується; в) Виконується; г) Не виконується;
д) Не виконується. 8.17. а) Збіжний; б) Розбіжний; в) Розбіжний;
г) Збіжний; д) Збіжний; ж) Збіжний; з) Збіжний; и) Збіжний. 8.18.
а) Збіжний; б) Збіжний; в) Збіжний; г) Збіжний. 8.19. а) Збіжний;
+ ln|2x+1|) + 1. 7.42. y = sin x + Ccos x. 7.43. y = e
x
(ln|x| + C).
7.44. xy = C – ln|x|. 7.45. y = x(C + sin x). 7.46. y = Cln
2
x – lnx.
7.52. y = e
2
x
(C
1
cos x + C
2
sin x). 7.53. e = C
1
cos2x + C
2
sin2x. 7.54. y =
=C
1
e
–x
+ C
2
e
3
x
+
1
5
e
4
x
. 7.54. y = C
1
e
x
+ C
2
e
–x
+ xe
x
. 7.55. y = C
1
e
x
+ C
2
e
–x
+
+ x
2
+ 2. 7.56. y = C
1
e
2
x
+ C
2
2
x
e
. 7.57. y = e
x
(C
1
+ C
2
x). 7.58. у = C
1
+
+C
2
e
5
x
– 0,2x
3
– 0,12x
2
– 0,048x. 7.59. у = C
1
e
x
+ C
2
e
–
4
x
–
5
x
e
–4
x
. 7.60. y=
= C
1
e
x
+ C
2
e
–4
x
–
1
636
x
§·
¨¸
©¹
e
–x
. 7.64. х = С
1
е
t
+ C
2
e
5
t
, y = –С
1
е
t
+ 3C
2
e
5
t
.
7.65. x = C
1
e
–t
+ C
2
e
3
t
, y = 2C
1
e
–t
– 2C
2
e
3
t
. 7.66. х = 2С
1
е
3
t
– 4C
2
e
–
3
t
, y =
=С
1
е
3t
+ C
2
e
3t
. 7.67. x = e
2
t
(C
1
cos t + C
2
sin t), y = e
2
t
((C
1
+ C
2
)cos t +
+(C
1
– C
2
)sin t). 7.68. x = e
t
(C
1
cos 3t + C
2
sin 3t), y = e
t
(C
1
cos 3t – C
2
sin 3t).
7.69. x = (2C
2
– C
1
)cos 2t – (2C
1
+ С
2
)sin 2t, y = C
1
cos 2t + C
2
sin 2t.
7.70. x = (C
1
+ C
2
t)e
3
t
, y = (C
1
+ C
2
+ C
2
t)e
3
t
. 7.71. x = (C
1
+ C
2
t)e
t
, y =
=(2C
1
– C
2
+ 2C
2
t)e
t
. 7.72. x = (C
1
+ 2C
2
t)e
–t
, y = (C
1
+ C
2
+ 2C
2
t)e
–t
.
7.73. x = (C
1
+ 3C
2
t)e
2
t
, y = (C
2
– C
1
– 3C
2
t)e
2
t
. 7.88. x =
1( 1)
Nkt
N
e
J
.
7.89. y =
1
4
x +
1
16
–
1
16
e
4
x
. 7.90. y = 50000x –
2
2
x
. 7.91. V(x)=
2
2
x
+
+ 100x + 25000. 7.92. y = x
a
.
579
Відповіді до задач та прикладів
б) Збіжний; в) Розбіжний; г) Збіжний; д) Збіжний; ж) Розбіжний.
8.21. а) Розбіжний; б) Збігається неабсолютно; в) Збігається неаб+
солютно;
г) Збігається абсолютно; д) Збігається неабсолютно. 8.25.
а) х
(
1
10
;
1
10
); б) х
[–10;10); в) ряд розбігається всюди. Збігаєть+
ся тільки при
х = 0; г) х
(
2
2
;
2
2
); д) х
[–
1
e
;
1
e
]; ж) х
(
;
)
f f
.
8.30. 1 +
2!
x
+ ... +
1
!
n
x
n
+ ...;
(;)f f
. 8.31.
0
(1)
n
n
f
¦
21
21
2(21)!
n
n
x
n
;
(;)f f
8.32.
1
1
(1)
n
n
f
¦
212
2
(2 )!
nn
x
n
;
(;)f f
. 8.33. х
3
–
5
2
x
+
7
3
x
+ … +
+
(–1)
n
+1
21n
x
n
; (–1;1). 8.34.
1
3
1
1
(( 1) 2 1)
nn
n
f
¦
n
x
n
= x –
1
2
x
2
+
+ x
3
–
5
4
x
4
+ … –
1
2
< x <
1
2
. 8.35. 1 + (
2
2
x
–
1
2
4
4
x
+ … +
+ (–1)
n
+1
2
1 3 ... (2 3)
2 4 ... (2 2)2
n
nx
nn
+…). 8.36. 2 – 2(
1
3
3
2
x
§·
¨¸
©¹
–
2
36
6
2
x
§·
¨¸
©¹
+
+ … +
(–1)
n
+1
2 5 ... (3 4)
3!
n
n
n
3
2
n
x
§·
¨¸
©¹
+ … ), (–1<x<1). 8.41. a) 40,87;
б) 0,098; в) 0,310; г)0,245. 8.50. х
2
=
2
3
S
–4(
2
cos
1
x
–
2
cos2
2
x
+
2
cos3
3
x
–
–
2
cos4
4
x
+ ...). 8.51.
2
x
S
=
2
S
– (sin x – sin2x + sin3x – sin4x + …)
8.52. f(x)=
3
2
+
2
S
(
sin
1
x
+
sin 3
3
x
+
sin5
5
x
+ … +
sin(2 1)
21
nx
n
+ …)
580
Клепко В.Ю., Голець В.Л. «Вища математика в прикладах і задачах»
8.53.
2
x
=
2
S
–
sin
1
x
–
sin2
2
x
–
sin3
3
x
– … =
2
S
–
1
sin
n
nx
n
f
¦
.
8.54. 2x – 3 = –3 +
12
S
1
1
(1)
n
n
n
f
¦
sin
3
nx
S
. 8.55. f(x)= –
1
2
–
–
6
S
sin
3
1
x
S
§
¨
¨
¨
©
+
sin
3
x
S
+
5
sin
3
5
x
S
+ …
·
¸
¸
¸
¹
. 8.56. |x|–1=
=
2
8
S
2
sin
2
1
x
S
§
¨
¨
¨
©
+
2
sin 3
2
3
x
S
+
2
sin 5
3
5
x
S
+…
¸
¸
¹
·
. 8.57. f(x) =
1
2
+
+
2
2
S
2
1
(1) 1
n
n
n
f
¦
cos
2
nx
S
–
2
S
1
(1)
n
n
n
f
¦
sin
2
nx
S
=
1
2
–
2
4
S
2
cos
2
1
x
S
§
¨
¨
¨
¨
©
+
+
2
3
cos
2
3
x
S
+
2
5
cos
2
5
x
S
+
...
·
¸
¸
¸
¹
+
2
S
sin
2
1
x
S
§
¨
¨
¨
©
–
2
sin
2
2
x
S
+
3
cos
2
3
x
S
–
–
4
cos
2
4
x
S
+
¸
¸
¸
¹
·
...
.