Клепко В.Ю., Голець В.Л. Вища математика в прикладах і задачах
Подождите немного. Документ загружается.
551
Розділ VIII. Ряди
=
1
2
n
S
(12(1 – cos np) + 3(4cos np – 8)) =
6
n
S
.
Шуканий розклад заданої функції має вигляд:
f(x) =
15
2
+
2
12
S
(cos
2
x
S
+
1
9
cos
3
2
x
S
+
1
25
cos
5
2
x
S
+ …) –
–
6
S
(sin
2
x
S
+
1
2
sin
2
2
x
S
+
1
3
sin
3
2
x
S
+ …).
Цей розклад справедливий на всій області визначення даної
функції: в інтервалі (0; 2) сума ряду
S(x) = 6, а в інтервалі (2; 4) S(x)
= 3х. В точці розриву х = 2, де функція не визначена
S(2) =
1
2
(
20
lim
xo
f(x) +
20
lim
x
o
f(x)) = 6.
Приклад 8.49. Розкласти функцію в ряд Фур’є f(x) = x – 1 на
інтервалі –1<
x
d
1.
Розв’язок. Графік функції зображено на рис. 8.5.
Знаходимо коефіцієнти Фур’є, знаючи, що
l = 1.
a
0
=
1
1
(
1
)
x
dx
³
=
2
1
1
(1)
2
x
= –2;
a
n
=
1
1
(1)cos
xnxdx
S
³
=
1
1
cos
xnxdx
S
³
–
1
1
cos
nxdx
S
³
=
Рис. 8.5.
–1
–2
–3 –2 –1 0 1 2 3 4 5
Y
X
552
Клепко В.Ю., Голець В.Л. «Вища математика в прикладах і задачах»
8.7.7. Приклади для самостійного розв’язку
Приклад 8.50. Розкласти в ряд Фур’є функцію f(x) = х
2
для зна+
чень
х на відрізку
[;]
SS
.
Приклад 8.51. Розкласти в ряд Фур’є функцію f(x) =
2
x
S
в
інтервалі
(;)
SS
.
=
sin
xnx
n
S
S
1
1
–
1
1
sin
nx
dx
n
S
S
³
–
sin
nx
n
S
S
1
1
=
22
1
n
S
cos npx
1
1
= 0;
b
n
=
1
1
(1)sin
xnxdx
S
³
=
1
1
sin
xnxdx
S
³
–
1
1
sin
nxdx
S
³
=
=
cos
x
nx
n
S
S
1
1
+
1
1
cos
nx
dx
n
S
S
³
+
cos
nx
n
S
S
1
1
=
=
1
n
S
(cos
n
S
+ cos(
n
S
)) +
22
sin
nx
n
S
S
1
1
+
1
n
S
(cos
n
S
–
–
cos(
n
S
)) =
2( 1)
n
n
S
.
Зокрема,
b
1
=
2
S
, b
2
=
2
2
S
, b
3
=
2
3
S
, …
Ряд Фур’є для функції f(x) має вигляд:
x – 1 = –1 +
2
S
(
sin
1
x
–
sin2
2
x
+
sin3
3
x
– ... + (–1)
n+1
sin
nx
n
+ …).
553
Розділ VIII. Ряди
Приклад 8.52. Розкласти в ряд Фур’є функцію
2, 0,
()
1, 0 .
якщо x
fx
якщо х
S
S
®
d
¯
Приклад 8.53. Розкласти в ряд Фур’є функцію f(x) =
2
x
в інтер+
валі (0;
2
S
).
Приклад 8.54. Розкласти в ряд Фур’є функцію f(x) = 2х – 3 в
інтервалі (–3; 3).
Приклад 8.55. Розкласти в ряд Фур’є функцію
1, 3 0,
()
2, 0 3.
якщо x
fx
якщо х
®
d
¯
Приклад 8.56. Розкласти в ряд Фур’є функцію f(x) =|х| – 1 в
інтервалі (–2; 2).
Приклад 8.57. Розкласти в ряд Фур’є функцію
0, 2 0,
()
, 0 2.
якщо x
fx
xякщо х
d d
®
dd
¯
554
Клепко В.Ю., Голець В.Л. «Вища математика в прикладах і задачах»
Відповіді до задач та прикладів
Розділ І. Лінійна та векторна алгебра
1.3.
19 8
26 9
21 2
§·
¨¸
¨¸
¨¸
©¹
,
18 9
214
§·
¨¸
©¹
,
14 21 24
10 16 39
1123
§·
¨¸
¨¸
¨¸
©¹
. 1.4.
345
6737
§·
¨¸
©¹
,
689
26 4
§·
¨¸
©¹
,
12 31
551
§·
¨¸
©¹
. 1.5.
72411
230
9525
§·
¨¸
¨¸
¨¸
©¹
,
513
120
925
§·
¨¸
¨¸
¨¸
©¹
,
11 0 15
24 2
10 1 0
§·
¨¸
¨¸
¨¸
©¹
,
17 1 34
3112
06 1
§·
¨¸
¨¸
¨¸
©¹
,
27 29 25
633
18 6 57
§·
¨¸
¨¸
¨¸
©¹
. 1.6. –340; 20; 55; 0.
1.7.
4280
2480
§·
¨¸
©¹
, 18480. 1.8. 30, 60. 1.9.
490 540 770
220 280 345
55 35 38
§·
¨¸
¨¸
¨¸
©¹
. 1.10.
28
47
32
§·
¨¸
¨¸
¨¸
©¹
.
1.14. 91. 1.15. 86. 1.16. –9. 1.17. 27. 1.18. 203. 1.19. 144. 1.20. 185.
1.21. 41. 1.22. 68. 1.23. –38. 1.24. –162. 1.25. 15. 1.26. 120. 1.27. –126.
1.28. 144. 1.33. 2. 1.34. 2. 1.35. 2. 1.36. 3. 1.37. 2. 1.38. 2. 1.39. 3. 1.40. 3.
1.41. 3. 1.42. 2. 1.43. 2. 1.44. 3. 1.45.
21
32 12
§·
¨¸
©¹
,
11 1
54 7
324
§·
¨¸
¨¸
¨¸
©¹
,
16 21 10 21 1 21
27 37 17
17 21 8 21 5 21
§·
¨¸
¨¸
¨¸
©¹
,
67 17 47
13 14 4 7 11 14
514 17 114
§·
¨¸
¨¸
¨¸
©¹
, оберненої не
555
Відповіді до задач та прикладів
існує,
734 534 334
434 234 834
534 1134 734
§·
¨¸
¨¸
¨¸
©¹
,
221
11 2
10 1
§·
¨¸
¨¸
¨¸
©¹
,
211
101
513
§·
¨¸
¨¸
¨¸
©¹
.
1.46.
12 12 0
12 16 13
01616
§·
¨¸
¨¸
¨¸
©¹
. 1.47.
12 7 2 7
97 67
§·
¨¸
©¹
. 1.52. (1;1;1), (–1;0;1),
(0;1;1), (1;2;0), (1;1;0), (–1;1;0), (3;–5;2).
1.57. (0;x
2
;
97
+ x
2
;
17
).
1.58. (–
517
;
23 17
). 1.59. Система не сумісна. 1.60. Система не
сумісна.
1.61. (
54
+
14
х
3
–
34
х
4
– х
5
; –
14
+
74
х
3
+
74
х
4
;0;0;0).
1.62. (1;–1). 1.63. Система не сумісна. 1.64. (1;–1;2). 1.65. (x
1
;–4 +
+2
x
1
– 4x
4
;–1 – x
4
;x
4
). 1.66. Система не сумісна. 1.67. (
30 41
;–
53 41
;
–
541
). 1.68. (–1;1;1). 1.69. (0;1;–1). 1.70. (2;0;–1). 1.71. (2;3;4).
1.72. (
15
C;–
45
C;C), (8C
1
– 7C
2
;–6C
1
+ 5C
2
;C
1
;C
2
). 1.76. 22.
1.77.
A
B
=(–4;3;–1),
BA
=(4;–3;1). 1.78.
a
np b =
20
3
,
b
np a =
20
7
.
1.79. arccos
27
. 1.80.
0
a
=
1
3
i
+
2
3
j
+
2
3
k
. 1.81. |
a
+
b
| = |
a
–
b
|= 13.
1.83. –4. 1.84. (–24;32;30). 1.85. |
a
| = 70, cos
D
=
27
, cos
E
=
37
,
cos
J
=
67
. 1.86. arccos
49
. 1.87. –61, 37. 1.88. Вектор
A
B
в 2
рази довший вектора
CD
; вони напрямлені в один бік. 1.89.
26
6
.
1.92.
1
O
= 2,
2
O
= 3, X
1
= С
1
1
§·
¨¸
©¹
, X
2
= С
1
2
§·
¨¸
©¹
, С
z
0. 1.93.
1
O
= 3,
2
O
= –1,
X
1
= С
1
1
§·
¨¸
©¹
, X
2
= С
1
1
§·
¨¸
©¹
, С
z
0. 1.94.
1
O
= 1,
2
O
= –1, X
1
= С
1
1
§·
¨¸
©¹
,
556
Клепко В.Ю., Голець В.Л. «Вища математика в прикладах і задачах»
X
2
=С
2
1
§·
¨¸
©¹
, С
z
0. 1.95.
1
O
= 0,
2
O
= 1,
3
O
= 2, X
1
= С
1
0
1
§·
¨¸
¨¸
¨¸
©¹
, X
2
= С
1
1
1
§·
¨¸
¨¸
¨¸
©¹
,
X
3
= С
1
0
1
§·
¨¸
¨¸
¨¸
©¹
, С
z
0. 1.96.
1
O
=
2
O
=2,
3
O
=–7, X
1
=
12
2
1
22CC
C
C
§·
¨¸
¨¸
¨¸
©¹
,
|С
1
|+|С
2
|
z
0, X
2
=
2
2
C
C
C
§·
¨¸
¨¸
¨¸
©¹
, С
z
0. 1.97.
1
O
=
2
O
=
3
O
= –1, X
1
=
C
C
C
§·
¨¸
¨¸
¨¸
©¹
, С
z
0.
1.102.
2
1
y
+
2
2
y
+
2
3
y
, у
1
= х
1
+ х
2
, у
2
= х
2
+ 2х
3
, у
3
= х
3
. 1.103.
2
1
y
+
2
2
y
+
2
3
y
,
у
1
= х
1
, у
2
= х
2
– 2х
3
, у
3
= х
1
+ х
3
. 1.104.
2
1
y
–
2
2
y
–
2
3
y
, у
1
=
1
2
х
1
+
1
2
х
2
+х
3
,
у
2
=
1
2
х
1
–
1
2
х
3
, у
3
= х
3
. 1.105.
2
1
y
+
2
2
y
–
2
3
y
, у
1
= х
1
– х
2
+ х
3
– х
4
,
у
2
= х
2
+ х
3
+ х
4
, у
3
= х
2
– х
3
+ 2х
4
, у
4
= х
4
. 1.106.
2
1
y
–
2
2
y
+
2
3
y
–
2
4
y
,
у
1
= х
1
+
1
2
х
2
, у
2
=
1
2
х
2
, у
3
=
1
2
х
3
+
1
2
х
4
, у
4
=
1
2
х
3
1
2
х
4
. 1.113.
82 44 55 150
63 77 39 62
36 160 120 135
§·
¨¸
¨¸
¨¸
©¹
. 1.114. а) (102 204 81 144 116); б) (184 161 160);
в) 3607. 1.115. (1 1 3). 1.116. а) АX = В, X = (х
1
х
2
х
3
)
Т
, В = (40 40 80)
Т
;
б) (10 5 10). 1.117. (4200; 39000).
557
Відповіді до задач та прикладів
Розділ ІІ. Аналітична геометрія
2.11. а) (–3;–5); b) (3;5); c) (3;–5); d) (5;–3); e) (–5;–3). 2.12. 5; 13;
25; 10
. 2.13. AB
|
8,6; AC
|
8,9; BC
|
1,4;
A
BC
P
+
|
18,9. 2.14. Трикутник —
гострокутний, так як довжини його сторін дорівнюють:
AB=
82
;
AC=
130
; BC=
136
. 2.15. (1;–1). 2.16. (0;2;0). 2.17. D(2;–2).
2.18. C(6;1;19); D(9;–5;12). 2.19.
30
. 2.20.
2
3
74
. 2.33. Точки М
та Р лежать на прямій, точки N та Q над прямою, точка R під пря+
мою.
2.34. 1) 2х + 3y – 7 = 0; 2) 3x – 2y – 4 = 0. 2.35. (–2;–1).
2.36. (11;–11). 2.37. (10;–5). 2.38. 4x + y – 3 = 0. 2.39. y – 1 = 0.
2.40. 2x + 3y – 19 = 0; 2x + 3y + 27 = 0; 8x – 11y – 7 = 0; 8x–11y+39=0.
2.41. x – y – 7 = 0; x – 2y – 10 = 0. 2.42. 2x – 3y + 11 = 0; 5x–y–18=0.
2.43.
319
;
55
§·
¨¸
©¹
;
917
;
55
§·
¨¸
©¹
. 2.44. 5. 2.45. 4. 2.46. h
1
=h
2
=
6
5
. 2.47. (4;5).
2.48. BC: x – y – 3 = 0; AC: 4x + 5y – 20 = 0; CH: 3x – 12y – 1 = 0.
2.49. 2x + 7y + 22 = 0; 7x + 2y – 13 = 0; x – y + 2 = 0. 2.50. 2x–y+6=0;
12
5
;
53DAB|
D
. 2.61. (x+1)
2
+ (y–2)
2
= 25. 2.62. (x–1)
2
+ (y–4)
2
=8.
2.63. (x–1)
2
+ (y+1)
2
= 4. 2.64. (x–2)
2
+ (y–4)
2
= 10. 2.65. (x–1)
2
+
y
2
=1.
2.66. 1)
2
25
x
+
2
9
y
= 1; 2)
2
169
x
+
2
144
y
= 1; 3)
2
25
x
+
2
16
y
= 1; 4)
2
100
x
+
2
64
y
=1;
5)
2
169
x
+
2
25
y
= 1. 2.67. 1)
2
36
x
+
2
9
y
= 1; 2)
2
16
x
+
2
16 3
y
= 1; 3)
2
20
x
+
2
15
y
= 1;
4)
2
20
x
+
2
4
y
= 1; 5)
2
9
x
+
2
5
y
= 1. 2.68. 1)
2
2
; 2)
10
5
. 2.69. 1)
2
9
x
–
2
16
y
=1;
2)
2
4
x
–
2
5
y
= 1; 3)
2
64
x
–
2
36
y
= 1; 4)
2
36
x
–
2
64
y
= 1; 5)
2
32
x
–
2
8
y
= 1;
558
Клепко В.Ю., Голець В.Л. «Вища математика в прикладах і задачах»
Розділ ІІІ. Вступ до математичного аналізу
3.4. a) A
B = {1; 2; 3; 4; 5; 6; 12}; B
C = {5}; (A
B)
C = {3; 5};
A
B
C=
; б) A
B = {1; 3; 4; 6; 7; 8; 21}; B
C= {3;7}; (A
B)
C=
={3;7}; A
B
C=
. 3.5. 81. 3.19. x = 1; y = –2. 3.20. б)
13
20
–
7
4
і;
з) 28. 3.21. 1) z =
3
7
+ i
5
7
; Re z =
3
7
; Im z =
5
7
; 2) z = i; Re z = 0,
6) x
2
– y
2
= 16; 7)
2
18
x
–
2
8
y
= 1. 2.70. 1)
2
3
; 2)
2
. 2.71. 1) x =
3
2
;
2) x =
3
2
; 3) y = –
3
2
; 4) y =
3
2
. 2.72. 1) y
2
= 4x; 2) y
2
= –9x; 3) x
2
= y;
4) x
2
= –2y. 2.73. x
2
= –2y; 2y – 1 = 0. 2.74.
2
100
x
+
2
84
y
= 1. 2.75. x
2
+
+ y
2
– 1440x + 288000 = 0. 2.82. 1500. 2.83. y = 0,7x + 8,4. 2.84. 5.
2.85. При x > 400 більш економічні перевезення другим видом транс+
порту.
2.86. y = 0,5x + 150. 2.87. Споживачам, що знаходяться всере+
дині круга (
x – 83,3)
2
+ y
2
d
66,7
2
, доцільніше купувати на В, поза
кругом — на
А. 2.88. Всередині круга (x + 62,5)
2
+ y
2
d
37,5
2
будуть
купувати на підприємстві
А, поза кругом – на В. 2.89. Всередині круга
(
x + 12,5)
2
+ y
2
37,5
2
будуть купувати на підприємстві А, поза кругом —
на
В. 2.90. (x + 100)
2
+ y
2
= 200
2
. 2.101. x + 3y – 4z – 21 = 0. 2.102. x+
+ 4y – 2z – 2 = 0. 2.103. x + y + z – 4 = 0. 2.104. 2x – y + z – 5 = 0.
2.105.
6
. 2.106. 2x + 3y + z – 11 = 0. 2.107. (1;–1;2). 2.108.
320,
4.
xy
z
®
¯
2.109.
1
1
x
=
2
9
y
=
0
7
z
. 2.110. 90°. 2.111. (2;–3;6).
2.112. (3;–2;4). 2.113. (1;4;–7). 2.114. 21. 2.115. 8x – 9y – 22z – 59 = 0.
2.116. 11x – 17y – 19z + 10 = 0. 2.117. 6x – 20y – 10z + 1 = 0.
2.118. (–5;1;0). 2.119. (4;1;–3). 2.120.
2
3
x
=
3
3
y
=
1
1
z
.
559
Відповіді до задач та прикладів
Im z = 1. 3.24. 1) 16 – 16
3
i; 2) 512i; 3) 2
60
; 4) 16
3
–16i.
3.25. а)
4
2
(cos
16
S
– isin
16
S
), k = 0;
4
2
(cos
7
16
S
+ isin
7
16
S
), k = 1;
4
2
(cos
15
16
S
+ isin
15
16
S
), k = 2;
4
2
(cos
23
16
S
+ isin
23
16
S
), k = 3;
б)
r
(
3
– i); в)
10
8
(cos
83
20
k
S
+ isin
83
20
k
S
), k = 0, 1, 2, 3, 4.
3.36. 1) Не визначена лише при x = 0, x = 1, x = –1; 2) x
(
f
;
5
2
];
3) x
(
f
;1)
(1;2)
(2;
f
); 4) x
(
f
;0)
(4;
f
); 5) x
(
f
;1]
[3;
f
); 6) x
(
f
;1)
(2;
f
); 7) –4
d
x
d
4; 8) x
(
f
;0); 9) x
;
10) x
[–2;0)
(0;1); 11) x
[–1;3]; 12) x = 1; 13) x
(–1;0)
(1;2)(2;
f
);14) x
(3–
2
S
;3–
S
)
(3;4]; 15) x
[–4;]
[0;
S
].
3.37. f(x) = log
a
x; 3.38. f(x) = a
x
. 3.71. 0,5. 3.72.
f
. 3.73. 0. 3.74. 1.
3.75. 1. 3.76. 0. 3.77. 0. 3.78. 1. 3.79. –0,5. 3.80. 9. 3.81. 0. 3.82. –0,8.
3.83. 1,8. 3.84.
5
13
. 3.85. 6. 3.86.
f
. 3.87. –1. 3.88. 0,5. 3.89.
22
3
.
3.90. –1,2. 3.91. –
5
12
. 3.92. 2,5. 3.93.
2
3
. 3.94. 0. 3.95. 0, якщо
x
of
;
f
, якщо
x
of
. 3.96. 0,5. 3.97. 0,75. 3.98. –1. 3.99. 0,5. 3.100. –2sin
D
.
3.101. 4. 3.102. 0,4. 3.103. 0,5. 3.104. 0,5. 3.105. e
4
. 3.106.
1
3
e
. 3.107.
2
3
e
.
3.108. e
–2
. 3.109. e
–3
. 3.110. e
12
. 3.111. e
3
. 3.112. e
2
. 3.113. 4. 3.114. 1.
3.115. 1. 3.116. 1. 3.117. 2,25. 3.118. e
3
. 3.122. a) x =
r
3 точка розриву
другого роду так, як
30
lim
x
o
y =
f
,
30
lim
xo
y =
f
,
30
lim
x
o
y =
f
,
30
lim
xo
y =
f
; б) в точці х = 1 має нескінчений розрив (розрив дру+
гого роду) так, як
10
lim
x
or
у =
f
; в) функція розривна в точці х = –2,
де її стрибок дорівнює 2;
г) функція має нескінчений розрив в точка
560
Клепко В.Ю., Голець В.Л. «Вища математика в прикладах і задачах»
х = 1, х = 0 і х = 4; д) в точці х = –1
має розрив другого роду так, як
10
lim
x
o
1
1
x
e
= 0; а
10
lim
x
o
1
1
x
e
=
f
;
ж) функція розривна в точці х = –
1, де її стрибок дорівнює –2, а в
точці
х = 1 її стрибок нескінчений.
Розділ ІV. Диференційне числення функції однієї змінної
4.4. 1)
2
22
1
(
1
)
x
x
; 2)
2
3
13
2
x
x
; 3)
2
3
3
21
x
x
; 4)
22 223
3
2
3sin 1
(
1
)
x
xx
;
5) 4x
3
tg
2
x +
4
3
2sin
cos
xx
x
; 6) –sin xsin(2cos x); 7) e
cos x
(sin2x – sin
3
x);
8)
2
2
(
1
)
ln3
x
x
; 9)
2
3
1 arccos 2
2
xxx
xx
; 10)
2
2
arccos 2 1 4
x
x
;
11) 2(1 + ln sin x)ctg x; 12)
22
22 222
4arcsin
(
ln
())
()
1ln
()
xax
ax ax
; 13)
2
1
1 x
;
14)
2
ln 2
x
x
sin(2(
1ln
x
x
)); 15)
2
2
23
21
x
x
; 16) 2(x
arctg
2
x
+ 1);
17)
3
arcsin 2 2
2
2ln26arcsin2
14
x
x
x
; 1 8)
323
6
9arcctg
1
x
x
x
ee
e
;
19)
arctg 1 ln(2 3)
(
23
)(
2ln
(
23
))
1ln
(
23
)
x
e
xx x
; 20)
2
24
x
;
–1 0 Х
Y
1