Клепко В.Ю., Голець В.Л. Вища математика в прикладах і задачах
Подождите немного. Документ загружается.
11
Розділ I. Лінійна та векторна алгебра
а)
13
62
§·
¨¸
©¹
25
31
§·
¨¸
©¹
;б)
1234
4
3
2
1
§·
¨¸
¨¸
¨¸
¨¸
©¹
;
в)
10 2
354
§·
¨¸
©¹
12
13
42
§·
¨¸
¨¸
¨¸
©¹
;г)
21
34
12
§·
¨¸
¨¸
¨¸
©¹
112
04 3
§·
¨¸
©¹
.
Задача 1.7. У цеху підприємства випускають продукцію трьох
видів, використовуючи при цьому сировину двох типів. Витрати си+
ровини на виробництво продукції задається матрицею
S = (s
ij
) =
10 12 9
684
§·
¨¸
©¹
,
де s
ij
— кількість одиниць сировини і+того типу, що використовуєть+
ся на виготовлення одиниці продукції j+того виду. План тижневого
випуску продукції передбачає 200 одиниць продукції першого виду,
100 одиниць продукції другого виду та 120 одиниць продукції треть+
ого виду. Вартість одиниці кожного типу сировини відповідно дорів+
нює 2 грн та 4 грн. Визначити загальні витрати сировини V, необхідні
для тижневого випуску сировини, а також загальну вартість цієї
сировини.
Задача 1.8. У меблевому магазині найбільшим попитом корис+
туються дві моделі письмових столів, виготовлених на різних фаб+
риках. На перевезення першої моделі витрачають 10 грн, а другої —
15 грн. При цьому витрати робочого часу на виробництво цих моде+
лей становить відповідно 6 год. і 5 год. Відомо, що на місяць запла+
новано витратити 1200 грн на перевезення цих моделей, а робочий
час на їх виробництво обмежений 480 год. Скільки цих моделей
магазин повинен замовити на фабриках щомісяця для того, щоб ви+
користати заплановані кошти на перевезення та ресурси робочого
часу на їх виготовлення?
12
Клепко В.Ю., Голець В.Л. «Вища математика в прикладах і задачах»
Задача 1.9. Два залізобетонних заводи випускають вироби M,
N, P вищої, першої та другої категорії якості. Кількість випущених
кожним заводом виробів за кожною категорією якості задана таб+
лицею:
Який загальний випуск виробів за означеними категоріями
якості?
Задача 1.10. При виготовленні деталей чотирьох видів витрати
матеріалів, робочої сили та електроенергії задаються таблицею в
умовних одиницях):
Обчислити загальну потребу в матеріалах х
1
, робочій силі х
2
та
електроенергії х
3
для виготовлення заданої кількості у
і
деталей кож+
ного виду: у
1
= 10, у
2
= 2, у
3
= 8, у
4
= 4.
Готові вироби Категорія
якості
Перший завод Другий завод
M N P M N P
Вища 150 240 320 280 300 450
Перша 100 130 175 120 150 170
Друга 25 15 20 30 20 18
Витрати на одну деталь кожного виду
Ресурси
1 2 3 4
Матеріали 1 3 0,5 2
Робоча сила 1,5 2 3 1
Електроенергія 2 1 1 0,5
13
Розділ I. Лінійна та векторна алгебра
§1.2. Визначники
1.2.1. Теоретичні відомості
Число
'
називається визначником (детермінантом) другого
порядку і позначається так:
11 12
11 22 21 12
21 22
aa
aa aa
aa
'
. (1.1)
Числа а
11
,
а
12
,
а
21
, а
22
— елементи визначника, причому перша циф+
ра індексу у записі числа вказує на номер рядка, в якому стоїть цей
елемент, а друга цифра індексу — на номер стовпчика. Діагональ, на
якій розміщені елементи а
11
і а
22
, називається головною діагоналлю, а
діагональ, на якій знаходиться а
12
і а
21
, називається побічною. Отже,
визначник другого порядку дорівнює різниці добутків елементів го+
ловної та побічної діагоналей.
Аналогічно, визначником третього порядку називається число,
що утворюється з дев’яти чисел за таким правилом:
11 12 13
21 22 23
31 32 33
aaa
aaa
aaa
'
= а
11
а
22
а
33
+ а
21
а
32
а
13
+ а
31
а
12
а
23
– а
31
а
22
а
13
–
— а
12
а
21
а
33
– а
11
а
23
а
32
. (1.2)
Ця сума складається з шести додатків. В кожний додаток вхо+
дить по одному числу з кожного рядка і в той ж час по одному еле+
менту кожного стовпчика. Знаки додатків легко запам’ятати корис+
туючись схемами:
RRR
RRR
RRR
RRR
RRR
RRR
+
–
–
14
Клепко В.Ю., Голець В.Л. «Вища математика в прикладах і задачах»
Нагадаємо основні властивості визначників третього порядку.
1. Величина визначника не зміниться, якщо його рядки замінити
стовпчиками, причому кожен рядок замінюють стовпчиком з тим же
самим номером.
2. Якщо у визначнику поміняти місцями лише два рядки (або
два стовпчики), то визначник змінює знак на протилежний, зберіга+
ючи абсолютне значення.
3. Якщо визначник має два однакових стовпчика або два однако+
вих рядка, то він дорівнює нулю.
4. Якщо визначник містить два пропорційних рядки (стовпчики),
то значення його дорівнює нулю. Якщо елементи деякого рядка (стов+
пчика) дорівнюють нулю, то і сам визначник дорівнює нулю.
5. Якщо всі елементи деякого рядка (стовпчика) помножити на
одне й те ж число, то значення визначника також помножиться на
це число. Звідси зрозуміло, що спільний множник всіх елементів
рядка (стовпчика) можна винести за знак визначника.
6. Якщо кожний елемент деякого рядка (стовпчика) є сума двох
доданків, то визначник можна представити у вигляді суми двох виз+
начників: в першому з них на місці кожної суми лишається тільки
перший доданок, а в другому — тільки другий доданок (інші елемен+
ти визначника зберігаються).
7. Значення визначника не змінюється, якщо до елементів деякого
рядка (стовпчика) додати відповідні елементи іншого паралельного
рядка (стовпчика), помноживши їх попередньо на одна й те ж число.
Якщо у визначнику
'
(1.2) викреслити ітий рядок і j+тий стовп+
чик, на перетині яких розміщено елемент а
ij
, то одержимо визначник
другого порядку, який називається мінором М
ij
елемента а
ij
. Алгеб
раїчним доповненням А
ij
елемента а
ij
визначника
'
(1.2) називається
відповідний йому мінор зі знаком, який обчислюється за таким пра+
вилом:
А
ij
= (–1)
i+j
М
ij
. (1.3)
Ще одна властивість визначника.
8. Визначник дорівнює сумі добутків елементів деякого рядка
(стовпчика) на відповідні їх алгебраїчні доповнення.
Якщо за цим правилом розкрити визначник
'
(1.2) по першому
рядку, то одержимо:
15
Розділ I. Лінійна та векторна алгебра
1.2.2. Розв’язання прикладів
Приклад 1.11. Обчислити визначник
'
=
375
123
42 11
.
Розв’язок. Зробимо це двома способами:
а) Обчислимо визначник розкладаючи його за елементами треть+
ого рядка (користуючись властивістю 8).
'
= а
31
А
31
+ а
32
А
32
+ а
33
А
33
= 4(–1)
3+1
75
23
+ 2(–1)
3+2
35
13
+
+ (–11)
3+3
37
12
= 4
1((–7)3 – 5(–2)) + 2(–1)(3
3 — 5
1) +
+ (–11)1((3(–2) – (–7)1) = –44 – 8 – 11 = –63.
б) В цьому випадку утворимо нулі у другому рядку (бо в ньому
є одиниця, або ж вибирається той рядок (чи стовпчик), в якому є
пропорційні елементи). Для цього до елементів другого стовпчика
додамо елементи першого, попередньо помноживши їх в уяві на 2,
потім до елементів третього стовпчика додамо елементи першого
стовпчика, помножені перед тим на –3. Значення визначника при
цьому, згідно властивості 7, не зміниться.
'
= а
11
А
11
+ а
12
А
12
+ а
13
А
13
=а
11
22 23
32 33
aa
aa
– а
12
21 23
31 33
aa
aa
+
+ а
13
21 22
31 32
aa
aa
.
(1.4)
16
Клепко В.Ю., Голець В.Л. «Вища математика в прикладах і задачах»
'
=
375
123
42 11
=
373253
(
3
)
121231
(
3
)
4242 114
(
3
)
=
31 4
10 0
410 23
=
= а
21
А
21
+ а
22
А
22
+ а
23
А
23
= 1А
21
+ 0А
22
+ 0А
23
= 1(–1)
2+1
14
10 23
+
+ 0 + 0 = –1(23 + 40) = –63.
Приклад 1.12. Обчислити визначник третього порядку
'
=
12 3
14 7
2613
.
Розв’язок. Перетворимо визначник таким чином, щоб нижче від
головної діагоналі всі елементи його стали нулями. Тоді визначник
дорівнює добутку діагональних елементів.
Знайдемо різницю першого і другого рядків, а потім помножимо
перший рядок на 2 і віднімемо від третього рядка. Дістанемо визначник
'
=
12 3
14 7
2613
=
123
024
027
.
Віднявши другий рядок від третього, дістанемо:
'
=
12 3
14 7
2613
=
123
024
027
=
123
024 1236
003
.
Приклад 1.13. Обчислити визначник четвертого порядку
'
=
12 12
3015
1203
2 416
.
17
Розділ I. Лінійна та векторна алгебра
Розв’язок. Додамо перший рядок до другого і четвертого, утво+
ривши визначник
'
=
12 12
4207
1203
1208
.
Переставимо місцями перший і третій стовпчики:
'
=
12 12
02 47
0213
0218
.
Додамо другий рядок до третього і четвертого рядків і винесемо
спільний множник елементів третього і четвертого рядків:
'
=
121 2
024 7
00510
00315
=
1212
0247
53
0012
0015
.
Віднявши третій рядок від четвертого, одержимо:
'
=
1212
0247
53 (53)1213 90
0012
0003
.
18
Клепко В.Ю., Голець В.Л. «Вища математика в прикладах і задачах»
1.2.3. Приклади для самостійного розв’язку
Приклади 1.14. – 1.28. Обчислити визначники.
1.14.
345
122
13 7 4
. 1.15.
25 8 3
34 1
252
. 1.16.
783
314
265
.
1.17.
11 5 6
123
744
. 1.18.
31 2
210 5
413
. 1.19.
39 1
712 5
232
.
1.20.
20 3 7
561
24 3
. 1.21.
123
95 7
84 3
. 1.22.
321
748
92 3
.
1.23.
45 5
10 3
711 2
. 1.24.
214
14 3 0
621
. 1.25.
12 3
2815
136
.
1.26.
453
40 2
2116
. 1.27.
642
12 3 1
601
. 1.28.
12 3
29 4
513
.
19
Розділ I. Лінійна та векторна алгебра
§1.3. Ранг матриці та способи його обчислення
1.3.1. Теоретичні відомості
Матриця має ранг r, якщо серед її мінорів існує хоча б один мінор
порядку r, відмінний від нуля, а всі мінори порядку (r + 1) і вищого
дорівнює нулю, або не існують.
Приклад 1.29. Знайти ранг матриці А =
142
254
316
§·
¨¸
¨¸
¨¸
©¹
.
Розв’язок. Ця матриця третього порядку, отже, її ранг не може бути
більшим трьох. Визначник третього порядку дорівнює нулю:
142
det 2 5 4 0
316
A'
,
але існує мінор другого порядку
14
0
25
z
. Ранг матриці А дорів+
нює двом, r(A) = 2.
Приклад 1.30. Знайти ранг матриці А =
45728
14381
23571
§·
¨¸
¨¸
¨¸
©¹
.
Розв’язок. Ця матриця має розмір
35u
, тому її ранг не більший
3. Існує визначник третього порядку
457
143 140
235
z
. Отже,
r(A) = 3.
20
Клепко В.Ю., Голець В.Л. «Вища математика в прикладах і задачах»
Елементарними перетвореннями матриці називаються такі її пе+
ретворення:
1. Транспонування, тобто заміна кожного рядка стовпчиком з тим
ж номером і навпаки.
2. Перестановка двох рядків або двох стовпчиків.
3. Множення всіх елементів рядка або стовпчика на будь+яке
число не рівне нулю.
4. Додавання до всіх елементів рядка або стовпчика відповідних
елементів паралельного ряду, помноженого на одне і те ж число.
Матриці, одержані одна з другої елементарними перетвореннями,
називаються еквівалентними. Еквівалентні матриці не рівні одна одній,
але при елементарних перетвореннях матриці її ранг не змінюється.
Приклад 1.31. Знайти ранг матриці А =
23 5 3 2
34 3 1 3
56 1 3 5
§·
¨¸
¨¸
¨¸
©¹
.
Розв’язок. Розділимо елементи першого рядка на 2, одержимо
еквівалентну матрицю (ранг цієї матриці дорівнює рангу вихідної):
А ~
13252 32 1
34 3 1 3
56 1 3 5
§·
¨¸
¨¸
¨¸
©¹
.
Віднімемо з другого і третього рядків перший рядок, помноже+
ний відповідно на 3 і 5, одержимо:
А ~
132 52 32 1
012 92720
0322722120
§·
¨¸
¨¸
¨¸
©¹
.
Віднімемо від третього рядка другий, помножений на 3.
А ~
132 52 32 1
01292720
00 0 0 0
§·
¨¸
¨¸
¨¸
©¹
~
132 52 32 1
01292720
§·
¨¸
©¹
.
r(A) = 2.