Клепко В.Ю., Голець В.Л. Вища математика в прикладах і задачах
Подождите немного. Документ загружается.
71
Розділ I. Лінійна та векторна алгебра
Перетворимо розширену матрицю системи
1 6 2 260
3 2 1 200
4 1 5 290
§·
¨¸
¨¸
¨¸
©¹
16 2260
0165580
0233750
§·
¨¸
¨¸
¨¸
©¹
16 2 260
0 16 5 580
23 23
0 0 35 750580
16 16
§·
¨¸
¨¸
¨¸
¨¸
¨¸
©¹
162260
0 16 5 580
00120
§·
¨¸
¨¸
¨¸
©¹
.
Запишемо спрощену систему у відповідність розширеній матриці
123
23
3
62260,
16 5 580,
20.
xxx
xx
x
°
®
°
¯
1
2
3
260 6 30 2 20 40,
580 5
20 30,
16 16
20.
x
x
x
°
°
®
°
°
¯
Отже, х
1
= 40, х
2
= 30, х
3
= 20.
Приклад 1.111. Нехай функція, яка характеризує валовий дохід
підприємства, має вигляд y
t
= a + bq
t
+ c
2
t
q
, де y
t
— валовий дохід,
q
t
— випуск продукції за період t. Спостереження охоплюють лише
два періоди, для яких значення q
t
, y
t
наведені в наступній таблиці:
1. Виходячи з матричної форми завдання функції валового при+
бутку
А(a
b
c)
T
= y
t
,
де А = (1 q
t
2
t
q
), скласти з урахуванням проведених спостережень
систему рівнянь для визначення параметрів а, b, c і розв’язати їх.
Період t q
t
y
t
1 10 100
2 20 150
72
Клепко В.Ю., Голець В.Л. «Вища математика в прикладах і задачах»
2. Визначити всю сукупність функцій валового прибутку, що за+
довольняють згаданій в п. 1 системі рівнянь.
Розв’язок. Запишемо функцію валового прибутку у вигляді:
(1 q
t
2
t
q
)
a
b
c
§·
¨¸
¨¸
¨¸
©¹
= y
t
.
Підставимо задані значення з таблиці:
(1 10 100) 100,
(1 20 400) 150.
a
b
c
a
b
c
§·
°
¨¸
°
¨¸
¨¸
°
°©¹
®
§·
°
¨¸
°
¨¸
°
¨¸
°
©¹
¯
Одержимо систему:
10 100 100,
20 400 150.
ab c
ab c
®
¯
Розв’яжемо її методом Гауса:
110100100
1 20 400 150
§·
¨¸
©¹
1 10 100 100
01030050
§·
¨¸
©¹
.
Ранг матриці системи і ранг розширеної матриці співпадають і
рівні 2. Система сумісна. Так, як n = 3, то система має безліч розв’яз+
ків:
10 100 100,
10 300 50.
ab c
bc
®
¯
10(5 30 ) 100 100 ,
530.
acc
bc
®
¯
50 200 ,
530,
.
ac
bc
cR
°
®
°
¯
73
Розділ I. Лінійна та векторна алгебра
2. Уся сукупність функцій валового прибутку
у
t
= (200c + 50) + (5 – 30c)q
t
+ c
2
t
q
.
1.9.2. Задачі балансового аналізу
До задач економічних, що зводяться до систем лінійних рівнянь,
відносяться задачі балансового аналізу. Мета балансового аналізу —
відповісти на питання, що виникає в макроекономіці і пов’язане з
ефективністю ведення багатогалузевого господарства: яким має бути
обсяг виробництва кожної з n галузей, щоб задовольнити всі потре+
би у продукції цієї галузі? При цьому кожна галузь виступає, з од+
ного боку, як виробник деякої продукції, а з іншого — як споживач
і своєї, і виробленої іншими галузями продукції.
Зв’язок між галузями, як правило відбивається в таблицях міжга+
лузевого балансу, а математична модель, що дозволяє їх аналізувати,
розроблена в 1936 р. американським економістом В.Леонтьєвим.
Розглянемо докладно модель Леонтьєва багатогалузевої економіки.
Припустимо, що розглядаються n галузей промисловості, кожна
з яких виробляє свою продукцію. Частина продукції йде на внутріш+
ньо+виробниче споживання даною галуззю та іншими галузями, а
решта призначена для мети кінцевого (поза сферою матеріального
виробництва) особистого і суспільного споживання.
Розглянемо процес виробництва, наприклад, за рік.
Введемо такі позначення: х
i
— загальний (валовий) обсяг продукції
і+тої галузі (і =
1, n
); х
ij
— обсяг продукції ітої галузі, що спожи+
вається j+тою галуззю в процесі виробництва (і, j =
1, n
); у
і
— обсяг
кінцевого продукту і+тої галузі для невиробничого споживання.
Оскільки валовий обсяг продукції будь+якої і+тої галузі дорівнює
сумарному обсягу продукції, що споживається n галузями, і кінцево+
го продукту, то х
i
=
1
n
ij i
j
x
y
¦
, і =
1, n
.
Це співвідношення балансу. Будемо розглядати вартість міжга+
лузевий баланс, коли всі величини, що входять у рівняння балансу,
мають вартісне вираження.
74
Клепко В.Ю., Голець В.Л. «Вища математика в прикладах і задачах»
Введемо коефіцієнти прямих витрат:
а
ij
=
i
j
j
x
x
, і, j =
1, n
,
що показують витрати продукції і+тої галузі на виробництво одиниці
продукції j+тої галузі. Можна вважати, що в деякому проміжку часу
коефіцієнти а
ij
будуть сталими і залежатимуть від технології вироб+
ництва, що склалася. Це означає лінійну залежність матеріальних
витрат від валового випуску, тобто х
ij
= а
ij
х
j
, і, j =
1, n
.
Так побудована модель міжгалузевого балансу отримала назву
лінійної.
Запишемо співвідношення балансу у вигляді
х
i
=
1
n
ij j i
j
ax y
¦
, і =
1, n
.
Введемо позначення:
O
=
1
2
...
n
x
x
x
§·
¨¸
¨¸
¨¸
¨¸
©¹
, А =
11 12 1
21 22 2
12
...
...
... ... ... ...
...
n
n
nn nn
aa a
aa a
aa a
§·
¨¸
¨¸
¨¸
¨¸
©¹
, Y =
1
2
...
n
y
y
y
§·
¨¸
¨¸
¨¸
¨¸
©¹
,
де
O
— вектор валового випуску;
Y — вектор кінцевого продукту;
А — матриця прямих витрат.
Тоді співвідношення балансу в матричному вигляді є
O
= А
O
+ Y.
Основна задача міжнародного балансу полягає у відшуканні та+
кого вектора валового випуску
O
, який при відомій матриці прямих
витрат забезпечує заданий вектор кінцевого продукту Y.
Перепишемо співвідношення балансу у вигляді
Y = (E – A)
O
.
Це система лінійних рівнянь відносно
O
.
75
Розділ I. Лінійна та векторна алгебра
Якщо матриця (Е – А) невироджена, тобто det(Е – А)
z
0, то існує
єдиний розв’язок системи, що знаходиться матричним способом
O
= (Е – А)
–1
Y.
Матриця S =(Е – А)
–1
називається матрицею повних витрат.
Щоб з’ясувати економічний зміст елементів матриці S = (S
ij
),
будемо задаватися одиничними векторами кінцевого продукту
Y
1
= (1, 0, … , 0)
T
, Y
2
= (0, 1, … , 0)
T
, … , Y
n
= (0, 0, … , 1)
T
. Тоді оскільки
O
= SY, відповідні вектори валового випуску будуть
1
O
= (S
11
, S
21
, …, S
n1
)
T
,
2
O
= (S
12
, S
22
, …, S
n2
)
T
,…,
O
n
= (S
1n
, S
2n
, …, S
nn
)
T
. Отже, кожний елемент
S
ij
матриці S є валовий випуск продукції і+тої галузі, необхідний для
забезпечення випуску одиниці кінцевого продукту j+тої галузі у
j
.
Відповідно до економічного змісту задачі значення х
і
повинні бути
невід’ємними при невід’ємних значеннях у
і
, а
іj
, і, j =
1, n
.
Матриця А (а
іj
t
0) називається продуктивною, якщо для будь+яко+
го вектора Y (y
i
t
0) існує розв’язок
O
(x
i
t
0) системи
O
= S
O
+ Y.
У цьому випадку і модель Леонтьєва називається продуктивною.
1.9.3. Приклади розв’язання задач балансового аналізу
Приклад 1.112. У таблиці наведено дані про використання ба+
лансу за звітний період (ум. грош. од).
Обчислити необхідний обсяг валового випуску в кожній галузі,
якщо кінцеве споживання енергетичної галузі збільшується вдвоє, а
машинобудування залишається на колишньому рівні.
Розв’язок. За умовою х
1
= 100, х
2
= 100, х
11
= 7, х
12
= 21, х
21
= 12,
х
22
= 15, у
1
= 72, у
2
= 73.
Споживання
Галузь
ЕнергеA
тика
МашиноA
будування
Кінцевий
продукт
Валовий
продукт
Енергетика 7 21 72 100
Вироб+
ництво
Машино+
будування
12 15 73 100
76
Клепко В.Ю., Голець В.Л. «Вища математика в прикладах і задачах»
Знаходимо коефіцієнти прямих витрат за формулою
а
ij
=
i
j
j
x
x
, i, j=
1, 2
.
а
11
= 0,07, а
12
= 0,21, а
21
= 0,12, а
22
= 0,15.
Матриця прямих витрат
А =
0,07 0,21
0,12 0,15
§·
¨¸
©¹
.
Вона не має від’ємних елементів і задовольняє критерію продук+
тивності
(max {0,07 + 0,12; 0,21 + 0,15} = {0,19; 1,36} = 0,36 <1).
Тому для будь+якого вектора кінцевого продукту Y можна знайти
необхідний обсяг валового випуску
O
за формулою
O
= (Е – А)
–1
Y.
Знаходимо матрицю повних витрат S = (Е – А)
–1
.
Е – А =
0,93 0,21
0,12 0,85
§·
¨¸
©¹
.
Оскільки det(Е – А) = 0,7653
z
0, то
S = (Е – А)
–1
=
1
0,7653
0,85 0,21
0,12 0,93
§·
¨¸
©¹
.
За умовою вектор кінцевого продукту Y =
144
73
§·
¨¸
©¹
. Тоді вектор
валового випуску Х визначається так:
O
=
1
0,7653
0,85 0,21
0,12 0,93
§·
¨¸
©¹
144
73
§·
¨¸
©¹
=
1
0,7653
179,99
111,28
§·
¨¸
©¹
.
Отже, валовий випуск в енергетичній галузі треба збільшити до
179,28 умов. од., а в машинобудівній – до 111,28 умов. од.
77
Розділ I. Лінійна та векторна алгебра
1.9.4. Завдання для самостійної роботи
1.113. Три типи транспортних літаків розподілено між чотирма
авіалініями. Задані матриці обсягу перевезень:
А = (а
ik
) =
15 10 20 50
20 25 10 17
35 50 30 45
§·
¨¸
¨¸
¨¸
©¹
;
В = (b
ik
) =
97 54 75 200
83 102 49 79
71 210 150 180
§·
¨¸
¨¸
¨¸
©¹
,
де а
ik
, b
ik
, (і =
1, 3
, k =
1, 4
) — накопичені з початку року обсяги пе+
ревезень одним літаком і+того типу на авіалінії k+того виду відпові+
дно 30 квітня і 1 вересня деякого року. Знайти обсяги перевезень,
здійснених літаками кожного типу на кожній авіалінії за минулий
період.
1.114. Підприємство випускає три види продукції, яка характе+
ризується матрицею – планом X = (10 7 4). При випуску про+
дукції використовується 5 видів сировини:
А = (а
ik
) =
51039 2
48568
6124310
§·
¨¸
¨¸
¨¸
©¹
,
де а
ik
– витрати k+того виду сировини на одну одиницю і+того виду
продукції. Матриця С = (7 4 5 10 2) задає вартість однієї оди+
ниці кожного виду сировини. Визначити: а) необхідну кількість оди+
ниць сировини кожного виду для забезпечення плану; б) вартість для
одиниці кожного виду продукції; в) загальну вартість сировини при
виконанні плану випуску X.
1.115. Підприємство випускає продукцію трьох видів А, В, С.
Рівень випуску лімітується обмеженістю ресурсів. Дані наведено в
таблиці:
78
Клепко В.Ю., Голець В.Л. «Вища математика в прикладах і задачах»
Записати в матричній формі умови, яким повинен задовольняти
план випуску продукції, припускаючи повне використання ресурсів.
Знайти план випуску продукції.
1.116. Цех випускає три види виробів І, ІІ, ІІІ. Застосовуючи три
виробничих процеси: штампування, складання і фарбування. Інтен+
сивність (в людино+годинах за період) даних процесів складає відпо+
відно 40, 40 і 80, а трудомісткість кожного процесу при виробництві
продукції задається матрицею
А = а
ij
=
221
141
164
§·
¨¸
¨¸
¨¸
©¹
,
де а
ij
— кількість людино+годин, необхідних для і+того процесу об+
робки одиниці виробу j+того виду. а) Написати в матричній формі
систему рівнянь, яка характеризує рівність потужностей, що вико+
ристовуються, і наявних для кожного процесу. б) Яким буде впуск
кожного виду продукції, якщо потужності кожного процесу обробки
використовуються повністю?
1.117. В економіці і господарській діяльності важливу роль
відіграє припущення, що механізм ринкової конкуренції змінює ціну
на продукт настільки, що попит і пропозиція зрівноважуються. При+
пустимо, що функція попиту на холодильники протягом певного
часу має вигляд х
1
= 12000 – 0,2х
2
, де х
1
— ціна холодильника, а х
2
—
відповідна їхня кількість. Нехай функція пропозиції має вигляд:
х
1
= 300 – 0,1х
2
. При яких значеннях х
1
і х
2
настає рівновага?
Норми витрат на
одиницю продукції
Ресурси
Запас
ресурсу
А В С
Сировина, кг 24 5 7 4
Матеріали, кг 75 10 5 20
Обладнання, од 10 5 2 1
79
Розділ II. Аналітична геометрія
Розділ ІІ. Аналітична геометрія
§2.1. Прямокутні координати в просторі. Основні задачі
Прямокутна система координат складається із трьох взаємопер+
пендикулярних осей, що перетинаються в одній точці, які назива+
ються
осями координат. Точка перетину осей називається почат,
ком координат
і позначається буквою О. Координатні осі
позначаються через Ох, Oy i Oz і відповідно називаються
віссю аб,
сцис, віссю ординат і віссю аплікат
.
На кожній вісі вибирається додатний напрям, що вказується
стрілкою, та одиниця міри.
Координатні осі Ох, Oy i Oz попарно визначають площини xOy,
xOz i yOz, що перетинаються в одній точці О (рис. 2.1).
Координатні площини xOy, xOz i yOz поділяють простір на вісім
частин, які називаються
октантами (рис. 2.1)
Рис. 2.1.
X
Y
Z
O
I
III
IV
II
VI
V
VII
VIII
80
Клепко В.Ю., Голець В.Л. «Вища математика в прикладах і задачах»
Положення точки М відносно взятих осей визначається відрізка+
ми ОА, ОВ, ОС (рис. 2.2) відповідно рівними відстаням тачки М від
координатних площин. Величини цих відрізків виражаються числа+
ми, якщо виміряти їх якою+небудь одиницею міри (е).
Число
AO
x
e
— називається абсцисою точки М.
Число
OB
y
e
— називається ординатою точки М.
Число
OC
z
e
— називається аплікатою точки М.
Таким чином, положення будь+якої точки в просторі визначаєть+
ся трійкою чисел (x; y; z), які називаються її
координатами.
Рис. 2.2.
О Y
X
x
y
z
M
A
B
C
Z
Координати точок, що розміщені в різних частинах, мають на+
ступні знаки:
Таблиця 2.1.
Октанти
Координати
І ІІ ІІІ ІV V VI VII VIII
Абсциса + – – + + – – +
Ордината + + – – + + – –
Апліката + + + + – – – –