Клепко В.Ю., Голець В.Л. Вища математика в прикладах і задачах
Подождите немного. Документ загружается.
21
Розділ I. Лінійна та векторна алгебра
При знаходженні рангу матриці, як правило, треба обчислювати
велику кількість визначників. Щоб полегшити цей процес, застосо+
вують спеціальні засоби. Ранг можна обчислити, наприклад, так: над
матрицею послідовно виконують елементарні перетворення до тих
пір, поки в кожному рядку і кожному стовпчику стоятиме не більше
одного ненульового елемента. Тоді ранг матриці буде дорівнювати
числу цих ненульових елементів.
Приклад 1.32. Знайти ранг матриці А =
1012
2110
1111
§·
¨¸
¨¸
¨¸
©¹
.
Розв’язок. Перетворимо в нулі всі елементи першого рядка, крім
першого елементу, для чого перший і другий стовпчики залишаємо
без зміни, замість третього стовпчика запишемо різницю між пер+
шим і третім стовпчиком, а замість четвертого — суму четвертого і
першого, помноженого на (–2).
А ~
10 0 0
21 1 4
11 0 1
§·
¨¸
¨¸
¨¸
©¹
.
Далі без зміни залишаємо перший і третій стовпчики, замість дру+
гого запишемо різницю між третім і другим стовпчиками, а замість чет+
вертого — суму четвертого стовпчика і третього, помноженого на –4.
А ~
10 0 0
00 10
01 0 1
§·
¨¸
¨¸
¨¸
©¹
.
І, нарешті, остаточна перетворимо останній стовпчик на нулі. Замість
нього запишемо різницю між другим і четвертим стовпчиками.
А ~
10 0 0
00 10
01 0 0
§·
¨¸
¨¸
¨¸
©¹
.
Одержана матриця містить три ненульових елемента, тобто r(A) = 3.
22
Клепко В.Ю., Голець В.Л. «Вища математика в прикладах і задачах»
1.3.2. Приклади для самостійного розв’язку
1.33. – 1.42. Знайти ранг матриці.
1.33.
21 3 1
12 23
33 1 4
§·
¨¸
¨¸
¨¸
©¹
. 1.34.
231
111
321
§·
¨¸
¨¸
¨¸
©¹
.
1.35.
1111
2013
3122
§·
¨¸
¨¸
¨¸
©¹
. 1.36.
1123
5172
4111
10 1 10 6
§·
¨¸
¨¸
¨¸
¨¸
©¹
.
1.37.
12 4 3
35 6 4
45 2 3
3824 19
§·
¨¸
¨¸
¨¸
¨¸
©¹
. 1.38.
1210
43 711
51 611
§·
¨¸
¨¸
¨¸
©¹
.
1.39.
12 12
01 2 3
12 10
13 1 1
25 0 1
§·
¨¸
¨¸
¨¸
¨¸
¨¸
¨¸
©¹
. 1.40.
04101
48187
10 18 40 17
17173
§·
¨¸
¨¸
¨¸
¨¸
©¹
.
1.41.
20202
01010
21021
01010
§·
¨¸
¨¸
¨¸
¨¸
©¹
. 1.42.
12345
21002
03688
§·
¨¸
¨¸
¨¸
©¹
.
23
Розділ I. Лінійна та векторна алгебра
1.43. Використовуючи означення рангу матриці, знайти ранг мат+
риці
А =
102 1
301 2
403 1
§·
¨¸
¨¸
¨¸
©¹
.
1.44. Використовуючи метод елементарних перетворень, знайти
ранг матриці
А =
11234
51721
41111
10 1 10 6 6
§·
¨¸
¨¸
¨¸
¨¸
©¹
.
24
Клепко В.Ю., Голець В.Л. «Вища математика в прикладах і задачах»
§ 1.4. Обернена матриця
1.4.1. Теоретичні відомості
Матриця А
–1
називається оберненою до матриці А, якщо
АА
–1
= А
–1
А = Е.
Звідси випливає, що обернену матрицю можуть мати лише квад+
ратні матриці.
1
11 21
2
12 22
1
12
...
|||| ||
...
|||| ||
... ... ... ...
...
|||| ||
n
n
nn nn
A
AA
AA A
A
AA
AA AA
AA A
AA A
§·
¨¸
¨¸
¨¸
¨¸
¨¸
¨¸
¨¸
¨¸
¨¸
©¹
.
Тобто, обернена матриця складається з алгебраїчних доповнень
до елементів рядків, які записуються в стовпчики з відповідними
номерами, а потім кожне алгебраїчне доповнення ділиться на детер+
мінант матриці.
Обернену матрицю можна використати при розв’язанні системи
лінійних алгебраїчних рівнянь матричним способом: матрицю+сто+
впчик X знаходять як добуток матриці А
–1
, оберненої до матриці
системи, і матриці+стовпчика вільних членів В, тобто
Х = А
–1
В.
1.4.2. Розв’язання прикладів
Приклад 1.45. Знайти матрицю А
–1
, обернену до матриці
А =
25 1
334
12 3
§·
¨¸
¨¸
¨¸
©¹
.
25
Розділ I. Лінійна та векторна алгебра
Розв’язок. Обчислимо визначник матриці А і алгебраїчні допов+
нення всіх елементів.
25 1
det 3 3 4
12 3
A
'
= –68.
А
11
= (–1)
1+1
34
23
= –17; А
21
= (–1)
2+1
51
23
= –17;
А
31
= (–1)
3+1
51
34
= 17; А
12
= (–1)
1+2
34
13
= –5;
А
22
= (–1)
2+2
21
13
= 7; А
32
= (–1)
3+2
21
34
= –11;
А
13
= (–1)
1+3
33
12
= 9; А
23
= (–1)
2+3
25
12
= 1;
А
33
= (–1)
3+3
25
33
= –21.
Обернена матриця має вигляд:
А
–1
= –
1
68
17 17 17
57 11
9121
§·
¨¸
¨¸
¨¸
©¹
.
Матриця А
–1
знайдена правильно, тому що:
АА
–1
=
25 1
334
12 3
§·
¨¸
¨¸
¨¸
©¹
(–
1
68
)
17 17 17
57 11
9121
§·
¨¸
¨¸
¨¸
©¹
=
26
Клепко В.Ю., Голець В.Л. «Вища математика в прикладах і задачах»
= –
1
68
2(17) 5(5) 19 2(17) 57 11 217 5(11) 1(21)
3(17) 3(5) 49 3(17) 37 41 317 3(11) 4(21)
1(17) 2(5) 39 1(17) 27 31 117 2(11) 3(21)
§·
¨¸
¨¸
¨¸
©¹
=
= –
1
68
34 25 9 34 35 1 34 55 21
51 15 36 51 21 4 51 33 84
17 10 27 17 14 3 17 22 63
§·
¨¸
¨¸
¨¸
©¹
=
= –
1
68
68 0 0
0680
0068
§·
¨¸
¨¸
¨¸
©¹
=
100
010
001
§·
¨¸
¨¸
¨¸
©¹
.
Приклад 1.46. Знайти матрицю А
–1
, обернену до матриці
А =
23 2
12 3
34 1
§·
¨¸
¨¸
¨¸
©¹
.
Розв’язок. Оскільки визначник матриці
23 2
det 1 2 3
34 1
AA
'
= 4 + 8 – 27 – 12 – 3 + 24 = –6
z
0,
то для матриці А існує обернена матриця А
–1
. Знайдемо алгебраїчні
доповнення елементів матриці А.
А
11
= (–1)
1+1
23
41
= 14; А
12
= (–1)
1+2
13
31
= –10;
А
13
= (–1)
1+3
12
34
= –2; А
21
= (–1)
2+1
32
41
= 5;
А
22
= (–1)
2+2
22
31
= –4; А
23
= (–1)
2+3
23
34
= 1;
27
Розділ I. Лінійна та векторна алгебра
А
31
= (–1)
3+1
32
23
= –13; А
32
= (–1)
3+2
22
13
= 8;
А
33
= (–1)
3+3
23
12
= 1.
Тоді
А
–1
=
1
||
A
11 21 31
12 22 32
13 23 33
AAA
AAA
AAA
§·
¨¸
¨¸
¨¸
©¹
=
1
6
14 5 13
10 4 8
21 1
§·
¨¸
¨¸
¨¸
©¹
.
Легко можна переконатися, що АА
–1
= Е, тобто:
23 2
12 3
34 1
§·
¨¸
¨¸
¨¸
©¹
(
1
6
)
14 5 13
10 4 8
21 1
§·
¨¸
¨¸
¨¸
©¹
=
100
010
001
§·
¨¸
¨¸
¨¸
©¹
.
Задача 1.47. У цеху підприємства виготовляють дві моделі жіно+
чого одягу. На виготовлення першої моделі витрачають 2 м тканини,
на виготовлення другої — 3 м. При цьому витрати робочого часу на
виробництво цих моделей становить відповідно 4 год. та 5 год. Відо+
мо, що тижневий запас тканини 100 м, а робочий час обмежено 190
год. Скласти такий план тижневого виготовлення цих моделей одя+
гу, при якому повністю використовуються ресурси (тканину і робо+
чий час).
Розв’язок. Позначимо через х
1
і х
2
кількість одиниць тижневого
випуску першої та другої моделей відповідно. За умовою задачі скла+
демо систему лінійних рівнянь:
12
12
2 3 100
45190
xx
xx
®
¯
.
Розв’яжемо цю систему матричним способом. Запишемо її в мат+
ричному вигляді:
АХ = В,
28
Клепко В.Ю., Голець В.Л. «Вища математика в прикладах і задачах»
де А =
23
45
§·
¨¸
©¹
, В =
100
190
§·
¨¸
©¹
, Х =
1
2
x
x
§·
¨¸
©¹
.
Для матриці А знайдемо обернену матрицю А
–1
. Оскільки:
det А =
23
45
= 10 – 12 = –2, А
11
= 5, А
12
= –4, А
21
= –3, А
22
= 2.
Тоді
А
–1
=
1
||
A
11 21
12 22
AA
AA
§·
¨¸
©¹
=
1
2
53
42
§·
¨¸
©¹
=
52 32
21
§·
¨¸
©¹
.
Розв’язок системи є
Х =
52 32
21
§·
¨¸
©¹
100
190
§·
¨¸
©¹
=
250 275
200 190
§·
¨¸
©¹
=
25
10
§·
¨¸
©¹
.
х
1
= 25, х
2
= 10.
Отже, для використання ресурсів щотижня треба виготовити 25
одиниць першої і 10 одиниць другої моделі одягу.
Зауважимо, що при розв’язанні економічних задач зручно вико+
ристовувати матричний спосіб. Обчисливши один раз обернену мат+
рицю та змінюючи обмеження на ресурси (щоденні, щотижневі,
щомісячні, щорічні тощо), діставатимемо кожного разу план випус+
ку продукції.
1.4.3. Приклади для самостійного розв’язку
1.48. Для заданих матриць знайти обернені матриці:
1.
12
34
§·
¨¸
©¹
. 2.
223
11 2
211
§·
¨¸
¨¸
¨¸
©¹
. 3.
121
13 2
524
§·
¨¸
¨¸
¨¸
©¹
.
29
Розділ I. Лінійна та векторна алгебра
4.
11 3
32 2
115
§·
¨¸
¨¸
¨¸
©¹
. 5.
413
32 5
22 4
§·
¨¸
¨¸
¨¸
©¹
. 6.
32 1
212
13 1
§·
¨¸
¨¸
¨¸
©¹
.
7.
123
135
124
§·
¨¸
¨¸
¨¸
©¹
. 8.
121
211
131
§·
¨¸
¨¸
¨¸
©¹
.
1.49. З’ясувати, чи існує матриця, обернена матриці
А =
112
11 2
11 4
§·
¨¸
¨¸
¨¸
©¹
.
Якщо існує, знайти її. Виконати перевірку АА
–1
= Е.
1.50. Розв’язати матричне рівняння:
31
12
§·
¨¸
©¹
Х =
40
52
§·
¨¸
©¹
.
30
Клепко В.Ю., Голець В.Л. «Вища математика в прикладах і задачах»
§1.5. Системи лінійних рівнянь
1.5.1. Система n лінійних рівнянь з n невідомими
Нехай задана система n лінійних рівнянь з n невідомими х
1
, х
2
, ..., х
n
,
коефіцієнтами при яких є елементи матриці А, а вільними членами є
числа b
1
, b
2
, ..., b
n
:
11 1 12 2 1 1
21 1 22 2 2 2
11 2 2
...
...
... ... ... ... ...
...
nn
nn
nn nnnn
ax ax ax b
ax ax ax b
ax ax ax b
°
°
®
°
°
¯
. (1.5)
Якщо визначник системи (1.5), тобто визначник, що складається
з коефіцієнтів при невідомих
11 12 1
21 22 2
12
...
...
0
... ... ... ...
...
n
n
nn nn
aa a
aa a
A
aa a
' z
, (1.6)
то система (1.5.) має єдиний розв’язок. цей розв’язок можна знайти
різними способами. Розглянемо три з них.
І. Метод Крамера. Позначимо через
1
'
визначник, що утво+
рюється з (1.6) після заміни його першого стовпчика стовпчиком
вільних членів системи (1.5). Аналогічно позначимо через
2
'
виз+
начник, що утворюється з (1.6) після заміни його другого стовпчика
стовпчиком вільних членів системи (1.5), ... ,
n
'
— замінено останній
стовпчик стовпчиком вільних членів.
Тоді розв’язок системи (1.5) записується у вигляді:
х
1
=
1
'
'
, х
2
=
2
'
'
, ... , х
n
=
n
'
'
. (1.7)