Клепко В.Ю., Голець В.Л. Вища математика в прикладах і задачах
Подождите немного. Документ загружается.
511
Розділ VIII. Ряди
Приклад 8.16. Дослідити на збіжність ряди, використовуючи
ознаку Коші:
а)
2
1
(ln )
n
n
n
f
¦
;б)
2
3
2
1
(2 3)
n
n
f
¦
.
Розв’язок.
а) Для дослідження заданого ряду
2
1
(ln )
n
n
n
f
¦
використаємо ра+
дикальну ознаку Коші
lim
n
n
n
U
of
=
1
lim
(ln )
n
n
n
n
of
=
1
lim
ln
n
n
of
= 0 < 1,
отже, ряд збіжний.
б) Для дослідження заданого ряду
2
3
2
1
(2 3)
n
n
f
¦
використаємо
інтегральну ознаку Коші. Маємо
f(x) =
2/3
1
(2 3)x
. Знаходимо не+
власний інтеграл
2/3
2
1
(2 3)
dx
x
f
³
=
lim
b
of
2/3
2
(2 3)
b
xdx
³
=
lim
b
of
1
2
3(2x – 3)
1/3
2
b
=
=
lim
b
of
3
2
3
23x
2
b
=
3
2
(
lim
b
of
3
23b
– 1) =
3
2
f
=
f
.
Невласний інтеграл розбігається. Отже, розбігається і заданий ряд.
512
Клепко В.Ю., Голець В.Л. «Вища математика в прикладах і задачах»
8.2.6. Приклади для самостійного розв’язку
8.18. Користуючись ознакою Даламбера, дослідити на збіжність
ряди:
а)
1
21
2
n
n
n
f
¦
;б)
1
3
2(2 1)
n
n
n
n
f
¦
;
в)
1
!
10
n
n
n
f
¦
;г)
2
1
3
n
n
n
f
¦
;
д)
1
1
tg
2
n
n
n
S
f
¦
;ж)
1
(1)!
2!
n
n
n
n
f
¦
;
з)
2
1
sin
2
n
n
n
S
f
¦
;и)
3
1
(2 )!
n
n
n
f
¦
.
8.18. Користуючись радикальною ознакою Коші, дослідити на
збіжність ряди:
а)
2
1
1
31
n
n
n
n
n
f
§·
¨¸
©¹
¦
;б)
1
21
n
n
n
n
f
§·
¨¸
©¹
¦
;
в)
1
sin
2
n
n
n
S
f
¦
;г)
1
1
arctg
n
n
n
f
¦
.
8.19. Дослідити збіжність заданих рядів з допомогою інтеграль+
ної ознаки збіжності:
а)
2
1
2
3
n
n
f
¦
;б)
2
2
1
(ln )
n
nn
f
¦
;
в)
1
1
31
n
n
f
¦
;г)
2
1
1
1
n
n
f
¦
;
д)
1
1
(2 1)(2 3)
n
nn
f
¦
;ж)
2
1
ln
n
nn
f
¦
.
513
Розділ VIII. Ряди
§ 8.3. Знакозмінні ряди. Абсолютна та умовна збіжність
До цих пір ми вивчали ряди, всі члени яких були додатними.
Тепер ми перейдемо до розгляду рядів, які містять як додатні, так і
від’ємні члени. Такі ряди називаються
знакозмінними. Наведемо
приклад знакозмінного ряду:
2
1
1
–
2
1
2
–
2
1
3
+
2
1
4
+
2
1
5
–
2
1
6
–
2
1
7
+
2
1
8
+
2
1
9
– ... +
+
(1)
2
(1)
nn
2
1
n
+ ...
Вивчення знакозмінних рядів ми почнемо з окремого випадку так
званих знакопереміжних рядів, тобто рядів, в яких за кожним додат+
ним членом слідує від’ємний, а за кожним від’ємним членом – до+
датний. Позначивши через абсолютні величини членів ряду та по+
клавши, що перший член додатний, запишемо знакопереміжний ряд
наступним чином:
U
1
– U
2
+ U
3
– U
4
+ ... + (–1)
n–1
U
n
+ ... (8.16)
Для знакопереміжних рядів має місце достатня ознака збіжності
Лейбніца.
Ознака Лейбніца. Якщо в знакопереміжному ряді (8.16) абсо+
лютні величини членів спадають, тобто
U
1
> U
2
> U
3
> U
4
> ... > U
n
> ... (8.17)
і загальний член прямує до нуля, тобто
lim
nof
U
n
= 0, то ряд збігається,
причому його сума додатна та не перевищує першого члену ряду.
Приклад. Дослідити на збіжність ряд
2
1
12
–
2
1
23
+
2
1
34
– ... + (–1)
n–1
2
1
(1)nn
.
Розв’язок. Цей ряд задовольняє умовам ознаки Лейбніца:
1)
2
1
12
>
2
1
23
>
2
1
34
> ... > (–1)
n–1
2
1
(1)nn
> ...
514
Клепко В.Ю., Голець В.Л. «Вища математика в прикладах і задачах»
2)
lim
nof
U
n
=
lim
nof
2
1
(1)nn
= 0.
Отже, ряд збігається.
Перейдемо тепер до розгляду загального випадку знакозмінного
ряду. Припустимо, що в ряді
U
1
+ U
2
+ U
3
+ U
4
+ ... + U
n
+ ... (8.18)
числа
U
1
, U
2
, U
3
, U
4
, ..., U
n
, ... можуть бути як додатними, так і від’ємними.
Достатня ознака збіжності знакозмінного ряду. Якщо знако+
змінний ряд такий, що ряд, складений із абсолютних величин його
членів збігається, то і знакозмінний ряд також збігається. Досліджен+
ня питання про збіжність знакозмінного ряду зводиться в цьому
випадку до дослідження ряду з додатними членами.
Приклад. Дослідити на збіжність ряд
2
sin
1
a
+
2
sin2
2
a
+
2
sin3
3
a
+ ... +
2
sinna
n
+ ..., (8.19)
де
а — будь+яке число.
Розв’язок. Поряд з даним рядом, розглянемо ряди
2
sin
1
a
+
2
sin2
2
a
+
2
sin3
3
a
+ ... +
2
sin na
n
+ ..., (8.20)
і
2
1
1
+
2
1
2
+
2
1
3
+ ... +
2
1
n
+ ... (8.21)
Ряд (8.21) — збігається. Члени ряду (8.20) не більше відповідних
членів ряду (8.21), отже ряд (8.20) також збігається. Але тоді, в силу
розглянутої ознаки, даний знакозмінний ряд збігається.
Підкреслимо, що ознака збіжності, яка розглянута вище, являєть+
ся тільки достатньою ознакою збіжності знакозмінного ряду, але не
необхідною; існують такі знакозмінні ряди, які самі збігаються, але
ряди, що складені із абсолютних величин їх членів, розбігаються.
В зв’язку з цим корисно ввести поняття про абсолютну та умовну
515
Розділ VIII. Ряди
збіжність знакозмінного ряду і на основі цих понять класифікувати
знакозмінні ряди.
Знакозмінний ряд
U
1
+ U
2
+ U
3
+ U
4
+ ... + U
n
+ ... (8.18)
називається абсолютно збіжним, якщо збігається ряд, складений із
абсолютних величин його членів:
|U
1
| + |U
2
| + |U
3
| + |U
4
| + ... + |U
n
| + ... (8.22)
Якщо ж знакозмінний ряд (8.18) — збігається, а ряд (8.22) скла+
дений із абсолютних величин його членів, розбігається, то даний
знакозмінний ряд (8.18) називається
умовно або неабсолютно
збіжним.
Приклади. З’ясувати, які із вказаних рядів збігаються абсолют+
но, які неабсолютно, які розбігаються.
а)
1
2
–
2
1
22
+
3
1
32
– ... + (–1)
n+1
1
2
n
n
+ ... (8.23)
U
n
= (–1)
n+1
1
2
n
n
.
Знайдемо
lim
nof
|U
n
| =
lim
n
of
1
2
n
n
= 0.
1
2
>
2
1
22
>
3
1
32
> ... > (–1)
n+1
1
2
n
n
> ...
Даний ряд збігається. З’ясуємо як? Напишемо ряд, складений із
абсолютних величин даного ряду
1
2
+
2
1
22
+
3
1
32
+ ... +
1
2
n
n
+
1
1
(1)2
n
n
+ ...
Одержали знакододатний ряд. Застосуємо ознаку Даламбера.
lim
nof
1
n
n
U
U
=
lim
nof
1
1
(1)2
1
*2
n
n
n
n
=
lim
n
of
1
2
(1)2
n
n
n
n
=
1
2
lim
n
of
1
n
n
=
516
Клепко В.Ю., Голець В.Л. «Вища математика в прикладах і задачах»
8.3.1. Розв’язання прикладів
Приклад 8.20. З’ясувати, які із заданих рядів збігаються абсолют+
но, які умовно, які розбігаються.
а) 1 –
1
3
+
1
5
–
1
7
+ ... + (–1)
n+1
1
21n
+ ... =
1
1
1
(1)
21
n
n
n
f
¦
;
б) 1 –
2
1
3
+
2
1
5
–
2
1
7
+ ... + (–1)
n+1
2
1
(2 1)n
+ ... =
1
2
1
1
(1)
(2 1)
n
n
n
f
¦
;
в) 2 –
3
2
+
4
3
–
5
4
+ ... + (–1)
n+1
1n
n
+ ... =
1
1
1
(1)
n
n
n
n
f
¦
.
=
1
2
1 =
1
2
< 1.
Отже, ряд (8.23) збігається абсолютно.
б) –1
+
1
2
–
1
3
+ ... + (–1)
n
1
n
+ ...
U
n
= (–1)
n
1
n
.
Знайдемо
lim
nof
|U
n
| =
lim
nof
1
n
= 0.
1 >
1
2
>
1
3
> ... > (–1)
n
1
n
> ...
Даний ряд збігається. З’ясуємо як? Запишемо ряд, складений із
абсолютних величин членів даного ряду
1 +
1
2
+
1
3
+ ... +
1
n
+ ...
Одержаний ряд є розбіжним. Отже, заданий ряд збігається умовно.
517
Розділ VIII. Ряди
Розв’язок.
а) Члени заданого знакопереміжного ряду
1
1
1
(1)
21
n
n
n
f
¦
спа+
дають по абсолютному значенню, прямуючи до нуля:
1 >
1
3
>
1
5
>
1
7
> ... > (–1)
n+1
1
21n
> ...
і
lim
n
of
|U
n
| =
lim
nof
1
21n
= 0.
Через це, згідно ознаки Лейбніца, заданий ряд збігається. Щоб вста+
новити, збігається він абсолютно чи неабсолютно, дослідимо ряд з
додатними членами
1
1
21
n
n
f
¦
, складений із абсолютних значень
членів заданого ряду. Застосуємо інтегральну ознаку
1
21
dx
x
f
³
=
lim
bof
1
21
b
dx
x
³
=
1
2
lim
b
of
ln(2x – 1)
1
b
=
=
1
2
lim
b
of
(ln(2b – 1) – ln 1) =
f
.
Одержали, що ряд з додатними членами розбігається. Отже, за+
даний ряд збігається неабсолютно.
б) Заданий ряд
1 –
2
1
3
+
2
1
5
–
2
1
7
+ ... + (–1)
n+1
2
1
(2 1)n
+ ...
задовольняє умовам ознаки Лейбніца, так як його члени спадають
по абсолютному значенню
1 >
2
1
3
>
2
1
5
>
2
1
7
> ... > (–1)
n+1
2
1
(2 1)n
>...
і
518
Клепко В.Ю., Голець В.Л. «Вища математика в прикладах і задачах»
lim
nof
|U
n
| =
lim
nof
2
1
(2 1)n
= 0.
Через це заданий ряд збігається. З’ясуємо, як збігається. Дослідимо
ряд з додатними членами
2
1
1
(2 1)
n
n
f
¦
, що складений із абсолютних
значень членів заданого ряду. Застосуємо інтегральну ознаку
2
1
(2 1)
dx
x
f
³
=
lim
b
of
2
1
(2 1)
b
xdx
³
=
1
2
lim
b
of
1
21x
1
b
=
=
1
2
(
lim
b
of
1
21b
– 1) =
1
2
.
Ряд з додатними членами збігається. Отже, заданий ряд збігаєть+
ся абсолютно.
в) Члени заданого ряду
2 –
3
2
+
4
3
–
5
4
+ ... + (–1)
n+1
1n
n
+ ...
спадають по абсолютному значенню
2 >
3
2
>
4
3
>
5
4
> ...> (–1)
n+1
1n
n
> ...,
але
lim
n
of
|U
n
| =
lim
n
of
1n
n
=
lim
nof
1
1
1
n
= 1
z
0
не задовольняє умові ознаки Лейбніца. Отже, заданий ряд розбігається.
519
Розділ VIII. Ряди
8.3.2. Приклади для самостійного розв’язку
Приклад 8.21. З’ясувати, які з цих рядів збігаються абсолютно,
які неабсолютно, які розбігаються:
а) sin
3
S
+ sin
2
3
S
+ sin
3
3
S
+ sin
4
3
S
+ ... + sin
3
n
S
+ ... =
1
sin
3
n
n
S
f
¦
;
б)
1
ln2
–
1
ln3
+
1
ln4
– ... + (–1)
n+1
1
ln
(
1
)
n
+ ... =
1
1
1
(1)
ln
(
1
)
n
n
n
f
¦
;
в) –1 +
1
2
–
1
3
+
1
4
– ... + (–1)
n
1
n
+ ... =
1
1
(1)
n
n
n
f
¦
;
г) –
1
2
+
1
6
–
1
12
+ ... + (–1)
n
1
(1)nn
+ ... =
1
1
(1)
(1)
n
n
nn
f
¦
;
д) 1 –
3
1
2
+
3
1
4
–
3
1
6
+ ... + (–1)
n+1
3
1
(2 )n
+ ... =
1
3
1
1
(1)
(2 )
n
n
n
f
¦
.
520
Клепко В.Ю., Голець В.Л. «Вища математика в прикладах і задачах»
§ 8.4. Степеневі ряди. Теорема Абеля. Радіус збіжності.
Область збіжності степеневого ряду
Степеневим рядом називається ряд виду
а
0
+ а
1
х + а
2
х
2
+ а
3
х
3
+ ... + a
n
x
n
+ ... =
0
n
n
n
ax
f
¦
(8.24)
або
0
0
()
n
n
n
ax x
f
¦
= а
0
+ а
1
(x – x
0
) + а
2
(x – x
0
)
2
+ ... + a
n
(x – x
0
)
n
+ ..., (8.25)
де
а
n
(n = 1, 2, 3, ...) — дійсні числа, які називають коефіцієнтами
степеневого ряду,
х
0
— деяке стале число.
Теорема Абеля. Якщо ряд (8.24) збігається при х = х
1
, то він
збігається абсолютно для усіх
х, що задовольняють нерівність |x| <
|
x
1
|. Якщо ряд (8.24) розбігається при х = х
2
, то він розбігається для
усіх
х, що задовольняють нерівність |x| > |x
2
|.
Область збіжності степеневого ряду. Теорема Абеля стверджує,
що якщо степеневий ряд (8.24) збігається при
х
1
z
0, то він збігаєть+
ся абсолютно при будь+якому
х із інтервалу (–|x
1
|; |x
1
|). Якщо ж ряд
розбігається при
х
2
, то він розбігається у всіх точках, які розміщені
поза інтервалом (–|
x
2
|; |x
2
|).
Радіусом збіжності степеневого ряду (8.24) називається невід’ємне
число
R, таке, що при |x| < R ряд збігається, а при |x| > R розбігається.
Інтервалом збіжності ряду називається інтервал (–
R; R).
Знайдемо радіус збіжності степеневого ряду (8.24) через його
коефіцієнти. Для цього використаємо ознаку Даламбера або ознаку
Коші.
Розглянемо для кожного фіксованого
х числовий ряд
0
n
n
n
ax
f
¦
і
припустимо, що існує скінчена границя
L =
lim
n
of
1
n
n
a
a
, (L = lim
n
of
||
n
n
a
).
Тоді