Клепко В.Ю., Голець В.Л. Вища математика в прикладах і задачах
Подождите немного. Документ загружается.
501
Розділ VIII. Ряди
Для заданого ряду необхідна умова збіжності виконується, внас+
лідок чого ряд може бути або збіжним, або розбіжним. Це можна
встановити лише після додаткових досліджень.
Приклад. 8.4. Перевірити, чи виконується необхідна умова
збіжності для ряду
1
21
32
n
n
n
f
¦
.
Розв’язок.
Загальний член заданого ряду є U
n
=
21
32
n
n
. Знайде+
мо границю загального члена, при необмеженому зростанні його
номера
n:
lim
n
n
U
of
=
21
lim
32
n
n
n
of
=
1
2
lim
2
3
n
n
n
of
=
2
3
z
0.
Необхідна ознака збіжності заданого ряду не виконується. Через
це заданий ряд розбігається.
8.1.2. Приклади для самостійного розв’язання
8.5. Знайти суми наступних рядів:
а)
1
13
+
1
24
+
1
35
+ ... +
1
(2)nn
+ ... =
1
1
(2)
n
nn
f
¦
;
б)
1
13
+
1
35
+
1
57
+ ... +
1
(2 1)(2 1)nn
+ ... =
=
1
1
(2 1)(2 1)
n
nn
f
¦
.
8.6. Чи виконується необхідна ознака збіжності рядів:
а)
2
3
+
4
5
+
6
7
+ ... +
2
21
n
n
+ ... =
1
2
21
n
n
n
f
¦
;
502
Клепко В.Ю., Голець В.Л. «Вища математика в прикладах і задачах»
б) 1 +
3
4
+
5
9
+ ... +
2
21n
n
+ ... =
2
1
21
n
n
n
f
¦
;
в)
2
1
11
+
2
2
12
+
2
3
13
+ ... +
2
1
n
n
+ ... =
1
2
21
n
n
n
f
¦
;
г)
1
1001
+
2
2001
+
3
3001
+ ... +
1000 1
n
n
+ ... =
1
1000 1
n
n
n
f
¦
;
д)
2
+
3
2
+
4
3
+ ... +
1n
n
+ ... =
1
1
n
n
n
f
¦
.
503
Розділ VIII. Ряди
§ 8.2. Ознаки збіжності рядів з додатними членами
Ряд
U
1
+ U
2
+ U
3
+ U
4
+ ... + U
n
+ ... =
1
n
n
U
f
¦
називається додатним, якщо всі його члени невід’ємні, тобто U
n
t
0
(
n = 1, 2, 3, ...).
8.2.1. Ознаки порівняння
Нехай маємо два ряди з додатними членами:
U
1
+ U
2
+ U
3
+ U
4
+ ... + U
n
+ ... (8.10)
V
1
+ V
2
+ V
3
+ V
4
+ ... + V
n
+ ... (8.11)
Для них справедливі наступні твердження:
1. Якщо члени ряду (8.10) не більше відповідних членів ряду
(8.11), тобто
U
n
d
V
n
(n = 1, 2, 3, ...), і ряд (8.11) — збігається, то збігаєть+
ся і ряд (8.10).
Приклад 8.8. Дослідити на збіжність ряд
1
1
2
n
n
n
f
¦
.
Розв’язок. Порівняємо заданий ряд
1
1
21
+
2
1
22
+
3
1
23
+ ... +
1
2
n
n
+ ...
з рядом геометричної прогресії, знаменник якої
q =
1
2
;
1
1
2
+
2
1
2
+
3
1
2
+ ... +
1
2
n
+ ...
Кожний член заданого ряду менше відповідного члена ряду гео+
метричної прогресії, який збігається, тому, що |
q| < 1.
1
2
n
n
<
1
2
n
(n = 1, 2, 3, ...).
Отже, заданий ряд збігається.
504
Клепко В.Ю., Голець В.Л. «Вища математика в прикладах і задачах»
2. Якщо члени ряду (8.10) не менше відповідних членів ряду
(8.11), тобто U
n
t
V
n
, і ряд (8.11) розбігається, то і ряд (8.10) розбі+
гається.
Приклад 8.8. Дослідити на збіжність ряд
1
1
n
n
f
¦ .
Розв’язок. Ряд
1 +
1
2
+
1
3
+
1
4
+ ... +
1
n
+ ...
розбігається, так як його члени, починаючи з другого, більше відпо+
відних членів гармонічного ряду
1 +
1
2
+
1
3
+
1
4
+ ... +
1
n
+ ...
який, як відомо розбігається.
3. Нехай
V
n
> 0 і U
n
t
0 (n = 1, 2, 3, ...) і нехай існує границя
lim
n
n
n
U
V
of
= b (0 < b <
f
). (8.12)
Якщо ряд
1
n
n
V
f
¦
збігається при 0 < b <
f
, то і ряд
1
n
n
U
f
¦
збігається. Якщо ряд
1
n
n
V
f
¦
розбігається при 0 < b <
f
, то і ряд
1
n
n
U
f
¦
розбігається.
Приклад 8.9. Дослідити на збіжність ряд
1
1
(1 cos )
n
n
f
¦
.
Розв’язок. Позначивши
505
Розділ VIII. Ряди
8.2.2. Ознака Даламбера (теорема)
Якщо для ряду з додатними членами
U
1
+ U
2
+ U
3
+ U
4
+...+ U
n
+ U
n+1
+ ...,
відношення (
n + 1)+го члену до n+ного має скінчену границю l при
n of
, тобто
1
lim
n
n
n
U
U
of
= l, (8.13)
то: 1) ряд збігається, якщо
l < 1,
2) ряд розбігається, якщо
l > 1.
(У випадку
l = 1 відповідь на запитання про збіжність або
розбіжність ряду теорема не дає. Треба застосувати іншу ознаку).
Приклад 8.10. Дослідити на збіжність числовий ряд
1
43
3
n
n
n
n
f
¦
.
U
n
= (1 – cos
1
n
) і V
n
=
1
n
,
знайдемо границю:
lim
n
n
n
U
V
of
=
1
1
1cos
lim
n
n
n
of
=
2
1
2
1
2sin
lim
n
n
n
of
=
= 2
1
2
1
2
sin
lim
2
n
n
n
of
1
2
1
2
sin
lim
2
n
n
n
of
=
2
22
=
1
2
.
Оскільки ряд
1
1
n
n
f
¦
, будучи гармонічним рядом, розбігається, то
розбігається і заданий ряд
1
1
(1 cos )
n
n
f
¦
.
506
Клепко В.Ю., Голець В.Л. «Вища математика в прикладах і задачах»
Розв’язок. Маємо ряд
1
43
3
n
n
n
n
f
¦
=
1
3
+
2
5
23
+
3
9
33
+ ... +
43
3
n
n
n
+
1
41
(1)3
n
n
n
+ ...
Тут
U
n
=
43
3
n
n
n
; U
n+1
=
1
41
(1)3
n
n
n
.
1
lim
n
n
n
U
U
of
=
1
41
(
1
)
3
lim
43
*3
n
n
n
n
n
n
n
of
=
41
lim
43
n
n
n
of
1
3
lim
(1)3
n
n
n
n
n
of
=
= 1
1
3
lim
(1)3
n
n
n
n
n
of
=
1
3
lim
1
n
n
n
of
=
1
3
.
Таким чином,
l =
1
3
< 1, отже, заданий ряд збігається.
Приклад 8.11. Дослідити на збіжність числовий ряд
1
!
n
n
n
n
f
¦
.
Розв’язок. Маємо ряд
1
!
n
n
n
n
f
¦
=
1
1
1!
+
2
2
2!
+
3
3
3!
+ ... +
!
n
n
n
+
1
(1)
(1)!
n
n
n
+ ...
Тут
U
n
=
!
n
n
n
, U
n+1
=
1
(1)
(1)!
n
n
n
.
1
lim
n
n
n
U
U
of
=
1
(1)
(1)!
lim
!
n
n
n
n
n
n
n
of
=
1
(
1
)
!
lim
(1)!
n
n
n
nn
nn
of
=
(1)(1)!
lim
!( 1)
n
n
n
nnn
nn n
of
=
507
Розділ VIII. Ряди
8.2.3. Радикальна ознака Коші (теорема).
Якщо для ряду з додатними членами
U
1
+ U
2
+ U
3
+ U
4
+ ... + U
n
+ ...
величина
n
n
U
має скінчену границю l при
n of
, тобто
lim
n
n
n
U
of
= l,
то:
1) у випадку
l < 1 ряд збігається,
2) у випадку
l >1 ряд розбігається.
Приклад 8.12. Дослідити на збіжність ряд
1
3
+
2
2
5
§·
¨¸
©¹
+
3
3
7
§·
¨¸
©¹
+ ... +
21
n
n
n
§·
¨¸
©¹
+ ...
Розв’язок. Застосуємо ознаку Коші:
lim
n
n
n
U
of
=
lim
21
n
n
n
n
n
of
§·
¨¸
©¹
=
lim
21
n
n
n
of
=
1
2
< 1.
Ряд збігається.
=
1
lim
n
n
n
n
of
§·
¨¸
©¹
=
1
lim 1
n
n
n
of
§·
¨¸
©¹
= е.
Таким чином,
l = е > 1 і, отже, заданий ряд розбігається.
8.2.4. Інтегральна ознака Коші збіжності ряду
Нехай члени ряду
U
1
+ U
2
+ U
3
+ U
4
+ ... + U
n
+ ... (8.15)
додатні і не зростають, тобто
U
1
t
U
2
t
U
3
t
U
4
t
...,
і нехай
f(x) — така неперервна не зростаюча функція, що
f(1) = U
1
; f(2) = U
2
; f(3) = U
3
; ... f(n) = U
n
.
Тоді справедливі наступні твердження:
508
Клепко В.Ю., Голець В.Л. «Вища математика в прикладах і задачах»
8.2.5. Розв’язання прикладів
Приклад 8.14. Використовуючи признаки порівняння дослідити
на збіжність наступні ряди:
а)
1
1
(1)
n
nn
f
¦
; б)
1
1
1
3
n
n
n
f
¦
; в)
1
1
sin
n
n
f
¦
.
1) якщо невласний інтеграл
1
()fxdx
f
³
збігається, то збігається і
ряд (8.15);
2) якщо невласний інтеграл розбігається, то розбігається і ряд
(8.15).
Приклад 8.13. Дослідити на збіжність ряд
3
1
(1)
n
n
n
f
¦
.
Розв’язок. Маємо, що f(x) =
3
(
1
)
x
x
. Знаходимо невласний інтег+
рал
1
()
f
xdx
f
³
=
3
1
(1)
x
dx
x
f
³
=
lim
bof
3
1
(1)
b
x
dx
x
³
=
lim
bof
3
1
11
(1)
b
x
dx
x
³
=
=
lim
bof
2
1
(1)
b
dx
x
³
–
lim
bof
3
1
(1)
b
dx
x
³
=
lim
bof
2
1
(1)
b
xdx
³
–
lim
bof
3
1
(1)
b
xdx
³
=
= –
lim
bof
1
1
1
b
x
+
lim
bof
2
1
1
2
(
1
)
b
x
= 0 +
1
2
+ 0 –
1
8
=
3
8
.
Невласний інтеграл дорівнює
3
8
(збігається), отже, збігається і
заданий ряд.
509
Розділ VIII. Ряди
Розв’язок.
а) Маємо ряд
1
1
(1)
n
nn
f
¦
, його загальний член U
n
=
1
(1)nn
.
Для порівняння візьмемо гармонічний ряд, який є розбіжним, і за+
гальний член якого
V
n
=
1
n
. U
n
> V
n
, так як
1
(1)nn
>
2
1
n
=
1
n
.
Отже, заданий ряд розбігається.
б) Задано ряд
1
1
1
3
n
n
n
f
¦
, його загальний член U
n
=
1
1
3
n
n
. Для
порівняння виберемо геометричний ряд
1
1
1
3
n
n
f
¦
, який є збіжним.
Загальний член останнього ряду
V
n
=
1
1
3
n
. Маємо U
n
< V
n
, так як
1
1
3
n
n
<
1
1
3
n
. Отже, заданий ряд збігається.
в) Задано ряд
1
1
sin
n
n
f
¦
, його загальний член U
n
= sin
1
n
. Викори+
стаємо граничну форму ознаки порівняння
lim
n
n
n
U
V
of
=
1
sin
lim
1
n
n
n
of
= 1 > 0,
так як гармонічний ряд
1
1
n
n
f
¦
розбіжний, то і заданий ряд розбіж+
ний.
510
Клепко В.Ю., Голець В.Л. «Вища математика в прикладах і задачах»
Приклад 8.15. Користуючись ознакою Даламбера, дослідити на
збіжність ряди:
а)
3
1
2
n
n
n
f
¦
;б)
1
3!
n
n
n
n
n
f
¦
.
Розв’язок.
а) Задано ряд
3
1
2
n
n
n
f
¦
. Тут U
n
=
3
2
n
n
, U
n+1
=
3
1
(1)
2
n
n
. Знайдемо
1
lim
n
n
n
U
U
of
.
1
lim
n
n
n
U
U
of
=
3
1
3
(1)
2
lim
2
n
n
n
n
n
of
=
3
13
2( 1)
lim
2
n
n
n
n
n
of
=
1
2
3
1
lim
n
n
n
of
§·
¨¸
©¹
=
=
1
2
3
1
lim 1
n
n
of
§·
¨¸
©¹
=
1
2
1 =
1
2
< 1.
Отже, ряд збігається.
б) Задано ряд
1
3!
n
n
n
n
n
f
¦
. Тут U
n
=
3!
n
n
n
n
, U
n+1
=
1
1
3( 1)!
(1)
n
n
n
n
. Знай+
демо
1
lim
n
n
n
U
U
of
=
1
1
3( 1)!
(1)
lim
3!
n
n
n
n
n
n
n
n
n
of
=
1
1
3( 1)!
lim
3( 1) !
nn
nn
n
nn
nn
of
=
=
3!( 1)
lim
(1)(1)!
n
n
n
nn n
nnn
of
=
3( )
lim
(1)
n
n
n
n
n
of
= 3
1
lim
1
(1 )
n
n
n
of
=
3
e
> 1, так
як
е = 2,718..., і через це ряд розбігається.