Клепко В.Ю., Голець В.Л. Вища математика в прикладах і задачах
Подождите немного. Документ загружается.
491
Розділ VII. Диференційні рівняння
I(t) = mpy(t),
y
c
=
K
I(t),
або
y
c
=
K
mpy(t).
Позначимо k =
K
mp. Тоді рівняння приймає вигляд
y
c
= kу.
Маємо рівняння з відокремленими змінними
dy
dt
= ky,
dy
y
= kdt,
ln
|y| = kt + ln |C|,
y = Ce
kt
.
Враховуючи, що
0
|
tt
y
= y
0
, тоді
0
0
kt
y
Ce
,
0
0
kt
Cye
.
Звідси
0
()
0
kt t
yye
.
Приклад 7.75. Нехай попит і пропозиція на товар визначаються
відповідно співвідношеннями
q = 4
p
c
– 2p + 39, S = 44
p
c
+ 2p – 1,
де
р — ціна товару; — тенденція формування ціни (похідна ціни за
часом). Нехай також в початковий момент часу ціна
р за одиницю
товару складала 1 грош. од. Виходячи з вимоги відповідності попиту
пропозиції, знайти закон зміни ціни в залежності від часу.
Розв’язання. Для того щоб попит відповідав пропозиції, необхід+
но виконання рівності
4
p
c
– 2p + 39 = 44 + 2p – 1.
Звідси
10
p
c
+ р – 10 = 0.
Маємо диференційне рівняння з відокремленими змінними:
492
Клепко В.Ю., Голець В.Л. «Вища математика в прикладах і задачах»
–10
dp
dt
= р – 10,
10 10
dp dt
p
,
ln
|p – 10| =
10
t
+ ln |C|,
ln
10p
C
=
10
t
,
10p
C
= e
–0,1t
,
p = Ce
–0,1t
+ 10.
Враховуємо, що
р|
t=0
= 1, тоді
1 =
С + 10, С = –9,
p = –9e
–0,1t
+ 10.
Отже, щоб між попитом і пропозицією збереглася рівновага, не+
обхідно, щоб ціна змінювалася відповідно до отриманої формули.
Приклад 7.76. Нехай попит і пропозиція на товар визначаються
співвідношеннями
q = 2
p
cc
–
p
c
– p + 15, S = 3
p
cc
+
p
c
+ p + 5,
де
р — ціна на товар,
p
c
— тенденція формування ціни,
p
cc
— темп
зміни ціни. Нехай також у початковий момент часу
р(0) = 6,
q(0) = S(0) = 10. Виходячи з вимоги відповідності попиту пропо+
зиції, знайти залежність ціни від часу.
Розв’язок. Виходячи з вимоги відповідності попиту пропозиції,
маємо
q = S,
Отже,
2
p
cc
–
p
c
– p + 15 = 3
p
cc
+
p
c
+ p + 5,
звідки одержуємо лінійне неоднорідне диференційне рівняння дру+
гого порядку зі сталими коефіцієнтами:
p
cc
+ 2
p
c
+ 2р = 10.
493
Розділ VII. Диференційні рівняння
Відповідне однорідне рівняння:
p
cc
+ 2
p
c
+ 2р = 0.
Характеристичне рівняння:
k
2
+ 2k + 2 = 0.
Корені характеристичного рівняння k
1,2
= –1
r
і.
Загальний розв’язок однорідного рівняння:
р*(t) = C
1
e
–t
cos t + C
2
e
–t
sin t.
Частковий розв’язок неоднорідного рівняння будемо шукати у
вигляді
p
q
= A.
Тоді
q
p
c
= 0;
q
p
cc
= 0.
Підставивши ці значення в диференційне рівняння, отримаємо
2
А = 10, А = 5, р
q
= 5.
Загальний розв’язок буде таким:
p(t) = e
–t
(C
1
cos t + C
2
sin t) + 5.
Враховуємо початкову умову
р(0) = 6, 6 = С
1
+ 5, С
1
= 1.
Тоді
p(t) = e
–t
(cos t + C
2
sin t) + 5;
()pt
c
= –e
–t
(cos t + C
2
sin t) + e
–t
(–sin t + C
2
cos t) =
= e
–t
[(C
2
– 1)cos t – (C
2
+ 1)sin t];
()pt
cc
= –e
–t
[(C
2
– 1)cos t – (C
2
+ 1)sin t] + e
–t
[–(C
2
– 1
sin t –
–
(C
2
+ 1)cos t] = e
–t
(2C
2
cos t + 2sin t).
Звідси,
(0)p
c
= С
2
– 1,
(0)p
cc
= –2С
2
.
Враховуючи, що q = 2
p
cc
–
p
c
– p + 15 і q(0) = 10, знаходимо
10 = 2(–2
С
2
) – (С
2
– 1) – 6 + 15,
звідки,
С
2
= 0. Отже
p(t) = 5 + e
–t
cos t.
494
Клепко В.Ю., Голець В.Л. «Вища математика в прикладах і задачах»
7.6.1. Задачі для самостійного розв’язання
7.87. Торговими установами розглядається продукція, про яку в
момент
t з числа потенційних покупців в N знає лише х покупців.
Після проведення рекламних оголошень швидкість зміни кількості
покупців, що знають про продукцію, пропорційна як кількості по+
купців, котрі знають про товар, так і кількості покупців, яким про
нього ще нічого невідомо. Відомо, що в початковий момент часу
t = 0
про товар дізналося
N
J
чоловік (час відраховується після реклам+
них оголошень),
J
— задане число. Знайти закон зміни в залежності
від часу кількості
х покупців, що знають про продукцію.
7.88. Повні витрати виробництва є функцією k від обсягу вироб+
ництва
х. Граничні і повні витрати для всіх значень х задовольняють
рівнянню
y
c
– 4у + х = 0. Знайти функцію повних витрат, що задо+
вольняє початковій умові
у(0) = 0.
7.89. Сумарний прибуток фірми є функцією у(х), де х — кількість
виробленої продукції. Граничний прибуток фірми відповідає функції
у(х) = 50000 – х. Якою буде функція сумарного прибутку фірми,
якщо нульовий випуск продукції дає нульовий прибуток.
7.90. Виторг від продажу х одиниць товару описується функцією
V(х) = х + 100. Яким буде виторг за продану продукцію, якщо ви+
торг від продажу 100 одиниць продукції дорівнює 40000 грош. од.
7.91. Еластичність виробничої функції у = f(х) відносно змінної
х характеризується співвідношенням Е
х
(у) = а, а = const. Знайти цю
функцію, якщо її графік проходить через точку
М(1; 1).
495
Розділ VIII. Ряди
Розділ VІІІ. Ряди
§ 8.1. Ряди. Основні означення рядів. Збіжність рядів.
Ряд геометричної прогресії. Властивості збіжних рядів.
Необхідна умова збіжності. Гармонічний ряд
Нехай дано числову послідовність U
n
. Вираз вигляду
U
1
+ U
2
+ U
3
+ ... + U
n
+ ..., (8.1)
або, що теж саме, вигляду
1
n
n
U
f
¦
= U
1
+ U
2
+ U
3
+ ... + U
n
+ ...
називають
числовим рядом (або просто рядом). Числа U
1
, U
2
, U
3
, ...,
U
n
, ... називаються членами ряду, U
1
— перший член, U
2
— другий
член, ... ,
U
n
— n+й або загальний член ряду. Для того, щоб задати ряд
(8.1), досить задати його загальний член. Наприклад, взявши
U
n
=
1
(1)nn
, U
n
= (–1)
n+1
, U
n
= n (n = 1, 2, 3, ...),
дістанемо відповідно ряди:
1
12
+
1
23
+
1
34
+ ... +
1
(
1
)
nn
+ ..., (8.2)
1 – 1 + 1 – 1 + ... + (–1)
n+1
+ ..., (8.3)
1 + 2 + 3 + ... +
n + ... (8.4)
З кожним рядом вигляду (8.1) будемо пов’язувати (ставити у
відповідність) суми
S
1
= U
1
,
S
2
= U
1
+ U
2
,
S
3
= U
1
+ U
2
+ U
3
,
............................., (8.5)
S
n
= U
1
+ U
2
+ U
3
+ ... + U
n
,
..................................,
які називаються
частковими сумами цього ряду. Часткові суми ряду
утворюють деяку числову послідовність його часткових сум
S
n
. Ряд
496
Клепко В.Ю., Голець В.Л. «Вища математика в прикладах і задачах»
(8.1) називається збіжним, якщо збігається послідовність його част+
кових сум
S
n
, тобто якщо існує скінчена границя
lim
n
n
SS
of
. Число
S при цьому називають сумою ряду (8.1) і записують S = U
1
+ U
2
+ U
3
+ ... + U
n
, ... , або
1
n
n
SU
f
¦
. При цьому вважають також, що ряд
(8.1) збігається до числа
S. Якщо ж послідовність часткових сум (8.5)
ряду (8.1) розбігається, то ряд (8.1) називається
розбіжним. У цьому
випадку ряд не має суми.
Дослідимо на збіжність ряди (8.2) – (8.4). Оскільки
1
(1)nn
=
1
n
–
1
1n
(n = 1, 2, ...),
то
n+ну часткову суму ряду (8.2) можна подати у вигляді
S
n
=
1
12
+
1
23
+
1
34
+ ... +
1
(1)nn
= (1 –
1
2
) + (
1
2
–
1
3
) +
+ (
1
3
–
1
4
) + (
1
n
–
1
1n
) = 1 –
1
1n
.
Звідси зрозуміло, що ряд (8.2) збігається і має суму, яка дорівнює
S =
lim
n
n
S
of
=
1
lim(1 )
1
n
n
of
= 1.
Часткову суму S
n
ряду (8.3) запишемо у вигляді
S
n
= 1 – 1 + 1 – 1 + ... + (–1)
n+1
=
1,
0,
я
кщо n непарне число
я
кщо n парне число
®
¯
.
Ця послідовність
S
n
– розбігається, отже, і розбігається і ряд (8.3).
Часткова сума
S
n
ряду (8.4), що дорівнює
S
n
= 1 + 2 + 3 + ... + n =
(1)
2
nn
,
прямує до
f
при
n of
. Отже, і ряд (8.4) розбігається.
Розглянемо ряд, що складений з елементів геометричної прогресії.
Такий ряд називають
геометричним рядом:
497
Розділ VIII. Ряди
a + aq + aq
2
+ ... + aq
n–1
+ ... =
1
1
n
n
aq
f
¦
. (8.6)
Число
q — знаменник геометричної прогресії. Покажемо, що гео+
метричний ряд (геометрична прогресія) збігається тоді і тільки тоді,
коли знаменник прогресії за модулем менший від одинці. Позначи+
мо через
S
n
nну часткову суму ряду (8.6), дістанемо:
S
n
= a + aq + aq
2
+ ... + aq
n–1
.
S
n
q = aq + aq
2
+ ... + aq
n
.
Звідси
S
n
– S
n
q = a – aq
n
,
S
n
=
1
n
aaq
q
=
1
a
q
–
1
n
aq
q
.
Якщо |q| < 1, то S =
lim
n
n
S
of
=
1
a
q
. Таким чином, якщо |q| < 1,
то геометрична прогресія (8.6) збігається і її сума дорівнює
1
a
S
q
.
Якщо
|q| > 1, то
S =
lim
n
n
S
of
=
lim( )
11
n
n
aaq
qq
of
o
f
.
Якщо
q = 1, то
S
n
= a + a + a + ... + a = nа
o
f
(
n of
).
Якщо
q = –1, то
S
n
= a – a + a – ... + (–1)
n–1
a =
,
0,
a якщо n непарне число
я
кщо n парне число
®
¯
,
і отже, послідовність
S
n
— розбігається.
Таким чином, у всіх трьох інших випадках геометрична прогре+
сія розбігається.
Ряд вигляду
1 +
1
2
+
1
3
+ ... +
1
n
+ ... (8.7)
498
Клепко В.Ю., Голець В.Л. «Вища математика в прикладах і задачах»
називаються гармонічним рядом. Доведено, що гармонічний ряд
розбігається.
Числовий ряд вигляду
1
1
p
n
n
f
¦
= 1 +
1
2
p
+
1
3
p
+ ... +
1
p
n
+ ... (8.8)
називається
узагальненим гармонічним рядом. Доведено, що при
р
d
1 узагальнений гармонічний ряд розбігається, а при р > 1 цей ряд
збігається. При
р = 1 маємо гармонічний ряд (8.7).
Необхідна ознака збіжності ряду. Якщо ряд
1
n
n
U
f
¦
збігається,
то його n+ний член U
n
— прямує до нуля при
n of
;
lim 0
n
n
U
of
. (8.9)
Якщо
n+ний член не прямує до нуля при
n of
, то ряд розбі+
гається.
Наприклад, ряд
1
3
+
2
5
+
3
7
+ ... +
21
n
n
+ ...
— розбігається, так як
lim
n
n
U
of
=
lim
21
n
n
n
of
=
1
2
z
0.
Підкреслимо, що розглянута ознака є лише необхідною, але не є
достатньою, тобто із того, що
n+ний член ряду прямує до нуля, не
слідує, що ряд збігається, ряд може і розбігатися.
Наприклад, гармонічний ряд
1
+
1
2
+
1
3
+ ... +
1
n
+ ...
розбігається, незважаючи на те, що
lim
n
n
U
of
=
1
lim
n
n
of
= 0.
499
Розділ VIII. Ряди
8.1.1. Розв’язування прикладів
Приклад 8.1. За заданим загальним членом U
n
=
1
(1)nn
запи+
сати ряд і знайти його суму.
Розв’язок. Надаючи n послідовно значень 1, 2, 3, ..., одержуємо:
1
12
+
1
23
+
1
34
+ ... +
1
(1)nn
+ ... =
1
1
(1)
n
nn
f
¦
.
Для знаходження суми ряду необхідно знайти границю при
n of
n+ної часткової суми заданого ряду:
S
n
=
1
12
+
1
23
+
1
34
+ ... +
1
(1)nn
.
Для того, щоб придати
S
n
більш зручний вигляд, скористаємося
тотожністю:
1
(1)kk
=
1
k
–
1
1k
.
Надаючи тут послідовно
k = 1, 2, 3, 4,..., n, одержуємо:
1
12
= 1–
1
2
;
1
23
=
1
2
–
1
3
;
1
34
=
1
3
–
1
4
; ...
1
(1)nn
=
1
n
–
1
1n
.
Отже,
S
n
= (1 –
1
2
) + (
1
2
–
1
3
) + (
1
3
–
1
4
) + ... + (
1
n
–
1
1n
).
Очевидно, що в цій сумі всі доданки попарно знищуються, крім
першого та останнього, маємо:
S
n
= 1 –
1
1n
.
Звідки
lim
n
n
S
of
=
1
lim(1 )
1
n
n
of
= 1.
Тобто, ряд збігається, і його сума дорівнює 1.
500
Клепко В.Ю., Голець В.Л. «Вища математика в прикладах і задачах»
Приклад 8.2. Знайти суму ряду
1
1
1
32
n
n
f
¦
=
1
3
+
1
6
+
1
12
+ ...+
1
1
32
n
+ ...
Розв’язок.
Спільний співмножник
1
3
для кожного члену ряду
винесемо за дужки:
1
3
(1 +
1
2
+
2
1
2
+
3
1
2
+ ... +
1
1
2
n
+ ...).
В дужках одержали ряд, що являє собою нескінченно спадну гео+
метричну прогресію, знаменник якої
q =
1
2
. Сума членів нескінчен+
но спадної геометричної прогресії
S =
1
a
q
=
1
1
1
2
= 2.
Отже, сума заданого ряду
S =
1
2
3
=
2
3
.
Приклад. 8.3. Перевірити, чи виконується необхідна умова
збіжності ряду
2
1
2
1
n
n
n
f
¦
.
Розв’язок.
Загальний член заданого ряду є U
n
=
2
2
1
n
n
. Знайдемо
границю загального члена
U
n
при необмеженому зростанні його но+
мера
n:
lim
n
n
U
of
=
2
2
lim
1
n
n
n
of
=
2
2
2
lim
1
1
n
n
n
n
of
= 0.