Klein B. FEM: Grundlagen und Anwendungen der Finite-Element-Methode im Maschinen - und Fahrzeugbau
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11 FEM-Ansatz für Wärmeübertragungsprobleme
268
woraus sich weiter durch Gleichsetzen mit Gl. (11.4) findet:
.
x
T
T
c
dzdydx
x
T
T
dzdydxc
2
2
2
2
w
w
O
w
w
U
w
w
O
w
w
U
t
t
(11.6)
Angemerkt sei noch einmal, dass bisher nur die x-Richtung berücksichtigt ist.
Der nun eintretende Vorzeichenwechsel tritt auf, weil eine im Volumen verbleibende Wär-
meleistung einen Gewinn (+), aber für den Wärmeleistungsstrom einen Verlust (-) darstellt.
Da neben einer Erwärmung durch Wärmeübertragung mitunter auch noch eine durch innere
Wärmequellen erfolgen kann, wollen wir der Vollständigkeit halber jetzt auch eine Wärme-
quelle einbauen, deren
innere Wärmeleistung anzusetzen ist mit
dzdydxQd
i
V
UI
. (11.7)
Darin bezeichnet I die Ergiebigkeit (spezifische Wärmeleistung) einer Wärmequelle. Ergän-
zen wir damit die vorstehende DGL (11.6), so führt dies zu
Vi
2
2
q
x
T
T
c
w
w
O
w
w
U
t
. (11.8)
Wir verallgemeinern jetzt diese DGL, indem wir berücksichtigen, dass sich der Wärmelei-
tungsstrom nicht nur in x-Richtung, sondern in allen drei Raumrichtungen ausbreiten kann.
Die
Bilanzgleichung lautet für diesen Fall:
Vi
t
qT
T
cȡ
w
w
Ȝ
t
*)
(11.9)
mit der Wärmeleitfähigkeitsmatrix
»
»
»
¼
º
«
«
«
¬
ª
z
y
x
Ȝ00
0Ȝ0
00Ȝ
Ȝ . (11.10)
Zur Lösung dieser Differenzialgleichung bedarf es im Weiteren
Randbedingungen für den
Körper und gegebenenfalls
Anfangsbedingungen für die Temperatur.
Im Bild 11.2
ist zunächst ein Körper gezeigt, für den die wesentlichen Wärmeübertragungs-
randbedingungen angedeutet worden sind. Hierzu zählen:
*)
Anmerkung: Nabla-Operator:
»
¼
º
«
¬
ª
w
w
w
w
w
w
zyx
t
11.1 Physikalische Grundlagen
269
x die Temperaturbedingung, d. h. die Temperatur auf der Oberfläche muss in einem
Bereich gleich der Umgebungstemperatur sein,
f
TT
0
(11.11)
und
x die Wärmestrombedingung, d. h., ein Wärmestrom auf der Oberfläche pflanzt sich auf der
Normalen zur Oberfläche in den Körper hinein fort,
V
q
n
T
w
w
O
. (11.12)
Bild 11.2: Wärmeübertragung an einem Körper (nach /BAT 86a/)
Sollen hingegen noch andere Wärmeübertragungseffekte (Konduktion = Wärmeleitung,
Konvektion = Wärmeübergang, Wärmestrahlung) betrachtet werden, so sind die vorstehen-
den Randbedingungen aufgabenspezifisch zu erweitern, um
Temperaturbedingungen und Wärmestrombedingungen in bestimmten Punkten oder auf
bestimmten Flächen,
Konvektionsbedingungen,
Strahlungsbedingungen,
Wärmekontaktbedingungen
und
Isolierungsbedingungen.
Eine entsprechende Übersicht hierzu gibt Bild 11.3
.
11 FEM-Ansatz für Wärmeübertragungsprobleme
270
1. Temperatur-Randbedingung 2. Wärmefluss-Randbedingung
4. Wärmestrahlungs-Randbed.3. Wärmeübertragungs-Randbed.
5. Wärmekontakt 6. Isolierung
T= T(x, y, z; )
V i0
t
q (x, y, z; )
V
t
T, unbekannt
n
q= 0
V
T , unbekannt
V1
T , bekannt
S
T , unbekannt
V
T , unbekannt
V
V
i
O
q
n
T , bekannt
V2
.
.
q
Vn
qq
f
T
VV
TTq
D
f
)TT(cq
4
V
4
SRV
Bild 11.3: Randbedingungen zur Lösung von Temperaturfeldproblemen
Einzelne Randbedingungen können dabei an Körpern alleine oder in Kombination vorkom-
men, wodurch eine konventionelle mathematische Lösung äußerst schwierig bis unmöglich
ist.
11.3 Lösungsverfahren
271
11.2 Diskretisierte Wärmeleitungsgleichung
Der physikalische Effekt der Wärmeleitung findet nur in festen Körpern, und zwar im Inne-
ren oder an der Oberfläche sich berührender Körper statt. Um hier den Temperaturverlauf
bestimmen zu können, ist es zweckmäßig, den Körper in eine Anzahl von finiten Elementen
zu unterteilen und das Problem bereichsweise zu lösen. Aus diesem Grunde wandeln wir die
DGL (11.9) in die finite Grundgleichung für das Wärmeleitungsproblem um. Hierzu machen
wir, wie in Kapitel 3 dargestellt, vom Galerkin‘schen Prinzip Gebrauch und stellen für ein
Element das folgende Funktional
0GȜG
»
¼
º
«
¬
ª
w
w
³³
dVqdVT
T
cȡ
V
t
V
t
t
V
t
(11.13)
auf. Nun machen wir noch in bekannter Weise einen Approximationsansatz für die Tempera-
tur über diskrete Knotentemperaturen, und zwar mit
tt
e
z,y,x;z,y,xT TG
. (11.14)
Hierin bezeichnet wieder G den Ansatzfunktionsvektor und
e
T den Knotentemperaturvektor
für ein Element. Setzt man jetzt den Ansatz in Gl. (11.13) ein, so erhält man
>
@
³³³
U
V
V
t
e
V
t
e
V
t
dVqdVdVc 0GTGȜGTGG
(11.15)
und hieraus die finite Wärmeleitungsgleichung
0qTkTc
eee
. (11.16)
Mit Gl. (11.15) konnten also alle Vorschriften zur Erstellung einer diskreten Wärmeleitungs-
gleichung hergeleitet werden.
Wir wollen das Problem jetzt erneut erweitern, indem wir den resultierenden Wärmefluss-
vektor am Knoten verallgemeinern in
ie
Q
q (diskreter Wärmefluss am Knoten) (11.17)
dVq
V
V
t
³
G (verteilter Wärmefluss im Volumen)
0dq
0
0
t
³
G (verteilter Wärmefluss auf der Oberfläche)
0dT
0
t
f
D
³
G (Konvektionseffekte)
Unter der Annahme, dass homogene isotrope Körper vorliegen, kann Gleiches N = konst.
(spezif. Wärme/Volumen) und O = konst. für alle Richtungen angesetzt werden. Hiermit
kann nunmehr definiert (s. auch /STE 92/) werden:
11 FEM-Ansatz für Wärmeübertragungsprobleme
272
die Wärmekapazitätsmatrix
dV
t
V
GGc N
³
mit c
UN = (11.18)
und
die Wärmeleitungsmatrix
0ddV
t
0
t
V
GGGGk DO
³³
. (11.19)
Den weiteren Anteil in der Wärmeleitungsmatrix erhält man dabei durch Einarbeitung des
Wärmeübergangs, der weiterhin zwischen einem Gas oder Flüssigkeit und einem Körper be-
stehen kann. Der Wärmestrom hat dabei an der Grenzfläche einen Übergangswiderstand
(D = Wärmeübergangszahl) zu überwinden.
Nachdem alle Beziehungen auf Elementebene gegeben sind, muss man sich wieder dem Zu-
sammenbau zu einem Körpermodell zuwenden. Es sei im Weiteren angenommen, dass die
verwendeten Elementgeometrien (Knotenanordnungen) die gleiche Form haben, wie die in
der Elastostatik oder Elastodynamik verwendeten Elemente, sodass auch der Zusammenbau-
Algorithmus den schon in Kapitel 3 aufgestellten Regeln gehorcht. Die Besonderheit dabei
ist nur, dass jetzt pro Knoten mit der Temperatur nur eine Unbekannte
*)
vorliegt.
Führt man den Zusammenbau damit entsprechend durch, so führt dies zu
QTKTC
, (11.20)
welches also die Systemgleichung des
instationären Wärmeleitungsproblems darstellt.
Verschwindet hierin der transiente Anteil, so reduziert sich Gl. (11.20) auf das
stationäre
Wärmeleitungsproblem
QTK . (11.21)
Wie in der nachfolgenden Tafel des Bildes 11.4
deutlich wird, gibt es dabei von der Prob-
lemformulierung eindeutige Analogien zur mechanischen Bauteilanalyse, welches sowohl
für die Matrizen als auch die physikalischen Konstanten gilt. Der Grad der DGLs ist hin-
gegen niedriger.
*)
Anmerkung: Die Temperatur ist eine skalare Größe, die von einem Knoten aus in alle Richtungen mit
gleicher Intensität wirkt.
Bei elastomechanischen Problemen können hingegen alle Größen in den drei Raumrichtungen
unterschiedlich sein. FE-Programme für die Elastik müssen deshalb eine andere Speichertech-
nik benutzen.
11.3 Lösungsverfahren
273
Temperaturanalyse Verschiebungsanalyse
DGL-System:
QTKTC
mit
T Knotenpunkt-Temperatur
Q Knotenpunkt-Wärmeflüsse
K Wärmeleitungsmatrix
C Wärmekapazitätsmatrix
O Wärmeleitfähigkeit
N spez. Wärme je Volumen
D Wärmeübergangskoeffizient
DGL-System:
PUKÜM
mit
U Knotenpunkt-Verschiebungen
P Knotenpunkt-Kräfte
K Steifigkeitsmatrix
M Massenmatrix
E Elastizitätsmatrix
U Dichte
Q Querkontraktion
Bild 11.4: Zusammenhänge zwischen dem Temperaturfeldproblem und der elastomecha-
nischen Analyse
Neben den schon angedeuteten Formulierungsmöglichkeiten bei Wärmeübertragungsprob-
lemen können in der Praxis auch noch
stationäre nichtlineare Probleme mit einer tempera-
turabhängigen Wärmeleitungsmatrix
K(T) und einem temperaturabhängigen Wärmefluss
Q(T) vorkommen. Dieser Aufgabentyp sei aber hier ausgeklammert.
11.3 Lösungsverfahren
Die Lösungsprinzipien für die zuvor diskutierten Problemkreise weichen nur in einigen
Punkten von den zuvor in der Elastostatik diskutierten Strategie ab, sodass wir uns hier mit
ein paar prinzipiellen Hinweisen kurzhalten können.
Zunächst sei unterstellt, dass ein im Gleichungssystem und in den Randbedingungen
statio-
näres Problem
nach Gl. (11.21) vorliegt. Dies kann formal nach den unbekannten Knoten-
parametern
T durch Inversion aufgelöst werden:
QKT
1
. (11.22)
An der Bauform der Gleichung ist sofort zu erkennen, dass ein numerisch völlig identisches
Problem zu dem elastostatischen Gleichungssystem vorliegt, welches in Kapitel 5.4.5 be-
handelt wurde.
Wir erinnern uns, dass dieses Gleichungssystem nur dann lösbar ist, wenn eine positiv
definite Gesamtsteifigkeitsmatrix
K über entsprechende Randbedingungen erstellt werden
konnte. Im Fall der stationären Wärmeleitung weist die Matrizengleichung einen Rangunter-
schied von eins auf, was für die Invertierung mindestens eine vorgeschriebene Temperatur,
11 FEM-Ansatz für Wärmeübertragungsprobleme
274
z. B.
f
TT
0
(Umgebungstemperatur), erforderlich macht. Diese Bezugsetzung ist auch
insofern sinnvoll, da sich ein Temperaturzustand immer auf eine Referenztemperatur
bezieht.
Liegt die zusätzliche Schwierigkeit einer nichtlinearen Wärmeleitungsmatrix
K(T) vor, so
kann die vorstehende Gleichung nur iterativ, beispielsweise mit dem schon im Kapitel 10.1
beschriebenen Newton-Raphson-Verfahren, gelöst werden.
Etwas anders erweist sich die Lösungsproblematik bei der
instationären Gleichung (11.20).
In den meisten kommerziell angebotenen FEM-Wärmeleitungsprogrammen wird als
Lösungsverfahren die direkte Integration nach der Zeit /ALT 82/ verwandt, welche ein
Temperaturfeld zu unterschiedlichen Zuständen zu bestimmen gestattet. Dazu zerlegt man
den Betrachtungszeitraum in eine Anzahl von Zeitinkrementen
i1i
ttt '
mit
ttt 0,
1
"",,
i
und bildet damit in der Gleichung die Ableitung zu
TTT
i1i
i
i
1
'
t
(11.23)
und setzt diese in die Gleichung
QTKTC
ein. Man erhält so
TKCQTC
QTKTCTC
i
i
1i
i
ii
i
1i
i
11
11
¸
¸
¹
·
¨
¨
©
§
'
'
'
'
tt
tt
(11.24)
bzw. die identische Gleichung
*ii*i
QTK , (11.25)
die ausgehend von einem Anfangszustand
f
¦
TTT
oi
möglicherweise mit einer
ersten linearen Näherung von einem Punkt ausgehend aufgerollt werden kann und iterativ
mit verschiedenen mathematischen Verfahren (z. B. Gauß-Seidel, Jakobi, Konjugate
Gradient, Überrelaxation etc.) zu lösen ist. Da hier deutlich weniger Unbekannte ermittelt
werden müssen, erweisen sich alle Verfahren vergleichsweise als sehr schnell.
11.5 Thermisch-transiente strukturmechanische Berechnung
275
11.4 Thermisch-stationäre strukturmechanische Berechnung
Ein in der Praxis häufiges Problem ist, dass Temperaturen in Festkörpern mit mechanischen
Beanspruchungen verbunden sind. Derartige Multiphysikaufgaben
*)
können entweder zwei-
stufig oder als gekoppeltes Problem (z. B. in ANSYS, FEMLAB) behandelt werden:
x Zweischritt-Lösung
İEı,TĮİTTK o
vorther
mit konventionellem FE-Programm und zusätzlichem Wärmeleitungsmodul.
x Einschritt-Lösung (Multiphysikansatz)
ı,U,T
U
T
U
T
K0
0K
o
vor
vor
mech
ther
mit speziellen Multiphysik- bzw. Multifeld-Elementen.
Im Folgenden soll die Zweischritt-Lösung auf das Problem der stationären Temperatur- und
Spannungsverteilung in einem Rohr dargestellt werden. Derartige Fragestellungen sind im
Maschinen- und Kraftwerksbau geläufig. Insofern zeigt das umseitige Bild 11.5
die Situation
eines Rohres in einem Heißdampf-Kühlkreislauf. Für die Auslegung sind der Temperatur-
durchgang durch die Wandung und die thermisch-mechanische Beanspruchung von In-
teresse.
Bei der Simulation ist besonders zu berücksichtigen, dass der Elastizitätsmodul und der
Wärmeausdehnungskoeffizient temperaturabhängig sind, z. B. für Cr-Ni-Stahl
,N/mm1015,2E
25
C15
|
q
16
C15
K109,13
q
|D
,
,N/mm1090,1E
25
C300
|
q
16
C300
K1017
q
|D .
Die Auswertung in den umseitigen Abbildungen ist auf die Temperatur und die Spannung in
der Rohrwandung bezogen, die hier als dünnwandig
2,1/RR
ia
d angesetzt wurde. Für die
Modellierung wurden rechteckige
Kreisring-Elemente verwendet, weswegen bei diesem
„einfachen“ Problem nur Abweichungen von ca. 1-2 % gegenüber der analytischen Lösung
auftreten. Mit den angegebenen Formeln /TIM 51/ lässt sich die FE-Rechnung überschlägig
gut kontrollieren.
*)
Anmerkung: Allgemeine Multiphysikaufgaben bestehen in thermisch-mechanische, magneto-mechanische,
thermisch-magnetische oder elektromagnetisch-thermisch-mechanische Kopplungen.
11 FEM-Ansatz für Wärmeübertragungsprobleme
276
H
e
i
ß
d
a
m
p
f
T
=
3
0
0
°
C
i
K
ü
h
l
w
a
s
s
e
r
T
=
1
5
°
C
a
r
z
y
analytische Lösung:
-6.43E+05
-4.91E+057.49E+05 1.99E+05
T
a
n
g
e
n
t
i
a
l
s
p
a
n
n
u
n
g
A
x
i
a
l
s
p
a
n
n
u
n
g
T
e
m
p
e
r
a
t
u
r
1.50E+01
7.20E+01 1.86E+021.29E+02 2.43E+02
3.00E+02
Tangentialspannung (mN/mm )
2
Axialspannung (mN/mm )
2
-6.43E+05
-3.95E+05 -1.47E+05 1.01E+05 3.49E+05
5.97E+05
-1.04E+06
-7.93E+05 -5.45E+05 -2.97E+05
-4.91E+05
-1.99E+05
)1(TE
axial
Q'D|V
axial
V
tangential
V
)1(2
TE
tangential
Q
'D
|V
Temperatur (Celsius)
180
200
»
¼
º
«
¬
ª
»
¼
º
«
¬
ª
i
i
a
ia
i
R
r
ln
R
R
ln
TT
T)r(T
Bild 11.5: Ermittlung der stationären thermo- und elastomechanischen Beanspruchung über
die Wanddicke eines dampfdurchströmten Rohrs
11.5 Thermisch-transiente strukturmechanische Berechnung
Im Kapitel 11.6 ist die instationäre Wärmeleitungsgleichung hergeleitet worden, mit der sich
Aufheizvorgänge analysieren lassen. Bei Aufheizvorgängen interessieren gewöhnlich der
Zeitverlauf des Aufheizens und die hierdurch hervorgerufene Temperaturverteilung. In
vielen Fällen, wenn komplizierte Bauteile in Vorrichtungen geschweißt werden, ist damit
auch die Initiierung von Eigenspannungen verbunden, da sich diese später den mechanischen
Spannungen überlagern. Eigenspannungen werden durch die zeitliche Differenz zwischen
Aufheiz- und Abkühlvorgängen eingeprägt und lassen sich mit FEM leider nur sehr unsicher
bestimmen.
Als Beispiel für ein transientes strukturmechanisches Problem soll im Bild 11.6
das Laser-
schweißen /GRO 01/ von dünnen Stahlblechen betrachtet werden. Der fokussierte Laser-
strahl mit einem definierten Leistungseintrag (Q = 150
2
W/mm ) und einer vorgegebenen
11.5 Thermisch-transiente strukturmechanische Berechnung
277
Vorschubgeschwindigkeit (v = 2 mm/s) wird über die Blechkanten geführt und mit Zusatz-
draht verschweißt.
40
40
linke
Blech-
hälfte
rechte
Blechhälfte
Schweiß-
punkt
Schweiß-
richtung
Leistung
Q
Modell
Spannpratze
s
Bild 11.6: Situation beim Laserschweißen
Im obigen FE-Modell ist die Symmetrie ausgenutzt und ein ebenes vierknotiges
Schalen-
Element zu Grunde gelegt worden. Der Schweißprozess wird durch punktuelle bzw. kanten-
bezogene Randbedingungen simuliert. Der Leistungseintrag des Lasers erfolgt am linken
Blechrand und wird mit Vorschubgeschwindigkeit gesteuert.
Im Bild 11.7
ist exemplarisch der zeitliche Verlauf ausgewählter Knotenpunkttemperaturen
in der Schweißnaht dargestellt. Die angegebenen Linien „s“ geben den Temperaturverlauf an
bestimmten Stellen wieder bzw. zeigen die Ausstrahlung der Temperatureinwirkung in das
Material. Die augenblickliche Position findet sich aus dem linearen Zusammenhang
t
vs
, d. h. zu 5 sec. korrespondiert die Stellung 10 mm vom Ursprung.
800
0
80
160
240
320
400
480
560
640
720
0
0,5
1
1,5
2
2,5
3
3,5
4
4,5
5
s = 8
s = 4
s = 0
Zeit in s
Te
m
peratur in °
C
Weg in mm
012345678910
Bild 11.7:
Knotenpunkt-Tempe-
raturverlauf in der
Schweißnaht über
dem Weg