Klein B. FEM: Grundlagen und Anwendungen der Finite-Element-Methode im Maschinen - und Fahrzeugbau
Подождите немного. Документ загружается.
12 Mehrkörpersysteme
288
x Bei der Netwon-Euler-Methode werden die N-Einzelkörper des Mehrkörpersystems frei
geschnitten und die Wirkung benachbarter Körper durch Schnittkräfte- und Schnittmo-
mente berücksichtigt. Die Impuls- und Drallsätze für die Einzelkörper liefen
N6
Gleichungen. Mit den aus den Bindungen resultierenden Zwangsbedingungen werden
dann die Schnittreaktionen eliminiert.
x Die Lagrange'sche Methode basiert auf dem d'Alembert'schen Prinzip und lässt schon zu
Anfang nur solche Verschiebungen zu, die mit den Zwangsbedingungen vereinbar sind.
Bei den so genannten Lagrange'schen Gleichungen 2. Art erhält man unmittelbar f Bewe-
gungsgleichungen, wodurch die Elimination der Schnittgrößenreaktionen entfällt.
In der folgenden Übersicht des Bildes 12.5
sind die beiden Lösungsmethoden von ihrem Ab-
lauf gegenübergestellt.
Newton-Euler-Methode
Lagrange-Gleichungen 2. Art
Koordinatensystem
Freiheitsgrade
Bindungen, Zwangsbedingungen verallgemeinerte Koordination
Freischneiden kinetische Energie
äußere Kräfte und Momente verallgemeinerte Kräfte
Impuls- und Drallsatz Lagrange-Formalismus
Elimination der Schnittreaktionen
Bewegungsgleichungen
Bild 12.5: Aufstellung der Bewegungsgleichungen mit der Newton-Euler-Methode und den
Lagrange-Gleichungen 2. Art
12.3 Kinetik von MKS
289
12.3.1 Grundbeziehungen für den starren Körper
Um sich im Weiteren mit Starrkörperkinetik beschäftigen zu können, müssen zunächst ein
paar Beziehungen für einen einzelnen starren Körper zusammengestellt werden. Dazu ist im
Bild 12.6
ein beliebiger Körper gezeigt, der sich um
o
)KS( bewegt.
dm
P
0
S)KS(
K
0
)KS(
P)o(
r
s)o(
r
Z
)o(
d
F
P
v
S
v
Körper K mit
der Masse m
P)K(SP)o(
rr
{
Am Körper wirken die resultierenden
äußeren Kräfte
³
K
dFF (12.27)
und das resultierende
äußere Moment
³³
{
KK
)o(P)o()o(
d
~
dx FrFrM . (12.28)
Mit diesen Kraftgrößen können jetzt für die Starrkörperbewegung das Bewegungsgesetz
sowie der Impuls- und der Dreh- bzw. Drallsatz (im Inertialsystem) aufgestellt werden:
Bewegungsgesetz (Transformation der im Schwerpunkt vereinigten ganzen Masse)
³
K
P)o(S)o(
dmm Frr
, (12.29)
Impulssatz (Schwerpunktsatz)
Fvr {{
SS
m
dt
d
m
dt
d
dt
dp
, (12.30)
Bild 12.6:
Beschreibungsgrößen am
starren Körper
(Idealfall:
K
)KS( liegt im
Körperschwerpunkt S)
12 Mehrkörpersysteme
290
Drehimpuls oder Drallsatz
*)
in der 1. Formulierung (direkt über
o
)KS()
ML
)o()o(
(12.31)
mit
dm
~
dmx
P)o(
KK
P)o(P)o(P)o()o(
vrvrL
³³
. (12.32)
Drallsatz in der 2. Formulierung (über den Schwerpunkt)
S,rel)s(S)o(S)o()o(
mx LvrL
, (12.33)
der Relativdrall des Schwerpunktes um ein beliebiges
K
)KS( ist gegeben durch
Ȧr
~
r
~
rȦrL
)()()()()()()( o
K
SPo
t
SPoSPoo
K
SPoSrel,S
dmdmxx
³³³³
. (12.34)
Aus dem hergeleiteten Relativdrall
**)
kann weiter die Matrix des Massenträgheitsmomentes
um
o
)KS( abgeleitet werden:
³³
K
SPo
t
SPoSo
dmr
~
r
~
Ĭ
)()()(
. (12.35)
Die Massenmatrix ist in Gl. (12.35) in Basiskoordinaten (auf das Inertialsystem bezogen)
ausgedrückt und damit von der Orientierung des Körpers abhängig. Dies ist generell un-
zweckmäßig, weil die Massenträgheitsmomente für viele Körpergeometrien schon bestimmt
worden sind. Das Massenträgheitsmoment in körpereigenen Koordinaten ergibt sich damit
zu
³³
K
PK
t
PKSK
dmr
~
r
~
Ĭ
)()()(
. (12.36)
*)
Anmerkung: In Gl. (12.30) ist der Tildeoperator eingeführt worden, dieser ersetzt das Kreuzprodukt zweier
Vektoren durch ein Matrizenprodukt. Allgemein gilt für das Kreuzprodukt
a x b die
äquivalente Darstellung
ba
~
, wenn
»
»
»
¼
º
«
«
«
¬
ª
0aa
a0a
aaa
~
xy
xz
yz
a und
»
»
»
¼
º
«
«
«
¬
ª
z
y
x
b
b
b
b ist.
**)
Anmerkung: a x b = -b x a, d. h., beim Vertauschen der Vektoren ändert das Vektorprodukt sein
Vorzeichen. Entwicklungssatz für Mehrfachprodukte:
a)cb(b)ca(cx)bxa(
12.3 Kinetik von MKS
291
Die vorstehenden Beziehungen gelten allgemein. Wenn jedoch der Koordinatenursprung von
K
)KS( und der Schwerpunkt zusammenfallen, vereinfacht sich das Problem:
Drallsatz
SoSoS
dt
d
dt
d
MȦĬL
)()(
(12.37)
mit
³
K
SP)o(S
d
~
FrM , (12.38)
kinetische Energie
*)
¸¸
¸¸
¸¸
¸¸
¸¸
¸¸
¸¸
¹¹
··
¨¨
¨¨
¨¨
¨¨
¨¨
¨¨
¨¨
©©
§§
³³
RotationderAnteil
o
S(o)
t
OKS(K)OK
t
o
nTranslatioderAnteil
So
t
So
Po
t
K
Pokin
m
2
1
dm
2
1
E
ȦRĬRȦvv
vv
)(
Ĭ
)()()()()(
)()(
. (12.39)
Damit sind die wesentlichen Grundbeziehungen für starre Körper hergeleitet worden.
12.3.2 Newton-Euler-Methode
Bei der Newton-Euler-Methode geht man von den Freikörperbildern jedes einzelnen Körpers
eine MKS aus. Im umseitigen Bild 12.7
ist ein derartiges Freikörperbild für einen Hebel aus
einem Gelenkmechanismus gezeigt. Die Wechselwirkung mit dem Nachbarkörper wird
durch die Schnittgrößen
i1i
F
,
,
i1i
M
,
bzw.
1i,i
F
,
1i,i
M
(Index bedeutet: vom Körper
i – 1 auf den Körper i bzw. entsprechend) angegeben.
*)
Anmerkung: Die Formulierung von Gl. (12.39) bedarf einiger Zwischenschritte, die der Vollständigkeit
halber hier angegeben seien:
1.
SP)o(S)o(P)o(
rrr
2.
SP)o(S)o(P)o(
rrr
ist auch Ȧrvv
)()()()( oSPoSoPo
x
bzw.
Ȧr
~
RvȦr
~
vv
)()()()()()()()( o
t
PKOKSoo
t
SPoSoPo
{{
oder
Ȧr
~
r
~
Ȧvvvv
)()()()()()()( oSPo
t
SPo
t
oSo
t
SoP
t
Po
12 Mehrkörpersysteme
292
i1i
,
M
1ii
,
F
i1i
,
M
i1i
,
F
i
o
Ȧ
)(
i
Sio
,)(
r
g
i
m
i
So
v
)(
1i
O
i
S
i
O
Bild 12.7:
Nomenklatur am Freikörperbild des Körpers i
Aus dem Gleichgewicht am Körper gilt demzufolge an den Schnittufern:
i1i
F
,
ist die Kraftwirkung des Körpers i – 1 auf den Körper i. Analoges gilt für
i1i
M
,
.
1i,i
F
ist insofern die Reaktionskraft des Körpers i auf den Körper i + 1. Analoges gilt
für
1i,i
M
.
Die Bewegungsgleichungen können jetzt schrittweise durch die Anwendung des
Impuls- und
Drallsatzes sowie der inversen Dynamik aufgestellt werden.
Verallgemeinert ergibt sich beispielsweise für den dargestellten Körper i:
Impulssatz
iSioi
m Fv
)(
, mit gFFF
i1i,ii,1ii
m , (12.40)
Drallsatz
SiioSiooioSio
MȦĬȦ
~
ȦĬ
)()()()()(
(12.41)
mit
i1iSi1io1iiSiio1iii1iSi ,,)(,,)(,,
Fr
~
Fr
~
MMM
. (12.42)
Bei der Erstellung der Gleichungen ist es zweckmäßig, die kinematischen Größen auf die
körperfesten Koordinatensysteme zu beziehen, welche man am günstigsten in die Gelenk-
achsen legt. Für die Kinetik ist es hingegen zweckmäßiger, den Massenschwerpunkt zu be-
nutzen. Damit ist eine weitere Transformation verbunden, die vorstehend in die Ortsvektoren
Si1io ,)(
r
~
und
Siio ,)(
r
~
mit eingeschlossen ist.
Wenn man aus den vorstehenden Beziehungen des Kapitels 12.2 die Geschwindigkeiten
Sio
v
)(
und die Winkelgeschwindigkeiten
io
Ȧ
)(
als bekannt angenommen werden, können
12.4 Lagrange’sche Methode
293
aus einem rekursiven Algorithmus alle Kräfte und Momente bestimmt werden, wenn die An-
triebsgrößen bekannt sind. Es gilt dann
Sioii1iii1i
mm vgFF
)(,,
, (12.43)
.
ioSiooiioSio
i1iSi1io1iiSiio1iii1i
ȦĬȦ
~
ȦĬ
Fr
~
Fr
~
MM
)()()()()(
,,)(,,)(,,
(12.44)
Dieses Iterationsverfahren lässt sich sehr gut als Rechneralgorithmus aufbauen.
12.4 Lagrange’sche Methode
Die wohl verbreitetste Methode, die Bewegungsgleichungen eines MKS aufzustellen,
besteht in der Anwendung der Lagrange’schen Gleichung 2. Art:
Q
qq
w
w
¸
¹
·
¨
©
§
w
w EE
dt
d
. (12.45)
In dieser Gleichung bezeichnet
kin
EE
{
die kinetische Energie des Systems, q generali-
sierte Koordinaten und
>@
t
n1n
k
21
QQQQQ
""Q (12.46)
der Vektor der verallgemeinerten Kräfte.
Eine andere Darstellung von Gl. (12.45) ergibt sich, wenn konservative Kräfte
k
Q (einge-
prägte Kräfte
*)
aus einem konstanten Potenzial, z. B.
pot
E ) auftreten. Die verallgemeinerte
Kraft ist dann aufzuspalten (konservative + nicht konservative Kräfte) in
n
k
QQQ
. (12.47)
Wenn dies berücksichtigt wird, kann die Lagrange’sche Gleichung auch folgendermaßen an-
gegeben werden:
n
pot
kinkin
E
EE
dt
d
Q
qqq
w
w
w
w
¸
¹
·
¨
©
§
w
w
. (12.48)
Für ein MK-System, welches aus mehreren Körpern besteht, müssen die Energieausdrücke
über eine Summation bestimmt werden. Die kinetische Energie
eines Körpers ist in Gl.
(12.39) schon definiert worden; über alle Körper finden wir somit
*)
Anmerkung: Die Arbeit oder Energie ist immer dann einfach zu formulieren, wenn konservative Kräfte vor-
liegen. Eine Kraft bezeichnet man als konservativ, wenn sie aus einem Potenzial herrührt und
selbst nicht wegabhängig ist.
12 Mehrkörpersysteme
294
>@
io
t
iOKSiKiOK
t
noiSio
t
Sio
N
1i
i
kinkin
mEE ȦRĬRȦvv
)()()()()()()(
¦
(12.49)
Um zu einer allgemein gültigen Bewegungsgleichung zu kommen, müssen wir die vor-
stehende Gleichung weiter spezifizieren. Dies ist durch die Verknüpfung der realen System-
größen mit den verallgemeinerten Größen über die
Jacobi-Matrix (s. hierzu auch Kapitel
7.2.3) möglich. Es soll daher gelten:
iTiSi)o(
qJv
,
iRii)o(
Ȧ qJ
. (12.50)
Damit lässt sich die Energie eines Einzelkörpers angeben zu
ii
t
i
i
kin
2
1
E qmq
, (12.51)
worin jetzt die Elementmassenmatrix die folgende Form annimmt:
Ri
t
iOKSiKiOK
t
RiTi
t
Tiii
mq J)q(RĬ)q(RJJJ)(m
)()()(
. (12.52)
Für ein Gesamtsystem ist eine geeignete Überlagerung vorzunehmen, sodass formal für die
zusammengefasste kinetische Energie angegeben werden soll:
qMq
t
kin
2
1
E
. (12.53)
Für die Kräfte im System besteht noch nach Gl. (12.47) der Zusammenhang
¦¦¦¦
¸
¸
¹
·
¨
¨
©
§
w
w
{
N
1i
i
ni
N
1i
N
1i
i
pot
i
i
ni
N
1i
i
ki
E
FJ
q
JFJFJQ
. (12.54)
Damit lässt sich unter Anwendung der Lagrange’schen Gl. (12.48) die folgende Bewegungs-
gleichung aufstellen:
n
k
t
QQq)M(qqqM(q)
c
. (12.55)
Die Massenmatrix
i
m ist hierbei für ein Einzelglied eines Mechanismus und M als Gesamt-
massenmatrix (Überlagerung aller Einzelmasse) auf ein globales Mechanismenkoordinaten-
system zu verstehen. Entsprechend sind in q alle Freiheitsgrade und weiter im Lastvektor
n
Q
alle am Mechanismus „angreifenden Kräfte“ zusammengefasst worden. Sinnvoll lässt
sich die vorstehende Gleichung (12.54) nur numerisch lösen.
Als Weiterentwicklung der vorstehenden Theorie gilt heute die EMKS, wobei jetzt alle
Glieder als elastisch angenommen werden und somit der direkte Übergang zur FEM ge-
schaffen wurde.
12.5 Mechanismenstrukturen
295
12.5 Mechanismenstrukturen
Die meisten Mechanismen in der Praxis gehen auf Gelenkgetriebe zurück. Das Merkmal
dieser Getriebe ist die Periodizität, d. h., alle Kräfte, Wege, Geschwindigkeiten und Be-
schleunigungen ändern sich periodisch.
Bei aktiven Mechanismen werden vorgeschriebene Bewegungen verlangt. Dies setzt
„Zwanglauf“ voraus. Dieser ist gegeben, wenn die „Grübler’sche Zwanglaufbedingung“ er-
füllt ist:
G21N3F ,
N = Anzahl der Körper bzw. Getriebeglieder (einschließlich
Gestell)
G = Anzahl der Gelenke
Der Wert F gibt somit die Anzahl der erforderlichen Antriebe an.
Bild 12.8: Schmiedemanipulator als Doppelschwinge mit ausgebildeter Koppelstange als
Streckarm
Im Bild 12.8
ist ein Schmiedemanipulator wiedergegeben. Er erfüllt die Aufgabe, Bauteile
beim Warmschmieden zu händeln. Getriebetechnisch liegt eine Doppelschwinge mit
Koppelstange und unabhängigen Antrieben sowie Baumstruktur vor.
12 Mehrkörpersysteme
296
Die Bewegungsmöglichkeiten bestehen im rotatorischen Schwenken und verschiedenen
Greifbewegungen, wofür lineare Antriebe (Hydraulikzylinder) und Drehantriebe benötigt
werden.
Für die MKS-Analyse wurde eine geeignete Software eingesetzt, die ein transparentes Bild
von der Starrkörperbewegung und der elastomechanischen Beanspruchung vermittelt. Da ein
großer Informationsanfall über alle Bewegungssequenzen, Gelenke und Glieder vorliegt,
zeigt Bild 12.9
nur einen kleinen Ergebnisauszug in einer komprimierten Darstellung.
Geschwindigkeiten
Beschleunigungen
Weg des Greifarms
Weg des
Koppelpunktes
Weg des Antriebzylinders
Antriebs- und Gelenkkräfte
Bild 12.9: Kinematische Analyse des Manipulators (nur ausgezeichnete Gelenke ausgewer-
tet)
Zum Leistungsumfang des Programms gehören die Ermittlung aller Wege, Geschwindig-
keiten, Beschleunigungen und Kräfte an den Gelenken. Je Bewegungssequenz kann weitere
eine elastomechanische Analyse durchgeführt werden.
297
13 Bauteiloptimierung
Die Industrie verfolgt heute intensiv die Realisierung durchgängiger CAE-Ketten und ist
immer mehr daran interessiert, auch Optimierungsmodule (opti SLANG, TOSCA, CAOSS
etc.) in FE-Programmen verfügbar zu haben. Viele Bemühungen in dieser Richtung sind in
der Vergangenheit daran gescheitert, dass die mit einer Optimierung von FE-Modellen ver-
bundene große Rechen- und Speicherkapazität nicht kostengünstig verfügbar war. Dies hat
sich in den letzten Jahren dramatisch geändert, denn moderne Workstations und PCs über-
schreiten mittlerweile das Leistungsniveau älterer Großrechner. Eine zielgerichtete Bauteil-
optimierung ist damit praktizierbar geworden.
13.1 Formulierung einer Optimierungsaufgabe
Die Gewichts- und Spannungsminimierung an Bauteilen kann als ein Grundproblem der Me-
chanik begriffen werden, weshalb es in der Vergangenheit schon eine Vielzahl von Arbeiten
gegeben hat, die sich problemkonform mit der Optimierung von FEM-Modellen auseinan-
dergesetzt haben. Der Schwerpunkt dieser Arbeiten lag in der Übertragung von mathema-
tischen Parameteroptimierungsmethoden, so genannten Gradienten- oder Suchverfahren, auf
diesen Problemkreis. Zu diesem Zweck muss eine Problemstellung als Zielfunktion mit
Nebenbedingungen formuliert werden. Stellt man sich beispielsweise die Aufgabe, ein Bau-
teil minimalen Eigengewichts zu finden, so muss die Gewichtsfunktion des Bauteils in Ab-
hängigkeit von den entsprechenden Maßparametern aufgestellt werden. Allgemein ist also
ein Problem /FOX 70/
opt
n1
xxG
xx
,,
" o MINIMUM! (13.1)
mathematisch zu lösen. In der Technik wird es aber so sein, dass die Parameter x
i
nicht be-
liebig gegen null streben können, sondern das durch
Nebenbedingungen bestimmte Para-
metergrenzen gegeben sein werden. Als Grenzbedingungen wird man demnach finden:
geometrische Nebenbedingungen wie
xx
igrenz i
!
0 , (13.2)
Spannungsnebenbedingungen wie
0
maxi
VV x , (13.3)
und
Verformungsbedingungen wie
0uu
maxi
x . (13.4)