Klein B. FEM: Grundlagen und Anwendungen der Finite-Element-Methode im Maschinen - und Fahrzeugbau
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13 Bauteiloptimierung
298
Im einfachsten Fall (Lagrange-Verfahren) können Zielfunktionen und Nebenbedingungen zu
der resultierenden Optimierungsfunktion /WEC 89/
!MINuuxxGZ
o
ni
maxii
1n
m
i
maxii
1m
1i
igrenzii
oOVVOO
¦¦¦
xxx
(13.5)
zusammengefasst werden. Als Extremwert ist sodann zu erfüllen:
1. Z(
x) erst abnehmend, dann steigend
2. Z´(
x) erst negativ, dann positiv
und
3.
Z
cc
(x) > 0 also positiv
Je nach angesetzter Optimierungsstrategie findet sich dann das Minimum durch wiederholtes
Ableiten der Zielfunktion und Voranschreiten in der Gradientenrichtung (z. B. Hooke-
Jeeves-Verfahren) oder durch Aufspannen eines unregelmäßigen Simplex im Suchraum und
Bewertung der Eckpunkte (z. B. Box-Verfahren).
Dies sind alles sehr rechnerintensive Vorgänge, da bei jedem Optimierungsschritt die Geo-
metrie verschoben und somit wieder die gesamte finite Systemgleichung gelöst werden
muss. Es zeigt sich somit in der Praxis, dass eine Parameteroptimierung nur bei wenigen
Parametern
8i5:x
i
d
sinnvoll und wirtschaftlich vertretbar ist. Ein weiterer Nachteil
besteht oft noch darin, dass im Regelfall der Optimierungsprozess eine Netzanpassung
erforderlich machen wird, welches wieder adaptive Algorithmen für die Netzentzerrung
bedarf. Im Zusammenhang mit CACE erlebt derzeit die Parameteroptimierung eine zweite
Blütezeit.
13.2 Parameteroptimierung
Einige FE-Systeme bieten neuerdings integrierte Optimierer an, denen meist jedoch nur ein-
fache Variationsstrategien zu Grunde liegen. Nachteilig ist, dass selbst bei nur wenigen
Parametern viel Rechenzeit benötigt wird und man bei den ausgewiesenen Verbesserungen
nicht sicher ist, ob das tatsächliche Minimum erreicht worden ist.
Der Ansatzpunkt der Optimierungsstrategie ist dabei das
parametrisierte Datenmodell des
Pre-Prozessors /BAI 78/, welches die Bauteilgenerierung mit assoziativer Geometriever-
knüpfung ermöglicht. Die Vorgehensweise ist in etwa die, dass an dem 3-D-Geometriemo-
dell des Bauteils Parameter interaktiv als variabel oder unabhängig deklariert werden
können. Über ein Tableau lassen sich dann weiter zwei Optimierungsziele vorgeben, und
zwar
Minimierung der größten Spannungsdifferenz
oder
Minimierung der Masse.
13.2 Parameteroptimierung
299
Manchmal ist es auch möglich, diese beiden Ziele multikriteriell zu verknüpfen, d. h., es soll
eine ausgewogene Problemlösung erzeugt werden.
Die von den Programmsystemen genutzte Strategie ist meist die so genannte
eindimensio-
nale Suche
, d. h., eine Zielfunktion wird zunächst mit einem Startvektor
o
x belegt und dafür
die zu optimierenden Verhältnisse berechnet. Danach wird ein Parameter der Zielfunktion
!MINIMUMx,,,,xZ
n1
o""
j
x (13.6)
variiert, und zwar wechselseitig nach oben bzw. unten mit der Schrittweite p zu
xx px
jjo jo
r (13.7)
und festgestellt, wie sich die Zielfunktion ändert. Bei Erfolg wird weiter in die als richtig
erkannte Richtung getastet. Ist nach einigen Schritten keine Verbesserung mehr möglich,
wird der nächste Parameter variiert, bis eine Abbruchschranke für die absolute Änderung der
Zielfunktion unterschritten wird. Durch diese Technik kann also nur in einem begrenzten
Gebiet ein lokales Minimum gefunden werden, welches für praktische Vorgaben jedoch
meist ausreichend ist.
Bild 13.1: Ausgangsverhältnisse bei der Winkelstütze
a) Grundentwurf
b) Spannungsverteilung
Als Beispiel für eine einfache Spannungsoptimierung sei die im Bild 13.1
gezeigte Winkel-
stütze gewählt, die in Hochregallagern zur Abstützung von Fachböden dient. Verlangt ist da-
bei in der am höchsten beanspruchten Region die Unterschreitung eines Spannungsreferenz-
wertes. Variabel soll bei diesem Bauteil die innere Form sein, die so anzupassen ist, bis die
Fließgrenze von AlMg1 mit
2
2,0p
N/mm95R unterschritten ist.
13 Bauteiloptimierung
300
Der Startvektor für die Ausgangskontur wurde mit
>@
qq 90,10,65
t
o
x
gewählt. Hierdurch wird in der Kehle die zulässige Spannung weit überschritten, bzw. die
Verformungen sind auch zu hoch. Nach zwölf Variationen weist das Programm den im
Bild 13.2
dargestellten Konturverlauf mit dem Lösungsvektor
>@
qq 101,32,52
t
opt
x
aus. Der Spannungsabbau auf
2
max
N/mm7,90 V ist durch Materialauftrag eingetreten,
weshalb die Stütze um 20 % schwerer wird.
Bild 13.2:
Optimierte Winkelstütze
13.3 Bionische Strategie
Komplexere mathematische Optimierungsverfahren haben sich bisher in der Praxis nur
schwer durchsetzen können, da der Anwender zu viel Hintergrundwissen haben muss, um
die Verfahren stabil anwenden zu können. Eine gute Chance akzeptiert zu werden zeichnet
sich hingegen bei dem CAO-Verfahren (Computer Aided Optimization /MAT 89/) ab, das
die Strategie des biologischen Wachstums verwendet. Dies geht zurück auf die Erkenntnis,
dass die Natur bei der Auslegung von Bäumen, Knochen, Skeletten und Ähnliches ein ganz
bestimmtes Designziel verfolgt, welches als
Axiom der konstanten Oberflächenspannung
charakterisiert werden kann. Umgesetzt heißt dies, dass auf technische Bauteile dieses bio-
logische Formgebungsprinzip /SAU 91/ übertragen werden muss und dafür eine Strategie er-
forderlich ist.
In einer Vielzahl von praktischen Anwendungsfällen hat sich die Simulation des Baum-
wachstums als sehr erfolgreich erwiesen. Aus der Schnittflächenanalyse von Stämmen hat
13.3 Bionische Strategie
301
man herausgefunden, dass ein Stamm aus einem unveränderlichen Kern und einer sich an-
passenden Randzone (Kambium) besteht. Über die Randzone wird das Wachstum adaptiv
gesteuert, und zwar in dem an überlasteten Bereichen ein Materialauftrag und an unterbe-
lasteten Bereichen ein Materialabtrag vorgenommen wird. Dieses Wachstumsprinzip muss
jetzt durch einen rechnerunterstützten Algorithmus nachgebildet werden, der die Konturan-
passung initiiert.
Bei der Programmrealisierung KONTOPT
*)
wird das Baumwachstum durch eine analoge
Temperaturdehnungsstrategie nachgebildet. Normalerweise ist dafür keine explizit formu-
lierte Zielfunktion nötig, weil sich Wachstum gezielt durch Wärmedehnung nachbilden lässt.
Diese einfache Aussage bedarf aber dennoch eines komplizierten Ablaufs, der jedoch leicht
zu durchschauen ist. Die wesentlichen Schritte des CAO-Prinzips können wie folgt zu-
sammengefasst werden:
Ausgangssituation ist stets ein mehr oder weniger günstiger Grundentwurf eines Bauteils,
der gewöhnlich aus Erfahrung entsteht. Das Netz sollte dabei so gelegt werden, dass etwa
zwei bis drei dünne Elementreihen äquidistant zur äußeren Bauteilberandung verlaufen.
Diese Elemente repräsentieren im Weiteren das Kambium.
Mit dem so aufbereiteten Modell wird dann eine erste FE-Analyse durchgeführt und die
Vergleichsspannungen nach v. Mises berechnet. Damit sind alle Zonen hoher und niedri-
ger Beanspruchung bekannt.
Nunmehr wird bezüglich einer als zulässig angesehenen Referenzspannung eine Span-
nungsdifferenz über das Bauteil gebildet und diese proportional einem Temperaturfeld
gesetzt. Unabhängig davon, dass dies gegen physikalische Regeln verstößt, ist dies ein
pragmatischer Ansatz.
Dieses Temperaturfeld wird dann durch Multiplikation mit dem Wärmeausdehnungskoef-
fizienten in eine Vergleichsdehnung umgewandelt, und zwar so, dass sich nur die Rand-
schicht ausdehnt. Dies bedingt, dass der Wärmeausdehnungskoeffizient des Kerns zu null
und der E-Modul des Randes
2
KernRand
N/mm400/EE | herabgesetzt wird. Durch die
somit gummiweiche Oberflächenschicht kann sich die Kontur anpassen, ohne dass
Zwangsspannungen im Kern hervorgerufen werden.
Damit im Weiteren eine verträgliche Netzänderung eintritt, muss der Dehnungszustand
skaliert werden, womit ein gleichmäßiges Wachstum hervorgerufen werden kann.
Dieser Vorgang wird durch eine erste Iteration ausgelöst, in dem der bestimmte Deh-
nungszustand als vorgeschriebene Dehnungen des Problems behandelt wird und hiermit
eine neue FE-Analyse erfolgt. Konsequenz ist, dass das Netz zufolge hoher Dehnungen
auswächst und zufolge niedriger Dehnungen wegschrumpft.
Im Allgemeinen bedarf eine Konturanpassung mehreren Iterationen, um alle Spannungs-
spitzen abzubauen.
*)
Anmerkung: KONTOPT (Kontur-Optimierung) ist eine Eigenentwicklung des Fachgebietes Leichtbau-Kon-
struktion an der Universität Kassel.
13 Bauteiloptimierung
302
Von Vorteil ist dabei, dass Sperrzonen (Fenster über Knotenpunkte) für Konturände-
rungen eingekreist werden können. Dies verhindert beispielsweise, dass sich Anschraub-
flächen verwerfen oder Achsabstände ändern.
Die Umsetzung dieser Schritte in einen Algorithmus zeigt das folgende Flussdiagramm von
Bild 13.3
.
ref
i
v
V
|
V
ref
i
v
i
T
V
V
{
'
T
1
T
FKU
Ausgangsgeometrie
FE-Modell der
Ausgangsstruktur
FE-Analyse/lin.-elast. Statik
- Verschiebungen
- Spannungen
konturoptimiertes
Bauteil
Optimale Lösung erreicht?
ja
nein
Ausgangsgeometrie
Optimierungsstrategie
- Temperaturdehnungsanalogie
variierte Bauteilkontur
- Aufskalierung der Temperatur-
dehnungen
- Netzentzerrung
- FE-Analyse Temperaturausdehnung
ref
i
v
V
|
V
ref
i
v
i
T
V
V{'
Ausgangsgeometrie
FE-Modell der
Ausgangsstruktur
FE-Analyse/lin.-elast. Statik
- Verschiebungen
- Spannungen
konturoptimiertes
Bauteil
Optimale Lösung erreicht?
ja
nein
Ausgangsgeometrie
Optimierungsstrategie
- Temperaturdehnungsanalogie
variierte Bauteilkontur
- Aufskalierung der Temperatur-
dehnungen
- Netzentzerrung
- FE-Analyse Temperaturausdehnung
T
1
T
FKU
Bild 13.3:
Flussdiagramm der Temperaturdehnungsstrategie (nach /FRE 95/)
13.4 Selektive Kräftepfadoptimierung
303
Ein recht breites Anwendungsfeld findet die biotechnische Optimierung mittlerweile in der
Glättung von Kerbspannungen bei 2-D- und 3-D-Bauteilgeometrien. Dies belegt im Weite-
ren auch das folgende Beispiel, bei dem es um die Lebensdauererhöhung eines wechselbean-
spruchten Bauteils ging.
Die Ausgangssituation erwies sich wegen der hohen Kerbspannung in einem Übergangsbe-
reich und der dadurch abgeminderten Lebensdauer als insgesamt sehr unbefriedigend. Aufgabe
war es deshalb, durch nur kleine Änderungen die Oberflächenspannung abzusenken und somit
auch die Lebensdauer zu erhöhen. Durch Anwendung der Temperaturdehnungsstrategie (und
zwar nach 30 Iterationen) war es tatsächlich möglich, mittels Konturanpassung das Spannungs-
niveau um 31 % abzusenken, welches auch aus Bild 13.4
abgeleitet werden kann.
a)
b
)c)
ursprüngliche
Kerbkontur
optimierte
Kerbkontur
Bild 13.4:
Optimierung eines Kerbbereichs (nach /FRE 95/)
a) Konturvergleich
b) Spannungshöhe in der Ausgangskontur
c) Spannungshöhe in der optimierten Kontur
Diese Absenkung der Spannung geht dabei einher mit einer Verlängerung der Lebensdauer
des Bauteils, die sich im vorliegenden Fall mit 40 % einstellte.
13.4 Selektive Kräftepfadoptimierung
Ein Sonderproblem des Leichtbaus besteht weiter darin, dass vielfach nicht einfach
Konturen verschoben werden können, da dies meist mit einer Gewichtszunahme verbunden
ist, wie die vorausgegangene Winkelstütze belegt. Viel wirksamer lassen sich oft Spannun-
gen und Verformungen durch gezielte Einbringung von Sicken oder Rippen beeinflussen,
wodurch das Gewicht nicht unbedingt zunehmen muss. Die Problematik besteht somit darin,
13 Bauteiloptimierung
304
die Zonen für wirksame Versteifungen zu lokalisieren und dann deren Form im genau
notwendigen Umfang auszubilden.
Diese praktisch interessierende Fragestellung kann mittels des Prinzips der
selektiven Pfad-
optimierung gelöst werden, welches eine Spezialisierung des Temperaturdehnungsprinzips
darstellt. Für die Pfadoptimierung besteht die Voraussetzung, dass zu einem Belastungsfall
die Hauptspannungen
VV V
123
,,
bekannt sind bzw. mittels einer FE-Analyse ermittelt wer-
den können. Gewöhnlich lassen die FE-Post-Prozessoren eine Darstellung der Hauptspan-
nungstrajektorien zu, welche eine Richtungsinformation über die größte Beanspruchung ge-
ben.
Bei vielen Bauteilen wird dieses Beanspruchungsmaximum auf der Oberfläche liegen,
sodass damit auch die Ausprägungsrichtung für die Versteifungselemente bekannt ist.
Der Optimierungsalgorithmus funktioniert nun im Wesentlichen so, dass in einer ausge-
wählten Beanspruchungssektion ein oder mehrere Knoten in der Nähe der
V
1
-Trajektorie
ausgewählt werden können und dort lokales Wachstum initiiert werden kann. Nach einer
entsprechenden Anzahl von Iterationen bildet sich dann in Abhängigkeit von der Bauteildi-
mension entweder eine Rippe oder eine Sicke aus. Der Unterschied zwischen diesen Verstei-
fungselementen besteht im Wesentlichen darin, dass Rippen auf massive Bauteile aufgesetzt
und Sicken in dünnen Blechen eingeprägt werden. Die Erzeugung von Sicken ist daher mit
der lokalen Symmetrie verbunden.
Als Optimierungskriterium ist demzufolge wieder das Minimierungskriterium für die Span-
nungsdifferenz
¦
oVV
o
n
1i
2
ref
i
V
!MINIMUMZ (13.8)
heranzuziehen, und zwar in dem eingeschränkten Variationsgebiet der Knoten
oi
n,,1iP " , die im Wesentlichen die Hauptspannungstrajektorien bilden.
Ein anschauliches Beispiel für diese Vorgehensweise soll ein Scharnier an einer Fahrwerks-
klappe eines Verkehrsflugzeuges sein. Dieses Scharnier ist hoch belastet, d. h., es muss
große Kräfte übertragen können und darf andererseits aber nicht zu schwer sein. Als kon-
struktive Alternative bietet sich demzufolge eine verrippte oder versickte Lösung an.
Im Bild 13.5
ist zunächst ein Scharnierteil gezeigt, in dem die Spannungsspitze durch das
Aufsetzen von Rippen entschärft worden ist. Der Algorithmus bietet hierbei die Möglichkeit,
eine oder mehrere Spannungspfade zu identifizieren und diese zu Rippen auswachsen zu
lassen, und zwar so lange, bis in dem Variationsgebiet die auftretende Spannung unterhalb
der Referenzspannung liegt. Letztlich werden verrippte Bauteile immer nur in einer Urform-
technologie herstellbar sein.
13.4 Selektive Kräftepfadoptimierung
305
a)
b
)
c)
Bild 13.5:
Massives Scharnierteil mit initiiertem Rippenwachstum (nach /FRE 95/)
a) Grundentwurf
b) Spannungsverteilung im Grundentwurf
c) lokal optimiertes Teil
Methodisch aufwändiger ist hingegen das Einbringen von Sicken, da hiermit die Einhaltung
der Volumenkonstanz des Bauteils verbunden ist. Materialauftrag auf der Oberfläche
bedingt gleichsam einen Materialabtrag auf der Unterseite bei Einhaltung der Äquidistanz
der Flächen. Dass auch dies algorithmisch zu beherrschen ist, zeigt das Blechteil im Bild
13.6, in dem jetzt zwei Sicken eingeprägt worden sind, welches ebenfalls zu einer
Spannungsabsenkung führt.
a) b)
Bild 13.6:
Leichtes Scharnierteil mit initiiertem Sickenwachstum (nach /FRE 95/)
a) Ansicht von oben
b) Ansicht von unten
Probleme mit der Vorgabe Volumen- oder Materialkonstanz werden heute mit dem Fach-
termini
Topologieoptimierung bezeichnet. Das Merkmal hierbei ist, eine konstante Material-
menge so umzuschichten, dass alle Restriktionen eingehalten werden.
306
14 Grundregeln der FEM-Anwendung
Im Nachgang zu den bisherigen theoretischen Darlegungen zur FE-Methode sollen ab-
schließend einige Grundprinzipien der Anwendung diskutiert werden, deren Nichtbeachtung
entweder zu Fehlern oder unnötigem Nachbesserungsaufwand führt. Da in der Praxis die
Anwendungsgesichtspunkte und damit Probleme naturgemäß sehr vielschichtig sind, können
die folgenden Ausführungen nur als Erfahrungsquerschnitt /KLE 94b/ verstanden werden.
14.1 Fehlerquellen
Die FE-Methode ist als ingenieurmäßiges Werkzeug natürlich auch fehlerbehaftet, oder
überall dort, wo Menschen einen Ablauf steuern, können sich Fehler einstellen. Mit dem
Bewusstwerden dieser Unwägbarkeit muss auch die Sensibilität gegenüber möglichen
Fehlerquellen wachsen. Im Bild 14.1 ist eine Übersicht (s. auch /DEG 02/) gegeben, die die
Hauptursachen zusammenfasst. In der Verantwortung des Berechnungsingenieurs fällt so-
mit, die erforderlichen Schritte mit der angemessenen Sorgfalt durchzuführen.
Anwender Programm-Handhabung
Pre-
Processing
x falsche Idealisierung
x schlechte Elemente
x verletzte Kompatibilität
x ungenaue Materialdaten
x schlechte Vernetzung
x schlechte Elementformulierung
x keine Warnungen (Element-
check)
Lösungsverfahren
x falsche Randbedingungen
x schlechtes Lösungsverfahren
x zu grobes Konvergenzkriterium
x zu ungenauer Gleichungslöser
x ungenaue Rückrechnung
x keine Warnungen
Post-
Processing
x falsche Selektion
x falsche Mittelung
x falsche Darstellung
x keine Warnungen
Bild 14.1: Fehlerquellen bei FE-Analyse (siehe auch Checkliste auf S. 375)
Trotz der Kumulierung von Fehlern /HAR 85/ ist die FEM mit ca. 7-10 % Abweichung vom
realen Verhalten (wenn die exakte Lösung bekannt ist) eines der genausten Berechnungsver-
fahren. Ihre Stärke liegt in der flexiblen Anpassbarkeit an reale Gegebenheiten und der
Variabilität bezüglich Änderungen.
Wird FEM gezielt in Produktentwicklungsprozesse eingesetzt, so fordern die üblichen Qua-
litätsstandards (ISO 9001, QS-9000, VDA 6.1, bzw. ISO/TS 16949) eine Validierung und
Verifizierung dieser Dienstleistung. Dies setzt voraus, dass mit analytischen Abschätzungen
die Richtigkeit einer FEM nachgewiesen werden kann.
14.2 Elementierung und Vernetzung
307
14.2 Elementierung und Vernetzung
Zum Problemkreis der Elementierung soll hier die problemspezifische Auswahl der Ele-
menttypen aus einer Programmbibliothek, die Vernetzungsregeln und die Gruppenbildungs-
technik gezählt werden, mit denen wir uns nacheinander befassen wollen.
Auf die erste Hürde bei der Aufbereitung eines FEM-Modells stößt man bei der Wahl der
Elementtypen, mit denen eine Struktur oder ein Bauteil nachzubilden ist. Innerhalb der
Theorie unterscheidet man sieben Grundelemente, die in der Regel auch in FE-Programmen
verfügbar sind. Aufgabe des Anwenders ist es dann, hieraus auszuwählen und gegebenen-
falls verschiedene Elemente zu kombinieren. Damit sind im Wesentlichen zwei Fehlerquel-
len verbunden:
Durch die Elementierung wird der tatsächlich vorliegende Verformungs- und Spannungs-
zustand nicht richtig wiedergegeben.
oder
Bei einer von der Bauteilgeometrie bzw. dem Tragverhalten erzwungenen Kombination
von Elementen wird gegen den Grundsatz der Verträglichkeit bei den mechanischen
Knotenfreiheitsgraden verstoßen.
Diese Bedingungen sollen nun einmal exemplarisch diskutiert werden.
Für die praktische Anwendung gibt es im Prinzip eine einfache Regel, die folgendermaßen
zu handhaben ist:
x Stahlbaustrukturen oder Wellensysteme sollten mit stabartigen Elementen (Stab, Balken),
x dünnwandige Bauteile sollten durch ebene Elemente (Scheibe, Platte, Schale)
und
x dickwandige Bauteile durch volumetrische Elemente (Volumina, Kreisring-Elemente)
nachgebildet werden.
Die marktverbreiteten kommerziellen FEM-Systeme bieten alle eine relativ große Auswahl
an Elementen unterschiedlichster Knotenanzahl und Geometrie an, sodass die Realität fast
immer recht gut abgebildet werden kann.
Im Bild 14.2 ist noch einmal eine überblickartige Zusammenstellung über die wichtigsten
Grundelemente gegeben. Angetragen sind jeweils die Knotenverschiebungen und die zuge-
hörigen Knotenkräfte infolge der äußeren Belastung. Am STAB- und SCHALEN-Element
sind jeweils durch Strichierung noch die beiden fiktiven Freiheitsgrade markiert.
Besonders zu beachten ist, ob bei Elementen „Schubweichheit“ eine Rolle spielt. Bei kurzen
Balken müssen dann Timoshenko-Elemente und bei dicken Schalen Reissner-Mindlin-
Elemente herangezogen werden.