Klein B. FEM: Grundlagen und Anwendungen der Finite-Element-Methode im Maschinen - und Fahrzeugbau
Подождите немного. Документ загружается.
9 FEM-Ansatz für dynamische Probleme 228
0
i
2
ii
KZK
, (9.70)
für die die allgemeine Lösung mit
ttt
Z
Z K
iiiii
cosBsinA (9.71)
bekannt ist. Für die Anfangsbedingungen
0
0
tt
ii0i
B0 {K K (9.72)
und
iii0i
A0 Z{K K
(9.73)
lautete dann die spezielle Lösung:
tcostsint
ii0i
i
i0
i
ZKZ
Z
K
K
.
*)
Dieser einfache Lösungsweg war nur durch die zuvor gewählte Substitution möglich. Somit
bleiben noch als Teilproblem die tatsächlichen Anfangsbedingungen in
u
U bzw.
u
U
nach
Ș bzw. Ș
zu transformieren. Dies ist generell durch den bekannten Zusammenhang
)0()0()0(
uuu
t
u
1
UKXUXȘ
, (9.74)
)0()0()0(0
uuu
t1
uuu
t
u
1
UMXȁUKXUX)(Ș
(9.75)
möglich. Diese Umformung gilt für einen vollen Satz von steifigkeitsorthonormierten Eigen-
vektoren
, welches durch die Beziehung (s. Seite 204)
IXKX
uu
t
(9.76)
gegeben ist. Wird hingegen die dynamische Reduktion genutzt, so ergibt sich für X eine
Rechteckmatrix (n x
x
n ), welches dann einen anderen Lösungsweg zur Folge hat. Über die
Gl. (9.67) kann dann die tatsächliche Problemlösung für freie Schwingungen ermittelt wer-
den.
9.6 Erzwungene Schwingungen
Bei den zuvor diskutierten freien Schwingungen bestand die Voraussetzung eines kräfte-
freien Systems. Wir wollen diese Betrachtung nun um zeitbestimmte Kräfte wie auch zeitbe-
*)
Anmerkung:
ttt ZZZZ K
iiiiiii
sinBcosA
9.6 Erzwungene Schwingungen
229
stimmte Wege erweitern. Diese Größen können entweder periodisch oder nichtperiodisch
sein oder gar in einer allgemeinen Funktion vorkommen. In Analogie zu Gl. (9.64) und Gl.
(9.65) ist dann dafür folgende Gleichung maßgebend:
»
»
»
¼
º
«
«
«
¬
ª
»
»
»
¼
º
«
«
«
¬
ª
»
»
»
¼
º
«
«
«
¬
ª
»
»
»
¼
º
«
«
«
¬
ª
»
»
»
¼
º
«
«
«
¬
ª
s
p
u
s
p
u
ssspsu
pspppu
usupuu
s
p
u
ssspsu
pspppu
usupuu
0
0
P
P
P
U
U
U
KKK
KKK
KKK
Ü
Ü
Ü
MMM
MMM
MMM
. (9.77)
Hierin bezeichnet wieder
-
t
u
U die unbekannten Verschiebungen zu bekannten äußeren Kräften
t
u
P ,
-
t
p
U vorgeschriebene (geführte) Freiheitsgrade, wozu unbekannte Kräfte
t
p
P kor-
respondieren,
und
-
t
s
U an Auflagern unterdrückte Verschiebungen, zu denen die Auflagerkräfte
t
s
P
zugehörig sind.
Durch statische Reduktion (s. Kapitel 9.4.3) ist daraus die Schwingungs-DGL
)()(
u
t
cccccccc
tt PTPUKÜM { (9.78)
zu gewinnen. Nutzt man weiter die Substitution von Gl. (9.67) und multipliziert noch mit
t
X vor, so folgt daraus
t
c
t
cc
t
cc
t
PXȘXKXXMX KK
(9.79)
bzw.
t
c
t
1
dia
1
PXM
K/K
. (9.80)
Um die Umformung dieser Gleichung
*)
transparent zu machen, soll hier kurz dargelegt
werden, wie die DGL eines Einmassenschwingers behandelt wird. Wir gehen dazu von der
Gleichung
t
iiiii
Fucüm (9.81)
aus. Nach der Division durch die Masse erhält man
t
i
i
i
i
i
i
F
m
1
u
m
c
ü . (9.82)
*)
Anmerkung: XMXM
t
dia
bzw.
1
diadia
1
MK//
9 FEM-Ansatz für dynamische Probleme 230
Bekanntlich bezeichnet der erste Quotient die quadrierte Eigenkreisfrequenz
2
i
i
i
m
c
Z ,
über die reziproke Masse in Verbindung mit der Federkonstanten (= Steifigkeit) steht:
i
2
i
i
cm
1
Z
.
Die vorstehende Gleichung
*)
kann somit auch dargestellt werden als
t
i
i
2
i
i
2
ii
F
c
Ȧ
uȦü . (9.83)
Auf der rechten Seite steht dann eine steifigkeitsbezogene Kraft. Damit wird eine für Gl.
(9.77) zutreffende Parallele deutlich, und zwar lässt sich jetzt diese Gleichung darstellen als
t
c
t
1
t11
PXXKX
//KK//KK
. (9.84)
Weil diese Gleichung mittels der Eigenvektoren diagonalisiert ist, kann im Weiteren eine
typische Einzelgleichung betrachtet werden, die von der Form
t
i
2
ii
2
ii
r
K
Z KZK
(9.85)
ist. Auf der rechten Seite taucht jetzt aber keine Kraft mehr auf, sondern mit
t
i
r
K
eine be-
zogene Erregungsfunktion, die es entsprechend den Vorgaben anzusetzen gilt.
Im einfachsten Fall treten in der Technik harmonische Anregungsfunktionen auf, so wie
exemplarisch im Bild 9.15
angedeutet ist.
*)
Anmerkung: Gleichungen vom Typ (9.82), (9.83) oder (9.85) können auch direkt mit dem Newmark-
Verfahren gelöst werden. Voraussetzung ist, dass alle Antwortfunktionen stetig sind. Für die
Beschleunigung kann dann im Zeitintervall ein diskreter Mittelwert
ttt
uu
2
1
u
'
angesetzt werden. Durch schrittweise Integration dieser Gleichung erhält man weiter
tt '
u
und
tt '
u
. Eingesetzt in Gl. (9.82) folgt:
¸
¸
¹
·
¨
¨
©
§
'
'
'
¸
¹
·
¨
©
§
'
' ttt
t
t
t
t
uu
4
u
4
mtFucm
4
t
2
iitii
.
Diese Gleichung ist mit den gegebenen Anfangsbedingungen
ttt
u,u,u
lösbar.
9.6 Erzwungene Schwingungen
231
i
z, w
x
U0
s
=
U 0
u
(= 0) =
t
F()
ui
t
absolut
starr
:
i
Bild 9.15: Mit harmonischer Amplitude
Wir wollen nun die Lösung von Gl. (9.85) unter der Vorgabe einer sinusförmigen Einheitser-
regung
tt
:
K i
i
sin"1"r (9.86)
mit der Anregung
i
: diskutieren. Zunächst ist festzustellen, dass mit Gl. (9.85) vom Typ
her eine inhomogene DGL 2. Ordnung mit konstanten Koeffizienten vorliegt, die bekannt-
lich eine homogene (Lösung der Eigenschwingung) und eine partikuläre (Lösung der er-
zwungenen Schwingung) Lösung aufweist. Die homogene Lösung ist dabei
tt
iiiiogenhomi
ȦcosBȦsinAȘ
. (9.87)
Für die partikuläre Lösung ist ebenfalls ein sinusförmiger Ansatz
t: K
iipartikuläri
sinC (9.88)
zu machen. Setzen wir jetzt die partikuläre Lösung mit ihren Ableitungen in Gl. (9.85) ein,
so erhalten wir sofort für den Koeffizienten
¸
¹
·
¨
©
§
:Z
Z
2
i
2
i
2
i
i
C (9.89)
und somit
t:
¸
¹
·
¨
©
§
:Z
Z
K
i
2
i
2
i
2
i
partikuläri
sin . (9.90)
Die allgemeine Lösung lautet sodann:
9 FEM-Ansatz für dynamische Probleme 232
ttt
¸
¹
·
¨
©
§
i
2
i
2
i
2
i
iiiii
ȍsin
ȍȦ
Ȧ
ȦcosBȦsinAȘ . (9.91)
Legen wir nun auch für einen Anwendungsfall spezielle Anfangsbedingungen, z. B.
00
i
K und
00
i
K
(9.92)
fest, so lautet für die angepassten Koeffizienten
¸
¹
·
¨
©
§
:Z
:Z
2
i
2
i
ii
i
A, 0B
i
, (9.93)
die Lösung der ungedämpften Schwingung
ngungEigenschwiAnteil
i
2
ii
ii
ErregungAnteil
i
2
ii
i
2
i
2
i
2
i
i
2
i
2
i
ii
i
Ȧsin
/Ȧȍ1
/Ȧȍ
ȍsin
/Ȧȍ1
1
ȍsin
ȍȦ
Ȧ
Ȧsin
ȍȦ
ȍȦ
Ș
tt
tt
¸
¹
·
¨
©
§
¸
¹
·
¨
©
§
oder etwas übersichtlicher sortiert
¸
¹
·
¨
©
§
tt
i
i
i
i
2
i
i
Ȧsin
Ȧ
ȍ
ȍsin
/Ȧȍ1
1
Ș
*)
. (9.94)
Den betrachteten elementaren Fall wollen wir noch einmal kurz von der Wirkung her analy-
sieren. Dazu diskutieren wir die so genannte Vergrößerungsfunktion
2
ii
ii
/Ȧȍ1
1
ȍV
, (9.95)
die vom Prinzip her eine statische Auslenkung von der Größe „1“ ins Verhältnis zu einer
anregenden dynamischen Amplitude setzt. Die sich ergebende Abhängigkeit zeigt Bild 9.16
.
Als Aussage gewinnt man daraus:
- Für Verhältnisse
1/Ȧȍ
ii
strebt die Schwingungsamplitude gegen Unendlich (Reso-
nanzstelle) und würde bei nicht vorhandener Dämpfung in diesem Betriebszustand zu
einer Zerstörung des Systems führen.
*)
Anmerkung: Tritt hingegen in Gl. (9.86) eine Amplitude der Größe A auf, so tritt auch im Vorfaktor von Gl.
(9.94) an Stelle von „1“ die Größe
A auf.
9.6 Erzwungene Schwingungen
233
- Für so genannte unterkritische Erregung mit 1/Ȧȍ
ii
nimmt die Schwingungsamplitu-
de laufend zu, während überkritische Erregungen zunächst zu einer Abnahme der
Schwingungsamplitude führt, die später wieder ansteigt.
V
i
i
i
Z
:
0
1
2
3
2
C = 0,5
C = 0
3
2
2
2
1
Bild 9.16: Verlauf der Vergrößerungsfunktion für eine periodische Erregung bei zwei ver-
schiedenen Dämpfungskonstanten C
In der Realität wird man diese Verhaltensweise natürlich so nicht antreffen, da immer etwas
Strukturdämpfung vorhanden sein wird.
Als eine weitere wichtige Erregungsfunktion dieser Gruppe wollen wir noch den
Rechteck-
impuls
behandeln, da er im Weiteren die Grundlage für die allgemeinen Erregungsfunk-
tionen abgibt. Die Anregungsfunktion und die Systemantwort sind hierzu im Bild 9.17
skiz-
ziert.
Mit Bezug zu Gl. (9.85) lautet dann hier die Bewegungsdifferenzial-Gleichung:
i
2
ii
2
ii
hȦȘȦȘ
. (9.96)
Diese DGL hat nun ohne näheren Beweis die allgemeine Lösung
>@
1ii
i
iiii
ȦcosȦcos
2
h
ȦsinBAȘ tttt . (9.97)
9 FEM-Ansatz für dynamische Probleme 234
a)
b)
h
i
0
maximale Auslenkung
t
1
t
K
i
i
h
1
0
tt
dd
t
³
1
0
i
dȘ
t
t
i
r
K
i
i
hr
K
0r
i
K
fd
tt
1
0
df
t
Bild 9.17: Antwort einer Struktur auf einen Rechteckimpuls
a) Impulsfunktion
b) Systemantwort
Für die dem Impuls zugehörigen Anfangsbedingungen
0
i
K t = 0 und
0Ș
i
t
= 0
können somit drei interessierende Bereiche abgegrenzt und hierfür die Auslenkungen wie
folgt angegeben werden:
- im Bereich 0 < t <
1
t
tt
iii
Ȧcos1hȘ , (9.98)
- an der Stelle t =
1
t
1ii1i
cos1hȘ tt
Z
, (9.99)
1iii1i
sinhȦȘ tt
Z
, (9.100)
- im Bereich t >
1
t
>@
tttt
i1iii
ȦcosȦcoshȘ . (9.101)
9.6 Erzwungene Schwingungen
235
Wertet man nun die Auslenkung in den Bereichen aus, so zeigt sich, dass das System außer-
halb der Impulsdauer der größten Amplitude unterworfen ist. Mit vorhandener Struktur-
dämpfung würde diese Schwingung dann aber auch ausklingen.
Eine schöne Anwendung für einen Impuls stellt ein Rammvorgang als Hammerschlag dar.
Umseitig ist im Bild 9.18
ein Stahlpfahlrohr ( 1,6 m, 35 m lang, 40 mm Wandstärke) ge-
zeigt, mit dem Windenergieplattformen in der Nordsee verankert werden. Das Pfahlrohr
wird mittels einer hydraulischen Hubramme (maximale Energie: 820 kJ, Hammermasse:
45,4 t) mit 6 m/s etwa 16 m tief in den Meeresboden getrieben. Die Ramme schlägt aller-
dings nicht direkt auf das Rohr, sondern auf einen puffernden Amboss (Masse: 15 t), der im
Wesentlichen Pendelschlageffekte ausschaltet.
In der zusammengefassten Auswertungsdarstellung sind auch Details der Modellierung er-
kennbar: Das Rohr ist aus linearen Rechteck-Schalen-Elementen aufgebaut mit einem linear
elastischen Werkstoffgesetz. Am linken Ende ist der frei aufliegende Amboss erkennbar, der
ebenfalls durch Schalen-Elemente idealisiert worden ist und im Kontakt zum Rohr steht. Das
Eindringen in den Meeresboden wurde am rechten Ende über eine breite Elementreihe mit
einem auf den Meeresboden kalibrierten plastischen Werkstoffgesetz abgestimmt. Dieses
spezielle Verhalten ist durch Eindringmessungen bei der Pfahlgründung der FINO-Plattform
vor der Nordseeinsel Borkum in einen Sandboden gewonnen worden. Insofern sind die An-
nahmen sehr real.
In der Auswertung am Bildschirm kann man erkennen:
x Durch den Rammschlag bildet sich unter dem Amboss eine Druckwelle aus mit v = 6 m/s.
In Zeitinkrementen erkennt man im Impulseinleitungsbereich ein Stauchen und Ent-
spannen des Rohrmundstückes.
x Die durchlaufende Welle fächert sich in dem konischen Rohrbereich auf und verlangsamt
sich im zylindrischen Bereich auf v = 5,5-4,0 m/s.
x Die durch die Welle induzierte Beanspruchung mit
2
v
N/mm250 V bleibt noch unter-
halb der Streckgrenze des Materials, sodass das Rohr die Intensität des Rammschlages
aushalten kann.
x Die Wellenbeschleunigung ist beim Rammschlag mit a = 10,63
2
m/s sehr dicht an der
Erdbeschleunigung und verlangsamt sich auf a = 2,74
2
m/s am Rohrende.
x Würden bei Hammerschlägen die Impulse zeitlich sehr schnell aufgebracht, so würde eine
Überlagerung von Wellen stattfinden und das Rohr letztlich versagen.
Die FE-Ergebnisse bezüglich der Spannung, Geschwindigkeit und Beschleunigung stimmen
bis auf 10,4 % mit Laborversuchen überein, die ein Messinstitut unter idealen Bedingungen
mit dünnwandigen Rohren in Belastungsversuchen ermittelt hat. Für den vorliegenden An-
wendungsfall, wo es ausschließlich um die Festigkeit und Stabilität der Pfahlrohre ging, ist
dies ausreichend genau.
kurz nach dem Rammschlag kurz bevor die Welle den Meeresboden erreicht
max. von Mises-Spannung einer
Welle:
2
v
N/mm250 V
Geschwindigkeit unter dem Amboss: v = 6 m/s
Geschwindigkeit einer Welle: v = 5,52 m/s
Beschleunigung einer Welle: a = 10,63
2
m/s
Reflexionsgeschwindigkeit: v = 3,2 m/s
Reflexionsbeschleunigung: a = 2,74
2
m/s
max. von Mises-Spannung am Rohrende:
2
v
N/mm143 V
236 9 FEM-Ansatz für dynamische Probleme
Bild 9.18: Beanspruchung eines Rohres durch Wellenausbreitung aus einem Impuls
9.7 Beliebige Anregungsfunktion
237
9.7 Beliebige Anregungsfunktion
Abschließend wollen wir zum Themenkreis Anregungen noch kurz einen Blick auf die Be-
handlung beliebiger Anregungsfunktionen werfen. Eine Grundlage hierzu stellt der Recht-
eckimpuls dar, den wir nachfolgend dazu benutzen wollen, eine beliebige Funktion summa-
tiv zu erfassen. Hierzu definieren wir zunächst die Impulsstärke
³
1
o
ii
i
Și
hdrJ
t
tt . (9.102)
Des Weiteren beziehen wir uns noch einmal auf Gl. (9.96)
i
2
ii
2
ii
ȘȦhȦȘ
und integrieren diese Gleichung zu
i
2
i
0
1
o
iii
2
ii
JȦdȘthȦȘ |
¸
¸
¸
¸
¹
·
¨
¨
¨
¨
©
§
³
t
t . (9.103)
Das hierin auftretende Integral erfasst die Systemträgheit der Antwortfunktion und kann
nach Bild 9.17
näherungsweise gleich null gesetzt werden. Weiter hatten wir zuvor schon
gesehen, dass die maximale Auslenkung des Systems dem Impuls träge nachfolgt. Unter
Berücksichtigung von Gl. (9.103) erhalten wir somit auch eine gute Lösung für den Bewe-
gungsablauf, wenn wir von den folgenden verschobenen Anfangsbedingungen
00
1i
|
K
t und
i
2
i1i
JȦ0 | K t
(9.104)
ausgehen und hierfür die spezielle Lösung aus Gl. (9.97) entwickeln. Man erhält nämlich so
für die Konstanten
iii
i
JȦBA , (9.105)
sodass sich für die Auslenkung
1iiii
,ȦsinJ tttt tZ
K
(9.106)
ergibt. Nach diesen Vorbetrachtungen wollen wir nun unsere Erkenntnisse auf die beliebige
Anregungsfunktion von Bild 9.19
übertragen.