Klein B. FEM: Grundlagen und Anwendungen der Finite-Element-Methode im Maschinen

Подождите немного. Документ загружается.

9 FEM-Ansatz für dynamische Probleme 218

zusammen. Dabei soll noch folgende Abkürzung eingeführt werden, und zwar eine zusam-

mengefasste

Eigenvektormatrix

n21

xxxX "

(9.50)

und eine Eigenwertmatrix (inverse Kreisfrequenz-Quadrate)

.ȁ

n21

111

ZZZ

OOO

"" (9.51)

Somit kann Gl. (9.49) auch geschrieben werden als

ȁX

XM  

. (9.52)

Erweitert man die vorstehende Gleichung noch durch eine Vormultiplikation mit

X zu

ȁXKXXMX  

, (9.53)

so wird

M und K diagonalisiert. Anhand des zuvor schon benutzten Beispiels wollen wir

dies jetzt kurz beweisen. Für die Eigenvektorenmatrix (

nicht normierte Modalmatrix) kann

dann





(9.54)

angesetzt werden. Obwohl in unserem Beispiel schon von einer diagonalen Massenmatrix

ausgegangen worden ist, wollen wir dennoch die gewonnene Aussage belegen. Es gilt



















550

055

und























550

055

c-c

cc2

Anmerkung: Für eine Normierung der Modalmatrix existieren zwei Möglichkeiten:

a) Massenorthonormierung

IXMX 



o Folge:

1t 



//XKX ,

b) Steifigkeitsorthonormierung

IXKX 



o Folge: //



XMX

9.4 Eigenschwingungen ungedämpfter Systeme

219

Damit können äußerst bequem die Kreisfrequenz-Quadrate aus

>@>@



 ZZZ XMXXKXȁ " (9.55)

bestimmt werden. Für das kleine Beispiel lauten sie:



5353









. (9.56)

In der Mathematik wird die vorstehend bearbeitete Aufgabe als Lösung des allgemeinen Ei-

genwertproblems bezeichnet, weil es hier um die Ermittlung der Matrix

X der Eigenwert-

vektoren

x und um die Diagonalisierung der beiden Matrizen M und K geht.

In der Dynamik stellt die Diskretisierung nach Bild 9.8

nur eine grobe Näherung dar, die am

vorstehenden Beispiel dargestellt wird.

Wertet man Gl. (9.56) für den idealisierten Zwei-Massen-Schwinger nach Bild 9.9

aus, so

folgt für die Eigenfrequenzen



.,,

,,,

236353

236153

LA2

AE2

U

Z

U

Z

U



Diese Lösungen sind relativ weit entfernt von der exakten Lösung der Longitudinalschwin-

gung eines Stabs mit

exakt

5708,1

U

Der Fehler beträgt etwa 27 %. Wird das Beispiel als finites Modell mit einem einzigen Ele-

ment gelöst, so führt dies auf

Bild 9.9:

Stabmodelle zur Bestim-

mung der Eigenfrequen-

zen

9 FEM-Ansatz für dynamische Probleme 220

0det

U

U

Z



Z

,MK

oder

73205,1

U

d. h., diese Eigenfrequenz liegt um 10,3 % zu hoch. Verfeinern wir das Modell auf zwei

Elemente, so führt dies zu

6293,5,

6114,1

U

Z .

Wie in der Statik gilt auch für die Dynamik, dass sich mit zunehmender Elementfeinheit das

Ergebnis verbessert. Bild 9.10

gibt diese Tendenz für die Eigenfrequenz wieder.

Anzahl

der

Elemente

exakti

/ ZZ

-Verhältnis

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

1 1.103

2 1.026 1.195

3 1.012 1.103 1.200

4 1.006 1.058 1.154 1.191

5 1.004 1.037 1.103 1.181 1.282

6 1.003 1.026 1.072 1.137 1.195 1.273

7 1.002 1.019 1.053 1.103 1.161 1.200 1.266

8 1.002 1.015 1.041 1.079 1.128 1.177 1.201 1.259

9 1.001 1.012 1.032 1.063 1.103 1.148 1.188 1.200 1.254

10 1.001 1.009 1.026 1.051 1.084 1.123 1.163 1.195 1.198 1.250

Bild 9.10:

Bezogene Fehlerrate bei der Bestimmung der Eigenfrequenz der Longitudinal-

schwingung eines eingespannten Stabes

9.4 Eigenschwingungen ungedämpfter Systeme

221

9.4.2 Numerische Ermittlung der Eigenwerte

Zur Lösung des zuvor beschriebenen allgemeinen Eigenwertproblems mit symmetrischen

und positiv definiten Matrizen bieten sowohl die Mathematik wie auch die FEM-Universal-

programme verschiedene Lösungsverfahren an. Ohne auf die mathematischen Hintergründe

dieser Verfahren vertieft einzugehen, kann festgestellt werden, dass diese Anwendung von

verschiedenen Gegebenheiten abhängig ist:

x Zunächst ist herauszustellen, dass in der Praxis meist nur eine beschränkte Anzahl der

meist niedrigsten Eigenfrequenzen mit den dazugehörigen Eigenvektoren von Interesse

sind, oder diese Werte in einem bestimmten Intervall gesucht werden. Zufolge der Dis-

kretisierung sind die niedrigen Eigenwerte relativ genau bzw. die höheren nur mit einem

größeren Fehler bestimmbar.

Im Besonderen ist maßgebend:

x Es liegt eine Problemstruktur vor, bei der die Matrizen M und K voll besetzt sind. Dies

tritt dann ein, wenn eine Kondensation zur Eliminierung von Freiheitsgraden vorgenom-

men wurde. In diesem Fall eignen sich als Lösungsverfahren das

Jacobi- und Househol-

der

-Verfahren sowie die Modifikation von Householder-Givens zur Erzeugung tridiago-

naler Matrizen.

x Es liegt der Normalfall vor, dass M und K nur schwach besetzt sind und eine Hüll- oder

Bandstruktur vorherrscht. Diesbezüglich erweist sich die

Vektoriteration oder Bisek-

tionsmethode

als am zweckmäßigsten.

x Eine besondere Klasse von iterativen Lösungsverfahren (z. B. Koordinatenüberrelaxa-

tion

) nutzt die schwache Besetzung der Matrizen aus oder operiert nur mit den von null

verschiedenen Koeffizienten. Bei diesem Verfahren ist zwar der Speicherbedarf am ge-

ringsten, aber der Rechenaufwand relativ hoch.

x Des Weiteren kann der allgemeine Fall vorkommen, dass Eigenwerte eines Systems be-

stimmt werden müssen, welches selbst noch Starrkörperbewegungen (z. B. Flugzeug,

Satellit etc.) vollführt. Die Matrix

K (z. B. Lanczos-Verfahren) ist dann singulär. Der-

artige Probleme werden numerisch durch eine Spektralverschiebung gelöst, in dem die

Matrix mit Faktoren multipliziert werden, die letztlich zu denselben Eigenwerten führen.

Dieses Verfahren kann auch auf statisch bestimmte Strukturen angewandt werden.

Bei einigen Programmsystemen kann der Anwender direkten Einfluss auf das zu wählende

Verfahren nehmen und somit den Speicherbedarf und die Rechenzeit optimieren. Falls dies

nicht möglich ist, wählen die Programme bevorzugt die Vektoriteration, oder wenn es insge-

samt wirtschaftlicher (kleiner 1.000 FHGs) ist, das Householder-Verfahren.

Im folgenden Beispiel ist exemplarisch eine Stahlbaubrücke hinsichtlich der Eigenfrequen-

zen und Eigenschwingungsformen untersucht worden. Die Struktur hat insgesamt

1628



Freiheitsgrade, von denen vier FHGs gebunden sind. Frei sind somit 1226  Freiheits-

grade. Für eine Struktur können so viele Eigenfrequenzen berechnet werden, wie Freiheits-

grade vorliegen, also hier 12 Eigenfrequenzen. Praxisrelevant sind meist die ersten Eigenfre-

quenzen, weshalb in der Rechnung auch nur vier Werte berechnet wurden. Anhand der

9 FEM-Ansatz für dynamische Probleme 222

Eigenschwingungsformen ist weiter feststellbar, wann die Biege- und Längsschwingung an-

geregt werden.

= 45,3251 Hz

= 93,49 Hz

= 161,331 Hz

= 117,947 Hz

13578

Bild 9.11: Eigenschwingungen einer Stahlbaubrücke

An den Schwingungsformen erkennt man, dass zunächst die Biegeeigenfrequenz angeregt

wird, bevor als 2. und 3. Eigenfrequenz die Longitudinalschwingungen ansprechen. Dieses

ist oft zu beobachten, woraus geschlossen werden kann, dass Systeme in der Regel steifer

gegenüber den Längsschwingungen sind.

Des Weiteren sollen an diesem Beispiel überprüft werden, ob sich größere numerische

Unterschiede bei der Eigenfrequenzberechnung ergeben, wenn unterschiedliche Lösungs-

verfahren gemäß der vorstehenden Auflistung gewählt werden. Bei der vorliegenden Anzahl

von Freiheitsgraden (also kleiner Umfang) machen sich Unterschiede erst in der zweiten

Kommastelle bemerkbar, sodass man in etwa prognostizieren kann, dass bei kleiner 1.000

FHGs das Lösungsverhalten keine maßgebliche Rolle spielt.

9.4.3 Statische Reduktion nach Guyan

In der Regel liegen einem Netzaufbau statische Vorgaben zu Grunde, weshalb oft sehr fein

idealisiert wird. Es ist in der Regel aber nicht notwendig, mit diesen in die Hunderte oder

Tausende gehenden Freiheitsgraden auch eine Eigenwertanalyse gemäß den vorausgegan-

genen Lösungskonzepten vornehmen zu wollen. Gefragt ist daher eine Technik, die mit

möglichst wenigen Freiheitsgraden zu einer guten Aussage kommt.

Für diese Problemstellung hat sich in der Praxis die so genannte Reduktion nach

Guyan be-

währt, die mit wenigen Freiheitsgraden meist den unteren Frequenzbereich gut absichert.

Um dieses Verfahren darstellen zu können, wählen wir das einfache Beispiel eines Balken-

schwingers nach Bild 9.12

9.4 Eigenschwingungen ungedämpfter Systeme

223

Bild 9.12: Statische Reduktion am Balkenschwinger /ARG 88/

a) Gesamtsystem mit 4 x 3 = 12 FHGs

b) auf 2 FHGs reduziertes System zur Annäherung der Längsschwingungen

c) auf 2 FHGs reduziertes System zur Annäherung der Biegeschwingungen

Im Beispiel sei angenommen, dass mit

2-D-Balken-Elementen, die je Knoten 3 FHGs auf-

weisen, idealisiert wurde. Das System kann somit Längs- und Biegeschwingungen durch-

führen, die auch getrennt auswertbar sind.

Stellt man sich beispielsweise die Aufgabe, die Eigenfrequenzen des Balkenschwingers zu

ermitteln, so können mit den vier x-Freiheitsgraden





uu ,," genau vier Longitudial-

Eigenfrequenzen und mit den vier z-Freiheitsgraden





ww ,," weitere vier Transversal-

Eigenfrequenzen bestimmt werden. Interessieren hingegen nur jeweils die ersten beiden

Eigenfrequenzen, so kann das System kondensiert werden auf zwei entkoppelte x- und z-

Freiheitsgrade.

Im umseitigen Bild 9.13

ist eine derartige Analyse an dem Balkenschwinger durchgeführt

und ausgewertet worden.

Werden alle 12 FHGs im Modell zugelassen, so ergibt sich bei der Biegeschwingung nur ein

relativ geringer Fehler von

max

F = 1,45 % zu der Kontinuumslösung. Bei der Längsschwin-

gung ist dieser Fehler mit

max

F = 19,14 % deutlich größer. Im unteren Frequenzbereich sind

die Lösungen allerdings dicht beisammen.

Aus dieser Vorbetrachtung kann geschlossen werden, dass für das gezeigte Beispiel eine

Analyse mit jeweils zwei FHGs hinreichend genau sein müsste, wie die Auswertung auch

bestätigt. Sind Strukturen hingegen größer, so sollten erfahrungsgemäß etwa 1/4 bis 1/3 der

Knoten freigegeben werden. Erfahrungsgemäß bewegt sich dann der maximale Fehler

kleiner 7 %, was an einem Satellitengehäuse nachgewiesen werden konnte.

9 FEM-Ansatz für dynamische Probleme 224

3 54

J,A,E,

m10

/mNs1072ȡ

N/m107E

210





Kontinuum

Biegeschwingung Längsschwingung

Z = 179 Hz

= 1.121 Hz

= 3.141 Hz

= 6.156 Hz

Z = 7.998 Hz

= 23.994 Hz

= 39.991 Hz

= 55.987 Hz

kondensiertes FE-Modell

Biegeschwingung (w) Längsschwingung (u)

12 FHGs

Z = 179 Hz

Z = 1.123 Hz (F = 0,12 %)

Z = 3.165 Hz (F = 0,77 %)

Z = 6.245 Hz (F = 1,45 %)

= 8.049 Hz (F = 0,64 %)

Z = 25.393 Hz (F = 5,83 %)

Z = 46.128 Hz (F = 15,35 %)

Z = 66.705 Hz (F = 19,14 %)

2 FHGs

Z = 179 Hz (F = 0,17 %)

Z = 1.134 Hz (F = 1 %)

= 8.204 Hz (F = 2,59 %)

Z = 28.663 Hz (F = 19,46 %)

Bild 9.13:

Eigenfrequenzbestimmung am eingespannten Balken (nach /ARG 88/)

a) exakte Kontinuumslösung

b) Lösung des kondensierten Systems

Für die bisher nur verbal beschriebene Vorgehensweise wollen wir nun einen einfachen

Algorithmus entwickeln. Dieser geht davon aus, dass in einer Struktur zwei Gruppen von

Freiheitsgraden vereinbart werden können, und zwar

9.4 Eigenschwingungen ungedämpfter Systeme

225

- zu eliminierende (sekundäre) Freiheitsgrade, hier bezeichnet als

U ,

und

- beizubehaltende (primäre) Freiheitsgrade, hier bezeichnet als

U .

Um eine Beziehung zwischen diesen beiden Freiheitsgraden herstellen zu können, muss

sichergestellt werden, dass an den zu eliminierenden Freiheitsgraden

U keine äußeren

Kräfte angreifen. Gewöhnlich kann dies durch eine geeignete Vernetzung erreicht werden.

Insofern kann man die Guyan-Reduktion auch als Interpolation der Schwingung mit der Bie-

gelinie interpretieren. Für die statische, finite Systemgleichung kann somit angesetzt werden:



eeec

cecc

. (9.57)

Löst man die beiden Gleichungen auf, so führt dies bekanntlich zu

eeecec

cececcc

0UKUK

PUKUK







(9.58)

Aus der letzten Gleichung können dann mit

cec

eee

UKKU 



(9.59)

die zu eliminierenden Freiheitsgrade bestimmt werden. Der Verschiebungsvektor ist dem-

nach auch als Reduzierungsansatz

ccc

eecec

UTU

UKK

U  





{



(9.60)

darstellbar. Berücksichtigt man dies in Gl. (9.29), so liegt mit

0UTKÜTM 

cccc

(9.61)

jetzt eine auf die primären Freiheitsgrade reduzierte DGL für das Eigenschwingungsproblem

vor. Macht man jetzt weiter mit Gl. (9.30) einen Lösungsansatz für

U , so führt dies wieder

zu der Gleichung

0XTKTM Z

ccc

. (9.62)

Diese Gleichung wollen wir nun zusätzlich mit

vormultiplizieren, womit man dann

0XTKTTMT Z

bzw. mit symmetrischen Matrizen

9 FEM-Ansatz für dynamische Probleme 226

0XKM Z

(9.63)

erhält. Dieses Gleichungssystem stellt wieder das einfache lösbare Standardeigenwertprob-

lem dar, für das vorstehend bereits die Lösungen angegeben wurden.

Um die Nutzanwendung der Kondensation noch einmal real demonstrieren zu können, wäh-

len wir die zuvor schon analysierte Stahlbaubrücke. Bei dem verwendeten Guyan-Prozessor

lassen sich Knoten oder Knotengruppen direkt ansprechen und auf diese Knoten Richtungs-

vektoren aufsetzen. Insofern gelingt es also, große Systeme deutlich zu verkleinern, ohne

eine maßgebliche Ergebnisverschlechterung hinnehmen zu müssen.

Im Bild 9.14 ist bewiesen, dass trotz der Kondensation der überwiegenden Anzahl der Kno-

ten (d. h. frei sind nur noch die Knoten f und g) dennoch die Schwingungsgrundformen

gut mit den Eigenschwingungen im Bild 9.11 übereinstimmen, wenn die physikalisch zuläs-

sigen Schwingungsrichtungen miteinander gekoppelt werden.

= 47,24919 Hz

= 108,1544 Hz

= 277,4808 Hz

= 150,85258 Hz

13578

Bild 9.14: Kondensierte Lösung für die Stahlbaubrücke

Bei den ersten beiden Eigenfrequenzen treten hingegen Abweichungen in der Größenord-

nung von 4,2 % bzw. 15,7 % auf, die sich weiter reduzieren lassen, wenn zusätzliche Frei-

heitsgrade freigegeben werden.

9.5 Freie Schwingungen

Als Ergänzung zu dem vorausgegangenen Eigenschwingungsproblem wollen wir nun weiter

der Frage nachgehen, wie bei der freien Schwingung spezielle Anfangsbedingungen (Ver-

schiebungen, Geschwindigkeiten, Beschleunigungen zu einem Startzeitpunkt) zu behandeln

9.5 Freie Schwingungen

227

sind. Hierbei besteht weiter die Einschränkung, dass keine Anregungen durch äußere Kräfte

vorliegen.

Zu diesem Zweck gehen wir wieder von folgender Schwingungsdifferenzial-Gleichung aus:







sssu

usuu

sssu

usuu

0Ü

. (9.64)

Dieses Gleichungssystem reduzieren wir jetzt auf die unbekannten Verschiebungen zu

0UKÜM 

uuuuuu

und zu den Auflagerkräften

usuusus

UKÜMF  . (9.65)

Wurde dabei von der Reduktion nach Guyan Gebrauch gemacht, so muss man stattdessen

von Gleichung

0UKÜM 

cccccc

(9.66)

ausgehen.

Des Weiteren nehmen wir an dieser Stelle an, dass für die zu betrachtende Struktur schon

eine Eigenwertberechnung durchgeführt wurde und alle Eigenvektoren bekannt sind. Als be-

sonders zweckmäßig hat es sich hierbei erwiesen, das allgemeine Schwingungsproblem in

diesen Eigenvektoren zu entwickeln. Wir machen dazu folgende Variablensubstitution:

    

ttttt ȘXȘxȘxȘxU 







nxnx2211u

" . (9.67)

Ist die Anzahl

n der Eigenvektoren gleich der Anzahl der gesamten Eigenvektoren, dann

ist die vorstehende Substitution exakt. Werden weniger Eigenvektoren benutzt (dynamische

Reduktion), stellt die vorstehende Entwicklung dennoch eine brauchbare Näherung dar.

Setzt man nun Gl. (9.67) in Gl. (9.65) oder (9.66) ein und multipliziert noch mit

X vor, so

erhält man

>@>@

0ȘXKXȘXMX 



. (9.68)

Im Kapitel 9.4.1 wurde des Weiteren schon festgestellt, dass die Eigenvektoren die Massen-

und Steifigkeitsmatrix diagonalisieren, womit sich so für Gl. (9.68) ergibt





ȘȁȘ



. (9.69)

Entwickelt man nun diese Gleichung, so ergeben sich Einzelgleichungen von der Form

Klein B. FEM: Grundlagen und Anwendungen der Finite-Element-Methode im Maschinen - und Fahrzeugbau

Подождите немного. Документ загружается.