Klein B. FEM: Grundlagen und Anwendungen der Finite-Element-Methode im Maschinen - und Fahrzeugbau
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8 Kontaktprobleme
198
den Segmentkräfte
1i
N
F
und
1i
R
F
resultieren aus den Kontakt-Knotenpunktkräften
1i'
Ȝ
tt
(Bild 8.9). Es gilt somit, eine Beziehung zwischen diesen herzustellen.
k-1
K-1
K
k+1
k
1i
k
ǻ
Ȝ
tt
In erster Näherung geht man von einer linearen Verteilung der Segmentkräfte aus. Bild 8.10
zeigt die Verteilung der Segmentkräfte am einzelnen Segment K.
K
k+1
k
r
s
)1i(
K,R
F
)1i(
1k,R
f
)1i(
1k,N
f
1i
K,R
rf
1i
K,N
rf
)1i(
k,R
f
)1i(
k,N
f
)1i(
K,N
F
K
k+1
k
r
s
Bild 8.10:
Segment-Kontaktpressungen und resultierende Segmentkräfte am Kontaktseg-
ment K
Die Segmentkräfte
1i
K,N
F
und
1i
K,R
F
sind die Resultierenden der linear verteilten
Segment-Kontaktpressungen (Kraft pro Fläche). Damit gilt im lokalen r-, s-Koordinatensys-
tem
1i
1k,N
1i
k,N
1i
K
1i
K,N
ffd
2
h
F
und
1i
1k,R
1i
k,R
1i
K
1i
K,R
ffd
2
h
F
, (8.43)
worin h die Dicke des ebenen Kontaktelements bezeichnet.
Im Sinne der Finite Element Methode sind die beiden äußeren Segment-Kontaktpressungen
1i
K,N
)r(f
und
1i
K,R
)r(f
konsistent mit der Verschiebungsinterpolationsfunktion auf
die Elementknoten k und k + 1 zu verteilen. Die sich daraus ergebenden konsistenten
Bild 8.9:
Kontakt-Knotenpunktkraft am Kontakt-
knoten k
8.3 Lösung zweidimensionaler Kontaktprobleme
199
Knotenpunktkräfte zweier benachbarter Segmente K - 1 und K bilden die Kontakt-Knoten-
punktkraft
1i'
Ȝ
tt
am Knoten k. Den 2-knotigen finiten Kontaktelementen liegt eine
lineare Interpolationsfunktion zu Grunde. Entsprechend Gl. (3.36) gilt für die konsistenten
Knotenpunktkräfte
1i
K
R am Kontaktsegment K im lokalen r-, s-System
drrrh
1i
K
1i,t
1i
K
d
0
1i
K
³
fGR (8.44)
mit
1i
K
K
K
K
1i,t
1i
1k,R
k,R
1k,N
k,N
1i
K
d
r
0
d
r
10
0
d
r
0
d
r
1
r,
R
R
R
R
»
»
»
»
»
»
»
»
»
¼
º
«
«
«
«
«
«
«
«
«
¬
ª
»
»
»
»
»
»
¼
º
«
«
«
«
«
«
¬
ª
GR ,
1i
1k,R
K
k,R
K
1k,N
K
k,N
K
1i
K,R
K,N
1i
K
f
d
r
f
d
r
1
f
d
r
f
d
r
1
rf
rf
r
»
»
»
»
¼
º
«
«
«
«
¬
ª
¸
¹
·
¨
©
§
¸
¹
·
¨
©
§
»
»
»
¼
º
«
«
«
¬
ª
f .
Mit Gl. (8.44) und etwas Aufwand berechnet man die konsistenten Knotenpunktkräfte am
Segment K zu
1i
1k,Rk,R
1k,Rk,R
1k,Nk,N
1k,Nk,N
K
1i
K
3
f
6
f
6
f
3
f
3
f
6
f
6
f
3
f
dh
»
»
»
»
»
»
»
»
»
»
¼
º
«
«
«
«
«
«
«
«
«
«
¬
ª
R
. (8.45)
Die Kontakt-Knotenpunktkraft
1i
k
'
Ȝ
tt
am Knoten k erhält man durch Überlagerung
der konsistenten Knotenpunktkräfte der Segmente K - 1 und K. Dazu werden zuerst die kon-
sistenten Knotenpunktkräfte vom lokalen r-, s-System ins globale x-, y-System transfor-
miert:
8 Kontaktprobleme
200
1i
k,y1k,y
k,y1k,y
k,x1k,x
k,x1k,x
1K
1i
k,y
1k,y
k,x
1k,x
1i
1K
3
f
6
f
6
f
3
f
3
f
6
f
6
f
3
f
dh
R
R
R
R
»
»
»
»
»
»
»
»
»
»
¼
º
«
«
«
«
«
«
«
«
«
«
¬
ª
»
»
»
»
»
»
»
»
»
¼
º
«
«
«
«
«
«
«
«
«
¬
ª
R
,
1i
1k,yk,y
1k,yk,y
1k,xk,x
1k,xk,x
K
1i
1k,y
k,y
1k,x
k,x
1i
K
3
f
6
f
6
f
3
f
3
f
6
f
6
f
3
f
dh
R
R
R
R
»
»
»
»
»
»
»
»
»
»
¼
º
«
«
«
«
«
«
«
«
«
«
¬
ª
»
»
»
»
»
»
»
»
»
¼
º
«
«
«
«
«
«
«
«
«
¬
ª
R
und anschließend für den Knoten k überlagert:
1i
K
K1K
1K
1i
1kyky1ky
1kxkx1kx
1i
k
Ky1Ky
Kx1Kx
1i
k
y
x
1i
k
6
d
3
dd
6
d
fff
fff
h
RR
RR
'
'
»
»
»
»
»
»
¼
º
«
«
«
«
«
«
¬
ª
»
»
¼
º
«
«
¬
ª
»
»
¼
º
«
«
¬
ª
»
»
¼
º
«
«
¬
ª
O
O
,,,
,,,
,,
,,
ǻ
tt
tt
!
.
(8.46)
Die Gl. (8.43) bis (8.46) sind die gesuchten Beziehungen zwischen den Kontakt-Knoten-
punktkräften
1i'
Ȝ
tt !
und den Segmentkräften am Kontaktkörper
1i
N
F
und
1i
R
F
.
Der Kontakt-Knotenpunkt-Kraftvektor
1i'
Ȝ
tt
ist nach der Iteration i - 1 bekannt. Dann
ist man mithilfe der Gl. (8.43) und (8.46) in der Lage, die Segmentkräfte
F
N
i1
und
F
R
i1
zu berechnen. Das Coulomb‘sche Reibgesetz schließlich ermöglicht eine Aussage
über den Zustand des Segments:
1. Ist
0F
1i
K,N
, so wirken auf das Kontaktsegment K keine Segmentkräfte. Das Seg-
ment K hat nach der Iteration i - 1 den Zustand
kein Kontakt. Da aber der Vektor
1i
k,c
'
R
tt
noch die Werte der Iteration i - 1 enthält, sind diese für die Iteration i auf
8.3 Lösung zweidimensionaler Kontaktprobleme
201
den neuen Stand zu bringen. Die Kontaktpressungen
1i
K,N
rf
und
1i
K,R
rf
der
kontaktlosen Segmente werden auf null gesetzt, d. h.
0rf;0rf
1i
K,R
1i
K,N
. (8.47)
Entsprechend sind dann über die Gl. (8.43) und (8.46) die Kontakt-Knotenpunktkräfte
1i
k,c
'
R
tt
in Gl. (8.25) anzupassen.
2. Ist
1i
K,Ns
1i
K,R
FF
Pd , so ist die tangentiale Segmentkraft kleiner als die Haft-
grenze. Das Kontaktsegment K befindet sich nach der Iteration i - 1 im Zustand
Haften.
3. Ist
1i
K,Ns
1i
K,R
FF
P! , so überschreitet die tangentiale Segmentkraft die Haft-
grenze. Das Kontaktsegment K bekommt nach der Iteration i - 1 den Zustand
Gleiten zu-
gewiesen. Auch in diesem Fall sind die Kontakt-Knotenpunktkräfte
1i
k,c
'
R
tt
für
die Iteration i anzupassen. Beim Gleiten wird die Beziehung
1i
K,Ns
1i
K,R
FF
P (8.48)
erfüllt, die Reibkraft hängt also direkt von der Normalkraft ab. Während für die Normal-
pressung
1i
K,N
rf
weiterhin die lineare Verteilung nach Bild 8.10 (rechts) gilt, wird
für die Reibpressungsverteilung
1i
K,R
rf
eine konstante Verteilung angenommen,
welche die Gl. (8.48) erfüllt. Sie wird erfüllt, wenn gilt
2
ff
f
1i
1k,N
1i
k,N
d
1i
K,R
P
= const. (8.49)
Hiermit sind dann über die Gl. (8.43) bis (8.46) die Kontakt-Knotenpunktkräfte
1i
k,c
'
R
tt
anzupassen.
Mit der Kenntnis der Zustände der Kontaktsegmente können nach Bild 8.8
die Zustände der
Knoten am Kontaktkörper ermittelt werden. Die Zustände der Kontaktknoten nach der Itera-
tion i - 1 bestimmen schließlich darüber, welche Matrizen
1i
j
'
N
tt
für die Iteration i in
das Hauptgleichungssystem (8.25) einzubauen sind.
Damit ist die Lösungsmethode zur Behandlung von quasistatischen Kontaktproblemen vom
Grundsatz her erläutert. Die Lösungsalgorithmen in den geläufigen kommerziellen Pro-
grammsystemen bauen in etwa auf der hier dargelegten Theorie – mit einigen Modifika-
tionen – auf.
9 FEM-Ansatz für dynamische Probleme 202
9 FEM-Ansatz für dynamische Probleme
Zuvor wurde die Anwendung der Finite-Element-Methode in der Elastostatik begründet.
Viel mehr Probleme des Maschinen- und Fahrzeugbaus sind aber dynamischer Natur, d. h.
zeitabhängigen Belastungen F(t), p(t) und/oder q(t) unterworfen. Demzufolge sind auch die
auftretenden Verschiebungen u(x, y, z; t), v(x, y, z; t), w(x, y, z; t) nicht nur Funktionen des
Ortes, sondern auch der Zeit. Zwangsläufig gilt dies dann auch für die Verzerrungen İ (x, y,
z; t) und die Spannungen ı (x, y, z; t). Unter Berücksichtigung dieser Verhaltensweise wol-
len wir nachfolgend einige einfache Grundprobleme der Dynamik und deren Bearbeitung
mit der Finite-Element-Methode (s. auch /PRZ 68/) aufgreifen.
9.1 Virtuelle Arbeit in der Dynamik
In Bild 9.1 sei ein beliebiger elastischer Körper unter verschiedenen periodischen Kräften
dargestellt. Durch diese Art der Krafteinwirkung wird der Körper in einen Schwingungs-
zustand versetzt, wodurch die Verschiebungen zeitabhängig werden.
x, u
y, v
F
(x, y; )
t
p
(x, y; )
t
q
(x, y; )
t
p
x
p
y
J
u
.
.
U
ü
.
J
v
.
.
U
v
.
.
.
»
¼
º
«
¬
ª
k
k
k
v
u
d
Bild 9.1: Beliebiger Körper unter dynamischer Lasteinwirkung
Ein Körper ist bekanntlich dann im statischen Gleichgewicht, wenn die innere virtuelle
Arbeit
³
G
V
t
i
dVįW ıİ (9.1)
und die äußere virtuelle Arbeit
0dįdVįįW
0
t
t
V
t
a
qupuFu G
³³
(9.2)
9.1 Virtuelle Arbeit in der Dynamik
203
gleich groß sind. Um dieses Gleichgewicht in der Dynamik herzustellen, muss jetzt gemäß
des d'Alembert‘schen Prinzips die äußere virtuelle Arbeit noch um die Trägheits- und Dämp-
fungskräfte erweitert werden. Somit gilt folgende Bilanz:
dVįȖdVįȡįWW
t
V
t
V
ai
uuüu
G
³³
. (9.3)
Die eigentlich für kontinuierliche Verhältnisse gültige Gl. (9.3) muss nun wieder in ein
diskretes Gleichungssystem überführt werden. Hierzu führen wir in bekannter Weise einen
Verschiebungsansatz, und zwar jetzt in der folgenden Form ein:
tz,y,x;z,y,x dGu t . (9.4)
Wie man hieran erkennt, definieren wir die Formfunktionen ortsabhängig und die Knoten-
punktverschiebungen zeitabhängig. Um diesen Ansatz einsetzen zu können, müssen noch
folgende Beziehungen gebildet werden:
die Variation der Verschiebungen als
dGu G
G ,
die Variation der Verzerrungen zu
t
tttt
įįį GDdDuİ
und
die Spannungen zu
dGDEİEı
.
Führt man nun diese Beziehung in Gl. (9.3) ein, so folgt
.dVȖįdVȡį
0dįdVįįdV
t
V
t
V
tt
0
tt
V
tttt
V
t
t
dGGddGGd
qGdpGdFGddGDEGDd
G
³³
³³³
(9.5)
Schaut man sich diese Gleichung näher an, so kann man hierin die Schwingungsdifferenzial-
Gleichung
0pdkdcdm
ˆ
(9.6)
erkennen. Dabei sind folgende Zuweisungen vorgenommen worden:
9 FEM-Ansatz für dynamische Probleme 204
als Elementmassenmatrix
dV
t
V
GGm U
³
, (9.7)
als Elementdämpfungsmatrix
dVȖ
t
V
GGc
³
, (9.8)
als Elementsteifigkeitsmatrix (s. auch Gl. (3.36))
dV
t
V
GDEGDk
³
(9.9)
und
als resultierender Knotenkraftvektor
0ddV
t
0
t
V
t
qGpGFGp
ˆ
³³
. (9.10)
Ohne weiter auf den Zusammenbau dieser Elementgrößen (identisch zu Kapitel 5.3.3) zu
dem Gesamtsystem
PUKUCÜM
(9.11)
eingehen zu wollen, wenden wir uns im Weiteren der Erstellung der Massenmatrix, Dämp-
fungsmatrix
*)
und der Lösung der Gl. (9.11) zu.
9.2 Elementmassenmatrizen
Im folgenden Kapitel wollen wir zunächst einige ausgesuchte Elementmassenmatrizen auf-
stellen, um den Zusammenhang zu Kapitel 7 herstellen zu können. Diese Massenmatrizen
heißen konsistent, weil die kontinuierlich über das Element verteilte Masse gemäß den
statischen Ansatzfunktionen auf alle Knotenfreiheitsgrade verteilt wird. Im Gegensatz hierzu
führen verteilte Punktmassen zu diagonalen Massenmatrizen /ARG 88/.
Die Diskretisierung und Diagonalisierung der Gl. (9.11) werden wir im späteren Kapitel 9.4
als ein wichtiges Lösungsprinzip der Schwingungslehre kennen lernen.
*)
Anmerkung: Bei der Formulierung der Elementdämpfungsmatrix ist bisher vorausgesetzt, dass die
Dämpfung kontinuierlich über alle Elemente verteilt ist.
9.4 Eigenschwingungen ungedämpfter Systeme
205
9.2.1 3-D-Balken-Element
Im Kapitel 5.3 wurden mit Gl. (5.15), (5.27) und Gl. (5.63) bereits die Massenträgheiten für
die verschiedenen Elementfreiheitsgrade des
Balken-Elements (s. auch Bild 9.2) hergeleitet.
u
1
v
1
E, A, J , L
t
y
z
x
..
w
1
..
\
y1
..
..
)
1
..
\
z1
..
Q()
z
t
M()
y
t
N( )
t
M()
z
t
Q()
y
t
T( )
t
c
d
Bild 9.2: Dynamische Freiheitsgrade am Balken-Element
Wie bei der Steifigkeitsmatrix gewinnen wir auch die konsistente Elementmassenmatrix
durch einfache Freiheitsgrad-Überlagerung. Man entnehme dies der folgenden Aufstellung
/LIN 89/.
1
ü
1
)
1
v
1z
\
1
w
1y
\
2
ü
2
)
2
v
2z
\
2
w
2y
\
1
a b
1
ü
2
c d
1
)
3
156e 22eL 54e -13eL
1
v
4
22eL
4
2
eL
13eL
-3
2
eL
1z
\
5
156e 22eL 54e -13eL
1
w
m = 6
22eL
4
2
eL
13eL
-3
2
eL
1y
\
7
b a
2
ü
8
d c
2
)
9
156e -22eL
2
v
10
3
LA
a
U
,
6
LA
b
U
,
3
LJ
c
t
U
-22eL
4
2
eL
2z
\
11
156e -22eL
2
w
12
6
LJ
d
t
U
,
420
LA
e
U
-22eL
4
2
eL
2y
\
(9.12)
9 FEM-Ansatz für dynamische Probleme 206
Für diese Matrix treffen wieder die charakteristischen Merkmale wie die der Symmetrie, der
Bandstruktur und der dünnen Besetzung zu.
Vernachlässigt wurde bisher die Drehträgheit, die aber durch Elementrotation, beispiels-
weise bei sehr hochkantigen oder schubweichen Querschnitten, einen Einfluss auf die
Schwingung hat. Dieser Effekt ist prinziphaft im Bild 9.3
dargestellt. In der Regel wirkt sich
dies auf die Längsverschiebung so gut wie gar nicht aus; hingegen wird die Biegeamplitude
etwas verstärkt.
x, u
z, w(t)
p dx
z
P\
dx
P
w dx
P
u dx
..
..
..
Um nun den Trägheitseffekt berücksichtigen zu können, muss die Verschiebungsbeziehung
wie folgt modifiziert werden:
wzut,xu
t
c
, (9.13)
d. h., die Längsverschiebung muss zusammengesetzt werden aus der axialen Verschiebung
der Balkenmittelachse und der Querschnittsneigung. Demzufolge ist der Verschiebungszu-
stand eines Elementes wie folgt anzusetzen:
dGw
»
¼
º
«
¬
ª
w
u
mit
>
@
c
c
222111
t
wwuwwud (9.14)
und
»
»
»
»
»
¼
º
«
«
«
«
«
¬
ª
¸
¸
¹
·
¨
¨
©
§
¸
¸
¹
·
¨
¨
©
§
¸
¸
¹
·
¨
¨
©
§
¸
¸
¹
·
¨
¨
©
§
¸
¸
¹
·
¨
¨
©
§
¸
¸
¹
·
¨
¨
©
§
¸
¹
·
¨
©
§
L
L
x
L
x
L
x2
L
x3
0L
L
x
L
x2
L
x
L
x2
L
x
3
10
L
L
x3
L
x2
z0
L
x
L
L
x3
L
x4
L
1
z0
L
x
-1
3
3
2
2
3
3
2
2
3
3
2
2
3
3
2
2
3
2
23
2
2
G
.
(9.15)
Zweckmäßig ist es jetzt, die Ansatzfunktionsmatrix G in einen translatorischen
t
G und
einen rotatorischen
r
z G Anteil aufzuspalten. Damit ergibt sich die Massenmatrix zu
dxdAzz
rt
t
AL
rt
GGGGm U
³³
,
Bild 9.3:
Effekt der Drehträgheit von
Massekörper auf die Biege-
amplitude
9.4 Eigenschwingungen ungedämpfter Systeme
207
welche ausformuliert werden kann zu
dxdAzdAzA
L
oA
2
r
t
r
0
A
t
t
rr
t
tt
t
t
³³³
»
»
»
»
¼
º
«
«
«
«
¬
ª
U
GGGGGGGGm
. (9.16)
Hierin bezeichnen bekanntlich
istullngleichtSchwerpunkdenumwelchesMoment,
statischegenanntesodasoderentSchweremomdas
0dAzS
A
y
³
und
³
A
2
y
dAzJ das Flächenträgheitsmoment.
Nach Durchführung der Matrizenmultiplikationen und der Integration führt dies auf
»
»
»
»
»
»
»
¼
º
«
«
«
«
«
«
«
¬
ª
¸
¸
¹
·
¨
¨
©
§
U
»
»
»
»
»
»
»
¼
º
«
«
«
«
«
«
«
¬
ª
U
2
22
2
y
2
22
L4.sym
L336
000
LL30L4
L3360L336
000000
LA
J
30
LA
L4.sym
L22156
00140
L3L130L4
L13540L22156
007000140
420
LA
m
(9.17)
Bei diesem Ansatz ist die Drehträgheit ausschließlich den Biegefreiheitsgraden zugeschlagen
worden. Gewöhnlich wird der Drehträgheitsanteil vernachlässigt.
9.2.2
Endmassenwirkung
In schwingfähigen Strukturen, und zwar bevorzugt Wellensysteme, müssen oft auf elasti-
schen Gliedern diskrete Einzelmassen wie Zahnräder, Kupplungen oder Schwungräder auf-
gebracht werden. Diese konzentrierten Einzelmassen verändern im Wesentlichen die schwin-
gende Masse und haben keinen oder nur einen sehr geringen Einfluss auf die Steifigkeit
.