Klein B. FEM: Grundlagen und Anwendungen der Finite-Element-Methode im Maschinen

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7 Elementkatalog für elastostatische Probleme

178

332211

wuwuwu d (7.178b)

für die drei Umfangskreise des Dreieck-Elementes bzw. für einen Knotenkreis

wu d .

Die Formfunktionsmatrizen fallen dabei je Knotenkreis an und sind von der Bauform

G , i = 1, 2, 3 (7.178c)

mit den zu Gl. (7.15) im Kapitel 7.2.2 (

Dreieck-Scheiben-Element) ähnlichen Formfunktio-

nen



zcrba

iiii

 . i = 1, 2, 3 . (7.179)

Die hier eingehenden Koeffizienten (s. auch Gl. (7.13)) müssen ebenfalls an das neue Koor-

dinatensystem angepasst werden, sie lauten jetzt

,rrc

,zzb

,zrzra

.jki

kji

jkkji





(7.180)

wobei die Indizes zyklisch laufen:

i, j, k = (1, 2, 3), (2, 3, 1), (3, 1, 2).

Auch der in Gl. (7.179) eingehende Flächeninhalt des Dreiecks kann wieder über die Koor-

dinatendeterminante



213132321

zzrzzrzzr

zr1

detA2  (7.181)

bestimmt werden, womit dann der Ansatz vollständig beschrieben ist.

Für die Verzerrungen gilt auch hier wieder der Zusammenhang

dBdGDuDİ   

. (7.182)

Damit kann unter Heranziehung der schon in Gl. (7.175) aufgestellten Differenzialoperato-

renmatrix mit Durchführung der Differenziationen auch die

B-Matrix erstellt werden, und

zwar hier zweckmäßig je Knotenkreis zu

7.6 Kreisring-Elemente

179

3,2,1i,





. (7.183)

Für die Spannungen ergibt sich so ebenfalls wieder

dBEİEı   . (7.184)

Da, wie aus Gl. (7.183) ersichtlich wird, die

B-Matrix jetzt nicht mehr wie beim Dreieck-

Scheiben-Element konstant, sondern von den Koordinaten r und z abhängig ist, sind natür-

lich auch die Verzerrungen und Spannungen im Element veränderlich.

Wie jetzt aus den Gleichungen (7.175) und (7.183) ersichtlich wird, liegt auch beim

Kreis-

ring-Dreieck-Element in ebenen Schnitten ein konstanter Dehnungs- und Spannungszustand

vor. Für die Angabe dieser Werte wählen deshalb die Softwarepakete meist den Flächen-

schwerpunkt oder die Knotenkreise aus.

Die Elementsteifigkeit des

Kreisring-Dreieck-Elementes kann weiter in bekannter Weise an-

gesetzt werden zu

BEBk 

woraus mit dV = 2 S

r dA = 2 S

dz folgt

 

dzdrrzr,zr,ʌ2



³³

BEBk

. (7.185)

Um sich die erforderliche Integration zu erleichtern, nutzt man auch hier vielfach die Nähe-

rung, indem man sich auf den Schwerpunkt bezieht und die Koordinaten folgendermaßen

mittelt:

r, z

¦¦

. (7.186)

Hiermit folgt dann für die Elementsteifigkeitsmatrix

rAʌ2

| BEBk . (7.187)

7 Elementkatalog für elastostatische Probleme

180

Als ein weiteres Problem muss noch kurz die Krafteinleitung bezüglich Massenkräfte und

Oberflächenkräfte diskutiert werden.

Eine verteilte Massenkraft

 

r,zpr,zp

p (7.188)

ist dann folgendermaßen als konzentrierte Kraft

³³



dzdrrpʌ2F pG

(7.189)

oder je Knotenkreis mit

³³



ipi

dzdrrʌ2F pG

(7.190)

einzuleiten. Näherungsweise kann eine konstante Massenkraft auch gleichmäßig auf die

Knotenkreise zu

2FFF

3p2p1p



S|

p (7.191)

aufgeteilt werden. Ähnlich ist zu verfahren, wenn Oberflächenkräfte an einem Rand wie im

Bild 7.48

wirken.

Bild 7.48: Einleitung von radialen oder axialen Oberflächenkräften an einem Ring-Element

Mit den Oberflächenkräften

 

z,rqz,rq

q (7.192)

folgt

7.6 Kreisring-Elemente

181

,0F

(7.193)

R2FF

3q2q



S

(7.194)

Ein typisches Beispiel für die Anwendung von Kreisring-Elementen sind dickwandige Rohr-

leitungen. Im Bild 7.49

ist die Situation in einer Druckwasserleitung eines Kraftwerkes dar-

gestellt. Druckbeaufschlagte Rohre können im Allgemeinen recht gut analytisch behandelt

werden, weswegen das Beispiel nur der Konvergenzüberprüfung von linearen und quadra-

tischen

Kreisring-Dreieck-Elementen dient.

6,307

313

6,99

1,87

mm/N100p

mm35r

mm25r

mm/N308exakt

mm/N100exakt

Bild 7.49:

Analyse einer Druckwasserleitung

Gleichungen:











182

8 Kontaktprobleme

Die bisherigen FE-Formulierungen bezogen sich nur auf das mechanische Verhalten einzel-

ner unabhängiger Körper. Hat man es mit mehr als einem Körper (zusammengebaute Struk-

tur) zu tun, so besteht die Möglichkeit des Körperkontaktes infolge Verformung. Die dabei

auftretenden mechanischen Effekte wie Stoßeffekte, Grenzflächendeformationen, Haftung,

Reibung oder wieder Trennung der Körper infolge eines Körperkontakts können mit der bis-

her behandelten Theorie nicht beschrieben werden. Die Körper würden ohne Widerstand

ineinander eindringen. Da dem in der Realität nicht so ist, ist es erforderlich, für die Finite

Elemente Methode ein Verfahren zur Verfügung zu haben, welches im Kontaktfall zwischen

Körpern die mechanischen Gegebenheiten realitätsnah abbildet. Diesem Zweck dienen so

genannte finite Kontaktelemente. Mithilfe der Kontaktelemente modelliert man die Grenz-

flächen der Körper in den Bereichen, wo man Kontakt vermutet. Solange kein Kontakt auf-

tritt, läuft die Berechnung in der bekannten Weise ab. Sollten aber Kontaktflächen aufein-

ander treffen, so setzt ein iterativer Gleichgewichtsalgorithmus ein.

8.1 Problembeschreibung

Im Gegensatz zu der bisher dargestellten Theorie beschränkt sich die Formulierung der Kon-

taktelemente nicht nur auf eine rein mathematisch-mechanische Formulierung, sondern sie

beinhaltet zusätzlich einen Rechenalgorithmus, der zwischen modellierten Kontaktflächen

einen Kontakt erkennen muss. Auch wenn die einfachsten konstitutiven Beziehungen, wie

zum Beispiel das Coulomb’sche Reibungsgesetz, verwendet werden, ist die computerge-

mäße Beschreibung des hochgradig nichtlinearen Kontaktproblems schwierig. Die Schwie-

rigkeit der Formulierung und Modellierung des Kontaktproblems liegt beispielsweise in dem

Unvermögen, die sich ergebenden Kontaktflächen genau vorherzusagen. Die Randbedin-

gungen sind der Analyse auch a priori nicht bekannt, sie hängen nämlich von den Lösungs-

variablen selbst ab. Folglich ist ein inkrementelles Lösungsverfahren erforderlich.

Die hier dargestellte Theorie zur Behandlung von Kontaktproblemen erlaubt die Behandlung

von zweidimensionalen ebenen Kontaktproblemen unter quasistatischen Bedingungen, d. h.,

bei aneinander abgleitenden Kontaktflächen bewegen sich die Körper so langsam, dass

dynamische Effekte wie Trägheitseffekte und Dämpfungseffekte in den relativ zueinander

bewegten Kontaktflächen vernachlässigbar sind. Das umseitige Bild 8.1 zeigt schematisch

das hier betrachtete ebene Kontaktproblem in Form zweier beliebiger Körper, die sich unter

Belastung berühren.

Die Festlegung als Kontakt- und Zielkörper ist im Prinzip willkürlich, hängt aber davon ab,

ob ein symmetrischer oder asymmetrischer Kontakt vorliegt.

x Beim symmetrischen Kontakt kann jeder Körper zum Ziel- oder Kontaktkörper erklärt

werden.

x Beim asymmetrischen Kontakt ist es zweckmäßig, bestimmte Regeln einzuhalten:

 Wenn der Kontaktbereich auf einer Oberfläche eben/konkav ist und auf der anderen

Oberfläche scharfkantig/konvex ist, sollte die ebene/konkave Oberfläche die Ziel-

fläche sein.

8.1 Problembeschreibung

183

 Sind beide Kontaktbereiche konvex (keine scharfen Kanten), sollte die Zielober-

fläche die ebenere der beiden sein.

 Ist ein Kontaktbereich scharfkantig und der andere nicht, sollte die scharfkantige

Oberfläche die Kontaktfläche sein.

 Wenn beide Kontaktbereiche scharfkantig oder wellig (alternierend konkav/konvex)

sind, ist die Zuordnung beliebig.

Die Festlegung als Kontaktkörper und Zielkörper hat den Hintergrund, dass vom Programm-

algorithmus nur überprüft wird, ob die Knoten des Kontaktkörpers in den Zielkörper ein-

dringen. Der umgekehrte Fall wird gewöhnlich nicht überprüft. Folglich können die Knoten

des Zielkörpers in den Kontaktkörper eindringen, ohne dass Reaktionen hervorgerufen wer-

den. Die Fläche des Zielkörpers ist außerdem die Fläche, auf welche die freigeschnittenen

Kontaktkräfte des Kontaktkörpers einwirken.

von außen aufgebrachte

Belastungen

aktuelle

Kontaktzonen

Zielkörper

(target)

Zielkörper

Kontaktkörper

(contactor)

Kontaktkörper

Kontaktkräfte

Kontaktzone

)

Randbe-

dingung

modellierte

Kontaktelemente

Bild 8.1: Zwei in Kontakt befindliche asymmetrische Körper

a) Bedingungen beim Kontakt

b) freigeschnittene Körper im Kontaktbereich

8 Kontaktprobleme

184

Für eine allgemeine Verwendbarkeit der finiten Kontaktelemente muss das finite Kontakt-

modell einigen Forderungen genügen. Kontakt zwischen elastischen Körperpaarungen oder

starr-elastischen Körperpaarungen muss genauso möglich sein, wie der wiederholte Kontakt

oder die wiederholte Trennung der Körper. Die Formulierung des Kontaktmodells muss

große relative Bewegungen zwischen den Körpern erlauben. Die Lösungsmethode für Kon-

taktprobleme muss in allgemeine nichtlineare Lösungsmethoden einzubinden sein. Haft-

oder Gleitbedingungen sollten einem realistischen physikalischen Modell entstammen und

partielles Haften und Gleiten sollte möglich sein.

Ein realistisches Reibgesetz ist das Coulomb‘sche Reibgesetz. Es kennt die zwei Reibungs-

koeffizienten

und





dsd

PtPP ;

ist der statische Haftreibungskoeffizient und

ist

der dynamische Gleitreibungskoeffizient. Für eine partielle Kontaktfläche sei F

der Betrag

des senkrecht auf die Teilfläche wirkenden resultierenden Kraftvektors und

der Betrag

des tangential auf die Teilfläche wirkenden resultierenden Kraftvektors.

Ist

NsR

FȝF d , so gibt es keine Relativbewegung zwischen den Teilflächen. Die Teil-

flächen haften aneinander. Überschreitet die tangentiale Kraftkomponente F

die maximale

Haftkraft P

F , so gleiten die Flächen aneinander ab. Während der Gleitreibung ist die

tangentiale Reibwiderstandskraft F

gleich



. Die Relativbewegung (Gleiten) dauert

solange an, wie die tangentiale Reibwiderstandskraft

gleich der dynamischen Gleitrei-

bung

F

ist. Sinkt die bestimmte tangentiale Reibwiderstandskraft unter die dynami-

sche Gleitreibung P



, so hört die Relativbewegung auf, bis zu dem Zeitpunkt, wo die

tangentiale Reibwiderstandskraft F

die statische Haftgrenze



wieder überschreitet.

Das obige Reibgesetz muss über jedes einzelne Kontaktflächensegment befriedigt werden,

sodass auch partielles Haften und Gleiten betrachtet werden können.

Es sei noch angemerkt, dass im nachfolgenden beschriebenen Kontaktmodell elastische

Effekte in der

Kontaktfläche vernachlässigt werden und somit starr-plastisches Kontaktver-

halten angenommen wird. Zwar wird für die Kontaktelemente selber starr-plastisches Ver-

halten angenommen, die zweidimensionale FE-Diskretisierung um die Kontaktregion herum

kann aber auch elastisches Materialverhalten erfassen.

8.2 Einfache Lösungsmethode für Kontaktprobleme

Aus Bild 8.1 b) geht hervor, dass die Kontaktbedingungen an den Kontaktflächen für einen

einzelnen Körper Verschiebungs- und Kräfterandbedingungen sind. Mathematisch gesehen

handelt es sich um Nebenbedingungen. Eine mathematische Möglichkeit zur Einarbeitung

von Nebenbedingungen bietet die Methode der

Lagrange-Multiplikatoren.

Mittels der Lagrange-Multiplikatoren lassen sich Extremwertaufgaben mit Nebenbedin-

gungen lösen. Zur Formulierung der Extremwertaufgabe mit Nebenbedingungen benötigt

man deshalb eine zu minimierende oder maximierende Funktion und die Nebenbedingungen.

Bei elastomechanischen Problemen gilt beispielsweise das Prinzip vom Minimum der

totalen potenziellen Energie W. Für diskrete statisch lineare Systeme ist somit zu fordern:

8.2 Einfache Lösungsmethode für Kontaktprobleme

185



MINIMUM!

ǻW

o PUUUKU

(8.1)

Nun sei das System durch die diskreten Nebenbedingungen mit den Festwerten

0nUN 

eingeschränkt. Dann wird bei der Multiplikatorenmethode das folgende erweiterte Funktio-

nal angesetzt:

)(+

ttt*

nUNȜPUUKU  . (8.2)

Die Stationaritätsbedingung

G führt unter Verwendung der Beziehung

ȜNUUNȜ G G

ttt

auf

.=)nUN(ȜȜ)N+PUK(U

)nUN(ȜUNȜ+PUUKU

)nUN(Ȝ)nUN(Ȝ+PUUKU

tttt



GG

GGGG

GGGG G

(8.3)

UG und

ȜG willkürlich sind, erhält man das Gleichungssystem



. (8.4)

Bei Kontaktproblemen erweist sich der Lagrange-Multiplikator

als Vektor der Kontakt-

Knotenpunktkräfte, wie folgendes Beispiel verdeutlichen soll.

z,w

JE,L



Bild 8.2:

Kragbalken mit federn-

dem Anschlag bei kom-

primierter Feder

(e =

max

freier Weg,

w = Federweg)

8 Kontaktprobleme

186

Es sei:

2323

wwew  '

Kontaktbedingung: 0w

' 0wwew

2323



Ablösebedingung: 0w

!' 0wwew

2323

!

Ist



, so besteht kein Kontakt zwischen Knoten 2 und der Kontaktfläche 3. Es gilt für

das Gesamtsystem die Beziehung







k00

JE4

JE6

JE12

. (8.5)

Gilt hingegen unter Belastung w e + w

(bzw.

FF ), so besteht Kontakt zwischen

dem Kontaktknoten 2 und der Kontaktfläche 3. Dann gilt mit der Nebenbedingung

w-w e

nUN o



101

(8.6)

das erweiterte Gleichungssystem







0101

1k00

JE4

JE6

JE12

. (8.7)

Die dritte Gleichung im vorstehenden Gleichungssystem (s. auch Gl. 8.4) lautet:

3333

Fwk=wkF OoO

Das Auflösen des Gleichungssystems liefert z. B. für

und O

J3E

eJ3E







J3E











8.2 Einfache Lösungsmethode für Kontaktprobleme

187

Hier zeigt sich, dass es sich bei

O um eine Kraftgröße handeln muss. Während

eine Kraft

ist, die direkt am Knoten 3 angreift, kann es sich bei

O nur um die Kraft handeln, welche

durch den Kontakt auf die Kontaktfläche 3 übertragen wird.

F und O bewirken zusammen

die Verschiebung

w an der Feder k. Der Lagrange-Multiplikator

stellt damit die Kon-

taktkraft dar, die von einer Kontaktfläche zur anderen übertragen wird.

Das vorstehende Beispiel diente nur der prinzipiellen Darlegung des Kontaktproblems. In

der Praxis sind die Probleme aber recht vielfältig und natürlich nicht so einfach. Ein

typisches Maschinenbauproblem mit Kontakt stellt die Übertragung eines Drehmoments

mittels einer Passfederverbindung dar. Die Verhältnisse sind im Bild 8.3

dargestellt.

Bild 8.3: Kontaktproblem an einer Passfederverbindung

Beobachtet man die Kraftübertragung, so ist Folgendes festzustellen: Zu Anfang liegt Spiel

vor, d. h., die Passfeder macht eine Starrkörperbewegung bis sie anliegt. Erst wenn Kontakt

hergestellt ist, erfolgt die Kraftübertragung. Wie später gezeigt werden wird, kann das

Problem nur iterativ gelöst werden. Weil hierzu programmtechnische Routine erforderlich

ist, sollte eine begleitende Ergebnisabschätzung über die Hertz’schen Pressungsgleichungen

vorgenommen werden.

Klein B. FEM: Grundlagen und Anwendungen der Finite-Element-Methode im Maschinen - und Fahrzeugbau

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