Klein B. FEM: Grundlagen und Anwendungen der Finite-Element-Methode im Maschinen - und Fahrzeugbau
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7 Elementkatalog für elastostatische Probleme
148
geschrieben werden. Im Weiteren wollen wir kurz untersuchen, ob dieser Ansatz stetig und
somit zu anderen Elementen kompatibel ist. Aus Gl. (7.126) folgt, dass sich an einem Ele-
mentrand y = 0 die Durchbiegung als kubisches Polynom
3
4
2
321
Rand
sss0,xw EEEE
(7.127)
ergibt. Die hierin auftretenden vier Koeffizienten
i
E können dabei eindeutig aus den vier
Knotenbedingungen
o,a'wundo,aw,o,o'w,o,ow
2211
bestimmt werden. Für die
Normalenableitung
3
4
2
321
Rand
sss
n
o,xw
JJJJ
¸
¹
·
¨
©
§
w
w
(7.128)
ergibt sich ebenfalls ein kubisches Polynom, welches durch die zwei verfügbaren Knoten-
größenableitungen jedoch nicht eindeutig bestimmt ist. Insofern liegt also eine Unstetigkeit
der Randneigungen beim Übergang zu den Nachbarelementen vor. Deshalb spricht man hier
von einem so genannten
nichtverträglichen Element, obwohl man bei seiner Anwendung
ausreichend gute Genauigkeiten erzielt hat.
Die dargelegte Schwierigkeit lässt sich umgehen, wenn man die Knotenfreiheitsgrade des
Platten-Elements erhöht. Als Möglichkeit besteht dazu noch, die gemischten zweiten Ablei-
tungen zu berücksichtigen. Der Knotenverschiebungsvektor lautet somit:
>@
xyiyixii
t
i
țijijw d . (7.129)
Das Element weist demzufolge 16 Freiheitsgrade auf und erfordert einen 16-gliedrigen An-
satz. In der Literatur schlägt man hierfür ein unvollständiges Polynom 6. Grades folgender
Bauform vor:
y
1
x
x
2
xy y
2
x
3
xy
2
y
3
x
4
x
5
x
6
xy
3
xy
4
xy
5
xy
3
2
xy
3
2
xy
33
xy
24
xy
5
xy
22
xy
42
xy
3
xy
4
y
4
y
5
y
6
(7.130)
Die Ansatzfunktion lautet somit:
> @
3332233223322322t
yxyxyxxyyxyxyxyyxxyxyxyx1 N
.
(7.131)
7.3 Platten-Elemente
149
Prüft man auch hierfür die Stetigkeit, so stellt man wieder fest, dass für die Randdurchbie-
gung ein kubisches Polynom und für die Normalenableitung am Rand ein quadratisches
Polynom maßgebend ist. Im Gegensatz zu vorher stehen jetzt aber ausreichend viele Knoten-
größen zur Verfügung, sodass alle Koeffizienten
ii
,
J
E
eindeutig bestimmt werden können.
Da nun die Durchbiegung und die Randableitungen stetig auf die Nachbarelemente über-
gehen, spricht man hier von einem
vollverträglichen Element.
Die zu dem Freiheitsgrad
N
xyi
korrespondierende Kraftgröße hat hingegen keine direkte
physikalische Bedeutung, da sie weder Kraft- noch Momentencharakter aufweisen.
Auf die weiteren Schritte bis zur Herleitung der Elementsteifigkeit soll hier nicht einge-
gangen werden, weil diese sich in dem bekannten Schema vollzieht. Der Vollständigkeit
halber sei jedoch umseitig die
Biegesteifigkeitsmatrix des Platten-Elements mit 12 FHGs an-
gegeben.
1
w
1x
I
1y
I
2
w
2x
I
2y
I
1
8424120
22
QJE
2
>@
b6)41(10
2
QE
22
b18a40 Q
3
>
@
a6)41(10
2
QJ
ba30 Q
22
a)1(8b40 Q
4
8424260
22
QEJ
>@
b6)1(10
2
QE
>
@
a6)41(5
2
QJ
8424120
22
QJE
5
>@
b6)1(10
2
QE
22
b)1(2a20 Q
0
>@
b6)41(10
2
QE
22
b)1(8a40 Q
6
>@
a6)41(5
2
QJ
0
22
a)1(8b20 Q
>
@
a6)41(10
2
QJ
ba30
Q
22
a)1(8b40 Q
7
842460
22
QEJ
>@
b6)1(5
2
QE
>@
a6)1(5
2
QJ
8424260
22
QEJ
>
@
b6)41(5
2
QE
>
@
a6)1(10
2
QJ
8
>@
b6)1(5
2
QE
22
b)1(2a10 Q
0
b6)41(5
2
»
¼
º
«
¬
ª
QE
22
b)1(8a20 Q
0
9
>@
a6)1(5
2
QJ
0
22
a)1(2b10 Q
>@
a6)1(10
2
QJ
0
22
a)1(2b20 Q
10
8424260
22
QEJ
>@
b6)41(5
2
QE
>@
a6)1(10
2
QJ
842460
22
QJE
>
@
b6)1(5
2
QE
>@
a6)1(5
2
QJ
11
>@
b6)41(5
2
QE
22
b)1(8a20 Q
0
>@
b6)1(5
2
QE
22
b)1(2a10 Q
0
ba)1(360
tE
2
3
P
Q
k
12
>@
a6)1(10
2
QJ
0
22
a)1(2b20 Q
>@
a6)1(5
2
QJ
0
22
a)1(2b10 Q
150 7 Elementkatalog für elastostatische Probleme
3
w
3x
I
3y
I
4
w
4x
I
4y
I
1
2
3
4
5
6
7
8424120
22
QJE
8
>@
b6)41(10
2
QE
22
b)1(8a40 Q
9
>@
a6)41(10
2
QJ
ba30
Q
22
a)1(8b40 Q
10
8424260
22
QEJ
>@
b6)1(10
2
QE
>@
a6)41(5
2
QJ
8424120
22
QJE
11
>@
b6)1(10
2
QE
22
b)1(2a20 Q
0
>
@
b6)41(10
2
QE
22
b)1(8a40 Q
12
>@
a6)41(5
2
QJ
0
22
a)1(8b20 Q
>
@
a6)41(10
2
QJ
ba30 Q
22
a)1(8b40 Q
mit
a
b
,
b
a
J E
7.3 Platten-Elemente 151
(
7.132
)
7 Elementkatalog für elastostatische Probleme
152
7.3.4 Dreieck-Platten-Element
Wie bei Scheibenproblemen gilt auch für die Plattenproblematik, dass rechteckige Elemente
nur sehr begrenzt einsetzbar sind. Eine größere Variabilität in der Modellierung bieten natur-
gemäß
Dreieck-Elemente.
In Analogie zum vorausgegangenen Kapitel wollen wir hier zunächst ein
Dreieck-Element
(s. auch Bild 7.27
) mit drei Knoten, also 9 Freiheitsgrade, betrachten. Als Knotenverschie-
bungsvektor ist dann wieder Gl. (7.115) maßgebend. Seitens der Ansatzfunktionsbildung
zeichnet sich dabei nur die Möglichkeit ab, einen kubischen Durchbiegungsansatz mit
3
10
2
9
2
8
3
7
2
65
2
4321
yyxyxx
yyxxyxy,xw
DDDD
DDDDDD
(7.133)
und 10 Koeffizienten zu wählen. Ein Koeffizient ist hierbei überzählig und muss geschickt
eliminiert werden. Elementformulierungen, bei denen ein Koeffizient weggelassen wurde,
haben sich bei Testrechnungen als unbrauchbar erwiesen. Strategien, bei denen bestimmte
Koeffizienten zusammengefasst wurden, zeigten hingegen gute Ergebnisse. Bewährt hat sich
in diesem Sinne der Ansatz
,yyxyxx
yyxxyxy,xw
3
9
22
8
3
7
2
65
2
4321
DDD
DDDDDD
(7.134)
der für jeden Freiheitsgrad einen Koeffizienten aufweist und insofern vollständig ist. Führen
wir mit diesem Ansatz nun auch wieder die Stetigkeitsprüfung durch, so liegt für die Rand-
durchbiegung ein kubisches und für die Randableitung ein quadratisches Polynom vor. Mit
den angesetzten Knotenfreiheitsgraden kann also auch hier die Randübergangsbedingung
nicht stetig gehalten werden. Das 3-knotige
Dreieck-Platten-Element mit einem Ansatzpoly-
nom 3. Grades ist somit als
nichtverträglich einzustufen.
Wie bis jetzt erkannt wurde, ist die Normalenableitung
nw/ww maßgebend für die Nichtkon-
formität der Elemente. Es hat in der Forschung insofern nicht an Bemühungen gefehlt, kon-
forme
Dreieck-Platten-Elemente zu entwickeln. Auf diese Möglichkeiten soll an dieser
Stelle jedoch nicht tiefer eingegangen werden.
Ein bekannter Weg, verträgliche Elemente zu gewinnen, besteht im Allgemeinen darin, die
Knotenfreiwerte zu erhöhen. Wählen wir wie im Bild 7.30
dargestellt ein 6-knotiges Element
und führen hierfür folgende Freiheitsgrade
>@
xyiyixiyixii
t
i
țțțijijw d für Knoten i = 1, 2, 3 (7.135a)
und
»
¼
º
«
¬
ª
w
w
n
w
j
t
j
d für Knoten j = 4, 5, 6 (7.135b)
7.3 Platten-Elemente
153
ein, so liegt ein Element mit insgesamt 21 Freiheitsgraden vor.
x
y
.
n
3
5
6
4
2
1
t
Bild 7.30: Dreieck-Platten-Element mit 6 Knoten
Den höheren Knotenableitungen können aber wieder keine physikalisch deutbaren Kraft-
oder Momentengrößen zugeordnet werden.
Mit den 21 Freiheitsgraden besteht jetzt aber die Möglichkeit, ein vollständiges Polynom 5.
Grades (s. Gl. (7.130)) mit genau 21 Koeffizienten anzusetzen. Auf einem Rand verändert
sich somit die Durchbiegung
w
Ran
d
ebenfalls nach dem Polynom 5. Grades, dessen sechs
Koeffizienten aber mit den hier verfügbaren sechs Knotengrößen
,o,xw
j,i
j,i
o,x'w
und
j,i,xy
N bestimmt werden können. Die Normalenableitung
Rand
nw/w
w
verläuft hin-
gegen nach einem Polynom 4. Grades, dessen fünf Koeffizienten durch die Ableitungen
ji,
nw/ww ,
j,i
2
tnw/ www am Eckknoten und durch
k
nw/ww am Zwischenknoten gege-
ben sind. Die Normalenableitungen am Knoten bildet man nach der impliziten Differen-
ziation
n
y
y
w
n
x
x
w
n
w
w
w
w
w
w
w
w
w
w
w
. (7.136)
Diese Formulierungsfeinheiten berühren aber in der Regel den Anwender nicht, da sie pro-
grammspezifisch gelöst werden. Daher wollen wir die Problematik der Elementformulie-
rungen nicht weiter vertiefen, um uns praktischeren Fragestellungen zuwenden zu können.
7.3.5 Konvergenz
Von allgemeinem Interesse ist es bei der Lösung von Plattenproblemen abzuwägen, ob man
besser
Dreieck- oder Rechteck-Elemente für eine Idealisierung verwendet und wie gut diese
Elemente letztlich sind.
Im Bild 7.31
ist eine derartige Konvergenzbetrachtung an einer fest eingespannten
quadratischen Platte unter gleichmäßiger Flächenlast bezüglich der Durchbiegung in der
Mitte durchgeführt worden.
7 Elementkatalog für elastostatische Probleme
154
Elementnetzteiler
w [mm]
2 x 2
4 x 4
8 x 8
16 x 16
w = 6,37
w = 6,57
w = 6,64
w = 6,66
5,77
6,37
6,61
6,66
6,72
6,67
6,67
6,67
6,04
6,51
6,63
6,65
Netz
Element-
Typ
8 x 8 16 x 16
6
5
7
6,5
w = 6,73 mm
theor.
w
max
t = 2
E = 210000 N/mm
2
x
y
z
p = 0,1 N/mm
z
2
a = 300
a
2 x 2 4 x 4
3
4
z
.theor
tE
ap
01397,0w
Bild 7.31: Konvergenzrechnung mit Platten-Elementen nach Kirchhoff-Theorie
Am Ergebnis der Auswertungen erkennt man bei einer Idealisierung der Viertelsymmetrie
der Platte mit verschiedenen Verfeinerungsgraden, dass hier die
Rechteck-Platten-Elemente
sehr schnell und gut konvergieren. Demgegenüber zeigen die
Dreieck-Platten-Elemente ein
deutlich schlechteres Verhalten. Ein Phänomen ist, dass sowohl in I-DEAS als auch in
ANSYS die quadratischen
Dreieck-Platten-Elemente etwas schlechter konvergieren als die
linearen.
7.3 Platten-Elemente
155
7.3.6 Schubverformung am Plattenstreifen
Wie beim Balken-Elemente sollte auch bei dicken, kurzen Platten-Elementen die Schubver-
formung nicht vernachlässigt werden, d. h., das Modell von
Kirchhoff ist mit dem Reissner-
Mindlin-Ansatz zu erweitern. Um das Problem für die Darstellung zu vereinfachen, wählen
wir wie im Bild 7.32
gezeigt einen Plattenstreifen, an dem man später die Gleichungen für
die Ebene verifizieren kann.
L
xzs
3
w
J{
c
3
s
w
234
3
z
Q
Das Modell für ein Plattensteifen-Element kann ein Kragarm (z. B. zwischen den Knoten
d
und e) sein, da jeweils nur die relativen Verschiebungen interessieren. Für die Absenkung
am Knoten
e zufolge Querkraftbiegung kann somit angegeben werden:
EA
LQȞ12
LȖw
3z
xz
3
s
{
. (7.137)
Damit kann die folgende Flexibilitätsgleichung für das Element unter Berücksichtigung der
Biege- und Schubnachgiebigkeit aufgestellt werden:
»
»
»
¼
º
«
«
«
¬
ª
»
»
»
»
»
¼
º
«
«
«
«
«
¬
ª
»
»
»
¼
º
«
«
«
¬
ª
3y
3z
yy
2
y
2
y
3
3y
3
M
Q
JE
L
JE2
L
JE2
L
EA
LȞ12
JE3
L
ij
w
. (7.138)
Invertiert man diese Beziehung, so erhält man beispielsweise für den ersten Koeffizienten
der Steifigkeitsmatrix
»
¼
º
«
¬
ª
2
y
3
y
11
LA
J
Ȟ1241
1
L
JE12
k
, (7.139)
womit jetzt Biegung und Schub in der Elementsteifigkeit berücksichtigt sind.
Schubverformung spielt insbesondere bei schubweichen Konstruktionen wie Sandwichplat-
ten eine große Rolle. Um dies auszutesten, wählen wir als Beispiel einen Sandwich-Platten-
streifen, den wir mit geeigneten
Sandwich-Elementen erfassen wollen. Wichtig ist hierbei,
Bild 7.32:
Schubverformung am Platten-
streifen (nach /GAL 76/)
7 Elementkatalog für elastostatische Probleme
156
dass Schichten unterschiedlicher Steifigkeit beschrieben werden können, welches in den
meisten Programmsystemen ohne Weiteres möglich ist.
d = 20
30
p
z
L = 300
i
j
t
E,
HH
Q
G,
KK
Q
mm8,4w
LdG
B2
mit
mm9,4
24
5
B16
L
p
w
FEM
2
K
4
z
.theor
\
¸
¹
·
¨
©
§
\
Daten:
E = 70.000 N/mm
= 0,33
G = 450 N/mm
p = 0,5 N/mm
H
H
K
z
2
2
2
Q
Q
K
= 0,36
4,8
3,0
Bild 7.33: Konvergenzrechnung mit so genannten Sandwichplatten-Elementen am Platten-
streifen )
(Index: H = Haut, K = Kern
Der im Bild 7.33
gezeigte Balken soll eine Sandwichtragkonstruktion darstellen, um einen
einfachen Vergleich zwischen der theoretischen und der FEM-Lösung herstellen zu können.
Die Rechnung zeigt, dass bereits mit wenigen Elementen eine recht gute Konvergenz zur
theoretischen Lösung hergestellt werden kann. Der Fehler liegt etwa bei 2,1 %.
7.3.7 Beulproblematik
Als ein grundlegendes Problem im Blechleichtbau und daher der Plattentheorie gilt die Er-
fassung der
Beulung, und zwar in ebenen Tafel- oder in Profilblechen.
Würde man hier streng physikalisch klassifizieren, so tritt Beulen eigentlich bei druckbelas-
teten dünnen Scheiben auf, bei denen die Mittelfläche unter der Einwirkung von Randkräften
ausbiegt. Die elastischen Verhältnisse können dabei allerdings nur erfasst werden, wenn wir
von einem Plattenzustand ausgehen. Der Unterschied in der Betrachtungsweise zwischen
Plattenbiegung und Beulen sei im Bild 7.34
hervorgehoben.
7.3 Platten-Elemente
157
z, w
y
x
a
b
m
xy
m
xy
m
x
m
x
q
x
q
x
p
z
m
y
m
y
m
yx
q
y
q
y
y
x
q
xy
n
x
p
z
n
y
n
y
q
yx
q
yx
q
yx
z, w
n
x
a)
b)
m
yx
Bild 7.34: Unterschiede in den Kraftwirkungen bei Biegung und Beulung (nach /KOL 58/)
dünnwandiger Platten
a) Kraftrichtungen bei Biegung mit äußerer Last
z
p
b) Kraftrichtungen bei Beulen mit rückdrückender Last
z
p
Bei der Plattenbiegung wirkt mit
y,xp
z
eine positive äußere Flächenlast, die mit den ent-
sprechenden Schnittkräften im Gleichgewicht steht. Bei der Plattenbeulung wird hingegen
von einer ausgelenkten Mittelebene ausgegangen und die Kraftgröße
y,xp
z
bestimmt,
die die Beulung zurückformt. Die dabei wirkenden Druck-Schnittkräfte können hier als
äußere Lasten angesetzt werden, die die Vorverformung bewirkt haben. Diese werden ge-
wöhnlich linienhaft bzw. pro Seitenlänge definiert zu
Anmerkung: m
x
, m
y
bezeichnen Biegemomente je Seitenlänge
m
xy
, m
yx
bezeichnen Drillmomente je Seitenlänge
n
x
, n
y
bezeichnen Normalkräfte je Seitenlänge
q
xy
, q
yx
bezeichnen Querkräfte je Seitenlänge