Klein B. FEM: Grundlagen und Anwendungen der Finite-Element-Methode im Maschinen - und Fahrzeugbau
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1
u
1
v
2
u
2
v
3
u
3
v
4
u
4
v
i = 1 , j = 1
a
b
12
b
a
41
2
3
1
2
3
b
a
12
a
b
4
QQ
QQ
i = 1, j = 2
a
b
12
b
a
231
2
3
31
2
3
b
a
1
a
b
4
QQ
QQ
i = 1, j = 3
a
b
1
b
a
21
2
3
1
2
3
b
a
1
a
b
2
QQ
QQ
i = 1, j = 4
a
b
1
b
a
431
2
3
31
2
3
b
a
12
a
b
2
QQ
QQ
i = 2 , j = 2
a
b
12
b
a
41
2
3
1
2
3
b
a
12
a
b
4
QQ
QQ
i = 2, j = 3
a
b
1
b
a
431
2
3
31
2
3
b
a
12
a
b
2
QQ
QQ
i = 2, j = 4
a
b
1
b
a
21
2
3
1
2
3
b
a
1
a
b
2
QQ
QQ
Ck
i = 3, j = 3
a
b
12
b
a
41
2
3
1
2
3
b
a
12
a
b
4
QQ
QQ
i = 3, j = 4
a
b
12
b
a
231
2
3
31
2
3
b
a
1
a
b
4
QQ
QQ
i = 4, j = 4
a
b
12
b
a
41
2
3
1
2
3
b
a
12
a
b
4
QQ
QQ
mit
¸
¹
·
¨
©
§
Q
2
112
tE
C
(7.52)
118 7 Elementkatalog für elastostatische Probleme
7.2 Scheiben-Elemente
119
7.2.6 Konvergenz Balken-Scheiben-Elemente
Bei einigen praktischen Anwendungsfällen besteht oft alternativ die Möglichkeit, mit
Balken- oder Scheiben-Elementen zu rechnen. Dies ist meist dann gegeben, wenn es sich um
dünne, schlanke Tragstrukturen handelt. Im folgenden Beispiel sei ein derartiger Fall kon-
struiert. Vorgegeben sei ein dünner, hoch stehender Blechstreifen, der in der Art eines Krag-
balkens belastet sei. Von Interesse soll hierbei die Durchbiegung am Ende sein. Zur Lösung
des Problems sollen einmal
Balken-Elemente und einmal Dreieck- bzw. Viereck-Scheiben-
Elemente eingesetzt werden. Die Auswertung dieser Aufgabenstellung zeigt Bild 7.13.
Elementnetz
7,143
nach
Bernoulli-Theorie
w [mm]
2 x 4
4 x 8
8 x 16
16 x 32
w = 7,12
w = 7,26
w = 7,31
w = 7,324
2,26
4,61
6,37
7,06
(4) 7,36
(8) 7,36
(16) 7,36
(32) 7,36
7,143
7,143
7,143
7,143
7,29
7,32
7,33
7,332
7,24
7,31
7,32
7,33
Netz
Element-
Typ
lineares
Rechteck-El.
CST-El.
Timoshenko
Balken-El.
Bernoulli
Balken-El.
quadr.
Dreieck-El.
quadr.
Rechteck-El.
2
4
4
8
7
6
5
4
3
2
1
8
7,5
7,36
2
mmN70000E
/
mm100L
2
mm20120A
N1000F
16x8
32x16
mm143,7
JE3
LF
w
3
.theor
Bild 7.13:
Konvergenzverhalten zwischen Balken-Elementen und Dreieck- bzw. Rechteck-
Scheiben-Elementen
Idealisiert man die Aufgabe als Balkenproblem und zieht für die Lösung die Euler-Bernoulli-
Theorie (Ebenbleiben der Querschnitte) heran, so ergibt sich nach der bekannten Formel für
die Durchbiegung w = 7,143 mm, welches aber nicht die exakte Lösung sein wird, da bei der
Absenkung des Blechstreifens auch Schubverformungen eine Rolle spielen werden.
7 Elementkatalog für elastostatische Probleme
120
Die gleiche Aussage erhält man somit durch die Wahl des (schubstarren)
Bernoulli-Balken-
Elements, welches unabhängig vom Diskretisierungsgrad ebenfalls w = 7,143 mm ausweist.
Will man hingegen den Effekt der Schubdurchsenkung auch erfassen, so muss das (schub-
weiche)
Timoshenko-Balken-Element herangezogen werden, welches Querkraftbiegung be-
rücksichtigt und mit w = 7,36 mm einen um 3,5 % größeren Wert errechnet.
Die Schubverformung wird bei Scheiben-Elementen durch die Gleitungen
xy
J
miterfasst,
sodass die Scheibenlösung eigentlich genauer sein müsste. Als problematisch erweist sich
jedoch die Wahl des Elements, wie die Konvergenzanalyse belegt: Das
lineare Rechteck-
Scheiben-Element konvergiert recht schnell zu einem Wert w = 7,324 mm, während sich das
lineare
Dreieck-Scheiben-Element als recht ungenau erweist. Durch die Wahl von quadrati-
schen
Rechteck-Elementen lässt sich das Ergebnis nur unwesentlich verbessern, während das
quadratische
Dreieck-Element ebenfalls recht gut konvergiert.
7.2.7 Berücksichtigung der Schubverformung
Wie zuvor festgestellt, kann in vielen Anwendungsfällen (kurzer Balken, dicke Platte, Sand-
wichelement) Schubverformung auftreten, die dann für eine weitestgehend exakte Ergebnis-
ermittlung berücksichtigt werden muss. In Ergänzung zur Beschreibung des 2-D-Balken-Ele-
ments soll im Folgenden ein
schubweiches, ebenes Balken-Element diskutiert werden. Die
Verformung eines derartigen Elements ist im Bild 7.14
dargestellt.
j
j
z
F
i
L
E
i
y
M
i
z
F
dx
j
y
M
w
c
E
w
c
Bild 7.14:
Verformung eines Balken-Elements infolge Biegung und Schub
Aus dem Bild 7.14
entnimmt man für den Verdrehwinkel der Querschnittsfläche E die Be-
ziehung
)x(w)x()x(
c
J E
. (7.53)
7.2 Scheiben-Elemente
121
Der Verdrehwinkel E folgt aus der Beziehung (s. auch Seite 52)
MEJ
d
dx
by y
E
,
worin die Krümmung N statt aus der 2-maligen Ableitung der Durchsenkung w (
N|
cc
w
)
nun durch die resultierende Krümmung NE
c
zu ersetzen ist (Vorzeichen siehe Bild 7.14
!).
Die Schubverformung J ist das Resultat der nun berücksichtigten Verwölbung durch Quer-
kraft
)x(AGQ(x)
J
.
i
x
i
y
M
xQ
xM
y
b
i
z
Q
x
z
Bild 7.15: Schnittgrößen am ebenen Balken-Element
Für die Schnittgrößen folgt aus dem Gleichgewicht am Knoten und im Inneren
0QQ
zi
(7.54)
und
0xQMM
ziyiby
. (7.55)
Wird jetzt die Querkraft in die Gl. (7.54) eingesetzt, so führt dies auf den Schubwinkel J
0QAG
zi
J
,
AG
Q
zi
J , (7.56)
und das Einsetzen der Biegemomentbeziehung in Gl. (7.55) ergibt eine Beziehung für den
Verdrehwinkel E
0xQMJE
ziyiy
E
c
,
y
yi
y
zi
JE
M
x
JE
Q
E
c
. (7.57)
7 Elementkatalog für elastostatische Probleme
122
Einmalige Integration von Gl. (7.57) liefert
1
y
yi
2
y
zi
Cx
JE
M
x
JE
Q
2
1
E . (7.58)
Mit Gl. (7.56), Gl. (7.58) und der Gl. (7.53) lässt sich jetzt die Biegelinie w(x) berechnen.
Aus Gl. (7.53) folgt:
c
w
J
E ,
1
y
yi
2
y
zizi
Cx
JE
M
x
JE
Q
2
1
AG
Q
w
c
,
21
2
y
yi
3
y
zizi
CxCx
JE
M
2
1
x
JE
Q
6
1
x
AG
Q
w
. (7.59)
Die Integrationskonstanten
C
1
und C
2
ergeben sich aus den Randbedingungen in Bild 7.16.
i
j
x
z
i
y
M
j
y
M
0x
Lx
i
z
Q
j
z
Q
j
E
j
w
,
ii
,w
E
Bild 7.16:
Randbedingungen am Balken-Element
Unter Belastung verschiebt sich der Knoten
ji um den Weg
ji
ww in z-Richtung und die
Querschnittsfläche neigt sich dort um den Winkel
ji
EE :
wx w
i
() 0
,
EE()x
i
0
,
wx L w
j
()
,
EE()xL
j
.
Mit den Randbedingungen ermitteln sich die Konstanten in Gl. (7.58) und (7.59) zu
C
i1
E Cw
i2
. (7.60)
Damit folgt für die Funktion des Verdrehwinkels
E()x
und die Verschiebungsfunktion w x()
7.2 Scheiben-Elemente
123
i
y
yi
2
y
zi
x
JE
M
x
JE
Q
2
1
)x( E
E , (7.61)
ii
2
y
yi
3
y
zizi
wxx
JE
M
2
1
x
JE
Q
6
1
x
AG
Q
)x(w E
. (7.62)
Es sind von den beiden Gleichungen (7.61) und (7.62) natürlich auch die Knotenbe-
dingungen (i, j) zu erfüllen:
i
y
yi
2
y
zi
j
L
JE
M
L
JE
Q
2
1
E
E , (7.63)
ii
2
y
yi
3
y
zizi
j
wLL
JE
M
2
1
L
JE
Q
6
1
L
AG
Q
w E
. (7.64)
Das Umformen von Gl. (7.63) nach dem Ausdruck
yyi
JELM / und Einsetzen in die
Gl. (7.64) führt auf eine Beziehung zwischen der Kraft
zi
Q und den Randwerten
ww
iji
,,E
und
E
j
:
j
2
y
2
y
i
2
y
2
y
j
2
y
3
y
i
2
y
3
y
zi
AGL
JE12
1
L
JE
6
AGL
JE12
1
L
JE
6
w
AGL
JE12
1
L
JE
12
w
AGL
JE12
1
L
JE
12
Q
E
E
.
(7.65)
Mit dem Schubparameter
AGL
JE12
1
1
2
y
\
lautet Gl. (7.65) somit auch
j
2
y
i
2
y
j
3
y
i
3
y
zi
L
JE
6
L
JE
6w
L
JE
12w
L
JE
12Q E\
E\
\
\
.
(7.66)
Bildet man weiter am Balken-Element nach Bild 7.16
das Kräfte- und Momentengleichge-
wicht, so erhält man die beiden Beziehungen
zizj
QQ
und
LQMM
ziyiyj
. (7.67)
7 Elementkatalog für elastostatische Probleme
124
Folglich gilt für die Knotenkraft
zj
Q :
j
2
y
i
2
y
j
3
y
i
3
y
zj
L
JE
6
L
JE
6w
L
JE
12w
L
JE
12Q E\
E\
\
\
.
(7.68)
Mit Gl. (7.63) und Gl. (7.66) bestimmt man das Biegemoment
yi
M :
j
y
i
y
j
2
y
i
2
y
yi
31
L
JE
31
L
JE
w
L
JE
6w
L
JE
6M E\
E\
\
\
,
(7.69)
und mit Gl. (7.68) erhält man schließlich auch das Biegemoment
yj
M :
j
y
i
y
j
2
y
i
2
y
yj
31
L
JE
31
L
JE
w
L
JE
6w
L
JE
6M E\
E\
\
\
.
(7.70)
Die Gleichungen (7.66), (7.68), (7.69) und (7.70) können dann zu der Matrizengleichung
»
»
»
»
¼
º
«
«
«
«
¬
ª
E
E
»
»
»
»
¼
º
«
«
«
«
¬
ª
\\\\
\\\\
\\\\
\\\\
»
»
»
»
¼
º
«
«
«
«
¬
ª
j
i
j
i
22
22
3
y
yj
yi
zj
zi
w
w
)31(L)31(LL6L6
)31(L)31(LL6L6
L6L61212
L6L61212
L
JE
M
M
Q
Q
bzw. zur sortierten Elementsteifigkeit des Timoshenko-Balkens
»
»
»
»
¼
º
«
«
«
«
¬
ª
\
\\
\\\
\\\\
E
E
2
22
3
y
TB
jjii
L31.sym
L612
L31L6L31
L612L612
L
JE
ww
k
(7.71)
zusammengefasst werden.
Die Matrix stellt hierin die gesuchte Elementsteifigkeitsmatrix des
schubweichen, ebenen
Balken-Elements dar. Für \ = 1, d. h. große Bauteil- bzw. Elementlängen, geht Gl. (7.71) in
Gl. (5.64) über. Übertragen auf Platten und Schalen ist die Herleitung ähnlich der so ge-
nannten
Reissner-Mindlin-Theorie.
7.2 Scheiben-Elemente
125
7.2.8 Viereck-Element
Ein allgemeines
Viereck-Element ist in der Anwendung dann zweckmäßig, wenn ein unre-
gelmäßiges Gebiet vernetzt werden muss und ein relativ gutes Konvergenzverhalten erreicht
werden soll. Im Bild 7.17
ist ein derartiges Viereck-Element in seinem natürlichen Koordi-
natensystem gezeigt.
y, v
[
=1
K
=1
K
= 1
[
= 1
2
3
1
4
x, u
u
1
v
1
K
[
Bild 7.17:
Allgemeines Viereck-Element (nach /HAH 75/)
Zwischen den dimensionslosen
[-, K-Flächenkoordinaten und den kartesischen x-, y-Koordi-
naten besteht der folgende lineare Zusammenhang:
.,y
,,x
8765
4321
DK[DKD[D K[
D
K
[
DKD
[D K[
(7.72)
Wendet man hierauf wieder den zuvor beschriebenen Gauß‘schen Lösungsalgorithmus an,
so erhält man zu Gl. (7.42) äquivalente Beziehungen, und zwar
,
4
xxxx
4
xxxx
4
xxxx
4
xxxx
x
4321
432143214321
K[
K
[
,
4
yyyy
4
yxyy
4
yyyy
4
yyyy
y
4321
432143214321
K[
K
[
die man weiter sortieren kann zu
7 Elementkatalog für elastostatische Probleme
126
>@
4321
x11x11x11x11
4
1
x K[K[K[K[ , (7.73a)
entsprechend ergibt sich auch
>@
4321
y11y11y11y11
4
1
y K[K[K[K[
. (7.73b)
Für die Verschiebungen machen wir jetzt wieder einen linearen Ansatz. Dabei zeigt sich eine
Übereinstimmung zur Koordinatenbeziehung. Wegen der Identität der beiden Bauformen
spricht man hier auch von einem
isoparametrischen Ansatz. Dabei sind die Knotenpunktver-
schiebungen auf das lokale Koordinatensystem ausgerichtet.
Der Ansatz lautet somit:
K[DKD[DD K[
K
[
D
KD[DD K[
8765
4321
,v
,,u
(7.74a)
bzw. in Matrixform
»
»
»
»
»
¼
º
«
«
«
«
«
¬
ª
D
D
D
»
¼
º
«
¬
ª
[KK[
[KK[
»
¼
º
«
¬
ª
8
2
1
10000
00001
v
u
#
. (7.74b)
Dies ist der gleiche Ansatztyp wie beim Rechteck-Element, sodass Gl. (7.44) als Verschie-
bungsansatz übernommen werden kann mit
>@
>@
.v11v11v11v11
4
1
v
,u11u11u11u11
4
1
u
4321
4321
K[K[K[K[
K[K[K[K[
(7.75)
Hierin erkennt man die verallgemeinerten Formfunktionen zu
KK[[
iii
11
4
1
g.
Weiter können wieder die Verzerrungen angegeben werden zu
dBdGDİ
bzw. kann knotenweise die
i
B
-Matrix bestimmt werden zu
7.2 Scheiben-Elemente
127
»
»
»
»
»
»
»
¼
º
«
«
«
«
«
«
«
¬
ª
w
w
w
w
w
w
w
w
x
g
y
g
y
g
0
0
x
g
ii
i
i
i
B i = 1, ..., 4. (7.76)
Da es ausgesprochen aufwändig ist, die Formfunktionen im x-, y-Koordinatensystem darzu-
stellen, gehen wir jetzt auch bei den Ableitungen über in das
[-, K-Koordinatensystem. Für
die Umrechnung gilt wieder
»
»
»
»
¼
º
«
«
«
«
¬
ª
w
w
w
w
»
»
»
»
¼
º
«
«
«
«
¬
ª
w
w
w
w
»
»
»
»
¼
º
«
«
«
«
¬
ª
w
w
w
w
w
w
w
w
»
»
»
»
¼
º
«
«
«
«
¬
ª
w
w
w
w
y
x
y
x
Ș
y
Ș
x
ȟ
y
ȟ
x
Ș
ȟ
J (7.77)
bzw.
»
»
»
»
¼
º
«
«
«
«
¬
ª
w
w
w
w
»
»
»
»
¼
º
«
«
«
«
¬
ª
w
w
w
w
w
w
w
w
»
»
»
»
¼
º
«
«
«
«
¬
ª
w
w
w
w
»
»
»
»
¼
º
«
«
«
«
¬
ª
w
w
w
w
Ș
ȟ
ȟ
x
Ș
x
ȟ
y
Ș
y
det
1
Ș
ȟ
y
x
1
J
J
. (7.78)
Die Jacobi‘sche Determinante ist hierin
ȟ
y
Ș
x
Ș
y
ȟ
x
det
w
w
w
w
w
w
w
w
J . (7.79)
Damit können nun die in der Untermatrix Gl. (7.76) erforderlichen Operationen ausgeführt
werden. Diese ergeben sich zu
>@
>@
.
ȟ
y
Ș
x
Ș
y
ȟ
x
Ș
x
ȟ
g
ȟ
x
Ș
g
Ș
g
ȟ
g
10
y
g
,
ȟ
y
Ș
x
Ș
y
ȟ
x
ȟ
y
Ș
g
Ș
y
ȟ
g
Ș
g
ȟ
g
01
x
g
ii
i
i
1
i
ii
i
i
1
i
w
w
w
w
w
w
w
w
w
w
w
w
w
w
w
w
»
»
»
»
¼
º
«
«
«
«
¬
ª
w
w
w
w
w
w
w
w
w
w
w
w
w
w
w
w
w
w
w
w
w
w
»
»
»
»
¼
º
«
«
«
«
¬
ª
w
w
w
w
w
w
J
J
(7.80)
Unter Berücksichtigung von Gl. (7.73) folgt sodann für die Jacobi-Matrix