Klein B. FEM: Grundlagen und Anwendungen der Finite-Element-Methode im Maschinen - und Fahrzeugbau
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7 Elementkatalog für elastostatische Probleme 98
der Verzerrungsvektor als
t
İ
>@
HHJ
xx yy xy
, (7.2)
der Spannungsvektor als
t
ı
>@
V V W
xx yy xy
(7.3)
und
die Elastizitätsmatrix als
»
»
»
»
»
¼
º
«
«
«
«
«
¬
ª
2
Ȟ1
00
01Ȟ
0Ȟ1
Ȟ1
E
2
E
. (7.4)
Als äußere Belastungen sind Einzelkräfte
i
F , verteilte Oberflächen-
yix
q
,
sowie Massen-
kräfte
yix
p
,
zugelassen. Zur Idealisierung scheibenförmiger Beanspruchungszustände wer-
den gewöhnlich
Dreieck- und Viereck-Elemente herangezogen. Mit Dreieck-Elementen
können im Allgemeinen Randkonturen besser erfasst werden, während
Viereck-Elemente
viel besser konvergieren.
7.2.2 Dreieck-Element
Am Beispiel des ebenen Dreieck-Elements wurde die FE-Methode erstmals bei Konti-
nuumsproblemen angewandt. Im einfachsten Fall wird ein Konstantelement (CST = constant
strain triangle) definiert, das im Inneren konstante Verzerrungen und somit auch konstante
Spannungen aufweist. Dies ist eine Folge des einfachen linearen Verschiebungsansatzes
,yxy,xv
,yxy,xu
654
321
DDD
D
DD
(7.5)
der mit den Knotenfreiheitsgraden korrespondiert. Für die Verzerrungen erhält man dann
H
w
w
D
H
w
w
D
xx
yy
u
x
v
y
2
6
,
und (7.6)
J
w
w
w
w
DD
xy
u
y
v
x
35
,
7.2 Scheiben-Elemente
99
also konstante Größen. Um die mechanischen Eigenschaften beschreiben zu können, müssen
im Weiteren die unbekannten Koeffizienten
D
i
bestimmt werden. Hierzu schreiben wir für
ein
Dreieck-Element folgendes Gleichungssystem auf:
»
»
»
»
»
»
»
¼
º
«
«
«
«
«
«
«
¬
ª
D
D
D
D
D
D
»
¼
º
«
¬
ª
»
¼
º
«
¬
ª
6
5
4
3
2
1
yx1000
000yx1
v
u
. (7.7)
Dieses Gleichungssystem muss für jeden Knoten des im Bild 7.6
gezeigten Elementes gel-
ten. Für drei Knoten erhält man so die sechs Gleichungen
»
»
»
»
»
»
»
¼
º
«
«
«
«
«
«
«
¬
ª
»
»
»
»
»
»
»
¼
º
«
«
«
«
«
«
«
¬
ª
»
»
»
»
»
»
»
¼
º
«
«
«
«
«
«
«
¬
ª
6
5
4
3
2
1
33
22
11
33
22
11
3
2
1
3
2
1
Į
Į
Į
Į
Į
Į
yx1
yx1
yx1
yx1
yx1
yx1
v
v
v
u
u
u
0
0
ĮN . (7.8)
2
3
1
A
1
u
2
u
3
u
1
v
2
v
3
v
1
x
2
x
3
x
1
y
2
y
3
y
Aus Gl. (7.7) gilt es nun, durch Einsetzen der Knotenkoordinaten
xy
ii
, die Koeffizienten
D
i
zu bestimmen. Wenn diese bekannt sind, kann ein Zusammenhang zwischen dem Verschie-
bungsfeld im Inneren und den drei Knotenverschiebungen hergestellt werden. Im Weiteren
ist es ausreichend, nur das reduzierte Gleichungssystem
Bild 7.6:
Lineares Dreieck-Element
in allgemeiner Lage
7 Elementkatalog für elastostatische Probleme 100
ĮN
»
»
»
¼
º
«
«
«
¬
ª
»
»
»
¼
º
«
«
«
¬
ª
»
»
»
¼
º
«
«
«
¬
ª
o
3
2
1
33
22
11
3
2
1
Į
Į
Į
yx1
yx1
yx1
u
u
u
(7.9)
zu betrachten, da die Koeffizienten
D
46
genauso ermittelt werden können. Für die Glei-
chungslösung wollen wir hier die so genannte
Cramer‘sche Regel benutzen, die eine sofor-
tige Auflösung gestattet zu
>@
312212311312332
o
333
222
111
1
uyxyxuyxyxuyxyx
A2
1
det
yxu
yxu
yxu
Į
N
*)
,
(7.10)
>@
321213132
o
33
22
11
2
uyyuyyuyy
A2
1
det
yu1
yu1
yu1
D
N
, (7.11)
>@
312231123
o
33
22
11
3
uxxuxxuxx
A2
1
det
ux1
ux1
ux1
D
N
. (7.12)
Da die Koeffizienten etwas längliche Ausdrücke annehmen, wollen wir diese durch folgende
Vereinbarung etwas abkürzen, und zwar bedeutet jetzt
.xxc
2,1,3,1,3,2,3,2,1k,j,i,yyb
,yxyxa
jki
kji
jkkji
(7.13)
Damit können die Koeffizienten etwas kürzer angegeben werden:
.,
,,
,,
33221163322113
33221153322112
33221143322111
vcvcvc
A2
1
ucucuc
A2
1
vbvbvb
A2
1
ububub
A2
1
vavava
A2
1
uauaua
A2
1
D D
D D
D D
*)
Anmerkung: Für die Nummerierung der Knoten entgegen dem Uhrzeigersinn lässt sich der Flächeninhalt
eines Dreiecks mit
>
@
0
det
2
1
A N angeben.
7.2 Scheiben-Elemente
101
Durch Einsetzen in den Ansatz von Gl. (7.5) erhält man den gewünschten Zusammenhang
>
@
yucucuc
xubububuauaua
A2
1
y,xu
332211
332211332211
oder besser sortiert
>@
333322221111
uycxbauycxbauycxba
A2
1
y,xu
bzw.
>@
333322221111
vycxbavycxbavycxba
A2
1
y,xv
.
(7.14)
Die in diesem Verschiebungsansatz auftretenden Funktionen
3,2,1i,ycxba
A2
1
g
iiii
(7.15)
sind die vorher schon erwähnten Formfunktionen, die man nun, wie im Bild 7.7
gezeigt,
deuten kann.
g=1
3
2
3
1
0,8
0,6
0,4
0,2
1,0
g
Bild 7.7
: Lineares Verhalten eines Dreieck-Scheiben-Elements infolge einer Einheitsver-
schiebung
7 Elementkatalog für elastostatische Probleme 102
Unter Benutzung dieses Ansatzes wollen wir weiter die in Gl. (7.6) angegebenen Verzer-
rungen ermitteln. Hierzu sind nachfolgende Ableitungen durchzuführen:
,konst.
A2
vbvbvbucucuc
x
v
y
u
Ȗ
konst.,
A2
vcvcvc
y
v
İ
konst.,
A2
ububub
x
u
332211332211
xy
332211
yy
332211
xx
w
w
w
w
w
w
w
w
H
(7.16)
dies konnte auch schon zuvor bewiesen werden. Sortiert man hierin die auftretenden Aus-
drücke für die bekannte matrizielle Gleichung
dBdGDİ ,
so folgt
»
»
»
»
»
»
»
»
¼
º
«
«
«
«
«
«
«
«
¬
ª
»
»
»
¼
º
«
«
«
¬
ª
»
»
»
¼
º
«
«
«
¬
ª
J
H
H
3
3
2
2
1
1
332211
321
321
xy
yy
xx
v
u
v
u
v
u
bcbcbc
c0c0c0
0b0b0b
A2
1
. (7.17)
Damit können dann auch die Spannungen
*)
angesetzt werden zu
dSdBEİEı
.
Führt man die entsprechenden Matrizenoperationen durch, so erhält man für die Spannungs-
matrix
S =
»
»
»
»
»
»
¼
º
«
«
«
«
«
«
¬
ª
QQQQQQ
QQQ
QQQ
332211
332211
332211
2
b
2
1
c
2
1
b
2
1
c
2
1
b
2
1
c
2
1
cbcbcb
cbcbcb
Ȟ1A2
E
. (7.18)
Wegen der vorausgesetzten konstanten Verzerrung müssen sich natürlich auch die Span-
nungen
V
VW
xx yy xy
,,
als konstant ergeben. Nachdem nun die Grundbeziehungen klar sind,
wollen wir uns der Berechnung der Steifigkeitsmatrix zuwenden. Ganz allgemein gehen wir
dabei von der folgenden Gleichung aus:
*)
Anmerkung: In der Literatur wird mit BES die Spannungsmatrix bezeichnet.
7.2 Scheiben-Elemente
103
dVdV=
t
VV
t
BEBGDEGDk
³³
.
Da die hierin eingehende
B-Matrix selbst nur konstante Koeffizienten beinhaltet, kann diese
auch vorgezogen werden, man findet so
BEBBEBk
³³
t
xy
t
tAdAt
. (7.19)
Angenommen wurde, dass das Element gerade Seiten und konstante Dicke hat. Um diese
Gleichung einfach auswerten zu können, haben wir schon die
B-Matrix knotenweise parti-
tioniert, dies ermöglicht uns durch
*
j
*
*t
i
2
*
j
*
2
*t
ij
t
iij
Ȟ1A4
tE
A2
1
Ȟ1
E
A2
1
tAtA
BEBBEBBEBk
¸
¹
·
¨
©
§
{
¸
¹
·
¨
©
§
(7.20)
alle Untermatrizen der Elementsteifigkeitsmatrix berechnen zu können:
»
»
»
¼
º
«
«
«
¬
ª
333231
232221
131211
kkk
kkk
kkk
k
. (7.21)
Durch schrittweise Ausmultiplikationen ergeben sich die Untermatrizen zu
»
»
»
»
¼
º
«
«
«
«
¬
ª
Q
Q
Q
2
1
00
01
01
»
»
»
¼
º
«
«
«
¬
ª
jj
j
j
bc
c0
0b
3,2,1j,imit
bb
2
1
cccb
2
1
cb
cb
2
1
cbcc
2
1
bb
b
2
1
cc
c
2
1
bb
bc0
c0b
j
*
t*
i
jijijiij
ijjijiji
iii
iii
ii
ii
{
»
»
»
»
¼
º
«
«
«
«
¬
ª
Q
Q
Q
Q
Q
Q
»
»
»
»
¼
º
«
«
«
«
¬
ª
Q
Q
Q
Q
»
»
»
¼
º
«
«
«
¬
ª
BEB
»
»
»
»
¼
º
«
«
«
«
¬
ª
Q
Q
Q
Q
Q
Q
¸
¹
·
¨
©
§
Q
jijijiij
ijjijiji
2
ij
bb
2
1
bcbc
2
1
cb
cb
2
1
cbcc
2
1
bb
1A4
tE
k . (7.22)
Über alle Kombinationen i, j führt dies zur Elementsteifigkeitsmatrix des
Dreieck-Scheiben-
Elements
(s. auch /HAH 75/), welche umseitig aufgestellt worden ist.
1
u
1
v
2
u
2
v
3
u
3
v
i = 1, j = 1
2
1
2
11111
1111
2
1
2
1
b
2
1
ccb
2
1
cb
cb
2
1
cbc
2
1
b
Q
Q
Q
Q
Q
Q
i = 1, j = 2
21212112
12212121
bb
2
1
cccb
2
1
cb
cb
2
1
cbcc
2
1
bb
Q
Q
Q
Q
Q
Q
i = 1 , j = 3
31313113
13313131
bb
2
1
cccb
2
1
cb
cb
2
1
cbcc
2
1
bb
Q
Q
Q
Q
Q
Q
¸
¹
·
¨
©
§
2
Ȟ1A4
tE
k
i = 2, j = 2
2
2
2
22222
2222
2
2
2
2
b
2
1
ccb
2
1
cb
cb
2
1
cbc
2
1
b
Q
Q
Q
Q
Q
Q
i = 2, j = 3
32323223
23323232
bb
2
1
cccb
2
1
cb
cb
2
1
cbcc
2
1
bb
Q
Q
Q
Q
Q
Q
i = 3, j = 3
2
3
2
33333
3333
2
3
2
3
b
2
1
ccb
2
1
cb
cb
2
1
cbc
2
1
b
Q
Q
Q
Q
Q
Q
(
7.23
)
104 7 Elementkatalog für elastostatische Probleme
7.2 Scheiben-Elemente
105
Auch beim
Dreieck-Element wollen wir wieder kurz auf die Konvergenz eingehen. Als Test-
problem sei dazu eine Scheibe mit Mittenloch unter Gleichspannung gewählt, so wie sie im
Bild 7.8
dargestellt ist.
2 r
x
y
3
2
1
t = konst.
a a
0
V
0
V
0
yy
V
V
0
xx
V
V
a3,0
r
z
K
e2
|D
Bild 7.8: Spannungsauswertung in einer gelochten Quadratscheibe (nach /ARG 86/)
Zur Analyse des Problems reicht es aus, eine Viertelscheibe zu betrachten. In diesem Viertel
werden mit zwei 60°-Spiralen 137-CST-Elemente generiert. Als theoretische Lösung ist be-
kannt, dass um das Loch herum eine Formzahl
0,3/ı
0
max
xx
max
K
V
D
wirksam ist.
Auch hier ergibt sich mit einer ausgewerteten Formzahl von
08,3
K
|
D
eine verblüffend
gute Annäherung. In dem Beispiel können die verwandten
Dreieck-Elemente aber nur des-
halb eine recht gut Lösung ermitteln, weil die Elemente in dem bekannten Spannungskon-
zentrationsgebiet relativ klein sind.
7.2.3 Flächenkoordinaten
Eine bei der Herleitung von finiten Elementen vielfach benutzte Darstellung verwendet
elementeigene Flächenkoordinaten, um die Formulierung unabhängig von der Gestalt und
Orientierung zu machen. Diese Möglichkeit soll der Vollständigkeit halber kurz gezeigt wer-
den.
7 Elementkatalog für elastostatische Probleme 106
Wie man insbesondere beim
Dreieck-Element Flächenkoordinaten festlegt, zeigt Bild 7.9.
3
2
1
P
p
y
p
x
1
A
2
A
3
A
1
]
2
]
3
]
Bild 7.9: Flächenkoordinaten des Dreieck-Elements
Die Lage eines beliebigen Punktes P im Inneren des Dreiecks kann somit durch die Größe
der drei Teilflächen
A
i
bzw. deren Verhältnis zur Gesamtdreieckfläche A ausgedrückt wer-
den. Für die demnach dimensionslosen Flächenkoordinaten kann also angegeben werden:
A
A
,
A
A
,
A
A
3
3
2
2
1
1
] ] ] . (7.24)
Wegen
AAAA
321
ist weiter zu erkennen, dass die drei definierten Flächenkoordinaten
1
321
]
]
]
(7.25)
nicht unabhängig voneinander sind. Um die Lage eines Punktes im Dreieckinneren eindeutig
festzulegen, genügen nämlich nur zwei Koordinaten. Die hier eingehenden Teilflächen kann
man über die folgenden Determinanten bestimmen:
PP
22
11
3
33
PP
11
2
33
22
PP
1
yx1
yx1
yx1
2
1
A,
yx1
yx1
yx1
2
1
A,
yx1
yx1
yx1
2
1
A
. (7.26)
7.2 Scheiben-Elemente
107
Für die Gesamtfläche folgt entsprechend
33
22
11
yx1
yx1
yx1
2
1
A , (7.27)
sodass wieder Gl. (7.25) erfüllt wird. Dies sei für
]
1
hier beispielhaft angedeutet:
>@
.yxxxyyyxyx
A2
1
yxyxyxxyyxyx
A2
1
x1yx1
x1yx1
x1yx1
A2
1
yx1
yx1
yx1
A2
1
P23P322332
3P23P23P2P32
333
222
PPP
33
22
pp
1
]
Verallgemeinert man jetzt diese Beziehung und benutzt wieder die Abkürzungen
jkikjijkkji
xxc,yyb,yxyxa
mit
i, j, k = 1, 2, 3; 2, 3, 1; 3, 1, 2,
so kann für die Flächenkoordinate auch angegeben werden:
ycxba
A2
1
1111
] .
Führt man diese Operation für die drei bezogenen Koordinaten durch, so besteht folgende
Zuordnung:
]
]
]
1
2
3
111
222
333
1
2
1
ª
¬
«
«
«
º
¼
»
»
»
ª
¬
«
«
«
º
¼
»
»
»
ª
¬
«
«
«
º
¼
»
»
»
A
abc
abc
abc
x
y
, (7.28)
bzw. es gilt auch die folgende Umkehrbeziehung:
»
»
»
¼
º
«
«
«
¬
ª
]
]
]
»
»
»
¼
º
«
«
«
¬
ª
»
»
»
¼
º
«
«
«
¬
ª
3
2
1
321
321
yyy
xxx
111
y
x
1
. (7.29)
An diesen Beziehungen ist zu erkennen, dass die Zusammenhänge zwischen den Flächen-
und kartesischen Koordinaten linear sind, d. h., eine Ansatzfunktion als x-, y-Polynom wird