Klein B. FEM: Grundlagen und Anwendungen der Finite-Element-Methode im Maschinen - und Fahrzeugbau
Подождите немного. Документ загружается.
7 Elementkatalog für elastostatische Probleme 108
ein ]-Polynom desselben Grades. Die im Weiteren zur Darstellung der Elementeigen-
schaften erforderlichen Differenziationen und Integrationen lassen sich mit Flächenkoor-
dinaten ebenfalls recht einfach darstellen. Wählen wir
]
]
12
,
als unabhängige Koordinaten,
so erfolgt die Differenziation nach der Produktregel zu
w
w]
w
w
w
w]
w
w
w
w]
iii
x
x
y
y
.
Der Übergang zwischen den beiden Koordinatensystemen ist dann folgendermaßen gegeben:
»
»
»
»
¼
º
«
«
«
«
¬
ª
w
w
w
w
»
»
»
»
¼
º
«
«
«
«
¬
ª
w
w
w
w
»
»
»
»
¼
º
«
«
«
«
¬
ª
w
w
w
w
w
w
w
w
»
»
»
»
¼
º
«
«
«
«
¬
ª
w
w
w
w
y
x
y
x
ȗ
y
ȗ
x
ȗ
y
ȗ
x
ȗ
ȗ
22
11
2
1
J . (7.30)
Mit
J ist hierin die so genannte Jacobi-Matrix oder Funktionsmatrix eingeführt worden, die
auch als
»
¼
º
«
¬
ª
w
w
21
,ȗȗ
x,y
J (7.31)
verkürzt geschrieben werden kann. Im vorliegenden Fall lässt sich zeigen, dass die Jacobi-
Determinante gleich ist der doppelten Dreieckfläche
A2
yxyx
det
1221
¸
¸
¹
·
¨
¨
©
§
w]
w
w]
w
w]
w
w]
w
J , (7.32)
worin die Dreieckfläche nach Gl. (7.27) anzusetzen ist als
312312132132
33
22
11
yxyxyxyxyxyx
yx1
yx1
yx1
A2
oder unter Benutzung der vorherigen Koeffizienten
2
21 12 32 23 13 31
Acb cb cb cb cb cb
. (7.33)
Damit ist dann auch die Jacobi-Matrix gegeben zu
»
¼
º
«
¬
ª
»
¼
º
«
¬
ª
»
¼
º
«
¬
ª
33
11
22
33
11
22
bc
bc
bc
bc
bc
bc
J . (7.34)
Somit kann auch der zur Gl. (7.30) erforderliche umgekehrte Zusammenhang aufgestellt
werden:
7.2 Scheiben-Elemente
109
»
»
»
»
¼
º
«
«
«
«
¬
ª
w]
w
w]
w
»
»
»
¼
º
«
«
«
¬
ª
{
»
»
»
»
¼
º
«
«
«
«
¬
ª
w]
w
w]
w
»
»
»
»
¼
º
«
«
«
«
¬
ª
w
w
w
w
w
w
w
w
»
»
»
»
¼
º
«
«
«
«
¬
ª
w]
w
w]
w
»
»
»
»
¼
º
«
«
«
«
¬
ª
w
w
w
w
2
1
21
21
2
1
12
12
2
1
1
cc
bb
A2
1
ȗ
x
ȗ
x
ȗ
y
ȗ
y
det
1
y
x
J
J
. (7.35)
Die Integrationen bezüglich x und y müssen dann ebenfalls mit
]
]
12
und transformiert wer-
den. Für ein Flächenteilchen ergibt sich so
2121
ȗdȗdA2ȗdȗddetdydxdA
{
J . (7.36)
Hierin treten typische Integrale von der Form /HAH 75/
]]]
123
2
2
³
R
ST
dA A
RST
RST
!!!
!
(7.37)
auf, worin R, S, T positive ganze Zahlen darstellen. Für eine Koordinate erhielte man so bei-
spielsweise
]
1
2
1
3! 3
³
dA A
A!
.
Der Verschiebungsansatz für ein in Flächenkoordinaten zu beschreibendes
Dreieck-Element
kann somit aufgestellt werden zu
332211
332211
vvvy,xv
,uuuy,xu
]]]
]
]
]
oder lautet in Matrixform
»
»
»
¼
º
«
«
«
¬
ª
»
¼
º
«
¬
ª
]]]
]]]
»
¼
º
«
¬
ª
3
2
1
321
321
000
000
v
u
d
d
d
u
. (7.38)
Die Formfunktionen sind dabei
332211
g,g,g
]
]
]
.
In der Übertragung auf andere Geometrien erweist sich die Flächenkoordinaten-Darstellung
meist auch als sehr vorteilhaft.
7 Elementkatalog für elastostatische Probleme 110
7.2.4 Erweiterungen des Dreieck-Elements
Für manche Probleme ist das lineare Dreieck-Element entweder zu ungenau oder unzweck-
mäßig, und zwar dann, wenn es sich einer gekrümmten Kontur anpassen muss, oder wenn
die Genauigkeit in einem Gebiet erhöht werden muss. Die immer feinere Unterteilung eines
Gebiets in finite Elemente stößt auch heute noch an Grenzen. Diese Grenzen sind durch die
Number-Crunching-Leistung (Rechengeschwindigkeit) und das Speichervermögen (Haupt-
speicher) des verfügbaren Computers gegeben. So zeigt sich, dass die Rechenzeit etwa expo-
nentiell mit der Elementezahl ansteigt und bei sehr feinen Netzen oft unakzeptable Lauf-
zeiten anfallen. Insofern bleibt nur die Alternative, die Knotenzahl der Elemente zu erhöhen,
um genauere Ergebnisse zu erhalten. Beim
Dreieck-Element ist diesbezüglich die im
Bild 7.10
gezeigte Elementfamilie entwickelt worden.
2
2
3
3
4
4
6
6
7
9
8
5
5
10
1
1
a)
b)
1
u
1
u
v
1
1
v
y
x
Bild 7.10: Dreieck-Elemente höherer Ordnung (nach /HAH 75/)
a) parabolisches Element mit 6 Knoten bzw. kubisches Element mit 10 Knoten
b) typischer Anwendungsfall
Wie man erkennt, ist hier sowohl die Möglichkeit vorhanden, quadratische und kubische
Elemente zu beschreiben. Ohne auf die Herleitung dieser Elemente näher einzugehen, sollen
ein paar allgemeine Eigenschaften andiskutiert werden:
Das 6-knotige Element mit Mittenknoten auf den Seitenmitten hat insgesamt 12 Freiheits-
grade. Demnach ist als Verschiebungsansatz ein vollständiges Polynom zweiten Grades
zu wählen, und zwar
.yyxxyxy,xv
,yyxxyxy,xu
2
1211
2
10987
2
65
2
4321
DDDDDD
DDDDDD
7.2 Scheiben-Elemente
111
Somit ergibt sich längs der Elementseiten eine parabolische Verschiebungsverteilung, die
durch die drei Knotenpunkte je Seite eindeutig bestimmt ist. Der Rand kann demzufolge
gebogen werden, wodurch die Kontur stückchenweise einer Kurve folgen kann.
Das 10-knotige Element mit zwei Zwischenknoten auf jeder Dreieckseite und einem Mit-
tenknoten weist insgesamt 20 Freiheitsgrade auf. Insofern ist hierfür der folgende voll-
ständige Ansatz maßgebend:
.yyxyx
xyyxxyxy,xv
,yyx
yxxyyxxyxy,xu
3
20
2
19
2
18
3
17
2
1615
2
14131211
3
10
2
9
2
8
3
7
2
65
2
4321
DDD
DDDDDDD
DD
DDDDDDDD
(7.39)
Die Verschiebungen einer Dreieckseite gehorchen damit einer kubischen Parabel, die ein-
deutig durch die vier Stützstellen festgelegt sind. Durch die Anzahl der Stützstellen wird
der Geometriefehler bei der Anpassung an einen beliebigen Rand relativ gering gehalten.
Ein weiterer Vorteil ist, dass das Gebiet nur relativ grob vernetzt werden braucht.
Eine gänzlich andere Möglichkeit, das Elementverhalten festzulegen, besteht darin, am
Knoten außer den Verschiebungen auch die Ableitungen der Verschiebungen als Unbe-
kannte einzuführen. Dem liegt somit eine komplizierte Ansatzfunktion zu Grunde, die
wiederum auch zu einer aufwändigen Elementbeschreibung führt. Im Element ergibt sich
dadurch eine quadratische Verzerrungs- und Spannungsverteilung, weshalb bei der Ideali-
sierung mit großen Elementen gearbeitet werden kann. Ein weiterer Vorteil ist, dass bei
einem derart formulierten Element außer Einzelkräfte auch Momente in die Knoten ein-
geleitet werden können.
Dreieck-Elemente mit Seitenmittenknoten können stets nur mit Scheiben-Elementen des
gleichen Verhaltens kombiniert werden, da Kompatibilität an den Rändern bestehen muss.
Meist führen die Theoriehandbücher zu einer FE-Software die zu berücksichtigenden Ein-
schränkungen für eine Elementklasse auf.
7.2.5 Rechteck-Element
Ein anderes einfaches Element zur Behandlung von Scheibenproblemen ist das
Rechteck-
Element /HAH 75/, welches wegen seiner regelmäßigen Geometrie zwar nur eine be-
schränkte Anwendung hat, hier aber exemplarisch betrachtet werden soll. Die Darstellung
des Elements zeigt Bild 7.11
, wobei aus Vereinfachungsgründen die Abmessungen mit 2a
und 2b gewählt wurden.
7 Elementkatalog für elastostatische Probleme 112
2
3
4
1
bb
a
a
1
v
1
u
Bild 7.11:
Lineares Rechteck-Scheiben-Element
Gemäß den vorausgegangenen Ausführungen kann der Verschiebungszustand je Koordina-
tenrichtung durch den folgenden Ansatz beschrieben werden:
.yxyxy,xv
,yxyxy,xu
8765
4321
DDDD
D
DDD
(7.40)
Die Ansatzkoeffizienten
D
i
bestimmen wir wieder aus der Platzierung des Elements in
seinem elementeigenen Koordinatensystem. Dieses legen wir hier genau mittig, sodass sich
einige Vereinfachungen ergeben.
Mit den entsprechenden Knotenkoordinaten
by,ax
ii
r
r
führt dies zu den folgenden
Gleichungen:
am Knoten
f
ist
4
x = -a,
4
y = b
und so
babav
babau
87654
43214
DDDD
DDDD
am Knoten
e
ist
3
x = a,
3
y = b
und so
babav
babau
87653
43213
DDDD
DD
D
D
am Knoten
c
ist
1
x = -a,
1
y = -b
und so
babav
babau
87651
43211
DDDD
D
DDD
am Knoten
d
ist
2
x = a,
2
y = -b
und so
babav
babau
87652
43212
DDDD
DDD
D
Wird diese Gleichung systematisch sortiert, so erkennt man über das matrizielle Schema den
Zusammenhang etwas besser:
7.2 Scheiben-Elemente
113
.
baba1
baba1
baba1
baba1
baba1
baba1
baba1
baba1
v
v
v
v
u
u
u
u
8
7
6
5
4
3
2
1
4
3
2
1
4
3
2
1
»
»
»
»
»
»
»
»
»
»
¼
º
«
«
«
«
«
«
«
«
«
«
¬
ª
D
D
D
D
D
D
D
D
»
»
»
»
»
»
»
»
»
»
¼
º
«
«
«
«
«
«
«
«
«
«
¬
ª
»
»
»
»
»
»
»
»
»
»
¼
º
«
«
«
«
«
«
«
«
«
«
¬
ª
0
0
(7.41)
Zur Bestimmung der Koeffizienten ist es hierbei ausreichend, nur eine Teilmatrix zu inver-
tieren. Wir wollen dies beispielhaft mit dem
Gauß‘schen Algorithmus tun. Zielsetzung ist es,
dabei zu einer Dreiecksmatrix zu kommen, die von unten her auflösbar ist. Das Schema ist
121314
1213
12
1
14
13
12
1
4
3
2
1
uuuuuuba4000
uuuuba2b200
uuba20a20
ubaba1
uuba2b200
uu0b2a20
uuba20a20
ubaba1
ubaba1
ubaba1
ubaba1
ubaba1
D
4
1234
4
uu uu
ab
,
22
3432
babuu
DD
D
3
1234
4
uu uu
b
,
22
2421
aabuu
D
D
D
2
1234
4
uuuu
a
,
D
D
D
D
12 3 41
ababu
D
1
1234
4
uuuu
.
Wie sich die Gleichungen ergeben, sieht man an den Umformungen der rechten Seite des
Gauß‘schen Schemas. Die entsprechenden Beziehungen für
5
D
bis
8
D
folgen aus ein-
fachem Austauschen der u- gegen die v-Verschiebungen.
7 Elementkatalog für elastostatische Probleme 114
Führt man jetzt die Koeffizienten in den Verschiebungsansatz (7.39) ein, so kann z. B. die
folgende Zuordnung erstellt werden:
.yx
ba4
uuuu
y
b4
uuuu
x
a4
uuuu
4
uuuu
y,xu
4321
432143214321
(7.42)
Wird diese Gleichung wieder sortiert, so wird sofort der Zusammenhang mit den Knoten-
größen sichtbar:
>
@
4
321
uybxa
uybxauybxauybxa
ba4
1
y,xu
bzw. (7.43)
>
@
.vybxa
vybxavybxavybxa
ba4
1
y,xv
4
321
Um die weiteren Herleitungen noch allgemein gültiger ausführen zu können, wollen wir ab
jetzt mit den beiden dimensionslosen Koordinaten [ = x/a und
K
= y/b arbeiten. Der vor-
stehende Ansatz lautet dann:
>
@
>
@
.v11v11v11v11
4
1
,v
,u11u11u11u11
4
1
,u
4321
4321
K[K[K[K[ K[
K[K[K[K[ K[
(7.44)
Hierin werden die folgenden Formfunktionen sofort sichtbar:
,11
4
1
g,11
4
1
g
,11
4
1
g,11
4
1
g
43
21
K[ K[
K[ K[
(7.45)
welche einen regelmäßigen Aufbau zeigen. Die Eigenschaften dieser Formfunktion ent-
nehme man dem umseitigen Bild 7.12
, welches beispielsweise die Verhaltensweise am
Knoten 3 wiedergibt. Man erkennt, dass der Ansatz von Gl. (7.44) ein lineares Elementver-
halten wiedergibt.
7.2 Scheiben-Elemente
115
g
2
3
4
1
[
1
K
[
1g
3
g
Nachdem nun die Verschiebungen definiert sind, können als Nächstes die Verzerrungen er-
mittelt werden. Dazu greifen wir auf den dimensionslosen Verschiebungsansatz zurück und
formulieren
wK
w
w
wK
wK
w
w
w
H
w[
w
w
w[
w[
w
w
w
H
v
b
1
y
v
y
v
,
u
a
1
x
u
x
u
yy
xx
und
w[
w
wK
w
w
w
w
w
J
v
a
1u
b
1
x
v
y
u
xy
.
Diese Gleichung überführen wir wieder in eine matrizielle Form und setzen den Ansatz ein.
Die Aufspaltung liefert dann
»
»
»
»
»
»
»
»
»
»
»
»
»
»
¼
º
«
«
«
«
«
«
«
«
«
«
«
«
«
«
¬
ª
»
»
»
¼
º
«
«
«
¬
ª
»
»
»
»
»
»
»
¼
º
«
«
«
«
«
«
«
¬
ª
w[
w
wK
w
wK
w
w[
w
»
»
»
»
»
»
¼
º
«
«
«
«
«
«
¬
ª
J
H
H
4
4
3
3
2
2
1
1
4321
4321
xy
yy
xx
v
u
v
u
v
u
v
u
g0g0g0g0
0g0g0g0g
a
1
b
1
b
1
0
0
a
1
oder
Bild 7.12:
Darstellung der Formfunktion
K
[
,g
3
am Rechteck-Element, linearer Verlauf
der Randverschiebungen
7 Elementkatalog für elastostatische Probleme 116
dBİ . (7.46)
Multipliziert man insbesondere die Gl. (7.46)
knotenweise aus, so liegt der folgende Ver-
schiebungs-Verzerrungs-Zustand am Knoten i vor:
»
»
»
»
»
»
»
¼
º
«
«
«
«
«
«
«
¬
ª
w
w
w
w
w
w
w
w
ȟ
g
a
1
Ș
g
b
1
Ș
g
b
1
0
0
ȟ
g
a
1
ii
i
i
i
B . (7.47)
Führt man dies für alle vier Knoten aus, so liegen unter Berücksichtigung der Bauformen der
g
i
(s. Gl. (7.45)) die nachfolgenden Teilmatrizen vor:
.
a
Ș1
b
ȟ1
b
ȟ1
0
0
a
Ș1
4
1
,
a
Ș1
b
ȟ1
b
ȟ1
0
0
a
Ș1
4
1
,
a
Ș1
b
ȟ1
b
ȟ1
0
0
a
Ș1
4
1
,
a
Ș1
b
ȟ1
b
ȟ1
0
0
a
Ș1
4
1
43
21
»
»
»
»
»
»
»
¼
º
«
«
«
«
«
«
«
¬
ª
»
»
»
»
»
»
»
¼
º
«
«
«
«
«
«
«
¬
ª
»
»
»
»
»
»
»
¼
º
«
«
«
«
«
«
«
¬
ª
»
»
»
»
»
»
»
¼
º
«
«
«
«
«
«
«
¬
ª
BB
BB
(7.48)
Hiermit können sofort die Elementverzerrungen angegeben werden mit
»
»
»
»
»
»
»
»
»
¼
º
«
«
«
«
«
«
«
«
«
¬
ª
»
»
»
»
»
»
»
¼
º
«
«
«
«
«
«
«
¬
ª
»
»
»
»
»
»
¼
º
«
«
«
«
«
«
¬
ª
4
3
2
1
xy
yy
xx
a
Ș1
b
ȟ1
a
Ș1
b
ȟ1
a
Ș1
b
ȟ1
a
Ș1
b
ȟ1
b
ȟ1
0
b
ȟ1
0
b
ȟ1
0
b
ȟ1
0
0
a
Ș1
0
a
Ș1
0
a
Ș1
0
a
Ș1
4
1
Ȗ
İ
İ
d
d
d
d
H
H
. (7.49)
Die Diskussion von Gl. (7.49) zeigt, dass für die Koordinatenrichtung x mit K = konst. und
für die Koordinatenrichtung y mit [ = konst. jeweils auch konstante Verzerrungen vorliegen.
7.2 Scheiben-Elemente
117
Für die Elementsteifigkeitsmatrix kann so formuliert werden:
³³
¦¦
³
1
1
1
1
4
1i
4
1j
j
t
i
t
V
dȘdȟtba=dV BEBBEBk . (7.50)
Zweckmäßiger ist hier aber eine knotenweise Auswertung von Untermatrizen
ij
k und die
spätere Zusammenfassung zur Elementsteifigkeit.
Für einen Knoten ergibt sich dann die folgende Untermatrix:
)51.7 (,dd
a
ȘȘ1
ȟ
b
ȟȟ1
Ș
b
ȟȟ1
Ș0
0
a
ȘȘ1
ȟ
2
Ȟ1
00
01Ȟ
0Ȟ1
a
ȘȘ1
ȟ
b
ȟȟ1
Ș0
b
ȟȟ1
Ș0
a
ȘȘ1
ȟ
Ȟ1
E
16
tba
j
j
i
j
j
j
i
j
1
1
1
1
i
i
i
i
i
i
i
i
2
ij
K[
»
»
»
»
»
»
»
¼
º
«
«
«
«
«
«
«
¬
ª
»
»
»
»
»
»
»
¼
º
«
«
«
«
«
«
«
¬
ª
»
»
»
»
¼
º
«
«
«
«
¬
ª
³³
k
darin sind mit [
ij,
und
K
ij,
die jeweiligen dimensionslosen Knotenkoordinaten einzusetzen.
Die bei der Integration auftretenden Integrale sind dabei recht einfach auszuwerten, und
zwar zu
[KK[K[
K[[[KK
ii i
ii i
dd
dd
2
2
2
1
1
1
1
2
2
2
1
1
1
1
1
16
3
1
16
3
³³
³³
,
und
[K [[ KK [K [K
ii i i ii
dd
³³
11 4
1
1
1
1
,
womit dann letztlich die umseitige Steifigkeitsmatrix erstellt werden kann.