Klein B. FEM: Grundlagen und Anwendungen der Finite-Element-Methode im Maschinen - und Fahrzeugbau
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7 Elementkatalog für elastostatische Probleme
138
i
100
2
3
4
5
0
h
0
-h
h
0
-h
0
6
7
8
9
h
h
-h
-h
h
-h
-h
h
mit h = 0,7745 9666 9241 4834
64/81 = 0,7901 2345 6790 1235
40/81 = 0,4938 2716 4938 2716
25/81 = 0,3086 4197 5308 6420
9
5
8
2
1
4
6
3
7
[
i
K
i
W
i
[
Bild 7.23: Gauß-Punkte im Einheitsquadrat (nach /DAN 77/)
Bei der Integration über Dreieckbereiche kann wieder sehr vorteilhaft von der Flächenkoor-
dinatendarstellung Gebrauch gemacht werden. Wie hiermit sehr einfach die Integration von
Polynomausdrücken erfolgen kann, weist beispielsweise Gl. (7.37) aus. Für kompliziertere
Integrationen ist es jedoch auch hier zwingend numerisch auszuwerten, um überhaupt die
vielfältige Elementtopologie erfassen zu können. Wie gezeigt, sind die Integrale für Dreieck-
bereiche von der Form
³
¦
|
A
m,n
1i
iii
y,xFWA2dAy,xFI
(7.103)
bzw.
321
n
1i
i
,,FwA2I ]]]|
¦
. (7.104)
Die Fläche ist dabei wiedergegeben zu
7.3 Platten-Elemente
139
33
22
11
yx1
yx1
yx1
detA2 bzw.
32313132
xxyyxxyyA2
,
worin die Koordinatenpaare
332211
y,xundy,x,y,x die Eckpunkte eines Dreiecks
im lokalen kartesischen Koordinatensystem sind. Zwei Möglichkeiten der Integration unter
Benutzung von Gauß-Punkten sind im nachfolgenden Bild 7.24
dargestellt. Das erläuterte
Konzept ist auch geeignet, beliebig krummlinig umrandete Gebiete zu erfassen. Hierzu
müssen allerdings die benutzten Transformationsbeziehungen entsprechend erweitert wer-
den.
i2 w
i
1
2
3
0,5
0
0,5
0,5
0,5
0
0
0,5
0,5
0,3333 3333
1
2
3
4
5
6
7
1/3
a
b
b
c
d
c
1/3
b
a
b
c
c
d
1/3
b
b
a
b
c
c
0,2250 0000
0,1259 3918
0,1323 9415
a = 0,7974 2699
b = 0,1012 8651
c = 0,4701 4206
d = 0,0596 1587
1
2
3
1
2
3
4
5
6
7
1
]
2
]
3
]
2. Ordnung
5. Ordnung
1
]
2
]
3
]
Bild 7.24: Gauß-Punkte in zwei Dreieckbereichen (nach /DAN 77/)
7.3 Platten-Elemente
7.3.1 Belastungs- und Beanspruchungszustand
Eine Platte ist in Wirklichkeit ein dreidimensionaler Körper mit entsprechender räumlicher
Ausdehnung. Um diesen einfach betrachten zu können, wird er mittels einiger Verein-
fachungen in ein zweidimensionales Problem überführt. Im weitesten Sinne kann eine Platte
auch als ein zweidimensionaler Balken aufgefasst werden, was beispielsweise für einen
Streifen ab einem Seitenverhältnis b/a kleiner von 0,3 ohne Weiteres zulässig wäre.
7 Elementkatalog für elastostatische Probleme
140
Das wesentliche Merkmal der Platte ist, dass die äußeren Kräfte
z,z
pF senkrecht zur
Mittelebene eingeleitet werden und demzufolge eine
Absenkung (w) wie auch Neigung
yx
, II der Mittelebene auftritt. Dies ist im folgenden Bild 7.25 prinziphaft dargestellt.
t
p
z
I
y
I
x
M
xy
Q
x
M
y
.
.
w' =
I
y
w
Bild 7.25: Verformungsannahmen an einer Platte
An den Rändern treten mit der Querkraft
x
Q , dem Biegemoment M
y
und dem Torsions-
moment M
xy
zu den Verschiebungen äquivalente Schnittgrößen auf. Wie beim Balken kann
auch der Verformungszustand der Platte allein aus der Durchbiegung der Mittelebene be-
stimmt werden. Mit dem hierfür gültigen Verzerrungszustand von Gl. (5.113) und den An-
nahmen der
Kirchhoff‘schen Theorie dünner Platten
*)
/HAH 75/ können dann folgende Ver-
schiebungsgrößen definiert werden:
wwxy ,,
x
w
zu
w
w
und (7.105)
y
w
zv
w
w
.
Damit lässt sich der gesamte Verformungszustand alleine mit der Durchbiegung w beschrei-
ben. Die hierin noch vorkommenden Ableitungen sind die Querschnittsverdrehungen
yx
,
I
I
um die x- bzw. y-Achse
I
w
w
I
w
w
xy
w
y
w
x
,.
*)
Anmerkung: Bei dicken Platten oder Sandwichplatten muss der Schubeinfluss berücksichtigt werden. Hier-
für ist der „Reissner-Mindlin-Ansatz“ am besten geeignet. In vielen FE-Programmen ist dies
für Platten die Voreinstellung.
7.3 Platten-Elemente
141
Für die Verzerrungen erhält man somit
»
»
»
»
»
»
»
»
»
¼
º
«
«
«
«
«
«
«
«
«
¬
ª
ww
w
w
w
w
w
»
»
»
»
»
»
»
»
¼
º
«
«
«
«
«
«
«
«
¬
ª
w
w
w
w
w
w
w
w
»
»
»
»
»
»
»
¼
º
«
«
«
«
«
«
«
¬
ª
J
H
H
yx
w
2
y
w
x
w
z
x
v
y
u
y
v
x
u
2
2
2
2
2
xy
yy
xx
. (7.106)
Wie sich leicht überprüfen lässt, folgt weiter
0und0
xzyz
J
J
.
Die zweiten Ableitungen werden gewöhnlich als Krümmungen
*)
N
w
w
N
w
w
xy
w
x
w
y
2
2
2
2
, (7.107a)
und die gemischte Ableitung als Verwindung
N
w
ww
xy
w
xy
2
(7.107b)
bezeichnet.
Mit dem Hooke‘schen Gesetz für den ESZ
0,0
yzxzzz
W
W
V
folgen dann für die
Spannungen
»
»
»
»
¼
º
«
«
«
«
¬
ª
N
N
N
»
»
»
»
»
¼
º
«
«
«
«
«
¬
ª
Q
Q
Q
Q
»
»
»
»
¼
º
«
«
«
«
¬
ª
W
V
V
xy
y
x
2
xy
yy
xx
2
2
1
00
01
01
1
zE
. (7.108)
Durch die Abhängigkeit von der z-Koordinate werden über die Dicke lineare Spannungsver-
läufe ausgewiesen. Auf den beiden Deckflächen sind diese Spannungen maximal.
*)
Anmerkung: Für das Vorzeichen ist eingeplant: positive Durchbiegung nach unten und positives Moment
erzeugt negative Krümmung.
7 Elementkatalog für elastostatische Probleme
142
Diese Spannungen müssen weiter als Resultierende aufgefasst werden, aus denen man durch
Integration über der Plattendicke so die Schnittgrößen Biege- und Torsionsmomente pro
Längeneinheit erhält:
³³
³³³
2t/
2t/
2t/
2t/
yzyxzx
2t/
2t/
xyyxxy
2t/
2t/
yyx
2t/
2t/
xxy
.dzIJqdz,IJq
dz,zIJmmdz,zımdz,zım
(7.109)
Wie sich diese Schnittgrößen ergeben, zeigt Bild 7.26
für einen normierten Einheitsschnitt
(x = konst.).
1
dz
dz1dA
xxxx
V
V
Bild 7.26:
Zur Bestimmung der Schnittgrößen (nach /SZI 82/)
Das Gleichgewicht (6 aller Kräfte und 6 aller Momente gleich null) liefert
.0q
y
m
x
m
,0q
x
m
y
m
,0)y,x(p
y
q
x
q
x
yx
x
y
xyy
z
y
x
w
w
w
w
w
w
w
w
w
w
w
w
(7.110)
Aus den Gleichgewichtsbedingungen Gl. (7.110) folgt durch rekursives Einsetzen für die
Querkräfte die
Drei-Momentengleichung
0)y,x(p
x
m
y
m
yy
m
x
m
x
z
xyyyx
x
¸
¸
¹
·
¨
¨
©
§
w
w
w
w
w
w
¸
¸
¹
·
¨
¨
©
§
w
w
w
w
w
w
bzw. (7.111)
0)y,x(p
y
m
yx
m
2
x
m
z
2
2
y
2
xy
2
2
x
w
w
ww
w
w
w
.
7.3 Platten-Elemente
143
Unter Verwendung der Beziehungen Gl. (7.107) bis (7.109) erhält man weiter
.
yx
w
112
tE
dzz
1
E
mm
,
y
w
x
w
112
tE
dzz
1
E
m
,
y
w
x
w
112
tE
dzz
1
E
m
2
2/t
2/t
3
2
xyyxxy
2
2
2
2
2/t
2/t
2
3
2
yx
2
y
2
2
2
2
2/t
2/t
2
3
2
yx
2
x
ww
w
Q
N
Q
¸
¸
¹
·
¨
¨
©
§
w
w
w
w
Q
Q
NNQ
Q
¸
¸
¹
·
¨
¨
©
§
w
w
Q
w
w
Q
NQN
Q
³
³
³
(7.112)
Das Einsetzen von Gl. (7.112) in Gl. (7.111) führt auf die partielle Differenzialgleichung der
Plattenbiegung
y,xp
tE
112
y
w
yx
w
2
x
w
z
3
2
4
4
22
4
4
4
Q
w
w
ww
w
w
w
, (7.113)
welche die Durchbiegung mit der Last und die Steifigkeit verknüpft.
7.3.2 Problematik der Platten-Elemente
Mittels des FE-Ansatzes soll die vorstehende DGL linearisiert und als Gleichungssystem in
w (= Durchbiegung) formuliert werden. Als Knotenpunktparameter sind diesbezüglich die
Durchbiegung
i
w und die entsprechenden Ableitungen
yixi
,
I
I
anzusehen.
Die im Kapitel 6 für zulässige Ansätze formulierten Bedingungen müssen jedoch bei der
Platte eine Erweiterung erfahren, und zwar ist jetzt zu fordern, dass die Durchbiegung
y,xw sowie auch ihre Normalenableitung nw/ww an den Elementrändern stetig auf die
Nachbarelemente /GAL 76/ übergehen. Dies ist dann gegeben, wenn sowohl die Durchbie-
gung als auch die Normalenableitung an jedem Elementrand eindeutig durch die Knoten-
punktparameter bestimmt sind. Mittels dieser Forderung ist gleichzeitig gewährleistet, dass
der Materialzusammenhalt zwischen den Elementen bestehen bleibt und kein Knick beim
Übergang von einem Element in das benachbarte auftritt.
Die für die
Platten-Elemente aufzustellenden Ansätze sollten diesbezüglich erfüllen /HAH
75/:
Vollständigkeit des Verschiebungsansatzes zur Gewährleistung einer guten Konvergenz
und
Einschluss der Glieder 1, x, y, x
2
, xy, y
2
, um Zustände veränderlicher Verzerrungen,
Krümmungen sowie auch Starrkörperverschiebungen erfassen zu können.
Mit dem
Pascal'schen Dreieck wurden einführend schon Polynome zusammengestellt, die
die vorstehenden Bedingungen erfüllen. Im Fall der
Platten-Elemente stoßen wir hier aber
auf eine neue Schwierigkeit. Beim
Balken-Element ist herausgestellt worden, dass die Bie-
7 Elementkatalog für elastostatische Probleme
144
gung mit einem vollständigen Polynom 3. Ordnung beschrieben werden kann. Wie wir aus
dem Bild 7.27
aber entnehmen können, hat ein Polynom 3. Ordnung jedoch zehn Glieder.
Unter der Voraussetzung, dass ein
Platten-Element pro Knoten drei Freiheitsgrade hat, wäre
also beim
Rechteck-Element ein zwölfgliedriger Ansatz und beim Dreieck-Element ein
neungliedriger Ansatz erforderlich. In der üblichen Bauform wäre dieser aber nur unvoll-
ständig oder überzählig aufzustellen.
y
1
x
x
2
xy y
2
x
3
xy
2
y
3
x
4
xy
3
xy
22
xy
3
y
4
z
x
w
3
w
3
y
.
.
n
n
3
3
1
2
4 1
2
a)
b)
c)
Polynomglieder
1
3
6
10
15
3y
I
3x
I
3x
I
3y
I
Bild 7.27:
Freiheitsgrade an Platten-Elementen
a) rechteckiges Element mit 12 FHGs, b) dreieckiges Element mit 9 FHGs
c) Pascal‘sches Dreieck mit Ansatzfunktionen
Entsprechend des Aufbaus des Ansatzes können nunmehr zwei Gattungen von Platten-Ele-
menten /HAH 75/ formuliert werden, und zwar
verträgliche (so genannte konforme) Elemente, bei denen die Verschiebung und die Ver-
drehung stetig zu den Nachbarelementen übergeht,
und
nichtverträgliche (so genannte nichtkonforme) Elemente, die nur die Stetigkeit der Ver-
schiebungen verlangt, während die Verdrehung die Stetigkeitsforderung verletzen darf.
Die dadurch bei der Elementformulierung entstehenden Probleme wollen wir nachfolgend
nur kurz ansprechen. Vor der eigentlichen Elementbeschreibung soll aber noch einmal zu-
sammenfassend der auf
Platten-Elemente angepasste FE-Formalismus dargelegt werden.
Wie schon ausgeführt wird dabei für die Durchbiegung mit
7.3 Platten-Elemente
145
dG y,xyx,w (7.114)
in bekannter Weise ein Ansatz gemacht. Die Verschiebungsgrößen an den Knoten wählen
wir zu
>@
yixii
t
i
ijijw d (7.115)
und die zugehörigen Knotenkräfte zu
>@
yixizi
t
i
MMQ p . (7.116)
Die Definition dieser Größen zeigt noch einmal Bild 7.28
.
z
x
y
w
Q
zi
i
M
xi
M
yi
y
x
w
I
w
w
x
y
w
I
w
w
Bild 7.28:
Verschiebungs- und Kraftgrößen am Knoten eines Platten-Elements
Für die Verzerrungen (s. auch Gl. (7.106)) kann so wieder der Zusammenhang
wz Dİ
hergestellt werden. Wird darin der vorstehende Ansatz eingeführt, so wird daraus
dBdGDİ
zz . (7.117)
Hierin lautet die
B-Matrix für einen Knoten:
GB
»
»
»
»
»
»
»
»
¼
º
«
«
«
«
«
«
«
«
¬
ª
ww
w
w
w
w
w
yx
2
y
x
2
2
2
2
2
i
. (7.118)
7 Elementkatalog für elastostatische Probleme
146
Damit sind wir jetzt gemäß Gl. (7.109) in der Lage, als weitere Beziehung die für die
Mittelebenenverformung maßgeblichen Schnittmomente (pro Seitenlänge) anzugeben, und
zwar zu
dzz
2t/
2-t/
³
ım . (7.119)
Wird hierin die Spannung durch
dBEİEı
ESZESZ
z
ersetzt und dies in Gl. (7.119) berücksichtigt, so folgt
dBEdBEdBEm
³
PESZ
3
2
2t/
2t/
ESZ
12
t
dzz . (7.120)
Die Elementsteifigkeitsmatrix kann so wieder unter Heranziehung des Energieprinzips ge-
wonnen werden, und zwar gilt für die innere Formänderungsarbeit der dünnen Platte
dV
2
1
W
P
V
t
i
İEİ=
³
(7.121)
bzw. für eine virtuelle Verzerrung
dAdAdzzdVį=įW
t
A
2
ESZ
A
2t/
2t/
t
p
t
V
i
mİİEİİEİ G G
³³³³
. (7.122)
Gleichgewicht liegt vor, wenn die äußere Arbeit der Knotenkräfte gleich der inneren Arbeit
ist:
dBEBdpd
³
dVįį
P
V
ttt
. (7.123)
Damit liegt die Beziehung zur Bildung der Elementsteifigkeitsmatrix mit
dV
P
t
V
BEBk
³
(7.124)
fest.
7.3.3 Rechteck-Platten-Element
Auf das einfache 4-knotige
Rechteck-Platten-Element gehen die ersten Bemühungen zurück,
Plattenprobleme mit der FEM zu berechnen. Ein derartiges Element zeigt das Bild 7.29
.
7.3 Platten-Elemente
147
w
3
I
y3
I
x3
3
1
4
2
s
b
a
x
y
t
[
Bild 7.29:
Rechteck-Platten-Element (nach /HAH 75/)
Mit den eingeführten Knotenparametern (s. Gl. (7.115)) liegen somit 12 Freiheitsgrade vor,
für die es ein Ansatz zu machen gilt. Unter Berücksichtigung der zuvor formulierten Ansatz-
bedingungen bietet es sich zunächst an, ein unvollständiges Polynom 4. Grades mit 12 Koef-
fizienten zu wählen. Im Pascal‘schen Dreieck sind dies die folgenden Glieder:
y
1
x
x
2
xy y
2
x
3
xy
2
y
3
x
4
xy
3
xy
22
xy
3
y
4
womit der Ansatz
wxy x y x x y y
xxyxy y
xy xy
,
DD D D D D
DD D D
DD
12 3 4
2
56
2
7
3
8
2
9
2
10
3
11
3
12
3
(7.125a)
erstellt werden kann. Dieser kann symbolisch auch als
ĮN
t
yx,w (7.125b)
mit
>@
33322322t
xyyxyxyyxxyxyxyx1 N (7.126)