Klein B. FEM: Grundlagen und Anwendungen der Finite-Element-Methode im Maschinen

7 Elementkatalog für elastostatische Probleme

158

.tq

t

q

ta

Q

tb

Q

,tn

t

n

ta

N

,tn

t

n

tb

N

xyxy

xyyxxy

xy

yyy

yy

xxx

xx

W o



W

V o



V

V o



V

(7.140)

Unter der weiteren Annahme, dass wir es mit linear elastischem Verhalten der Platte zu tun

haben, kann für die Durchbiegung die

St. Venant‘sche DGL (nach /SZI 82/ auch Beul-

gleichung)

¸

¹

·

¨

©

§

w



ww

w



w

 ''

2

y

2

xy

2

xz

y

w

n

yx

w

q2

x

w

n

ˆ

)y,x(pwB

(7.141)

mit der Plattenbiegesteifigkeit

¸

¹

·

¨

©

§

Q



2

3

112

tE

B (7.142)

zu Grunde gelegt werden. Hierbei werden jetzt die äußeren Druckkräfte positiv gezählt. In-

folge einer angenommenen sehr kleinen Anfangsdurchbiegung w der Platte ergeben sich

große Verzerrungen

*)

der Mittelebene in der Beul-Vorzugsrichtung zu

2

yy

2

xx

y

w

2

1

,

x

w

2

1

¸

¹

·

¨

©

§

w

H

¸

¹

·

¨

©

§

w

H

und

J

w

xy

w

x

w

y



. (7.143)

Der damit verbundene Verformungszustand muss von einer definierten Formänderungs-

energie /SZI 82/ aufrechterhalten werden. Die erforderliche Größe kann angegeben werden

zu

*)

Anmerkung: Verzerrungen bei großen Geometrieänderungen setzen sich aus einem linearen Anteil und

einem geometrisch nichtlinearen Anteil wie folgt zusammen:

¸

¹

·

¨

©

§

w



w



¸

¹

·

¨

©

§

w



w

J

¸

¹

·

¨

©

§

w



w

H

¸

¹

·

¨

©

§

w



w

H

y

w

x

w

x

v

y

u

y

w

2

1

y

v

x

w

2

1

x

u

xy

2

yy

2

xx

,,

7.3 Platten-Elemente

159

³

°

¿

°

¾

½

°

¯

°

®



¸

¹

·

¨

©

§

w



¸

¹

·

¨

©

§

w



¸

¹

·

¨

©

§

w



¸

¹

·

¨

©

§

w

A

2

yxy

2

xR

dA

y

w

n

y

w

x

w

q2

x

w

n

2

1

W.

*)

(7.144)

Diese Gleichung kann auch matriziell geschrieben werden als

dA

y

w

x

w

nq

qn

y

w

x

w

2

1

W

yxy

xyx

A

R

»

¼

º

«

¬

ª

w



»

¼

º

«

¬

ª



»

¼

º

«

¬

ª

w

³

. (7.145)

Machen wir jetzt wieder mit

 

dG  yx,yx,w

unseren bekannten Ansatz, so können die vorstehend benötigten Ableitungen ersetzt werden

durch

>@

dGdGGdG

.

  

»

¼

º

«

¬

ª

w

»

¼

º

«

¬

ª

w

~

'

y

x

y

w

x

w

. (7.146)

Damit kann für die Arbeit (Kraft x Weg) auch angegeben werden:

dkddpdGGd  {

»

¼

º

«

¬

ª



³

G

tt

yxy

xyx

t

A

R

2

1

2

1

dA

~

nq

qn

~

2

1

W

. (7.147)

Mit

GxyGyGx

yxy

xyx

t

A

G

dA

~

nq

qn

~

kkkGGk {

»

¼

º

«

¬

ª

³

(7.148)

wurde hierbei eine Matrix abgespalten, die

geometrische Steifigkeitsmatrix heißt. Vielfach

wird in der Literatur auch die Bezeichnung Anfangsspannungsmatrix benutzt, um auszu-

drücken, dass diese Matrix nicht nur von der Geometrie, sondern auch von dem Anfangsver-

formungszustand abhängig ist. Die geometrische Steifigkeit macht sich besonders im rich-

tungsabhängigen Widerstand gegen Beulen bemerkbar. Demzufolge lassen sich in Richtung

der Seitenlängen die Steifigkeiten

Gx

k ,

Gy

k und die Diagonalsteifigkeit

Gxy

k definieren.

Ohne nähere Ausrechnung sind diese drei Matrizen für konstant dicke Platten umseitig auf-

geführt worden.

*)

Anmerkung: Arbeit

³³



¸

¹

·

¨

©

§

w

 HV {

VA

x

dAt

x

w

t

n

2

1

dVW !

1

w

1x

I

1y

I

2

w

2x

I

2y

I

3

w

3x

I

3y

I

4

w

4x

I

4y

I

1 552

2

132b 48b

2

3

-84a

0

224a

2

4 204

78b -42a

552

5

-78b -36b

2

0

-66b 48b

2

6

-42b

0

112a

2

-84a

0

224a

2

7 -204

-78b 42a

-552

132b 84a

552

8

78b 36b

2

0

132b -48b

2

0

-132b 48b

2

a260.1

bt

xx

Gx



V

k

9

-42a

0

-28a

2

-84a

0

-56a

2

84a

0

224a

2

10 -552

-132b84a

-204

78b 42a

204

-78b 42a

552

11

-132b -48b

0

-78b 36b

0

78b -36b

2

0

132b 48b

2

12

-84a

0

-64a

2

-42a

0

-28a

2

42a

0

112a

2

84a

0

224a

2

160 7 Elementkatalog für elastostatische Probleme

(7.149)

1

w

1x

I

1y

I

2

w

2x

I

2y

I

3

w

3x

I

3y

I

4

w

4x

I

4y

I

1 552

2

84b 224b

2

3

-132a

0

48a

2

4 -552

-84b 132a

552

5

84b -56b

2

0

-84b 224b

2

6

132a

0

-48a

2

-132a

0

48a

2

7 -204

-42b 78a

204

-42b -78a

552

8

42b -28b

2

0

-42b 112b

2

0

-84b 224b

2

a260.1

bt

yy

Gy



V

k

9

-78a

0

36a

2

78a

0

-36a

2

132a

0

48a

2

10 204

42b -78a

-204

42b 78a

-552

84b -132a

552

11

42b 112b

2

0

-42b -28b

2

0

-84b -56b

2

0

84b 224b

2

12

78a

0

-36a

2

-78a

0

36a

2

-132a

0

-48a

2

132a

2

0

48a

2

(7.150)

7.3 Platten-Elemente 161

1

w

1x

I

1y

I

2

w

2x

I

2y

I

3

w

3x

I

3y

I

4

w

4x

I

4y

I

1 180

2 0 0

3 0

-20ab

0

4 0 0

-72a

-180

5 0 0

20ab

0 0

6

72a 20ab

0 0

-20ab

0

7 -180

-72b 72a

0

72b

0 180

8

72b 24b

2

-20ab -72b

0

20ab

0 0

a260.1

bt

xy

Gxy



W

k

9

-72a -20ab 24a

2

0

20ab

0 0

-20ab

0

10 0

72b

0 180

-72b -72a

0 0

72a

-180

11

-72b

0

20ab 72b -24b

2

-20ab

0 0

20ab

0 0

12 0

20ab

0

72a -20ab -24a

2

-72a20ab

0 0

-20ab

0

162 7 Elementkatalog für elastostatische Probleme

(7.151)

7.3 Platten-Elemente

163

Setzt man jetzt weiter für das Beulproblem das Prinzip der virtuellen Arbeit an, so gilt

GG GW= W W

BR



*)

(7.152)

oder für ein Element die Steifigkeitsbeziehung



dkkp 

GB

. (7.153)

Hierin wird mit

B

k

gemäß Gl. (7.132) die normale Biegesteifigkeitsmatrix bezeichnet.

Mit diesem Elementzusammenhang kann dann auch in bekannter Weise der Systemzusam-

menhang



PUKK 

GB

(7.154)

hergestellt werden.

Wie das allseits bekannte Knicken stellt auch Beulen ein Instabilitätsproblem dar. Eigenart

jedes Instabilitätsproblems ist, dass nach dem ersten Eigenwert einer Bauform (erster mög-

licher Verformungszustand) gefragt wird, wobei die Größe der äußeren Kraft keine Rolle

spielt. Im vorliegenden Fall sind mit

n,n

xy

und q dennoch äußere Lasten vorhanden. Mit

proportionalem Anwachsen dieser Lasten um

OOOnnq

xy

,,

wird jedoch die Ausbiegung

größer werden, weil sich die geometrische Steifigkeit ändert. In diesem Fall ist also das

folgende spezielle Eigenwertproblem



0UKK O

GB

(7.155)

zu lösen. Ein Ausbeulen der Platte tritt somit ein, wenn für ein bestimmtes O eine nichttrivi-

ale Lösung von Gl. (7.155) existiert. Der niedrigste Load-Faktor O ergibt dann die kleinste

Beullast. Für die Lösung von Eigenwertproblemen der vorstehenden Art gibt es numerische

Standardlöser, die nach Umformung der vorliegenden Gleichung rezeptmäßig anwendbar

sind. Um diese Grundform zu erreichen, machen wir zuerst wieder von der Dreieckzerlegung

(s. auch Gl. (5.104)) bei der Matrix

LLK 

t

G

(7.156)

Gebrauch. Als Nächstes multiplizieren wir die Gl. (7.148) von links mit der inversen trans-

ponierten Dreieckmatrix und Klammern noch geeignet aus, sodass folgende Gleichung

0ULILKL 

¸

¹

·

¨

©

§





Ȝ

1

B

1

t

(7.157)

bzw. die Universalform

*)

Anmerkung: Gesamtbiegezustand minus Anfangsdurchbiegung = Verformungsarbeit

7 Elementkatalog für elastostatische Probleme

164



0XIA O

**

(7.158)

vorliegt. Die Lösung erfolgt sodann für den Eigenvektor

*

X , der mittels der Rücktransfor-

mation /STO 73/

*1

XLU 



(7.159)

wieder dem Problem angepasst wird. Über den Verschiebungsvektor

U, der hier noch auf

Eins normiert wird, können so alle Beulgrundformen ermittelt werden.

Ein typisches Anwendungsproblem hierzu zeigt Bild 7.35

. Aufgabenstellung ist es dabei, die

verschiedenen Beulformen eines eingespannten Profilstabes unter einseitigem Druck zu be-

stimmen.

a)

b)

c)

d)

Bild 7.35: Beulinstabilitätsformen eines druckbeanspruchten Profilstabes

Für die Lösung eines derartigen Problems kann ein

Platten- oder ein Schalen-Element heran-

gezogen werden. Die Software muss dann über einen Instabilitätsmodul verfügen, der die

auftretenden Verformungszustände sichtbar machen kann. Die Abbildung zeigt in den

Fenstern a, b, c exemplarisch die Eigenformen eines Z- und Doppel-T-Profils. Ergänzend ist

7.4 Schalen-Elemente

165

jeweils der Effekt für einen

gebördelten Flansch im Fenster d dargestellt. Man erkennt, dass

schon eine kurze Bördelung geeignet ist, einen Flansch wesentlich zu stabilisieren, wodurch

auch die Tragfähigkeit unter Druck angehoben wird. Ein weiteres Experiment zur Instabilität

ist im Bild 7.36

an einigen dünnwandigen Rohren vorgenommen worden.

a)

b)

c) d)

Bild 7.36: Beulinstabilitätsformen eines druckbeanspruchten Rohrs

Man erkennt sehr schön die verschiedenen Bauformen und bei etwa gleichen geometrischen

Verhältnissen über den bezogenen Lastvektor auch den Widerstand gegen Beulen.

7.4 Schalen-Elemente

Die Bedeutung von Schalen-Elementen hat mit dem fortschreitenden Leichtbau enorm zuge-

nommen. Überall dort, wo dünnwandige Bauteile (z. B. Fahrzeugkarosserie, Behälter, Ge-

häuse etc.) mit teils mehrachsiger Belastung nachgebildet werden müssen, ist das Anwen-

dungsfeld von Schalen. Insofern sollen auch

Schalen-Elemente kurz dargestellt werden.

Auf die sehr komplizierte elastomechanische Theorie der Schalen wollen wir im Weiteren

nicht eingehen, da nachfolgend nur dünne, ebene

Schalen-Elemente /KLE 94a/ betrachtet

werden sollen. Diese unterliegen einem Membran- und Biegespannungszustand, der sich

vereinfacht durch Überlagerung der Scheiben- und Platteneigenschaft darstellen lässt. Mit

7 Elementkatalog für elastostatische Probleme

166

diesen ebenen Elementen können zwar Kreis- und Kuppelgeometrien nur fassettiert

idealisiert werden, was aber bei hinreichender Netzfeinheit meist eine gute Näherung ergibt.

Für größere Genauigkeit bieten viele FE-Programme noch Elemente mit Seiten- und

Flächenmittenknoten an, die beliebige Bauteilgeometrien erfassen können.

y

x

z

a)

b

)

c)

Bild 7.37: Approximation von Schalenkonturen durch ebene finite Schalen-Elemente

a) Modellierung einer Zylinderschale

b) Modellierung einer Kuppelschale

c) Dach einer PKW-Struktur

In den Darstellungen von Bild 7.37

sind typische Anwendungen von Dreieck- und Rechteck-

Schalen-Elementen mit linearem und quadratischem Ansatz dargestellt. Darüber hinaus

existieren noch

Ring-Schalen-Elemente für durchgehende Rotationsgeometrien.

Am Beispiel des

Dreieck-Schalen-Elements sollen nachfolgend die wesentlichen Überle-

gungen angestellt werden. Zunächst konstruieren wir uns das

Dreieck-Schalen-Element aus

der Überlagerung des

Dreieck-Scheiben- mit dem Dreieck-Platten-Element. Durch diese

Vorgehensweise gibt es keine direkte Kraftkopplung zwischen dem Membran- und Biege-

anteil /KOL 85/. Eine Kopplung entsteht jedoch in dem Moment, wenn äußere Kräfte und

Momente in den Knoten eingeleitet werden. Das Prinzip der Überlagerung zeigt Bild 7.38

,

7.4 Schalen-Elemente

167

d. h., die Freiheitsgrade von

Scheibe und Platte werden an einem Schalen-Knoten zu-

sammengeführt.

1

2

3

u, x

y, v y, v

N

x2

N

y2

v

3

v

3

u

3

u

3

1

2

3

Q

z2

w

3

z, w

x

M

y2

M

x2

I

x3

I

y3

1 2

3

w

3

I

x3

I

y3

Bild 7.38: Überlagerung eines Scheiben- und Platten-Elements zu einem Schalen-Element

Durch die erfolgte Elementverknüpfung entstehen pro Knoten fünf natürliche Freiheitsgrade.

Um das Elementverhalten nachbilden zu können, müssen nun für die sich ergebenden Stei-

figkeitsanteile bestimmte Ansätze gemacht werden. Hierbei ist es zulässig, für den Scheiben-

anteil wieder lineare Verschiebungen und für den Plattenanteil kubische Durchbiegungen

anzusetzen. Im Prinzip können somit die bekannten Einzelsteifigkeiten benutzt werden und

brauchen hier nur richtig platziert zu werden.

Aus Verständnisgründen wollen diesen einfacheren Herleitungsweg einschlagen, um die

Darstellung des

Schalen-Elements etwas abzukürzen. Für den Membran- oder Scheibenanteil

kann demnach der folgende Verschiebungsansatz

Slin

v

u

dGu 

»

¼

º

«

¬

ª

(7.160)

Klein B. FEM: Grundlagen und Anwendungen der Finite-Element-Methode im Maschinen - und Fahrzeugbau

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