Klein B. FEM: Grundlagen und Anwendungen der Finite-Element-Methode im Maschinen - und Fahrzeugbau
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5 Das Konzept der Finite-Element-Methode
88
7. Schritt: Aufbau des globalen Lastvektors
Korrespondierend zur Krafteinleitung an den Knoten lautet der Lastvektor:
»
»
»
»
»
»
¼
º
«
«
«
«
«
«
¬
ª
0
N0001
Nmm50062
N750
Nmm50062
5
4
3
2
1
.
.
.
P
.
8. Schritt: Lösung des Gleichungssystems
Durch Inversion der Steifigkeitsmatrix können über die Multiplikation
PKU
1
die unbekannten Knotenverschiebungen zu
»
»
»
»
»
»
¼
º
«
«
«
«
«
«
¬
ª
q
q
q
»
»
»
»
»
»
¼
º
«
«
«
«
«
«
¬
ª
»
»
»
»
»
»
¼
º
«
«
«
«
«
«
¬
ª
\
\
\
190
mm02620
060
mm9430
140
00330
mm02620
00110
mm9430
00240
w
w
3
3
2
2
1
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
U
bestimmt werden. Es ist zu beachten, dass \ [°] = arctan [ \ ] gilt!
9. Schritt:
Berechnung der Spannungen
Für Element 1:
2
1x
2121
2
1x
2
x
2121
2
x
mmN683433L
2
L
2
ww
L
6
EzL
mmN7674850
2
L
2
ww
L
6
Ez0
/,
/,)(
)(
V
»
¼
º
«
¬
ª
\\ V
V
»
¼
º
«
¬
ª
\\ V
Für Element 2 ist analog vorzugehen.
10. Schritt: Rückrechnung zu den Reaktionskräften (hier nicht durchgeführt)
89
6 Wahl der Ansatzfunktionen
Auf die Bedeutung der Verschiebungsansätze wurde in den vorausgegangenen Betrach-
tungen zur Methode schon hingewiesen. Vor diesem Hintergrund stellt sich einem Anwen-
der somit die Frage, nach welchen Regeln erfüllende Ansätze zu bilden sind. Im Wesent-
lichen müssen Verschiebungsansätze die folgenden drei Bedingungen /GAL 76/ erfüllen:
1. Die Ansatzfunktion darf keine Verzerrungen oder Spannungen hervorrufen, wenn ein
Element nur Starrkörperbewegungen vollführt.
2. Die Ansatzfunktion muss stetig sein. Stetigkeit ist im Inneren und auf dem Rand zu ver-
langen, falls das Element mit einem Element desselben Typs oder mit Elementen dessel-
ben Ansatztyps in Berührung kommt.
und
3. Die Ansatzfunktion soll zumindest Konstantglieder enthalten, damit auch ein konstanter
Verzerrungs- und Spannungszustand dargestellt werden kann.
Die sich hinter diesen Forderungen verbergenden Verhaltensweisen sollen nun kurz erläutert
werden.
Für die erste Regel wollen wir dazu Bild 6.1 heranziehen. Zunächst sind dort die Verschie-
bungsmodi Translation und Drehung dargestellt, die ein verstarrtes Element ausführen
können muss, ohne dass in ihm Verzerrungen und Spannungen hervorgerufen werden.
a)
b)
spannungsfreie
Elemente
mögliche Starrkörper-
translation und -drehung
am Element
u
v
\
F
Bild 6.1: Idealisierung eines Kragbalkens
a) Starrkörpermodi, b) möglicher Verformungszustand
6 Wahl der Ansatzfunktionen
90
Der Grund, weshalb ein Element in der Lage sein muss, diese Starrkörperbewegungen zu er-
möglichen, erkennt man an dem Verformungsbild des Kragbalkenbeispiels, bei dem die
rechts vom Kraftangriff liegenden Elemente unbeansprucht sind und trotzdem der Form der
Biegelinie folgen müssen.
Bei den beiden bisher verwandten Ansatzfunktionen war dies gewährleistet, wie folgende
Abschätzung zeigt:
Stab-Element
Dehnung:
L
u
L
u
21
x
H , (6.1)
Starrkörperbewegung:
uuu
21
,
woraus
0somitund0
xx
V
H folgt.
Balken-Element
Dehnung:
¿
¾
½
¯
®
\\ H
2121
2
x
2
L
2
ww
L
6
z0 , (6.2)
Starrkörperbewegungen:
0www
2121
\
\
, ,
woraus ebenfalls
0und0
xx
V
H
folgt.
Die Wirkung der
zweiten Regel über die Stetigkeit erkennt man deutlich im Bild 6.2.
y, v
x, u
2
1
1
2
4
2'
1'
21
3
3
3'
kein Klaffen
der Ränder
2313
vv
2313
uu
2112
uv
2112
uu
Bild 6.2:
Kompatibilität zwi-
schen Elementen für
den ebenen Span-
nungszustand (nach
/BAT 86a/)
6 Wahl der Ansatzfunktionen
91
Kompatibilität zwischen den Elementen bedeutet in diesem Fall, dass die Verschiebungen
im Inneren und auf den Rändern der Elemente kontinuierlich sein müssen. Hierdurch wird
sichergestellt, dass bei einer belasteten Elementgruppierung kein Klaffen der Elementränder
auftritt. Diese Forderung ist bei den Elementen leicht zu gewährleisten, bei denen nur
translatorische Freiheitsgrade (
Stab-Element, Viereck-Scheiben-Element) auftreten oder die
Elemente nur über einen Eckknoten (
Stab- mit Balken-Element) gekoppelt sind.
Schwieriger ist hingegen die Kompatibilität bei den Elementen (
Platten-, Schalen-Elemente)
sicherzustellen, bei denen Drehungen aus den ersten Ableitungen der translatorischen Ver-
schiebungen folgen. Wie wir später noch erkennen werden, unterscheidet man demgemäß
kompatible und nichtkompatible Elemente. Aus dieser Bedingung kann abgeleitet werden,
dass die Ansatzfunktion so viele Glieder haben muss, wie Freiheitsgrade in einem Element
vorkommen, und dass die Ansatzfunktion so oft differenzierbar sein muss, wie die höchste
Ableitung des Variationsfunktionals es erfordert.
Die
dritte Regel bezüglich der Konstantglieder kann physikalisch leicht begründet werden.
Stellt man sich vor, dass in einem berandeten Gebiet die Elemente immer mehr verkleinert
werden, so müssen letztlich im Grenzfall eines sehr kleinen Elements die Verzerrungen und
damit Spannungen im Element konstante Werte annehmen. Hierdurch wird wiederum die
Voraussetzung geschaffen, dass mit sehr kleinen Elementen jeder beliebig komplexe Verzer-
rungszustand in einem Gebiet darstellbar wird.
Die hier aufgeführten Forderungen lassen sich gut mit Polynomen des Typs
kj
i
yx D , für i, j, k = 1, 2, ..., n FHG (6.3)
befriedigen. Der Grad des Polynoms ist j + k, bis zudem bei kompatiblen Elementen das
Polynom vollständig sein muss.
Diese einfachen Ansatzbauformen kommen insgesamt der mathematischen Beschreibung der
FE-Methode sehr entgegen, da wiederholt differenziert und integriert werden muss. Eine
einfache Entwicklungsmöglichkeit für die Aufstellung derartiger Polynome bietet das im
Bild 6.3
dargestellte so genannte Pascal‘sche Dreieck, welches zwei- und dreidimensional
aufgebaut werden kann.
y
1
x
x
2
xy y
2
x
3
xy
2
y
3
x
4
xy
3
xy
22
xy
3
y
4
1
2
3
4
Polynom-
grad
Bild 6.3:
Terme für ein- und
zweidimensionale
Ansatzfunktionen
6 Wahl der Ansatzfunktionen
92
Aus dem Pascal‘schen Dreieck lassen sich recht schnell die benötigten Ansätze für eine be-
stimmte Elementverhaltensweise ableiten. Jeder Ansatz muss hierbei so viele Konstanten
haben, wie das Element Freiheitsgrade aufweist, z. B.
eindimensionales
Stab-Element
xxu
21
DD , (6.4)
eindimensionales
Balken-Element
3
4
2
321
xxxxw DDDD , (6.5)
zweidimensionales
Dreieck-Scheiben-Element
,yx)y,x(v
,yx)y,x(u
654
321
DDD
DDD
(6.6)
#
usw.
Hierin sind die Konstanten
D
i
noch unbekannt und müssen aus der Geometrie des Elements
und den Knotenbedingungen bestimmt werden, welches beispielhaft für den
Stab-Ansatz ge-
zeigt werden soll:
11
u0xu D { , (6.7)
LuuLxu
212
D { ,
L
uu
12
2
D
. (6.8)
Werden nun diese Konstanten in Gl. (6.4) eingesetzt, so folgt daraus
21
12
1
u
L
x
u
L
x
1x
L
uu
uxu
¸
¹
·
¨
©
§
. (6.9)
Diesen auf die Knotenverschiebungen bezogenen Ansatz haben wir zuvor schon in Kapitel
5.3 bei der Herleitung des
Stab-Elements benutzt.
93
7 Elementkatalog für elastostatische Probleme
Die kommerziell verfügbaren FEM-Programmsysteme bieten eine Vielzahl von Elementen
an, die in Stab-, Balken-, Scheiben-, Platten-, Schalen-, Volumen- und Kreisring-Elemente
charakterisiert werden können. Diese Elemente werden überwiegend dreidimensional be-
schrieben und durch Sperren einzelner Freiheitsgrade dann ein- oder zweidimensionalen
Problemen angepasst. Im Folgenden wollen wir uns exemplarisch mit einigen Elementen
auseinandersetzen, um grundsätzliche Prinzipien zu erkennen. Aus diesem Grund sind hier
unterschiedliche Beschreibungsmöglichkeiten gewählt worden.
7.1 3-D-Balken-Element
Im Bild 7.1 ist ein so genanntes 3-D-Balken-Element mit 6 Freiheitsgraden dargestellt, bei
dem die Stab- und Balkeneigenschaften zusammengefasst sind. Demgemäß kann ein derarti-
ges Element Axialkräfte
i
N
, Drehmomente
i
T
sowie in zwei Ebenen Querkräfte
ziyi
Q,Q und Biegemomente
ziyi
M,M übertragen und ist somit zur Analyse von Stab-
und Rahmenstrukturen universell verwendbar.
)
1
u
1
w
1
y
x
z
\
z1
\
y1
1
2
P (x, z)
o
Hilfspunkt zur Orientierung
des lokalen K
S
E A, L
.
y
z
x
v
1
2
N
2
T
2y
M
2y
Q
2z
Q
2z
M
zyt
JE,JE,JG
Bild 7.1: Lineares 3-D-Balken-Element (nach /PRZ 86/) gemäß Bernoulli-Theorie
Bei der Aufstellung der zugehörigen Elementsteifigkeitsmatrix wollen wir hier von der
Blockaddition Gebrauch machen, da im Kapitel 5.3 schon alle benötigten Teilergebnisse
hergeleitet worden sind, d. h., im vorliegenden Fall kann man so tun, als wenn das 3-D-Bal-
ken-Element selbst die Systemmatrix des Stab-, Dreh-Stab- und Balken-Elements wäre, wo-
7 Elementkatalog für elastostatische Probleme 94
mit die Steifigkeitsanteile der entsprechenden Freiheitsgrade nur richtig platziert werden
brauchen. Wie die Platzierung im Einzelnen durchzuführen ist, erkennt man im Schema.
cd
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
1 a -a
1
u
1
N
2 b -b
1
)
1
T
3 12c 6cL -12c 6cL
1
v
1y
Q
4 6cL 4cL
2
-6cL 2cL
2
1z
<
1z
M
5 12d -6dL -12d -6dL
1
w
1z
Q
6 -6dL 4dL
2
6dL 2dL
2
1y
<
1y
M
7 -a a
2
u
2
N
8 -b
0
b
2
)
2
T
9 12c -6cL
2
v
2y
Q
10 -6cL 4cL
2
2z
<
2z
M
11 12d 6dL
2
w
2z
Q
12 6dL 4dL
2
·
2y
<
=
2y
M
(7.1)
Für die Sortierung der Matrixgleichung ist eine bestimmte physikalische Logik benutzt wor-
den, die jedoch für ein allgemein gültiges Programmsystem zu individuell ist. In kommer-
ziellen FE-Programmen versucht man, eine strenge Systematik bei der Belegung der Spei-
cherplätze einzuhalten, weshalb man immer blockweise die Verschiebungen und Drehungen
abspeichert. Die knotenweise Belegung beim Balken-Element ist demgemäß
i
z
y
x
w
v
u
»
»
»
»
»
»
»
¼
º
«
«
«
«
«
«
«
¬
ª
\
\
)
.
Zu der Gl. (7.1) ist noch zu bemerken, dass über A,
J
yz,
und
t
J die Querschnittsgeometrie
des Elements eingeht.
In komfortablen Programmen sind die üblichen Standardgeometrien (Winkel-, U-, T-, Hut-,
Rechteck-, Sechskant-, Kreis- und Rohrprofil) fest abgespeichert, sodass über die beschrei-
benden Parameter die benötigten Eingabewerte sofort zur Verfügung gestellt werden
können. Des Weiteren bieten einige Programme als Zusatzleistung noch an, dass man die
Standardprofile miteinander verschmelzen oder freie Geometrien im Zeichenmodus erstellen
kann, was manchmal eine erhebliche Arbeitserleichterung darstellt.
3
y
3
z
t
L
JE
d,
L
JE
c
L
JG
b,
L
AE
a
7.1 3-D-Balken-Element
95
a)
b)
c)
x
x
x
z
z
z
R
1
1
1
2
2
3
2
Klar ist in diesem Umfeld, dass das lineare Element stets eine gerade Mittellinie haben muss.
In diesem Zusammenhang ist auch noch einmal auf die Krafteinleitung einzugehen. Im
Bild 7.3
sind einige Möglichkeiten gezeigt, die ebenfalls von Programmen geboten werden.
Diese bestehen darin, Kräfte sowohl im globalen als auch im lokalen Koordinatensystem
einleiten zu können. Falls eine Kraft im globalen System eingegeben wird, erfolgt mittels der
im Kapitel 5.4.1 hergeleiteten Transformationsmatrix eine Umorientierung in das lokale
System.
a) c)
b) d)
x
xx
xx
z
z
zz
z
11
1
1
22
2
2
q(x)
q(x)
z
1
z
2
x
1
x
2
F
x
1
F
x
1
F
z
1
F
z
1
F
z
2
F
z
2
F
x
2
F
x
2
Bild 7.3:
Krafteinleitung in ein Balken-Element
a), b) Einleitung bezogen auf das globale KS
c), d) Einleitung bezogen auf das lokale KS
Aus dem Balken kann auch eine Element-
familie begründet werden, wie im Bild 7.2
hervorgehoben ist.
Das gekrümmte
Balken-Element kann
überall dort eingesetzt werden, wo die
Mittellinie mit einem definierten Radius R
ausgebogen ist. Viel variabler kann dage-
gen das parabolische Element genutzt wer-
den, da der Mittenknoten beliebig gesetzt
werden kann.
Bild 7.2:
Balken-Elementfamilie
a) gekrümmter
Balken
b) linearer Balken
c) parabolischer Balken
7 Elementkatalog für elastostatische Probleme 96
Für die Anwendung ist als Letztes noch die Konvergenz des
Balken-Elements von Interesse.
An dem einfachen Beispiel der Tragkonstruktion soll im Bild 7.4
eine Konvergenzunter-
suchung durchgeführt werden. Die Tragkonstruktion sei mit einer Streckenlast beaufschlagt
und der Querschnitt sei ein Doppel-T. Für die Feststellung der Konvergenz wird die Länge
der Tragkonstruktion in eine unterschiedliche Anzahl von finiten
Balken-Elementen einge-
teilt und die Annäherung an die exakten Lösungswerte für die Durchbiegung, das Moment
und die Querkraft festgestellt.
y
z, w
z, w
x
max
w
z
q
b) Konvergenztabelle
Anzahl
Elemente
80243
JE384
Lq5
w
4
z
theor
,
.
0002502
8
Lq
M
2
z
theor
..
.
00015
2
Lq
Q
z
theor
.
.
2 EL 3,9772 2.250.000,3 15.000
4 EL 3,9772 2.250.000,3 15.000
8 EL 3,9772 2.250.000,3 15.000
Bild 7.4:
Konvergenzbetrachtung mit einem Balken-Element
a) Lastfall, b) Konvergenzanalyse, c) Spannungsauswertung im Querschnitt
a)
c)
7.2 Scheiben-Elemente
97
Aus der Tabelle erkennt man, dass bereits mit zwei Elementen die exakte Durchbiegung und
die exakten Schnittgrößen bestimmt werden können. Eine Erhöhung der Elementzahl be-
deutet im Weiteren keine Genauigkeitserhöhung, damit gilt für ein
Balken-Element augen-
scheinlich nicht die Regel, dass durch eine Erhöhung der Elementanzahl eine bessere Kon-
vergenz erreicht werden kann. Diesbezüglich ist zu hinterfragen, warum dies so ist: Die Ver-
haltensweise eines Elements ist bekanntlich durch den Ansatz gegeben. Beim
Balken-Ele-
ment haben wir für den Ansatz die exakte Lösung der DGL ermitteln können, insofern ist ein
exaktes Element geschaffen worden, dessen Genauigkeit nicht mehr gesteigert werden kann.
Bei der weiter noch angegebenen Spannungsverteilung ist mit Gl. (5.115) linear extrapoliert
worden.
7.2 Scheiben-Elemente
7.2.1 Belastungs- und Beanspruchungszustand
Dünnwandige, ebene Bleche, die in ihrer Mittelebene belastet werden, bezeichnet man als
Scheiben
*)
.
Das Merkmal Dünnwandigkeit ist dabei gegeben, wenn die Dickenabmessung viel kleiner ist
als die beiden anderen Längenausdehnungen. In Scheiben tritt dann der schon in Kapitel 3
charakterisierte ebene Spannungszustand (ESZ) ein, der hier noch einmal im Bild 7.5
darge-
stellt ist.
t
q
F
E,
Q
V
xx
V
yy
y
p
x
y
L
B
x
xy
W
Bild 7.5:
Scheibenartiges Bauteil mit typischen Belastungen
Durch die Vernachlässigung der
z -Koordinate erhält man somit ein ebenes Problem, wenn
die Eigenschaften auf die Mittelebene überführt werden. Um eine geeignete finite Element-
beschreibung herleiten zu können, gilt es, vorab die wesentlichen Beziehungen zu definieren,
und zwar
*)
Anmerkung: Werden die Lasten so groß, dass die Mittelebene ausbeult, geht die Scheibe in eine Platte über.