Klein B. FEM: Grundlagen und Anwendungen der Finite-Element-Methode im Maschinen - und Fahrzeugbau
Подождите немного. Документ загружается.
5 Das Konzept der Finite-Element-Methode
68
d. h., die Streckenlast muss auf alle Knoten-FHGs (Durchbiegung und Neigung) ver-
schmiert werden. Weiter seien im Bild 5.11
noch einige andere häufig vorkommende
Streckenlastprofile angegeben, die ebenfalls leicht herzuleiten sind.
L
z
q
Lq
20
3
F
z
z
ä1
, Lq
20
7
F
z
z
ä2
30
Lq
M
2
z
y
ä1
,
20
Lq
M
2
z
y
ä2
L
z
q
4
Lq
FF
z
z
ä2
z
ä1
2
z
y
ä1
Lq
96
5
M ,
2
z
y
ä2
Lq
96
5
M
Bild 5.11:
Erfassung äquivalenter Knotenkräfte am ebenen Balken-Element
5.4.3 Zusammenbau und Randbedingungen
Es gibt verschiedene Möglichkeiten des Zusammenbaus von Einzelelementen zur Gesamt-
struktur. Wir wollen hier aber eine formale Methode unter Zuhilfenahme der so genannten
Boole‘schen Zuordnungsmatrix wählen, die programmtechnisch leicht zu verwalten ist und
immer zum Ziel führt. Der Ablauf gestaltet sich hierbei folgendermaßen: Alle transfor-
mierten Steifigkeiten und Massen der vorkommenden n Einzelelemente werden im ersten
Schritt in
Diagonalhypermatrizen
*)
auf der Hauptdiagonalen zusammengefasst:
n21
n
2
1
kkk
k0
k
0k
"
%
{
»
»
»
»
¼
º
«
«
«
«
¬
ª
K
(5.85)
und
n21
mmm " M . (5.86)
Genauso verfahre man mit den Knotenverschiebungen und Knotenkräften, die demzufolge
zu Spaltenhypervektoren zusammenzufassen sind:
t
n
t
2
t
1
t
ddd " ȡ , (5.87)
*)
Anmerkung: Die links- und rechtsseitig offenen Klammern sollen die diagonale Anordnung symbolisieren.
5.4 Prinzipieller Verfahrensablauf
69
t
n
t
2
t
1
t
ppp " R . (5.88)
Damit sind alle Parameter des Modells erfasst. Insofern können auch Gleichungssysteme er-
stellt werden. Das statische Gleichungssystem der ungebundenen Struktur lautet dann
RȡK
(5.89)
und das entsprechende ungebundene, dynamische Gleichungssystem
RȡKȡM
. (5.90)
Das Merkmal ist bisher, dass es noch keine strukturelle Verknüpfung der Elemente unterein-
ander gibt. Aufgabenstellung ist aber, die Abhängigkeit zwischen der ungebundenen und ge-
bundenen Struktur (entsprechend der Nummerierung der Knoten) herzustellen. Man spricht
demnach vom Zusammenbinden der Elemente.
Bei der hier darzustellenden Technik gehen wir von der Existenz einer Beziehung
U Aȡ (5.91)
aus.
Dabei ist
ȡ
der so genannte Knotenverschiebungsvektor der ungebundenen Elementauflis-
tung, U der globale Knotenverschiebungsvektor der gebundenen Elementstruktur und A die
Boole‘sche Matrix
*)
oder so genannte Inzidenzmatrix.
Die Koeffizienten der Boole‘schen Matrix sind entweder 0 oder 1, wobei die Eins die
Gleichheit der Verschiebungskomponenten zwischen ungebundener und gebundener Struk-
tur ausdrückt. Null weist insofern aus, dass keine Identität besteht.
Im umseitigen Bild 5.12 ist der Aufbau einer Boole‘schen Matrix am Beispiel eines belie-
bigen ebenen, finiten Gebietes dargestellt. Das dargestellte Gebiet sei ein Ausschnitt aus
einem großen Netz, bei dem beispielsweise ein Rechteck-Element an ein Dreieck-Element
anstößt.
Aufgabe ist es hier, den lokal-globalen Zusammenhang zwischen den Knoten herzustellen,
der einmal durch die globale Nummerierung am Bauteil und einmal durch die lokale Num-
merierung an dem betreffenden finiten Element besteht.
*)
Anmerkung: Der Zusammenhang über die Boole’sche Matrix A wird in großen Strukturen auch wieder ge-
nutzt, um einzelnen Elementen bzw. deren Knoten Verschiebungen zuzuweisen. Aus den Ver-
schiebungen werden dann Elementdehnungen und Elementspannungen bestimmt.
5 Das Konzept der Finite-Element-Methode
70
1
1
2
2
1
1
3
4
4
5
5
4
1
3
2
1
3
2
3
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
=
.
1
1
12345678910
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
lokale Nummer
globale Nummer
i
i
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
3
1
u
2
u
3
u
4
u
5
u
12
u
21
u
3
u
23
u
22
u
14
u
13
u
11
u
1
v
2
v
3
v
4
v
5
v
11
v
12
v
13
v
14
v
21
v
22
v
23
v
1
v
2
v
3
v
4
v
5
v
12
v
21
v
3
v
1
u
2
u
3
u
4
u
5
u
12
u
21
u
0
0
0
0
Bild 5.12: Lokal-globale Knotenfreiheitsgradzuweisung über Boole‘sche Matrix
Der Vektor
ȡ
ist in diesem Fall die Auflistung aller FHGs der Elemente und U die Auflis-
tung aller zu den 5 Knoten gehörenden FHGs. Durch den Vergleich am Knoten kann dann
über A der Zusammenhang hergestellt werden, beispielsweise am Knoten e:
Die FHGs uv
12 12
, des Rechteck-Elements fallen mit den Struktur-FHGs u v
33
, zu-
sammen, welche in den Spalten 5, 6 von
A markiert sind.
Gleichzeitig fallen mit den FHGs u v
33
, auch die FHGs u v
21 21
, des Dreieck-Elements
zusammen, welche ebenfalls in den Spalten 5, 6 von
A festgehalten sind.
5.4 Prinzipieller Verfahrensablauf
71
Einen entsprechenden Zusammenhang gilt es auch für die Kräfte herzustellen. Die
Forderung muss hierbei sein, dass die auf eine gebundene oder ungebundene Struktur
einwirkende virtuelle Arbeit als skalare Größe gleich groß sein muss, somit kann angesetzt
werden:
RARȡ G G
tttt
į UPU . (5.92)
Hieraus lässt sich die zu Gl. (5.91) duale Beziehung
R
A
t
P (5.93)
für die Einbindung der Kräfte gewinnen. Setzt man jetzt hierin der Reihe nach Gl. (5.89) und
Gl. (5.91) ein, so folgt daraus die finite Gesamtgleichung
UKUP
AKAȡKARA
ttt
. (5.94)
Die Gesamtsteifigkeitsmatrix ist somit aus der Operation
A
K
A
t
K
(5.95)
zu bilden. Entsprechendes gilt für die Gesamtmassenmatrix
A
M
A
t
M . (5.96)
Ein Kennzeichen beider Matrizen ist ihre Symmetrie und ihre ausgeprägte Bandstruktur
(außerhalb der Hauptdiagonalen schwach besetzt). Da aber noch keine Randbedingungen be-
rücksichtigt wurden, sind beide Matrizen singulär, d. h., physikalisch sind noch Starrkörper-
bewegungen möglich.
In einem weiteren Schritt muss es nun darum gehen, die vorgegebenen Randbedingungen
einzuarbeiten. Um dies algorithmisch durchführen zu können, erinnern wir uns an dieser
Stelle an die in Kapitel 4 entwickelte Prozedur. Wir hatten dort ein Problem aufgespalten in
unbekannte und bekannte Größen. Im Rahmen der FEM ist jetzt aber folgende Nomenklatur
zweckmäßig:
u
U als unbekannte Verschiebungen,
s
U als bekannte Verschiebungen,
u
F als bekannte äußere Kräfte
und
s
F als unbekannte Reaktionskräfte.
Das Gleichungssystem (5.94) muss demnach aufgespalten werden in
»
¼
º
«
¬
ª
»
¼
º
«
¬
ª
»
¼
º
«
¬
ª
s
u
sssu
usuu
s
u
U
U
KK
KK
F
F
P , (5.97)
5 Das Konzept der Finite-Element-Methode
72
was wieder zu den beiden Gleichungen
sssusus
susuuuu
,
UKUKF
UKUKF
(5.98)
führt. Da vielfach an den Auflagern vorgeschriebene Verschiebungen 0U
s
existieren,
vereinfachen sich die Beziehungen zu
uuuu
FUK (5.99)
und
u
1
uusuusus
FKKUKF
. (5.100)
Will man diesen Formalismus nun programmtechnisch realisieren, so sind im Wesentlichen
die folgenden Schritte durchzuführen:
Durchnummerierung aller Knoten der Struktur und Festlegung der Randbedingungen
(d. h. Knoten-Nr. und Richtung).
Entsprechend der auftretenden Freiheitsgradanzahl kann der Speicherplatz für die Ge-
samtsteifigkeitsmatrix
K reserviert werden.
Über die Anzahl der Randbedingungen ist weiter bekannt, welche Speicherplätze die
Untermatrizen
uu
K und
su
K einnehmen werden.
Die Matrix K wird aufgefüllt, in dem die randbedingungsbehafteten Freiheitsgrade an das
Ende der Matrix umgespeichert werden. Damit liegen alle Untermatrizen
,,
usuu
KK
sssu
, KK vor.
Danach können die Gleichungssysteme (5.97) und (5.98) ausgewertet werden.
Die erforderlichen Auffüll- und Umspeicheroperationen sind mit den geläufigen Program-
miersprachen FORTRAN und C relativ einfach durchführbar.
5.4.4 Sonderrandbedingungen
Neben den zuvor eingeführten einfachen Festlagerrandbedingungen wird man in der Praxis
auch auf andere Randbedingungen stoßen. Im Wesentlichen werden dies die im nachfolgen-
den Bild 5.13
gezeigten Sonderrandbedingungen sein. Um diese erfassen zu können, ist teil-
weise sogar ein iteratives Vorgehen erforderlich, wie beispielsweise bei (Feder-)Kontakt.
Die Kontaktproblematik wird später im Kapitel 8.2 ausführlich dargestellt. Daher soll hier
nur kurz auf die Transformation von Freiheitsgraden an „schiefen Auflagern“ eingegangen
werden. Derartige Fälle treten gewöhnlich bei Stahlbaustrukturen oder heute vermehrt bei
Space-Frame-Strukturen von Verkehrsfahrzeugen auf.
5.4 Prinzipieller Verfahrensablauf
73
F
F
a)
F
b
)
x
1
y
1
x
2
y
2
Bild 5.13:
Sonderrandbedingungen
a) schiefe Auflager
b) Kontakt durch Anschlag
Würde man eines der im Bild 5.13
dargestellten Systeme global beschreiben, so gilt hierfür
natürlich die bekannte finite Systemgleichung
PUK .
Die Verschiebungen
U lägen also in Richtung der gewählten globalen Koordinaten vor. Am
schiefen Auflager ist deshalb eine Transformation der Knotenfreiheitsgrade erforderlich, und
zwar hier angegeben für zwei Feiheitsgrade:
uTu
»
¼
º
«
¬
ª
»
¼
º
«
¬
ª
»
¼
º
«
¬
ª
1
2
2
2
2
w
u
cosĮsinĮ
sinĮcosĮ
w
u
. (5.101)
Die dazu benötigte Transformationsmatrix haben wir vorher als Gl. (5.67) schon hergeleitet.
Insofern kann durch einfaches Einsetzen die neue Beziehung mit einer angepassten knoten-
weisen Transformation angegeben werden, und zwar
PUTK
1
. (5.102)
An einem kleinen Beispiel soll dies im nachfolgenden Bild 5.14
vom Prinzip her dargestellt
werden. Der Balken mag so gelagert sein, dass links ein Festlager und rechts ein Loslager
vorliegt. Infolge der äußeren Kraftwirkung entsteht eine Durchbiegung mit relativen Lager-
verschiebungen.
Das Loslager ist in der Struktur um den Winkel
D geneigt. Bei der Geometriebeschreibung
wird man dann die Bedingung
0w
2
im gedrehten Koordinatensystem sperren. Von Inte-
resse sind aber die im globalen Koordinatensystem wirksamen Verformungen, die dann mit
der ausformulierten Gleichung bestimmt werden können.
5 Das Konzept der Finite-Element-Methode
74
1
2
D
1
2
3
4
5
6
k
11
0
0
k
41
0
0
0
k
22
k
32
0
k
52
k
62
0
k
k
0
k
k
23
33
53
63
k
14
0
0
k
44
0
0
0
k
25
k
35
0
k
55
k
65
0
k
k
0
k
k
26
36
56
66
1
1
cos
D
cos
D
1
sin
D
-sin
D
1
=
P
..
0u
1
z
x
2
u
2
u
0w
2
c
22
w,w
2
w
c
2
w
1
w
1
u
1w
c
c
2
w
1
w
1
u
c
11
w,0w
2
u
c
1
w
2
u
2
w
)(
xp
z
Bild 5.14:
Einbau schiefer Randbedingungen in ein Gleichungssystem
5.4.5 Lösung des Gleichungssystems
Zur Lösung der finiten Gleichung werden wegen der Größe des Gleichungssystems nur
numerische Verfahren eingesetzt. Hierbei unterscheidet man direkte und indirekte Verfahren
(und in der Dynamik noch Reduktionsverfahren). Zu den leistungsfähigsten direkten Ver-
fahren zählen das
Gauß’sche und das Cholesky-Eliminationsverfahren, welche aber nur für
kleinere Strukturen geeignet sind, weil viel Speicherplatz erforderlich ist. Für größere Struk-
turen eignet sich hingegen das
Frontlösungsverfahren (Wavefront), welches weniger
Massenspeicher und weniger Hauptspeicher benötigt.
Für große Strukturen (größer 50.000 Unbekannte) haben sich Iterationsverfahren (Gauß-
Seidel, konjugierte Gradienten/CG- bzw. PCG-Verfahren) durchgesetzt, die oft viel schnel-
ler rechnen als die direkten Verfahren und weniger Speicherplatz benötigen.
Da hier nur das Problemverständnis geweckt werden soll, wird mit dem Cholesky-Verfahren
eine mehr mathematische Lösungsstrategie und mit dem Frontlösungsverfahren (FLV) ein
typischer Computeralgorithmus gezeigt.
x Cholesky-Verfahren
Für die Anwendung sei vorausgesetzt, dass die Koeffizientenmatrix
K
symmetrisch und
positiv definit sei. Demnach muss erfüllt sein:
kk
ij ji
(Symmetrie) für i, j = 1, ..., n
5.4 Prinzipieller Verfahrensablauf
75
und
k
ii
! 0 (positive Hauptdiagonale)
sowie alle det
0
ij
!K (alle Unterdeterminanten positiv).
Falls dies vorliegt, kann die Koeffizientenmatrix in die zwei Dreiecksmatrizen
t
LL
K
(5.103)
zerlegt werden. Die Auflösung der Gleichung
PUK erfolgt dann zweistufig unter
Ausnutzung des Hilfsvektors
y:
yPyL o , (5.104)
UyUL o
t
. (5.105)
Wie dies prinzipiell abläuft, ist im Schema von Bild 5.15
dargestellt. Hierzu muss aber
noch angegeben werden, wie die Koeffizienten der Dreiecksmatrix
L bestimmt werden.
Für eine symmetrische Matrix sind zu bilden
a) auf der Hauptdiagonalen:
2
1
1i
1j
2
jiiiii
k
¸
¸
¹
·
¨
¨
©
§
¦
AA i = 1, ..., n (5.106)
und
b) auf der Nebendiagonalen:
2
1
1k
1j
jijkki
kk
ki
k
1
¸
¸
¹
·
¨
¨
©
§
¦
AA
A
A k = 1, ..., i - 1. (5.107)
x
x
x
x
x
x
P
L
y
.
=
u
n
y
1
y
L
t
U
=
Bild 5.15:
Ablauf des Cholesky-Verfahrens bei
Zerlegung in zwei Dreiecksmatrizen
5 Das Konzept der Finite-Element-Methode
76
So wie vorstehend angedeutet, wird nun zuerst der Hilfsvektor ausgerechnet, und zwar
11
1
1
F
y
A
, (5.108)
¸
¸
¹
·
¨
¨
©
§
¦
iji
1j
1i
j
jj
j
yF
1
y A
A
. (5.109)
Hieran schließt sich die Bestimmung der tatsächlichen Unbekannten an zu
nn
n
n
y
u
A
, (5.110)
nn,jn1jn1jn,jnjn
jn,jn
jn
uuy
1
u
A"A
A
j = 0,1 ..., n - 1. (5.111)
Dass dieses Verfahren leicht praktizierbar ist, möge das folgende kurze Beispiel zeigen,
bei dem der Lösungsvektor
U
gesucht ist:
41
13
6
7
1
2
ª
¬
«
º
¼
»
ª
¬
«
º
¼
»
ª
¬
«
º
¼
»
u
u
.
Der Test zeigt sofort, dass die Koeffizientenmatrix symmetrisch und positiv
definit ist.
Somit kann das Cholesky-Verfahren schrittweise ablaufen:
Bestimmung der Dreiecksmatrix
t
L
1. Hauptdiagonale i = 1: 2kk
11
2
1
0
1j
2
1j1111
¸
¸
¹
·
¨
¨
©
§
¦
AA
2. Nebendiagonale k = 1, i = 2:
2
1
k
k
1
11
12
2
1
2j
0
1j
1j12
11
12
¸
¸
¹
·
¨
¨
©
§
¦
A
AA
A
A
3. Hauptdiagonale i = 2:
2
11
2
1
3k
2
2
1
1
1j
2
2j2222
¸
¹
·
¨
©
§
¸
¸
¹
·
¨
¨
©
§
¦
AA ,
woraus folgt
»
»
»
»
¼
º
«
«
«
«
¬
ª
2
11
0
2
1
2
T
L ,
5.4 Prinzipieller Verfahrensablauf
77
Gegenprüfung gemäß Gl. (5.103)
»
»
»
¼
º
«
«
«
¬
ª
»
»
»
»
¼
º
«
«
«
«
¬
ª
»
»
»
¼
º
«
«
«
¬
ª
31
14
2
11
0
2
1
2
2
11
2
1
02
t
LL ,
Bestimmung des Hilfsvektors y
,
,
11
2
11
11
2
3
2
1
7
11
2
yF
1
y
3
2
6
F
y
1212
22
2
11
1
1
¸
¹
·
¨
©
§
A
A
A
Bestimmung der unbekannten
U
u
y
uy u
2
2
22
1
11
1212
11
2
11
2
11
2
3
1
2
21
§
©
¨
·
¹
¸
A
A
A
,
für den Lösungsvektor erhält man so
>@
21
t
U .
Der Vorteil des Cholesky-Verfahrens ist, dass es im Allgemeinen schnell rechnet; von
Nachteil ist, dass viel Speicherplatz erforderlich ist, weil die beiden Dreieckmatrizen im
Hauptspeicher präsent sein müssen.
x Frontlösungsverfahren
Beim Frontlösungsverfahren /GRO 01/ werden die Elementsteifigkeitsmatrizen aller Ele-
mente im Massenspeicher aufgebaut und nach der Reihenfolge der Knotennummerierung
sukzessive im Hauptspeicher als Einzelgleichungen abgearbeitet. Deshalb ist das Ver-
fahren für große Strukturen geeignet, da nie die Gesamtsteifigkeitsmatrix aufgebaut wer-
den muss, insgesamt wird somit nur wenig Speicherplatz in Anspruch genommen.
An dem kleinen Stabwerkbeispiel wollen wir im umseitigen Bild 5.16
die Technik kurz
kennen lernen. Vorgegeben seien dabei die Konstanten
000.1
L
AE
1
1
, 750
L
AE
2
2
, 500
L
AE
3
3
und 250
L
AE
4
4
.