Klein B. FEM: Grundlagen und Anwendungen der Finite-Element-Methode im Maschinen - und Fahrzeugbau
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5 Das Konzept der Finite-Element-Methode
78
x
reak
F
1
1
2
2
3
4
5
4
3 N300F
x
Element Unbekannte Elimination
aktuelle
Wavefront
1
2
21
uu , 2
21
uu ,
1
1
u 1
1
u
2
1
3
u2
32
uu ,
1
2
u
1
3
u
3
1
4
u
2
43
uu ,
1
3
u 1
4
u
4
1
5
u2
54
uu ,
2
54
uu ,
0
max. Wavefront = 2
RMS-Wavefront =
24/2222
2222
Bild 5.16:
Frontlösungsverfahren an einem einfachen Stabwerk
Die Elementmatrizen werden nun nacheinander abgearbeitet
*)
.
1. Schleife: Einlesen der Steifigkeitsmatrix von Element 1
»
¼
º
«
¬
ª
»
¼
º
«
¬
ª
»
¼
º
«
¬
ª
0
F
u
u
000.1000.1
000.1000.1
reak
2
1
,
Abspalten der ersten Gleichung
2
reak2reak
1
u
000.1
F
000.1
u000.1F
u
, (5.112)
da am Lager
0u
1
ist, folgt daraus
2
reak
u
000.1
F
0 ,
*)
Anmerkung: Zum besseren Verständnis des Ablaufs sei dem Anwender empfohlen, zuerst die Gesamt-
steifigkeitsmatrix aufzustellen. Die Konstruktion der Gleichungen wird dann sofort ersichtlich.
5.4 Prinzipieller Verfahrensablauf
79
000.1
F
u
reak
2
. (5.113)
Diese Gleichung wird zur Berechnung der Reaktionskraft abgespeichert.
2. Schleife: Einlesen der Steifigkeitsmatrix
*)
von Element 2
»
¼
º
«
¬
ª
»
¼
º
«
¬
ª
»
»
»
»
»
»
¼
º
«
«
«
«
«
«
¬
ª
0
0
u
u
750750
750.1
750750
000.1
0000.1
3
2
Elimination von
2
u aus 0u750u750.1
32
332
u4290u
7501
750
u ,
.
(5.114)
3. Schleife: Einlesen der Steifigkeitsmatrix von Element 3
»
¼
º
«
¬
ª
»
¼
º
«
¬
ª
»
»
»
»
»
»
¼
º
«
«
«
«
«
«
¬
ª
0
0
u
u
500500
25,928
500500
750
429,0750
4
3
Elimination von
3
u aus 0u500u25,928
43
443
u539,0u
25,928
500
u (5.115)
4. Schleife: Einlesen der Steifigkeitsmatrix von Element 4
»
¼
º
«
¬
ª
»
¼
º
«
¬
ª
»
»
»
»
»
»
¼
º
«
«
«
«
«
«
¬
ª
0
0
F
u
250250
50,480
250250
500
539,0500
x5
4
*)
Anmerkung: Die Überlagerung auf den ersten Koeffizienten folgt aus der Übertragung aller Gleichungen in
eine Matrix.
5 Das Konzept der Finite-Element-Methode
80
Elimination von
4
u aus 0u250u50,480
54
554
u52,0u
50,480
250
u (5.116)
5. Schleife: Bilden der Schlussgleichung
300u250u52,0250
300Fu250u250
55
54
5,2
120
300
u
5
(5.117)
6. Rückrechnung (Back Substitution)
0u
mm3,0u429,0u
mm7,0u539,0u
mm3,1u52,0u
5,2u
1
32
43
54
5
Reaktionskraft: N300u000.1F
2reak
Beobachtet man, welche Plätze von der Gesamtsteifigkeitsmatrix benötigt wurden, so ent-
sprach dies genau der maximalen Wavefront, hier 2. In der Regel ist dieser Wert bei der
Auflösung der Gleichungen veränderlich. Die mittlere Größe ist jedoch ein Maß für die
benötigte Rechenzeit, diese lässt sich folgendermaßen abschätzen:
|RZ (Anzahl der Unbekannten N) + (RMS-Wavefront)
2
[sec.] . (5.118)
Einige Programmsysteme (z. B. ANSYS) arbeiten mit dem Frontlösungsverfahren. Die ge-
läufigen FE-Gleichungslöser sind vorher schon erwähnt worden. Es wurde auch dargelegt,
dass die Rechenzeit zur Lösung eines Problems von der Anzahl der Unbekannten abhängt.
Für die Zunahme der Unbekannten in
h-basierten Systemen gilt die empirische Beziehung
c a
d
h
.
Mit c wird hierbei der Vervielfachungsfaktor für die unbekannten N bei einer Netzverfeine-
rung
vorhernachher
NcN | bezeichnet. Der Diskretisierungsparameter h (s. auch Bild
1.5) impliziert dann mit der Dimensionalität d die Erhöhung der Unbekannten, d. h., eine
Halbierung der Elementgröße bedeutet bei 2-D-Strukturen die Vervierfachung und bei 3-D-
5.4 Prinzipieller Verfahrensablauf
81
Strukturen die Verachtfachung der Unbekannten. Wie die Gleichungslöser dieses Problem
bewältigen, zeigt die folgende Auswertung (u. a. nach /JUN 01/).
unbekannte
N
Verfahren
kleine
Strukturen
(n = 1.000)
kleinere
Strukturen
(n = 3.600)
mittelgroße
Strukturen
(n = 14.000)
größere
Strukturen
(n = 56.000)
große
Strukturen
(n = 220.000)
RZ 0,001 s 0,11 s 1,70 s 22 s -
Cholesky
SPB 185 kB 1,31 MB 10 MB 79 MB -
RZ 170 s 3.000 s - - - Gauß-
Seidel
SPB 49 kB 193 kB - - -
RZ 0,36 s 4,5 s 92 s 950 s 8.000 s
CG
SPB 67 kB 250 kB 985 kB 3,8 MB 15 MB
RZ 0,05 s 0,1 s 1,95 s 3,5 s 17,5 s
PCG
SPB 70 kB 250 kB 1,2 MB 4,6 MB 20 MB
RZ 1.000 s 3.600 s - - -
FLV
SPB 50 kB 200 kB - - -
Bild 5.17:
Tendenzielle Effizienz und Wirtschaftlichkeit von numerischen Gleichungs-
lösern (RZ = Rechenzeit, SPB = Speicherbedarf)
5.4.6 Berechnung der Spannungen
Im Nachgang zur Auflösung des Gleichungssystems können jetzt mit den berechneten Ver-
schiebungen auf
Elementebene die Spannungen bestimmt werden. Wir wollen im Folgenden
voraussetzen, dass über Gl. (5.90) wieder eine lokale Zuordnung erfolgen kann. Für unsere
beiden Demonstrationselemente
Stab und Balken gestaltet sich dann die Rechnung folgen-
dermaßen:
Stab-Element
Definition und Auswertung der Dehnung:
,
L
uu
u
u
L
1
L
1
u
u
L
x
L
x
1
xxx
12
2
1
2
1
x
»
¼
º
«
¬
ª
»
¼
º
«
¬
ª
»
¼
º
«
¬
ª
»
¼
º
«
¬
ª
¸
¹
·
¨
©
§
w
w
w
w
w
w
H
d
Gu
Anwendung des Werkstoffgesetzes:
VH
xx
EE
uu
L
21
. (5.119)
5 Das Konzept der Finite-Element-Methode
82
Balken-Element
Verzerrungsansatz für den Bernoulli-Balken (s. auch Bild 5.18
):
ux z w x
c
(5.120)
1
2
x, u
z, w
u(x)
w'(x)
w(x)
dx
z
1
1
w
\
2
2
w
\
Definition der Dehnung:
dG
s
cc
w
w
zxwz
x
u
İ
x
(5.121)
oder mit Gl. (5.61) folgt
»
»
»
»
¼
º
«
«
«
«
¬
ª
\
\
»
¼
º
«
¬
ª
¸
¹
·
¨
©
§
¸
¹
·
¨
©
§
¸
¹
·
¨
©
§
¸
¹
·
¨
©
§
H
2
2
1
1
32323232
x
w
w
L
L
x6
L
2
L
x12
L
6
L
L
x6
L
4
L
x12
L
6
z .
Wegen der Koordinatenabhängigkeit muss diese Gleichung knotenweise ausgewertet
werden, und zwar zu
H\\
x
z
L
ww
L
0
62
2
2
12 12
®
¯
½
¾
¿
bzw.
H\\
x
Lz
L
ww
L
®
¯
½
¾
¿
62
2
2
12 1 2
.
Entsprechendes gilt für das Werkstoffgesetz:
.LEL,0E0
xxxx
H
VH V (5.122)
Bild 5.18:
Definition der Verformung am
Balken-Element
5.4 Prinzipieller Verfahrensablauf
83
Unter symmetrischen Bedingungen muss dies zu gleichen Spannungen führen. Vorstellung
war hier zu zeigen, dass die Spannungen immer elementweise, und zwar mit dem jeweiligen
Verschiebungsansatz auszuwerten sind.
5.4.7 Systematische Problembehandlung
Aufbauend auf den vorausgegangenen Kapiteln wollen wir nunmehr an einem einfachen
Strukturbeispiel die Vorgehensweise der FEM trainieren. Dieses Strukturbeispiel sei dem
Stahlbau entlehnt und in seiner Funktion im Bild 5.19
gezeigt.
Normalerweise ist die Modellierung so durchzuführen, dass alle interessierenden Problem-
punkte geklärt werden können. Im vorliegenden Fall soll das Augenmerk ausschließlich auf
die Durchbiegung der Struktur gerichtet sein. Nur deshalb ist die im Beispiel herangezogene
Modellierung überhaupt möglich.
Die Randbedingungen, die hier aus einer komplizierten Anschraubung und einer Gabelkopf-
stützung bestehen, sind durch die Auflager sehr stark idealisiert worden.
q
z
leichter I-Träger
Wand
Schraube
1
F
3
Schraube
Wand
2
9
0
Flach-
material
5
0
1
LLänge
2
LLänge
3
LLänge
Daten:
N/mm3q
z
F = 1.000 N
mm500L
1
210
1y
Nmm103,6JE
mm500L
2
29
2y
Nmm105,10JE
mm400L
3
N101,2AE
7
3
Bild 5.19:
Einfache Tragkonstruktion
5 Das Konzept der Finite-Element-Methode
84
Als materielles Gebilde muss diese Konstruktion im Weiteren FEM-gerecht aufbereitet wer-
den. Am einfachsten bieten sich hierzu
Balken- und Stab-Elemente an, so wie dies im
Bild 5.20 dargestellt ist.
Bei einer derartigen Idealisierung können aber nur globale Aussagen über die Elemente ge-
macht werden. Wollte man beispielsweise Näheres über die Schweißnaht in der
Konstruktion wissen, so müsste flächig in Schalen-Elemente oder besser noch volumetrisch
modelliert werden. Auch sollen keine Aussagen zu den Schraubanschlüssen gemacht
werden, weshalb einfache Auflager ausreichend sind.
Der Ablauf bis zum Ergebnis der Durchbiegungs- und Spannungsermittlung im Träger kann
dann in die folgenden 10 Schritte unterteilt werden:
1. Schritt: Idealisierung
x
z
1
2
3
4
1
2
3
E J , L
y1 1
.
E J , L
y2 2
.
E A , L
33
.
F
3
w = 0
1
w = 0
4
q
z
Bild 5.20: Finites Modell der Tragkonstruktion
Innerhalb der Idealisierung
*)
werden zunächst die Elemente geometrisch
iiii
J,/z,x A
und
physikalisch (E, ...) definiert. Die geometrische Definition erfolgt hierbei in dem globalen
zx , -Koordinatensystem. Vom mechanischen Verhalten her erkennt man eine Balkenstruk-
tur, welche von einer Pendelstütze abgestützt wird.
2. Schritt: Randbedingungen
Gemäß den Stützungen der Struktur müssen jetzt die Randbedingungen eingeführt werden.
Im vorliegenden Fall sei die Tragkonstruktion an zwei Punkten mit dem Mauerwerk starr
verschraubt. Aus diesem Grunde sei hier angesetzt:
0w
4Knotenam
0w
1Knotenam
41
.
*)
Anmerkung: Im Beispiel seien vereinfacht nur reine 2-D-Stab- und Balken-Elemente zugelassen.
5.4 Prinzipieller Verfahrensablauf
85
3. Schritt: Krafteinleitung
Die verteilte Streckenlast
q
z
muss weiter auf die Knoten c, d des Balken-Elements 1 ver-
schmiert werden. Im Kap. 5.4.2 haben wir das Prinzip der äquivalenten Kräfte kennen ge-
lernt. Für das
Balken-Element ergibt sich demgemäß
»
»
»
»
»
»
»
»
»
¼
º
«
«
«
«
«
«
«
«
«
¬
ª
»
»
»
»
»
»
»
»
»
»
¼
º
«
«
«
«
«
«
«
«
«
«
¬
ª
»
»
»
»
»
»
»
»
»
¼
º
«
«
«
«
«
«
«
«
«
¬
ª
Nmm50062
N750
Nmm50062
N750
12
L
2
1
12
L
2
1
Lq
M
Q
M
Q
1
1
1z
ä2
ä2
ä1
ä1
.
.
.
4. Schritt: Bilden der Elementsteifigkeitsmatrizen
Die untransformierten Matrizen lauten:
»
¼
º
«
¬
ª
»
»
»
»
¼
º
«
«
«
«
¬
ª
11
11
L
AE
L4
L612
L2L6L4
L612L612
L
JE
S
2
22
3
y
B
k,k .
Der Transformationswinkel für die
Balken-Elemente ist 0 D , deshalb können die Matrizen
so übernommen werden:
»
»
»
»
¼
º
«
«
«
«
¬
ª
»
»
»
»
¼
º
«
«
«
«
¬
ª
6
56
2
6
56
1
1010
300012
10530001010
300012300012
84,
1010
300012
10530001010
300012300012
504 kk
.
Das
Stab-Element muss hingegen mit q D 90 transformiert werden:
»
»
»
»
¼
º
«
«
«
«
¬
ª
»
»
»
»
»
¼
º
«
«
«
«
«
¬
ª
1010
0000
1010
0000
10255
scsscs
csccsc
scsscs
csccsc
L
AE
wuwuwuwu
4
22
22
22
22
3
22112211
,k
.
5 Das Konzept der Finite-Element-Methode
86
5. Schritt:
Lokal-globale Beziehung der FHGs
Entsprechend der gewählten Knotennummerierung ist im Bild 5.21
die Zuordnung der Ein-
zelelemente zum System gezeigt.
x, u
1
1
1
1
2
2
2
2
3
4
1
1
2
2
3
3
w = 0
1
w = 0
4
w,
33
\
w,
22
\
w,
11
\
w,
11
\
w,
22
\
w,
22
\
u
1
u
2
\
1
c
Bild 5.21: Aufgeschnittenes finites Modell
Diese Zuordnung muss auch durch die Boole‘sche Matrix wiedergegeben werden.
1 2 3 4 5
1
w
1 0 0 0 0 0
1
\
2 1
0w
1
2
w
3 1 1
1
\
2
\
4 1 2
2
w
1
w
5 1 3
2
\
1
\
=
6 1
.
4
3
w
2
w
7 1 5
3
\
2
\
8 1
0w
4
1
u
9 1
2
u
10 0 0 0 0 0
ȡ
=
A
.
U
5.4 Prinzipieller Verfahrensablauf
87
6. Schritt: Zusammenbau der Systemsteifigkeitsmatrix
Der Zusammenbau soll formal über die Boole‘sche Matrix vorgenommen werden. Hierzu ist
die folgende Rechenoperation durchzuführen:
1 10 1 10 1 5
1 1 1 1
1 1 1
1 1
.
ij
a
0
1
1 1
.
1
=
K
5 1 1
1
ij
b
1
1
1
10
0
ij
c
10
Das Ergebnis ist die Gesamtsteifigkeitsmatrix
22
a
23
a
24
a
0 0
32
a
1133
ba
1234
ba
13
b
14
b
K = 42
a
2143
ba
2244
ba
23
b
24
b
0
31
b
32
b
1133
cb
34
b
0
41
b
42
b
43
b
44
b
Anhand einzelner Plätze in der Matrix kann diese Matrizenmultiplikation leicht kontrolliert
werden. Führt man jetzt die Belegung wie zuvor gezeigt durch, so folgt für die Matrix
»
»
»
»
»
»
¼
º
«
«
«
«
«
«
¬
ª
7
8
6
868
1048
00025250853
00050000025210885
0002520081102610567
00105221051110045
,
..
..,
..,.
,,,
K
.
2
3
1