Кириллов И.И. Автоматическое регулирование паровых турбин и газотурбинных установок
Подождите немного. Документ загружается.
Рис.
13.25.
Поворот вектора
№ (ico) на
угол
t> под
влиянием запаздывания
Рис.
13.26.
Критический угол
0
К
колебания
с
такой
же
амплитудой,
как и без
запаздывания,
но
с дополнительным отрицательным сдвигом фазы
на
угол
т^со.
В принятой здесь постановке задача
о
влиянии запаздывания
на
процесс регулирования становится линейной,
и
звено запаздыва-
ния может быть введено
в
любую линейную динамическую систему
или
в ее
линейную часть.
<
Устойчивость.
Для
динамической системы
с
запаздыванием
при сохранении линейности всех уравнений применим,
в
частно-
сти, частотный критерий устойчивости
(см. § 6.3). На его
основе
можно наглядно выявить особенности колебательного процесса
со сдвигом фазы согласно
(13.76).
Так как
звено запаздывания
приводит
к
отрицательному приращению фазового угла
при
неизменной амплитуде,
то
под
влиянием этого звена вектор
W ((to)
поворачивается
по
часовой стрелке
на
угол
i} =
T
3
to
(рис. 13.25).
При этом некоторый участок годографа нового вектора
W (/to)
приближается
к
критической точке
(—1, /о), что
может вести
к потере устойчивости.
При заданной величине запаздывания
под его
влиянием абсо-
лютное приращение фазового угла растет пропорционально
ча-
стоте
to, и
если
на
участке
АФХ,
близком
к
критической точке,
частоты велики,
то
дополнительный поворот вектора может быть
значительным. Динамические системы
с
такими частотными харак-
теристиками особенно чувствительны
к
запаздыванию.
Для системы регулирования
с
заданной частотной характери-
стикой, пересекающей окружность
с
центром
в
начале координат
и
с
единичным радиусом, существуют взаимосвязанные крити-
ческие величины запаздывания
т
|(
и
час-
тоты
to
K
, при
которых динамическая система становится
не-
устойчивой. Критическое
за
аздывание опреде-
ляется двумя координатами точки
на
частотной характеристике
при
to = to
K
: Л
(to
h
.)
= 1 и Э
(о>
к
)
—
т
к
со„
= —я, где
T„to
lt
= (>,<.
На
рис.
13.26
изображена амплитудно-фазовая характеристика
W
(/to) без
учета звена запаздывания. Окружность единичного
радиуса
с
центром
в
начале координат пересекает характеристику
в точке
В. Из
условия
A (to
K
) = 1
находится
в
этой точке крити-
240
iV(w)
Рис.
13.27. АФХ с
тическими
точками
и(ш)
двумя
кри-
ческая частота
to,,, а из
выражения,
данного
для Э (со
к
) —
критическое
запаздывание
т
к
, при
котором вектор
ОВ поворачивается
на
угол
ft
K
, и ко-
нец
его
оказывается
в
критической
точке
(—1,
Ю).
Если
во
всем диапазоне частот
0
< со < со
имеем
А (со) < 1, то
критической точки быть
не
может
и система устойчива
при
любом
за-
паздывании. Если
же в
некотором
диапазоне частот
Л
(со)>1,
то
могут
существовать
две
критические точки
(В
и С на
рис. 13.27),
а
возможно
и
больше. Наивысшая критиче-
ская частота
со
к1
,
имеющая наиболее важное значение, соответ-
ствует точке
В,
ближайшей
к
точке
(—1, Ю),
причем критиче-
ское время запаздывания
т
к1
=
^J(a
K
i-
При переходе
от
точки
В к С на
рис.
13.27
угол
0
растет,
а ча-
стота
to
уменьшается. Если
на
этом участке
по
условию задачи
запаздывание продолжает увеличиваться
(т
3
> т
к1
)
настолько,
что из-за него конец вектора
Л
(со)
достигает
оси
U
(со),
то
система
остается неустойчивой.
Во
второй критической точке
С
частота
уменьшается
до
со
к2
а
критическое запаздывание достигает вели-
чины
т,
;2
=
i')
b2
/to
K2
,
причем
т
к2
>- т
к1
. В
зоне
т
к
~> т
];2
система
вновь становится устойчивой
до тех пор,
пока
А (со) < 1. Это
условие нарушается
при
новом пересечении единичной окруж-
ности
(на рис. 13.27 в
точке
D).
Из сказанного следует,
что на
устойчивости запаздывание
сказывается вредно. Если избежать запаздывания невозможно,
то
должно быть тщательно проверено
его
влияние
на
устойчивость
и
на
переходной процесс.
§
13.8.
СИСТЕМЫ
С
РАСПРЕДЕЛЕННЫМИ ПАРАМЕТРАМИ
В длинном газопроводе могут оказывать ощутимое влия-
ние нестационарные явления, связанные
с
распространением
волн
[9, 70, 78]. При
этом, естественно, скорость потока
в
трубе,
даже
в
одномерной постановке задачи, зависит
не
только
от
осе-
вой координаты,
но и от
времени. Такой линейный процесс,
как
будет показано, имеет некоторые черты эффекта запаздывания,
исследованного
в § 13.7.
Составим прежде всего уравнения
не-
стационарного движения газа
в
трубе постоянного сечения.
Для
упрощения формул
в
первом приближении будем пренебрегать
трением
и
считать процесс дозвуковым
и
теплоизолированным.
Уравнение движения. Воспользуемся уравнением
Э й-
л
е р а для
одномерного потока
при
трех переменных параметрах
газа: скорости
с,
давления
р и
плотности
р
д (рс
2
)/дх
+ д (pc)/dt =
—др/дх.
(13.77)
241
Заметим,
что
dc/dt
—
ускорение элемента потока
под
действием
перепада давления
в
нестационарном потоке,
а
дс/дх
—
ускорение
изза перехода элемента
в
смежное пространство
с
отличной
скоростью (конвективный член).
При
малых дозву
ковых скоростях, обычно допускаемых
в
газопроводах, можно
пренебречь конвективным членом
и
записать
(13.77)
в
виде
д
(pc)/dt
=
—др/дх,
(13.78)
где
рс = q —
плотность тока.
Уравнение материального баланса. Проследим движение выде
ленного цилиндрического элемента газа неизменного объема вдоль
трубы.
При
установившемся движении масса этого элемента
остается постоянной.
В
случае
же
вынужденных колебаний потока
в каждом сечении трубы меняется скорость,
а с
нею
и
плотность
газа. Изучая
в
этих условиях движение выделенного объема газа,
составим
для
него уравнение материального баланса, вполне
аналогичное формуле
(10.24).
Для
этого достаточно
в
указанной
формуле принять следующие выражения: масса газа
в
объеме
D
0
=
PoF
dx;
массовый р'асход
при
входе
в
объем
G
x
= Fpc; то же
при выходе
из
объема
G
2
= F
[рс
+ (д
(рс)/дх)
dx
1;
показатель
политропы
п = k,
после чего получим
для
нашего частного слу
чая
dpldt
=
—авдд/дх,
(13.79)
где
q = рс; а
0
= у
kp
0
/p
0
—
скорость звука;
k =
c
p
/c
v
—
отно
шение теплоемкостей.
Введем обозначения:
х
р
=
Ар/р
0
;
х
ч
=
Aq/q
n
;
I = x/l; I —
длина трубы;
т = ta/l —
время, отнесенное
ко
времени пробега
звуковой волны вдоль всей трубы
Т
1
= 1/а.
В указанных относительных величинах запишем
(13.78)
и
(13.79):
дх
ч
/дх
=
—
(kM)~
l
dx
p
ldl; (13.80)
дх
р
/дх
= —kM
dx
q
/dl,
(13.81)
где
М =
с
0
/а
п
—
число Маха.
При сделанных допущениях задача сводится
к
решению линеа
ризованной системы уравнений, называемых телеграф
ными,
так как
впервые
они
применялись
для
определения пара
метров электрического тока вдоль кабеля. Если принять
р =
=
const,
то
данная система совпадает
с
уравнением
Н. Е.
Жуков
ского
в
исследованиях гидравлического удара.
Волновое уравнение.
Из
уравнений
(13.80)
и
(13.81)
исключим
плотность тока.
Для
этого продифференцируем
(13.80)
по |,
а
(13.81)
по т,
а
затем первое сложим почленно
со
вторым
и
резуль
тат запишем
в
виде линейного уравнения
242
д*х
р
/д?
=
д
2
х
р
/дх
2
.
(13.82)
Это
и
есть волновое уравнение, характеризующее
движение волн давления вдоль газопровода.
Запишем
(13.82)
в
изображениях. Предварительно заметим,
что согласно теореме
о
дифференцировании оригинала
(см.
§ 5.1)
д
2
х
р
/дх1
= s
2
x
p
. А
тогда
d
2
x
p
/dl
2
— s
2
x
p
= 0.
(13.83)
В
итоге преобразований получено обыкновенное дифферен
циальное уравнение второго порядка относительно координаты
|.
Его решение выражается через показательные функции
,v
;
,
C
lp
e
*
С
2р
е*
(13.84)
где
С
1р
и С
2р
—
постоянные интегрирования.
Тем
же
приемом можно исключить
из
(13.80)
и
(13.81)
давле
ние
х
р
и
получить уравнение
и
его
решение, аналогичные
(13.83)
и
(13.84):
дЧц/д?
s4
q
= 0;
(13.85)
х
ч
=С
1<г
е^
+
С
29
е*.
(13.86)
Постоянные интегрирования
в
(13.84)
и
(13.86)
связаны между
собой. Действительно, подставив
в
(13.81)
дх
р
/дх
= sx
p
и
dx
q
/d£,
как результат дифференцирования
(13.86),
найдем
х
р
= kM
(C
lg
er*
C
2f/
e
s
6).
(13.87)
Начальные
и
граничные условия определяются
при т = 0,
|
= 0 и £
—
1 с
учетом особенностей постановки
той или
иной
задачи.
П
р и м е р. В
современных мощных паровых турбинах широко
применяется промежуточный перегреватель
(см. рис.
17.1),
а на
атомных электростанциях, кроме того,
—
сепаратор влаги.
В та
ких системах аппараты
и
трубы образуют большие емкости
при
значительной
их
длине. Инерция емкостей
в
сочетании
с
эффек
том запаздывания
в
длинном тракте сильно
и при том
неблаго
приятно сказывается
на
главных показателях качества процесса:
на устойчивости
и
перерегулировании.
Рассмотрим
в
первом приближении математическую модель
данного состава емкостей применительно
к
трубе постоянного
сечения. Перед
нею
будем полагать многоступенчатую проточную
часть турбины высокого давления^
(см.
рис.
17.1).
До
пустим,
что в
этой части турбины перепад энтальпии настолько
велик,
что
изменение давления
в
трубе
не
сказывается
на
течении
пара сквозь дроссельный клапан
и что
расход прямо пропор
ционален давлению перед турбиной
р
г
.
Температуру
же
пара
перед
нею
будем считать постоянной
в
процессе регулирования.
Тогда
при
входе
в
трубу
(в
сечение
1)
массовый раход пара будет
таким
же,
как при
входе
в
турбину.
То же
можно сказать
и об
удельном расходе пара
—
плотности тока
p
L
q = q
1
и ее
относи
тельной величине
x
Vt
.
243
Пусть клапан мгновенно переставлен
так,
чтобы оказать
е д и
ничное ступенчатое воздействие
на
расход
пара,
а
значит,
и на
переменную плотность тока
q
l
в
сечении
1
*»,
= /(*) = [И,
(13.88)
причем изображение единичной импульсной функции
x
q
= 1/s
(см. табл.
5.1). Из
(13.86)
при £ = 0, т. е. в
сечении
1
получим
х
«>
= Сц \C
2q
,
(13.89)
а
при £ = 1,
когда
д: = / (в
сечении
2),
*
Л
=
C
1<?
e
S
+
C
2?
e
s
.
(13.90)
За трубой
в
сечении
2, где
расположена турбина низ
кого давлениями конденсатор
6, с
достаточной точностью
можно считать,
что
массовый расход,
а
вместе
с тем и
плотность
тока
х„
2
меняются пропорционально давлению
х
Р2
.
Значит,
в
конце
трубы,
при |=1,
имеется зависимость
х
Чг
= х
Р2
.
Последняя
же величина определяется
по
уравнению
(13.87),"
из
которого
следует
х„,
= х
Рг
=
Ш(С„е»
C
2q
e
s
).
(13.91)
Сравнив
(13.90)
и
(13.91),
найдем связь между постоянными
интегрирования
C
2q
= —
C^k^e
2
*,
(13.92)
где
fe
M
= (1 — Ш) (1 +
Ш)"
1
.
Чтобы определить
C
lq
,
воспользуемся уравнением
(13.89),
которое
с
учетом
(13.92)
запишем
так:
x
4l
=
C
lq
(l
fe
M
e
2s
). (13.93)
С другой стороны,
при
возмущении типа единичного скачка
(см.
(13.88))
x
qi
= 1/s и для
данного случая
из
(13.93)
получим
Ci
q
=
s'/(l
/г
м
е
25
).
(13.94)
Передаточная функция
для
рассматриваемого
звена (трубы)
W (s) =
x
q
Jx
qi
,
а с
использованием уравнений
(13.91)—(13.93)
ее
можно записать
так:
W
(s) =
kMt~*
(1
+
k
M
)/(\
V
28
)
(13.95)
Формулы
в
данном примере выведены
для
безразмерного вре
мени
т = ta/l. Для
сравнения
с
полученными
в § 13.7
формулами
вместо
s
введем
в
(13.95)
s' = s/T
t
, где Г, = Ija —
время пробега
звуковой волны вдоль всей трубы, после чего получим
W (s)
=
кМ<Г*'
Т
1(1
t£
M
)/(l
^
M
e-
2s
'
r
0-
(13.96)
В числителе этой формулы член
е
_5
'
г
'
представляет собой
звено запаздывания.
Его
время
T
t
имеет такой
же
физический смысл,
как
время запаздывания
т
3
в § 13.7. Ему
должна соответствовать
в
оригинале функция
f
(t—Г,).
В
зна
менателе формулы
(13.96)
член
k
M
e~~
2s
'
T
i
отражает эффект
вре
244
мени двойного пробега волны
27,. Эта
обратная волна идет
от
конца трубы.
Она же
создает обратное влияние давления
за
тру
бой
на
расход
при
входе
в
трубу. Весь
же
член, стоящий
в
знаме
нателе, характеризует также инерционность звена изза наличия
емкости.
Заметим,
что мы
рассмотрели систему уравнений, содержащих
лишь производные. Такие системы передают возмущения
без
искажений. Учет трения привел
бы к
демпфированию,
что
улуч
шило
бы
устойчивость системы.
Структура передаточной функции
(13.96)
свидетельствует
о
том,
что волновые явления вносят принципиальные особенности
в
про
цесс регулирования
по
сравнению
с
процессом
для
системы звеньев
с сосредоточенными параметрами.
Эти
явления следует принимать
во внимание
при
изучении устойчивости
в
системах регулирования,
в которых сигналы передаются через длинные тракты, заполненные
сжимаемой
или
несжимаемой жидкостью.
ГЛАВА
14.
ИССЛЕДОВАНИЯ НЕЛИНЕЙНЫХ
РЕГУЛЯТОРОВ
И
СЕРВОМОТОРОВ
В предыдущей главе
уже
были отмечены нелинейности
в регуляторах
и
сервомоторах, порождаемые статическими харак
теристиками, трением, люфтами
и
перекрышами,
а
также различ
ными ограничениями движения звеньев
или
расхода рабочего
тела. Влияние этих нелинейностей
на
процесс регулирования
мо
жет быть очень существенным,
и их
изучению было посвящено
много крупных исследований, имеющих важное практическое
значение. Особого внимания заслуживают нелинейные гидравли
ческие сервомоторы.
Задача повышения быстродействия систем регулирования тур
бин
—
одна
из
первостепенных.
Ее
решение
в
основном зависит
от скорости перемещения распределительных органов турбины
главными сервомоторами.
Эти
механизмы
в
современных крупных
турбинах должны обладать большой мощностью,
что и
было при
чиной широкого применения гидравлических сервомоторов. Лишь
в последнее время электрический привод стал
в
известной мере
конкурентоспособным.
Для обоих типов привода высшее быстродействие достигается
при движении сервомотора
с
максимальной скоростью
на
воз
можно большем участке пути. Этим требованиям удовлетворяет
сервомотор релейного типа.
§
14.1.
ГИДРАВЛИЧЕСКИЙ СЕРВОМОТОР
РЕЛЕЙНОГО ТИПА
В
§ 10.4 уже
была установлена связь между временем
сервомотора
T
s
и
расходом
его
рабочего тела.
В
современных
системах регулирования турбин обычно применяется центробеж
245
Рис.
14.1.
Схема гидравлического сервомо-
тора релейного типа
ный насос
с
постоянной
частотой вращения.
Во
время работы турбины
при
установившемся режиме
сервомотор неподвижен,
а
его
рабочее тело сли-
вается через редукционный
клапан.
Как
только пор-
шень сервомотора тро-
гается
с
места, жидкость
устремляется
за
ним.
Рас-
ход
же
ее, а
значит,
и
скорость поршня зависят
от раскрытия окон золот-
ника
и от
расходной
ха-
рактеристики насоса
(см.
п
§
15Л)
-
Пусть окна золотника полностью открыты только
за
счет
перемещения указателя регулятора z
max
, чему
в
статике отвечает
полный
же
рабочий
ход
поршня сервомотора т
тах
(рис. 14.1).
Допустим также,
что при
полном открытии окон золотника
и
за-
данном давлении нагнетания насос развивает свою максимальную
производительность. Тогда
при
всех частичных открытиях окон
жидкость дросселируется,
и
максимально возможная скорость
сервомотора достигается
в
момент
их
полного открытия.
Эта
же
скорость сохраняется
и
при
дальнейшем продвижении золотника
в
том
же
направлении, если живое сечение окон
уже
не
меняется.
Но
и в
том
случае, если увеличить высоту окон,
а
насос оставить
прежним, прирост расхода жидкости
за
счет дополнительного
открытия окон невелик из-за падения давления
в
соответствии
с характеристикой насоса.
Из сказанного следует,
что при
частичном открытии окон
располагаемая производительность насоса слабо используется
для достижения высокого быстродействия системы регулирования
и
что
значительная часть затраченной
на его
привод энергии
дис-
сипируется даже
в
периоды максимальной активности системы
регулирования. Докажем,
что
этот существенный недостаток
ли-
нейного сервомотора может быть исправлен
за
счет введения
не-
линейности релейного типа.
Сервомотор
с
постоянной скоростью движения. Пусть гипотети-
ческий регулятор,
как
только трогается
с
места, мгновенно
и
полностью открывает окна золотника. Когда
же
регулятор вновь
достигает положения, соответствующего равновесию сервомотора
(окна золотника закрыты),
он
снова
так же
мгновенно открывает
окна золотника,
но
уже
для
движения
в
обратном направлении.
Эту модель можно представить
в
виде схемы гидравлического сер-
вомотора обычной конструкции,
но
с
особыми механическими свя-
зями
с
золотником, отвечающими релейному принципу работы.
246
На
рис.
14.1
показаны
две
схемы гидравлического сервомотора
со связями: обычного линейного типа (штриховые линии)
и не-
линейного
—
релейного типа (штрихпунктирные линии).
В линейной схеме опоры рычагов отмечены точками
а* и d*,
а
в
релейной схеме опоры перенесены
в
точки
а и d.
При
этом
переносе
и
заданных рабочих ходах муфты z
raax
и
поршня m
max
меняются только полные перемещения золотника
и
буксы про-
порционально передаточным числам рычагов.
В
результате
по-
лучаются различные ходы золотника
и
буксы:
Sm
ax
—
в
линейной
системе
и
s
max
—
в
релейной, причем
в
принципе можно выпол-
нить требование
s
max
> s*
max
.
Как
условно показано
на
рисунке,
если принять,
как
было сказано,
ход
Sm
ax
, равным полной
вы-
соте окон,
то
станет очевидным,
что
в
процессе регулирования
большая часть хода золотника относительно буксы
s
max
— s
max
совершается вхолостую,
не
влияя
на
движение поршня релейного
сервомотора.
Допустим
что ход
золотника
s
max
настолько превосходит
высоту окон
h =
Sm
ax
,
что
в
переходном процессе
при
достаточно
большой амплитуде можно считать пренебрежимо малым время,
за которое золотник проходит путь
п,
пересекая окна.
В
такой
идеализированной схеме можно считать,
что
в
момент троганья
с места регулятора окна золотника мгновенно полностью откры-
ваются
и
что
поршень сервомотора сразу двигается
с
постоянной
и
при том
максимальной скоростью с
тах
.
Эта
скорость опреде-
ляется производительностью насоса
с
учетом, разумеется, гидрав-
лических сопротивлений системы.
Со
скоростью с
тах
поршень
двигается
до тех
пор,
пока регулятор, взаимодействуя
с
обратной
связью,
не
закроет окна золотника.
Таким образом,
по
принципу быстродействия системы регу-
лирования релейный
тип
сервомотора имеет оптимальную
ха-
рактеристику.
Это
хороший пример положительного эффекта
от введения нелинейности.
Уравнение сервомотора. Обозначим, по-прежнему, время сер-
вомотора
T
s
как
время,
за
которое поршень сервомотора совер-
шает свой максимальный рабочий
ход
т
тах
при
полном открытии
окон золотника. Данное определение постоянной
T
s
совпадает
с
тем,
которое было принято
для
линейного сервомотора
в §
10.4.
Исходя
из
этого определения
и
имея
в
виду,
что
c
max
=
dm/dt
=
=
const,
можно записать
T
s
=
m
max
/c
max
=
m
max
/(dm/dt)
или
dxjdt
=
±\/T
s
, (14.1)
где
x
m
=
Am/m
raas
; знак плюс
—
для
положительного направле-
ния
в
сторону открытия клапанов, знак минус
—
для
отрица-
тельного направления
в
сторону закрытия клапанов.
Время
T
s
для
сервомотора двойного действия вычисляется
по формуле идентичной выражению
(10.58)
Т,
=
Fm
m
J(hb\i
V(p
s
-
р
с
)/р),
(14.2)
247
где
F —
активная площадь
поршня;
hub —
высота
и ши-
рина окон;
ц —
коэффициент
расхода;
р
н
и р
с
—
давление
перед золотником
и за ним.
Живое сечение
hb
окон золот-
ника выбирается
по
макси-
мальной производительности
насоса.
Для сервомотора релейного типа,
так же как для
линейного
сервомотора, время
Т,
может заметно меняться
в
зависимости
от направления движения
(T'
s
и T
s
).
Интегрируя
(14.2),
получим уравнение прямой
Рис.
14.2.
Замкнутая структурная
схема
с
сервомотором релейного типа
±
t/T
s
,
(14.3)
где
х,„
а
—
положение поршня
при t = 0.
Математическая модель системы. Динамические качества сер-
вомотора вскрываются лишь
при
рассмотрении
его
поведения
в цепи звеньев
с
регулятором
и
объектом регулирования
(рис. 14.2).
Регулятор представляет собой безынерционное звено
1, вы-
ходная координата которого
х
г
передается нелинейному звену
2,
состоящему
из
сервомотора
с
золотником
и
обратной связи
с пе-
редаточным числом
Z (s) = l/k, где k —
коэффициент усиления
основного звена
(см.
пример
1 в § 8.4).
Выходная координата
х
1П
второго звена служит входной координатой звена
3,
изобража-
ющего объект регулирования
В качестве объекта регулирования выберем турбогенератор,
свойства саморегулирования которого
не
будем учитывать.
В та-
ком случае третье звено станет интегрирующим
и его
математиче-
скую модель выразит
(10.13)
Из этого уравнения после подстановки вместо
х
т
выражения
(14.3)
получим
t» = T7
l
x
m
,±(T
a
T.)-\t.
(14.5)
Интегрируя
(14.5),
найдем регулируемую величину
Хш
(t) - х
Шо
+ Т
а
l
x
m
J ± 0,5
(T
a
T
s
)~
{
Г'.
(14.6)
Это уравнение параболы
(рис. 14.3). Ее
форма зависит
от
начальных координат
х
№а
и х
то
и от
динамических констант
Т
а
и
T
s
.
Уравнение идеального регулятора
для
данной схемы записывается
как
алгебраическое уравнение
(10.50)
х?
kx
ш
(14.7)
248
0 Л'л
У
I
Рис.
14.3.
Процесс регулирования
при
постоянной скорости сервомотора
Это значит,
что
функции времени
x
z
(t) и х
(0
(/)
отличаются
только масштабом
k
Уравнение золотника сохраняет
вид (10.60) при
к
= 1
х
3
=
х
г
~х
т
.
(14.8)
Величина
x
s
определяет открытие окон золотника,
а х
т
—
воздействие обратной связи.
Заметим,
что для
всех координат, построенных
на
основе
(14.6),
отсчет ведется
от
нового положения равновесия
(от оси 0t
на
рис. 14.3).
Физический смысл второго члена
в
правой части
(14.6) в
случае сброса нагрузки
—
разгон ротора
за
время
t.
если распределительные органы турбины оставались
бы
непо-
движными
в
положении
х„,
0
.
Последний член этого уравнения
вносит поправку
к
разгону
от
движения этих органов
в
сторону
закрытия
с
постоянной относительной скоростью
l/T
s
.
Первый
же член
в
правой части имеет простой смысл поправки
на
отсчет
координаты
х
а
от
нового положения равновесия.
Особенность данной математической модели
в том, что в ней
только
два
дифференциальных уравнения
— (14.1) и (14.6),
урав-
нение
же
регулятора
в ее
составе отсутствует.
Это
следствие
по-
стулата
о
мгновенном начале движения поршня сервомотора,
как
только регулятор трогается
с
места. После такого начала система
уже
не
контролируется регулятором
до
того момента, когда окна
золотника вновь оказываются закрытыми.
А
тогда, если новое
равновесное состояние всей системы
еще не
достигнуто, окна
золотника открываются
с
другой стороны
и
поршень сервомотора
также мгновенно изменяет направление своего движения
(ме-
няется знак
в (14.6)).
Утрата активности регулятора сразу после начала
его
движе-
ния объясняет
и тот
факт,
что в
полученном решении
(14.6)
явно
не содержится коэффициент неравномерности регулирования
6.
Графическое построение процесса регулирования
(см.
рис.
14.3).
Рассмотрим мгновенный сброс нагрузки, когда кла-
паны закрываются
и в (14.1)
надо взять знак минус.
Начавшийся процесс изменения регулируемой величины
х
а
изображается параболой первого размаха 0
Х
АВ, построенной
по
249
уравнению
(14.6). Эта
кривая отражает
ход
турбины
до тех пор,
пока регулятор
не
перекроет окна золотника.
На диаграмме момент вторичного вступления
в
действие регу-
лятора определяется точкой пересечения траекторий золотника
х
г
и
его
буксы,
— х
т
,
посредством которой выполняется функция
обратной связи.
Это
очевидно
из (14.8).
Координата
— х
т
(t)
копирует перемещение поршня сервомотора,
но с
отрицательным
знаком, чтобы выразить действие обратной связи.
Эта
координата
определяется
из
уравнения
(14.3) с
изменением знаков (вместо
х
т
подставить —х
то
)
-х
т
= —
*„,
+ 77'*- (14.9)
Таким образом получено уравнение отрезка прямой
с
началом
на
оси
ординат, отрицательным
в
случае сброса нагрузки, когда
при
t = 0
координата открытого клапана равна +х
то
,
и
поло-
жительным
при
набросе нагрузки, когда
в
момент
/ = 0
клапан
отстоит
от
нового положения равновесия
на
величину
—
х
;
меняется, естественно, знак
и
перед
77'.
Диаграмма
на рис. 14.3
построена
для
сброса нагрузки,
и
траектория точки, изобража-
ющей координату буксы, представлена прямой
0
г
В.
Масштаб
для
относительной координаты обратной связи
—
х
т
(t), как и для
перемещения поршня сервомотора, должен быть
выбран таким
же, что и для
указателя регулятора
х
г
(/), т. е.
равным коэффициенту усиления
k= 1/6, где б —
коэффициент
неравномерности регулирования.
Принятые построения параболы
х
г
(t) и
прямой
— х
т
(t)
в определенных масштабах приводят
к
непосредственному изоб-
ражению отрезков
ab
открытия окон золотника
на
высоту
x
s
согласно
(14.8). В
месте пересечения параболы
с
прямой
х
т
окна
закрыты.
В
этот момент
и
происходит теоретически мгновенное
изменение направления движения поршня сервомотора.
Если процесс продолжается,
то он
изображается параболой
по тому
же
уравнению
(14.6), но с
иной начальной величиной
x
Wa
,
расположенной
по
другую сторону
от оси Ot —
нового равновес-
ного режима. Прямая
х
т
(t)
теперь соответствует открытию кла-
панов,
и
знак
у
последнего члена
в (14.3)
становится отрицатель-
ным; таким
же он
должен быть
и в (14.9). Это
значит,
что для
вто-
рого размаха угол наклона прямой
х
т
(t) к оси Ot
станет
а
2
=
=
arctg
(-77
1
)
= я — о,.
Перерегулирование. Вершинам парабол соответствуют экстре-
мальные величины
x
a
(t). В эти
моменты производная
х
а
=
х
т
/Т
а
=
=
0 и х
т
= 0.
Последним условием воспользуемся
для
опреде-
ления времени первого размаха согласно
(14.5) при
сбросе нагрузки
когда
х
т
> 0.
f
=
T,x
m
,.
(14.10)
Допустим,
что с
турбогенератора внезапно снята часть
на-
грузки, составляющая долю %
от
максимальной.
Так как
полному
250
изменению нагрузки
от
нуля
до
максимальной
на
статической
характеристике регулирования соответствует относительное
из-
менение частоты вращения
на
величину коэффициента неравно-
мерности
6, то при
линейной характеристике
и
частичном сбросе
нагрузки начальная величина
х
Ыо
= —бк, и, с
учетом знаков
и масштаба,
x
mo
=
—x
a
Jb
= I
(отсчет
х
Шо
и х,
Па
— от оси Ot).
Подставив
эту
величину
х
то
,
найдем
из (14.10)
время первого
размаха
а
= IT
S
.
(i4.il)
Для этого времени
из (14.6)
получим формулу
для
перерегу"
лирования (отсчет
от оси 0t)
Х
Ы
max
= - +
0,577/7Ч
2
.
(14.12)
Если отсчет координат ведется
от
старого положения равно-
весия,
то
начало координат надо сместить
от
линии
0t по
отри-
цательной полуоси ординат
на
величину
ЬХ (в
точку
0
г
).
Тогда,
отметив штрихом новую координату, получим
из (14.12)
Хщ
max
—
0,5Т
S
T
а
А,
.
Из этой формулы следует,
что в
системах
с
постоянной ско-
ростью сервомотора динамический заброс регулируемой величины
не зависит
от
коэффициента неравномерности
б.
Физически
это
объясняется принятым постулатом
о
мгновенном
и
полном откры-
тии окон золотника:
в
таком случае регулятор, после внезапного
сброса нагрузки,
во
время первого размаха никакого влияния
на
процесс регулирования оказывать
не
может
и
динамический
за-
брос, отсчитываемый
от
старого положения равновесия, зависит
только
от
динамических постоянных
Т
а
и T
s
.
Влияние
на
процесс коэффициента неравномерности
6. При
изменении коэффициента усиления
k при
обратной
его
величине
б
масштаб параболы
х
ш
(t)
сохраняется неизменным,
а
масштаб
той
же
параболы
для
переменной
х
г
(t), как
указывалось, изме-
няется пропорционально
б.
Масштаб
для
переменной
x
rn
(t)
при-
нят таким
же, как для x
z
(t), и он
также изменяется пропорцио-
нально
б.
При выбранных масштабах угол наклона
а
х
прямой первого
размаха
— x
m
(t),
исходящей
из
начала координат
O
l
на рис. 14.3,
определяется согласно уравнениям
(14.1) и (14.3), в
которых сле-
дует считать
х
то
= 0 и t = T
s
.
Последнее объясняется
тем, что
за время
T
s
поршень совершает
ход,
равный /n
max
,
а х
т
= 1.
Кроме
того, надо учитывать масштаб кривой
—
х
т
(t),
равный
б.
Таким
образом, искомый угол наклона находится
из
соотношения
-d
(x
m
8)/dt
= 6/7
s
= arctg (14.13)
Здесь левая часть уравнения представляет собой наклон прямой
х
т
{t) при
выбранном масштабе,
а его
правая часть доказывает,
251
что этот наклон меняется пропорционально
б.
Построив треугольник,
по
катетам
б и Т
в
найдем искомый наклон
(см. рис. 14.3, б).
При этом построении
б
откладывается
в масштабе параболы
х
а
(t).
С увеличением
б до б*
смещается вверх
новое положение равновесия системы
— ли-
ния
0*t на рис. 14.3, а. Это
смещение
оси
координат
в
сочетании
с
ростом угла
на-
клона прямой
—
x
m
(t)
пропорционально
6
уменьшает величину перерегулирования
(от-
Рис.
14.4.
Аперио- считывается
от
нового положения равно-
дический
процесс
при
весия)
при
первом размахе
и
снижает
про-
постоянной
скорости должительность процесса. Выявленное здесь
сервомотора
влияние
б на
перерегулирование
не
противо-
речит сделанному ранее заключению
о не-
зависимости
от б
динамического заброса частоты вращения,
от-
считываемого
от
старого положения равновесия.
Влияние динамически константы
T
s
.
Изменение времени
сервомотора
T
s
сильно влияет
на
процесс регулирования,
что
выявляет последний член
в (14.6) при t
2
,
обратно пропорцио-
нальный
T
s
. В
случае сброса нагрузки этот член входит
в
формулу
для
х
а
с
отрицательным знаком
и тем
самым снижает положитель-
ное перерегулирование. Кроме того,
с
уменьшением
T
s
растет
производная
dx
m
/o!t
и
связанный
с ней
угол наклона прямой
x
m
(t),
а
это
приближает
к
вершине
А
точку
В
пересечения прямой
с па-
раболой
и
ускоряет затухание процесса.
Время сервомотора
при
закрытии клапана
T'
s
и при его от-
крытии
T's
может существенно различаться из-за наличия пру-
жин
и
значительных неуравновешенных
сил
давления
на
клапан.
Рассмотренный здесь метод построения процесса позволяет легко
учесть
и
этот
вид
нелинейности:
при
изменении направления дви-
жения поршня надо лишь изменить угол
а
наклона линии
х
т
(t)
в соответствии
с
временем сервомотора.
Монотонный процесс. Поставим задачу создать переходный
процесс регулирования
без
перерегулирования. Рассмотрим
в ка-
честве примера первый размах после сброса нагрузки.
Для поставленной цели необходимо, чтобы прямая
х
т
(t) пе-
ресекла параболу
х
а
(/) не
далее
ее
вершины
А (рис. 14.4),
причем
процесс должен закончиться
на
линии нового положения равно-
весия
01. Для
выполнения этих условий требуется определенный
угол
а
г
наклона прямой
—х
т
(t)
-*т^\х
ш
,\1Г,
(14.14)
где согласно
(14.11)
время первого размаха
f = XT
S
, а
соответ-
ствующая
ему
регулируемая величина
х'
а
= 0,
поскольку
ко-
ординаты отсчитываются
от
нового положения равновесия.
252
Подставив указанные значения
f и х'
а
в (14.12) при х
(0о
=
= —ЬК,
выведем критерий монотонности
про-
Ц
6 С С 3
lTJ(6T
a
) < 2. (14.15)
Для линейного сервомотора
в
данной структурной схеме ана-
логичное условие апериодичности было
бы
выражено формулой
(см.
§ 11.1)
TJ(6T
a
) < 0,25.
Как видно
из
сравнения двух последних критериев, сервомо-
тор постоянной скорости значительно расширяет область моно-
тонных процессов
по
сравнению
с
линейным сервомотором
в той же
системе.
Процесс
при
постоянной скорости поршня сервомотора
не-
возможен, если прямая
—
х
т
(t)
вовсе
не
пересечет параболу.
Это случится
в
области,
где в
исходной точке процесса
в
момент
t = 0
наклон касательной
к
параболе
(см. рис. 14.4),
выражен-
ный уравнением
(14.5) при х
то
= К
|
Х
ш
\/
=
о =
"к/Та,
станет меньше,
чем
наклон прямой —Ьх
т
(t)
согласно
(14.13)
|
d (—
x
m
8)/dt
\t^
0
= 6/7V
При равенстве этих углов наклона левые части двух послед-
них уравнений равны между собой,
а
приравнивая
их
правые
части
(с
учетом знака
X),
получим граничное условие
для
про-
цессов
с
постоянной скоростью сервомотора
Я
гр
==
б7
а
/Г
5
.
(14.16)
Область монотонных процессов,
в
которой А,
> Х
гр
с
одной
стороны,
и
выполняется критерий
(14.15), с
другой стороны,
находится
в
пределах
1 <
kTj(8T
a
)
< 2. (14.17)
При
X < А
гр
,
выключающее действие сервомотора становится
настолько сильным,
что
регулятор
не в
состоянии держать окна
золотника открытыми, жидкость
все
время дросселируется
и
сервомотор
не
может достигнуть своей максимальной скорости.
Критерий
(14.17)
выясняет также,
что
движение
с
постоянной
скоростью возможно лишь
при
достаточно больших набросах
и
сбросах нагрузки.
В
этом сказывается зависимость процесса
от
амплитуды колебаний,
что
характерно
для
нелинейных систем.
Пример. Пусть время турбины
Т
а
= 5 с,
коэффициент
неравномерности
б = 0,02 и T
s
= 0,5 с.
Тогда согласно кри-
терию
(14.16)
минимальная величина мгновенной разгрузки
или
нагрузки турбогенератора
Я,
т1п
= 0,2.
Устойчивость. Реальный процесс регулирования отклоняется
от принятой схемы главным образом
на
начальном участке дви-
жения сервомотора, пока открываются окна золотника.
На
этом
253
1'
/
\
/
\
14
1 ..
2/ / j
участке процесс протекает
с
дроссе-
лированием,
как в
линейном серво-
моторе.
А так как
вопрос устойчи-
вости регулирования решается
на
основе метода малых колебаний,
то
рассматриваемый
тип
сервомотора
не вносит каких-либо изменений
в этот метод. Плавное нарастание
скорости
на
начальном участке
про-
Рис.
Н.5.
Сравнение процес- цесса
—
положительный фактор;
бла-
сов регулирования
при
постоян- „„„„„„
„
г
ной
и
переменной скоростях
года
Р
я
ЭТ0М
У Уменьшается ампли-
сервомоторов туда колебаний
при
всегда поступа-
ющих
из
сети случайных возмуще-
ниях,
что
повышает качество процесса
и
снижает износ системы.
Уточнение процесса. Если участок дросселирования
при
откры-
тии окон золотника нельзя считать малым
по
сравнению
с
макси-
мальным ходом поршня сервомотора, можно провести уточнение,
пользуясь указанным в,ыще геометрическим методом
или
анали-
тически
с
привлечением ЭВМ. Применительно
к
структурной схеме
на
рис. 14.2
задача сводится
к
решению дифференциального урав-
нения^ второго порядка
и
построение процесса
не
вызывает труд-
ностей
(см.
гл. 11).
Нет
препятствий
и для
учета влияния само-
регулирования турбины
на
процесс регулирования.
Пример.
На
рис.
14.5
дано сравнение процессов регули-
рования
при
постоянной (сплошная линия)
и
переменной (штри-
ховые линии) скоростях поршня сервомотора.
В
обоих случаях-
T
s
= 2 с, Т
а
= 10 с, б =
0,01
и
X
= 0,4.
Из диаграммы видим существенные преимущества релейного
сервомотора: снижается перерегулирование, колебания затухают
быстрее
и
продолжительность процесса уменьшается
по
сравне-
нию
с
теми
же
показателями
той же
динамической системы,
но
с
линейным сервомотором.
Это
сравнение
—
наглядный пример
возможности повышения динамического качества системы регули-
рования
за
счет введения нелинейного элемента.
§
14.2.
ЭЛЕКТРИЧЕСКИЙ СЕРВОМОТОР
РЕЛЕЙНОГО ТИПА
Электрический двигатель, работающий
в
качестве сер-
вомотора, имеет вращающуюся массу, образующую аккумулятор
энергии.
Его
влияние
на
процесс можно исследовать
с
помощью
уравнения, составленного аналогично
(10.2).
Уравнение движения двигателя основано
на законе количества движения
Jdajdt
= М
я
- М
0
,
(14.18)
где
ю
3
—
угловая скорость;
J —
массовый момент инерции, при-
веденный
к
координате
co
s
; М
я
и М
с
—
моменты движущих
сил
и
сил
сопротивления.
254
Движущие силы
в
электродвигателе формируются
по
сигналу
рассогласования
x
s
,
который
в
гидравлическом сервомоторе
ха-
рактеризуется открытием окон золотника
(в
относительных коорди-
натах)
в
зависимости
от
координат регулятора
x
z
и
обратной
связи
х
т
(см.
(10.60)).
При
этом
х,
=
х
г
-хх
т
,
(14.19)
гдех
= 1
при
наличии обратной связи
и х = 0
при
ее
отсутствии.
Силы сопротивления находятся
в
зависимости
от
частоты вра-
щения сервомотора
x
as
и
положения клапана
х
т
.
Таким образом,
в
правой части
(14.18)
имеются
две
функции:
М
д
{х
г
, х
ш
) и М
с
(х
Ш5
,
х
т
). В
состав первой
из
них
входит команда
регулятора, которая усиливается
в
релейном звене перед серво-
мотором.
В
состав обеих функций входят члены, выражающие
свойства саморегулирования сервомотора, вполне аналогичные
тем, которые отмечались
в § 7.1, 10.1 и
др.
Эффект саморегулиро-
вания электрического двигателя сравнительно невелик,
как и
генератора
в
математической модели вращающихся масс
(10.10).
В зависимости
от
характеристики перестановочной силы клапанов
положительный эффект
в
сервомоторе
от
саморегулирования может
повышаться
или
снижаться. Поэтому
для
улучшения динамиче-
ских свойств сервомотора целесообразно вводить обратную связь,
аналогичную кинематическому выключателю
в
гидравлическом
сервомоторе,
что и
выражено
в
(14.19).
Связь между углом поворота ротора
х
ф
и
координатой
х
т
во время действия сервомотора становится чисто кинематической,
определяемой алгебраическим уравнением
х
ф
= k
v
x
m
, где k
v
—
коэффициент усиления. Следовательно,
Xio
s
= *
Ф
=
kyX
m
.
(14.20)
Значит, уравнение
(14.18)
имеет второй порядок
по
координате
х
т
и представляет собой колебательное звено, аналогичное модели
гидравлического сервомотора
с
дроссельным золотником, если
для
него учесть влияние масс. Если
же
влиянием масс пренебречь,
то
для
сравниваемых сервомоторов математическая модель будет
выражена общим уравнением
(10.61),
T
s
x
m
+ xx
m
= kx
z
.
(14.21)
Здесь по-прежнему
T
s
—
время сервомотора,
за
кото-
рое клапан совершает свой полный рабочий
ход при
максималь-
ном регулируемом напряжении подводимого
к
электродвигателю
тока.
Быстродействие системы регулирования
ча-
стоты
с
электрическим сервомотором,
—
это
одна
из
наиболее
трудно решаемых задач.
На
примере гидравлического сервомотора
в
§ 14.1 уже
было доказано,
что
повышение
его
быстродействия
255
лучше всего достигается
при
использовании релейного принципа
работы.
Это
решение, естественно, следует применять
и в
схемах
с электрическим сервомотором
[17,50].
Релейный элемент изменяет вращающий момент
электродвигателя
М
п
в
зависимости
от
интенсивности исходящего
от регулятора сигнала
х
г
. В
зоне нечувствитель-
ности выходное напряжение
в
реле равно нулю
и
двигатель
обесточен.
В это
время клапаны удерживает самотормозя-
щаяся передача. Реле действует лишь
в том
случае,
когда сигнал рассогласования
x
z
по
регулируемому параметру
выходит
за
пределы нечувствительности релейного усилителя.
Тогда
он
подает управляющие импульсы
по
напряжению
U
y
к входу
в
тиристорный преобразователь. Полярность
и
длитель-
ность управляющих импульсов определяется знаком
и
величиной
сигнала рассогласования.
В
результате двигатель перемещает
клапаны
в
нужном направлении
и с
приблизительно постоянной
скоростью
на
основном участке траектории клапана.
В моменты остановки клапана меняет знак производная
х
т
и клапан остается неподвижным, пока регулируемый параметр
не
отклонится настолько, чтобы сервомотор преодолел зону
не-
чувствительности. Если положение равновесия окажется внутри
зоны нечувствительности,
то
данным размахом хода клапана
заканчивается процесс регулирования.
В
промежутки времени,
когда клапан неподвижен,
а
равновесие
еще не
наступило, проте-
кает свободный процесс регулирования
иод
влиянием лишь
сил
саморегулирования турбины.
Если пусковой момент
УИ
П
электродвигателя настолько велик,
что сервомотор быстро достигает установившейся угловой ско-
рости
о)
у
, то
момент инерции электродвигателя мало влияет
на
процесс регулирования
и
процесс протекает
так же, как в
гидрав-
лическом сервомоторе релейного типа
(см. рис. 14.3).
Если
же
участки разгона
и
торможения сервомотора значительны,
то это
в известной мере снижает быстродействие системы.
§
14.3.
ВЛИЯНИЕ СУХОГО ТРЕНИЯ
В РЕГУЛЯТОРЕ
С
ПРЕНЕБРЕЖИМО МАЛЫМИ МАССАМИ
НА ПРОЦЕСС НЕПРЯМОГО РЕГУЛИРОВАНИЯ
Создать регулятор вовсе
без
трения невозможно.
По-
этому следует обсудить вопрос
о
влиянии
на
процесс
сил
сухого
трения
в
регуляторе
в том
случае, когда
его
массы пренебрежимо
малы. Практически важно знать,
не
приводит
ли к
автоколеба-
ниям нелинейность типа сухого трения
и в
связи
с
этим
—
какой
коэффициент нечувствительности допустим
в
различных динами-
ческих системах.
Решению этой важной задачи были посвящены труды
А. А. Ан-
дронова,
А. И.
Лурье
и др.
Ниже приводится приближенное
решение, данное автором
[28 ], как
наиболее простое.
256
W,(s) W
2
(s)
|В качестве регулируемой величины
_
выберем частоту вращения, хотя весь
анализ будет
в
равной мере справедлив
Рис
14 6
Структурная
схе-
для любого другого регулируемого
па- ма в
составе безынерционно-
раметра (давления, температуры
и пр.). го
звена
К,
апериодического
Для упрощения задачи
и без
ущерба
^ gj
и
интегрирующего
для сути дела пока будем считать
пре-
2
небрежимо слабыми свойства само-
регулирования турбины.
В
таком случае структурная схема
не-
прямого регулирования
с
идеальным регулятором имеет
три
звена
(рис. 14.6):
безынерционное звено
—
регулятор, аперио-
дическое
—
главный сермовотор, интегрирующее
—
объект
ре-
гулирования.
Математическая модель. Данную систему представляют
ни-
жеследующие уравнения, вполне аналогичные уравнениям
(11.21)
и
(11.22).
Уравнение ротора
как
интегрирующего звена
со-
гласно
(10.13)
Т
а
х
а
-х
т
= 0, (14.22)
где
х
а
и х
т
—
относительные изменения частоты вращения
и
хода клапана
или
жестко связанного
с ним
поршня сервомотора.
Уравнение сервомотора
как
апериодического
звена запишем
в
форме
(10.61) при х = 1 (с
обратной связью)
и коэффициенте усиления
k = 1
(согласно данному разъяснению
к этой формуле)
T
s
x
m
+ x
m
= — х
г
, (14.23)
где
х
г
—
координата, определяющая положение муфты центро-
бежного маятника.
8 (14.23)
поставлены разные знаки
при х
т
и х
г
с
учетом глав-
ной обратной связи:
в
начале процесса, когда сброшена нагрузка
и ротор разгоняется, частота вращения меньше равновесной
(х
ш
< 0 и х
г
< 0), а
клапан
при
нулевой начальной скорости
х
т
= 0
оказывается открытым больше,
чем
требуется
в
новом
положении равновесия
(х
т
> 0), и он
прикрывается.
Уравнение идеального регулятора
(10.50)
с учетом значений коэффициента усиления
k = б""
1
и
коэффициента
нечувствительности
от
постоянной силы трения
x
m
= 6x
z
+ (e/2)signx
2>
(14.24)
где
в = (ш
в
—
со
н
)/(О
с
—
коэффициент нечувствительности, опре-
деляемый уравнением
(1.9); со
в
и со„ —
верхний
и
нижний пре-
делы изменения угловой скорости
по
сравнению
с
равновесной
©
0
,
при которых муфта центробежного маятника начинает движение
в одну сторону
или в
другую;
sign
х
г
=
1
при x
z
> 0 и
sign
х
г
—1
при
x
z
< 0, что
определяет изменение направления действия силы
9
Кириллов
и. и. 257
1 —
c{t--x)
Рис.
14.7.
Колебания муфты цен-
тробежного маятника
х
г
в
зависи-
мости
от
постоянного трения одновременно
с переменой направления дви-
жения муфты.
В промежутки времени, когда
х
г
— x
Zo
и
муфта некоторое время
остается неподвижной, угловая
скорость маятника меняется
на
величину
|
со
в
—со,,
|.
Зависимость
х
г
от х
а
пред-
ставлена
на рис. 14.7, а
процесс
регулирования
во
времени
— на
рис.
14.8.
Здесь начало коорди-
нат нового положения равновесия
0, а
старого
0'.
Относительная
координата
х
т
отложена
как
величина отрицательная
и в
том
же
масштабе,
как
и
координата
х
г
.
Поэтому отрезок между кривыми
х
т
и
х
г
,
измеренный
по
вертикали, изображает
в
определенном
масштабе величину открытия окон золотника, например,
от-
резок
bf в
момент трогания муфты
с
места после стоянки.
В некоторый момент времени
(t = 0)
регулируемый параметр
л:
ш
становится максимальным (точка
А),
муфта обязательно оста-
навливается
и
трогается
с
места лишь после уменьшения угловой
скорости
до
величины
х
а
— в
(точка
В),
когда
t = t
x
.
Этим зна-
чениям
х
ш
в
точках
А и В на
рис.
14.8
соответствуют точки
а
и
&
на
кривой
х
г
(t).
Так
как
рассматриваемая линейная модель турбины
не
обла-
дает свойством саморегулирования,
то
ускорение ротора пропор-
ционально отклонению клапана
х
т
от
положения равновесия
и
оно
становится равным нулю, когда
х
т
= 0,
что
очевидно
из
(14.22).
Значит муфта
в это
время меняет свое направление дви-
жения
с
неизбежной остановкой из-за нечувствительности регу-
лятора. Пусть
эта
остановка произошла
в
момент времени
t = 0
в точке
а при х
г
— x
Zo
и при х
он
= 6x
Zo
+ е/2.
Муфта вновь
тронется
с
места
в
точке
В
при
х
ш
= 6x
Ztl
—
е/2.
Пока муфта остается неподвижной, клапан продолжает пере-
мещаться
в
прежнем направлении,
а
скорость ведущего
его
поршня
сервомотора
все
время снижается
под
влиянием обратной связи,
смещающей золотник пропорционально координате
х
т
. При
этом
движение поршня сервомотора происходит
по
экспоненте,
что
ясно
из
(14.23)
при x
z
= x
Zo
—
const,
если
за
новую переменную
взять
х'т
= х
т
+ x
Za
и
рассматривать уравнение
T
s
x
m
+x'
m
= 0.
(14.25)
Эта экспонента приближается
к
точке
/
(где
все
еще
неподвижна
муфта) гораздо круче,
чем
синусоидальная кривая процесса
во
время движения муфты, прикрывающей окна золотника.
Во
время
стоянки муфты также быстрее изменяется
и
координата
х
ы
. Чем
больше время стоянки муфты
t
l7
тем
ближе оказывается точка
/
(где
на
рис.
14.8
координата
х
т
= х
т1
) к
точке
Е,
означающей
258
Рис.
14.8.
Процесс непрямого регулирования
при
постоянном трении
в
центро-
бежном маятнике
полное закрытие окон золотника. Заметим,
что при
неподвижной
муфте окна золотника
не
могут полностью закрыться,
так как
не управляемый регулятором сервомотор ведет себя
как
аперио-
дическое звено, которое асимптотически приближается
к
поло-
жению равновесия
(см. рис. 7.1).
В момент времени
t
x
муфта трогается
с
места
(от
точки
b на
рис.
14.8).
С
этого момента
все
звенья системы нормально дей-
ствуют
в
соответствии
с
уравнениями
(14.22)—(14.24)
и при
sign
x
z
=
—1.
Начальные
же
условия
для
решения этой системы
уравнений определяются
ее
состоянием
в
точках
Ь, В и /.
Если время стоянки
t
x
достаточно велико,
то к
моменту тро-
гания муфты
с
места открытие окон золотника мало,
с
началом
ее движения
эти
окна тотчас
же
будут перекрыты,
а
поршень
сервомотора
без
промедления изменит направление своего хода
(предполагаются нулевые перекрыши
в
золотнике).
Итак, после каждой остановки муфты можно определить
на-
чальные условия
и
продолжать строить процесс, пользуясь
си-
стемой линейных дифференциальных уравнений
(14.22)—(14.24).
С целью дать качественную оценку процессу регулирования
с трением линеаризуем указанную систему дифференциальных
уравнений, заменив эффект трения запаздыванием
т
3
(см.
§
13.7).
Математическая модель
с
запаздыванием. Поскольку постав-
лена задача исследовать автоколебания системы регу-
лирования
с
трением, рассмотрим
ее
поведение
на
границе устой-
чивости
при
критическом запаздывании
т
к
и
частоте
со
к
. Их
величины определяются
(см.
§ 13.7) по
формулам:
Л(со
к
)=1;
9
(со
к
)
=
т
к
со
к
—
я. (14 26)
Поскольку критическое запаздывание порождает автоколеба-
ния, после каждого размаха
все
координаты нашей линейной
9*
259