J?rgen Adamy - Nichtlineare Regelungen

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54 Kapitel 2. Grenzzyklen und Stabilit

atskriterien

Tabelle 2.1: Kennlinien und ihre Beschreibungsfunktionen - Fortsetzung.

Nichtlinearit

at Beschreibungsfunktion N(A) und Ortskurve −1/N (A)

Totzone

−a

Steigung: m

A → a

A →∞

−

N(A)

N(A)=m

1−

arcsin

−

1 −

“

”

,A≥ a

Begrenzungsglied

−b

a−a

m =

A →∞

−

A ≤ a

−

N(A)

N(A)=

m,0 ≤ A ≤ a

arcsin

1 −

“

”

,A>a

Potenzen

u = e |e|,

u = e

A → 0

A →∞

−

N(A)

N(A)=

3π

, f

ur u = e |e| und A ≥ 0

N(A)=

, f

ur u = e

und A ≥ 0

2.1. Verfahren der harmonischen Balance 55

Tabelle 2.1: Kennlinien und ihre Beschreibungsfunktionen - Fortsetzung.

Nichtlinearit

at Beschreibungsfunktion N(A) und Ortskurve −1/N (A)

Wurzel n

u =sgn(e)

|e|,

u =

√

A →∞

A =0

−

N(A)

N(A)=1.11A

−1/2

, f

ur u =sgn(e)

|e| und A ≥ 0

N(A)=1.16A

−2/3

, f

ur u =

√

e und A ≥ 0

Trockene Reibung

−b

˙e

Reibkraft: b

u = −b sgn ( ˙e)

A →∞

A =0

−

N(A)

N(A)=−j

4 b

πA

, A ≥ 0

Lose

−a

Steigung: m

A →∞

A → a

−

N(A)

N(A)=

“

arcsin α + α

1−α

”

− j

1−α

mit α =1−

, A>a

56 Kapitel 2. Grenzzyklen und Stabilit

atskriterien

Tabelle 2.1: Kennlinien und ihre Beschreibungsfunktionen - Fortsetzung.

Nichtlinearit

at Beschreibungsfunktion N(A) und Ortskurve −1/N (A)

Harte Hysterese

−b

a−a

A →∞

A = a

−

πa

−

N(A)

N(A)=

πA

1 −

“

”

− j

4ab

πA

,A≥ a

Weiche Hysterese

−a

−b

Steigung: m

A =

b + ma

A →∞

−

N(A)

N(A)=

„

b + ma

+ μ

„

b − ma

««

− j

4ba

πA

μ(x)=arcsin(x)+x

1 − x

,A≥

b + ma

Dreipunktglied mit

Hysterese

−a

−b

−c

−

πa

a+c

a−c

−

πa

A →∞

A = a

−

N(A)

N(A)=

πA

1−

“

”

1−

“

”

− j

2b(a − c)

πA

A ≥ a

2.1. Verfahren der harmonischen Balance 57

Ein wichtiges Beispiel f

ur eine zusammengesetzte Kennlinie ist eine st

uck-

weise lineare, stetige Kennlinie, d. h. ein Polygonzug. Man kann diesen Poly-

gonzug aus einer Summe von Totzonen oder Begrenzungsgliedern konstruie-

ren. In den 2k Intervallen [±a

, ±a

i+1

),i=0,...,k, eines Polygonzuges liegt

jeweils eine Gerade mit der Steigung m

und der Polygonzug ist punktsym-

metrisch und geht durch null, d. h.

u =

⎧

⎪

⎨

⎪

⎩

e, e ∈ [0, ±a

e ± (m

− m

,e∈ [±a

, ±a

e ± (m

− m

± (m

− m

,e∈ [±a

, ±a

e ±

k−1



i=1

− m

i+1

,e∈ [±a

k−1

, ±∞).

Dann setzt sich die zugeh

orige Beschreibungsfunktion aus Beschreibungsfunk-

tionen von Totzonen zusammen. Die entsprechende Beschreibungsfunktion der

Totzone ﬁndet sich in Tabelle 2.1. Es gilt f

ur den Polygonzug

ges

(A)=m

k−1



i=1

i+1

− m

)



1 −



mit

μ(x)=arcsin(x)+x



1 − x

Hierbei muss A ≥ a

k−1

sein.

2.1.4 Stabilit

atsanalyse von Grenzzyklen

Aus den Verl

aufen der Ortskurve G(jω) und der nichtlinearen Ortskurve

−1/N (A) kann man nicht nur erkennen, ob ein Grenzzyklus existieren k

onnte,

sondern auch auf sein Stabilit

atsverhalten schließen. Man kann also untersu-

chen, ob der Grenzzyklus stabil, semistabil oder instabil ist.

ur diese Untersuchung geht man davon aus, dass man einen Grenzzyklus

mit der Amplitude A

bestimmt hat. Dann wird das Regelkreisverhalten in

einer Umgebung des Grenzzyklus n

aherungsweise durch den linearen Ersatz-

kreis aus Bild 2.3 beschrieben. Hierbei gilt f

ur den Verst

arkungsfaktor des

linearen Ersatzreglers

K = N(A).

Andert man nun die Amplitude geringf

ugig um ΔA zu

A = A

+ ΔA,

andert sich auch K geringf

ugig. Durch diese

Anderung der Amplitude A

haben wir den Grenzzyklus verlassen und m

ussen uns nun die Frage stellen,

58 Kapitel 2. Grenzzyklen und Stabilit

atskriterien

ob die Trajektorie auf den Grenzzyklus zur

uckl

auft oder von ihm weg. Diese

Frage l

asst sich durch die Untersuchung des Stabilit

atsverhaltens des linearen

Ersatzregelkreises, siehe Bild 2.5, bei

Anderungen von K = N(A

+ ΔA)

aren. Vier F

alle sind m

oglich, siehe hierzu auch Bild 2.11.

Im Fall (a) gilt ΔA > 0 und der lineare Ersatzregelkreis wird instabil. Da

der lineare Ersatzregelkreis eine gute N

aherung des nichtlinearen Regelkrei-

ses ist, k

onnen wir schlussfolgern, dass sich die Trajektorie vom Grenzzyklus

entfernt. Im Fall (b) gilt ΔA > 0 und der lineare Ersatzregelkreis wird stabil,

deshalb verringert sich die Amplitude A und als Folge strebt die Trajektorie

zum Grenzzyklus. Im Fall (c) gilt ΔA < 0 und der lineare Ersatzregelkreis

wird instabil, deshalb wird die Amplitude A gr

oßer und die Trajektorie strebt

zum Grenzzyklus. Im Fall (d) gilt ΔA < 0 und der lineare Ersatzregelkreis

wird stabil. Als Folge verl

asst die Trajektorie den Grenzzyklus.

Da sowohl der Fall ΔA > 0alsauchderFallΔA < 0 im Regelkreis auftre-

ten, l

asst sich aus den folgenden Situationen auf die Stabilit

at des Grenzzyklus

schließen:

Situation 1: Fall (a) und (c) : semistabiler Grenzzyklus,

Situation 2: Fall (a) und (d) : instabiler Grenzzyklus,

Situation 3: Fall (b) und (c) : stabiler Grenzzyklus,

Situation 4: Fall (b) und (d) : semistabiler Grenzzyklus.

Ob der lineare Ersatzregelkreis durch eine

Anderung ΔA und damit von

K = N(A

+ ΔA)

stabil oder instabil wird und welche der obigen Situationen daraus resultiert,

entscheiden wir im Folgenden anhand des vereinfachten Nyquist-Kriteriums

ΔA > 0

ΔA =0

Fall (a): ΔA > 0 und linearer

Ersatzregelkreis instabil.

Fall (b): ΔA > 0 und linearer

Ersatzregelkreis stabil.

ΔA < 0

Fall (c): ΔA < 0 und linearer

Ersatzregelkreis instabil.

Fall (d): ΔA < 0 und linearer

Ersatzregelkreis stabil.

Bild 2.11: Stabilit

atsverhalten bei Amplituden

anderung ΔA des Grenzzyklus.

2.1. Verfahren der harmonischen Balance 59

[53]. Aus der linearen Systemtheorie wissen wir, dass das vereinfachte Nyquist-

Kriterium auf einen oﬀenen Regelkreis mit der

Ubertragungsfunktion K ·G(s),

die ausschließlich stabile Pole und h

ochstens zwei Pole bei s = 0 besitzt,

angewendet wird. L

asst dann die Ortskurve G(jω) den kritischen Punkt

−

= −

N(A

+ ΔA)

links liegen, so ist der geschlossene Regelkreis stabil. Andernfalls ist er insta-

bil. Somit k

onnen die obigen vier Situationen anhand der linearen und der

nichtlinearen Ortskurve unterschieden werden, wie es das Bild 2.12 zeigt.

Betrachten wir beispielsweise Situation 3 in Bild 2.12, so l

asst die Orts-

kurve G(jω)f

ur ΔA > 0 den Punkt −1/N (A

+ΔA) links liegen. Also ist der

lineare Ersatzregelkreis stabil und der Fall (b) aus Bild 2.11 liegt vor, d. h.,

die Trajektorie l

auft von außen auf den Grenzzyklus zu. F

ur ΔA < 0 dagegen

ist der lineare Ersatzregelkreis instabil, da die Ortskurve G(jω) den Punkt

−1/N (A

+ ΔA) rechts liegen l

asst. Der Fall (c) aus Bild 2.11 liegt vor und

die Trajektorie l

auft von innen auf den Grenzzyklus zu. Der Grenzzyklus ist

also stabil.

G(jω)

−

N(A)

ΔA <0

ΔA >0

−

N(A)

Situation 1: F

alle (a) und (c) liegen

vor. Der Grenzzyklus ist semistabil.

Situation 2: F

alle (a) und (d) liegen

vor. Der Grenzzyklus ist instabil.

ΔA >0

ΔA <0

−

N(A)

G(jω)

−

N(A)

Situation 3: F

alle (b) und (c) liegen

vor. Der Grenzzyklus ist stabil.

Situation 4: F

alle (b) und (d) liegen

vor. Der Grenzzyklus ist semistabil.

Bild 2.12: M

ogliche Situationen f

ur die Stabilit

at von Grenzzyklen.

60 Kapitel 2. Grenzzyklen und Stabilit

atskriterien

Obige Untersuchungen motivieren folgendes Kriterium

uber die Stabilit

von Grenzzyklen. Wie das Verfahren der harmonischen Balance selbst, liefert

es jedoch keine sichere Aussage, sondern gibt nur Hinweise auf die m

oglichen

Verh

altnisse.

Heuristik 2 (Stabilit

at von Grenzzyklen). Ein Grenzzyklus ist im Falle

einer Regelstrecke G(s) mit ausschließlich stabilen Polen und h

ochstens zwei

Polen bei s =0vermutlich

(1) stabil, wenn die nichtlineare Ortskurve die lineare von rechts nach links im

zugeh

origen Schnittpunkt kreuzt,

(2) semistabil, wenn die nichtlineare Ortskurve die lineare im zugeh

origen

Schnittpunkt tangiert,

(3) instabil, wenn die nichtlineare Ortskurve die lineare von links nach rechts

im zugeh

origen Schnittpunkt kreuzt.

Die Richtungen links und rechts sind dabei als diejenigen anzusehen, die sich

beim Entlanglaufen auf der linearen Ortskurve, beginnend bei ω = 0, ergeben.

Ein instabiler oder semistabiler Grenzzyklus ist f

ur einen Regelkreis re-

lativ unkritisch, da die Trajektorie ihn bei kleinsten St

orungen verl

asst und

dann z. B. stabil nach x = 0 strebt. Kennlinien mit Funktionen −1/N (A), die

wie in Situation 2 des Bildes 2.12 in Richtung Ursprung laufen, sind also un-

gef

ahrlicher als die, bei denen das andersherum ist. Denn −1/N (A) schneidet

dann die Ortskurve G(jω) von links nach rechts, da die meisten Ortskurven

im Uhrzeigersinn drehend in den Ursprung laufen.

ur das Verfahren der harmonischen Balance gibt es eine Reihe von Erwei-

terungen f

ur Regelkreise mit mehreren Kennlinien, unsymmetrischen Kennli-

nien und Abtastregelungen [50, 60].

2.1.5 Beispiel Servolenksystem

Wir betrachten ein Servolenksystem f

ur Kraftfahrzeuge, das nach dem Win-

kel

uberlagerungsprinzip arbeitet [92, 101, 102]. Bei diesem Prinzip wird ei-

ne hohe Lenk

ubersetzung verwendet, um das Lenkmoment f

ur den Fahrer

zu reduzieren. Nachteilig sind die großen Lenkwinkel. Ein motorgetriebenes

Uberlagerungsgetriebe verringert daher den Lenkwinkel, den der Fahrer auf-

zubringen hat. Das

Uberlagerungsgetriebe erzeugt hierf

ur einen Zusatzwinkel

, der dem Lenkradwinkel δ

additiv

uberlagert wird. Beide zusammen er-

zeugen den Ausgangswinkel δ

. Bild 2.13 zeigt den prinzipiellen Aufbau.

Servolenksysteme mit Winkel

uberlagerungsprinzip werden auch bei Ak-

tivlenkungen eingesetzt. Die Aktivlenkung reduziert den Lenkwinkelbedarf

bei niedrigen Geschwindigkeiten durch Mitlenken des Stellmotors. Der Fah-

rer kann so mit kleineren Lenkradbewegungen enge Kurven durchfahren. Bei

hohen Geschwindigkeiten lenkt der

Uberlagerungsmotor gegen, so dass große

Lenkradbewegungen nur zu kleinen Lenkeinschl

agen f

uhren. Das erh

oht die

Fahrsicherheit in diesem Geschwindigkeitsbereich.

2.1. Verfahren der harmonischen Balance 61

Bild 2.13: Servolenksystem mit Winkel

uberlagerungsprinzip.

Im Normalfall h

alt der Fahrer das Lenkrad fest und gibt einen Lenkwin-

kel δ

vor. Bei losgelassenem Lenkrad f

allt diese Lenkwinkelvorgabe weg und

es k

onnen Grenzzyklen im Lenksystem auftreten. Diese sind nat

urlich un-

erw

unscht.

Zum Zwecke ihrer Analyse betrachten wir den in Bild 2.14 dargestellten

Aufbau der Regelung des Lenksystems bei losgelassenem Lenkrad. Stellmotor

mit Stromregelung und

Uberlagerungsgetriebe bilden die Regelstrecke, deren

Eingangsgr

oße der Drehmomentsollwert M des Stellmotors ist. Ausgangsgr

oße

dieser Regelstrecke ist zum einen der Ausgangswinkel δ

= δ

+ δ

.Zum

anderen ist aber auch der Lenkradwinkel δ

Ausgangsgr

oße, da ja das Lenkrad

nicht durch den Fahrer festgehalten wird. Der PD-Regler f

ur den Zusatzwinkel

besitzt die Parameter K

= 3000 N m rad

−1

und T

=0.02 s.

Beschrieben wird der Stellmotor samt Stromregelung und

Uberlagerungs-

getriebe durch das lineare Zustandsraummodell

δ =

⎡

⎢

⎣

0010

0001

−67.3568 −67.3568 −11.3988 −11.3988

−24.1480 −24.1480 −4.0866 −4.0866

⎤

⎥

⎦

δ +

⎡

⎢

⎣

−4.0123 ·10

−2

1.8977

⎤

⎥

⎦

Dabei ist der Zustandsvektor durch δ =





gegeben.

Das Drehmoment M ist auf M

max

= ±21 N m begrenzt. Vom PD-Regler

(δ

2,soll

−δ

−T

) vorgegebene Drehmomente M

, die diese Grenzen

62 Kapitel 2. Grenzzyklen und Stabilit

atskriterien

PD-Regler

Motor mit Getriebe

(δ

2,soll

− δ

−T

)

δ = Aδ + bM

= δ

+ δ

2,soll

Bild 2.14: Regelkreis des Lenksystems bei losgelassenem Lenkrad.

−M

G(s)

Bild 2.15: Nichtlinearer Standardregelkreis des Lenksystems, der sich durch Umfor-

mung des Regelkreises aus Bild 2.14 herleitet.

uberschreiten, werden durch eine S

attigungskennlinie

M =

⎧

⎪

⎨

⎪

⎩

max

, |M

|≤u

max

−M

max

< −M

max

begrenzt.

Der Lenkradwinkel δ

gibt bei der betrachteten Fahrzeuggeschwindigkeit

uber den Faktor K

=1.5 den Sollwert δ

2,soll

des Zusatzwinkels δ

vor. Da das

Lenkrad nicht vom Fahrer festgehalten wird, wirkt das

Uberlagerungsgetriebe

direkt auf den Lenkradwinkel δ

ein, wie in Bild 2.14 gezeigt.

Der Regelkreis aus Bild 2.14 l

asst sich in einen nichtlinearen Standard-

regelkreis, wie ihn Bild 2.15 zeigt, umformen. F

ur die

Ubertragungsfunktion

G(s)erh

alt man dabei unter Ber

ucksichtigung der Dynamik des stromgere-

gelten Stellmotors mit

Uberlagerungsgetriebe

G(s)=−

(s)

M(s)

113.9s

+ 7181s

+ 171200s + 965900

+15.49s +91.50)

Die Anwendung der harmonischen Balance ergibt zwei Schnittpunkte der

Ortskurve G(jω) mit der Ortskurve −1/N (A) der Beschreibungsfunktion des

attigungskennliniengliedes, wie in Bild 2.16 dargestellt. Wir erwarten also

zwei Grenzzyklen mit den Frequenzen in der N

ahe von ω

und ω

.Beidemin

Bild 2.16 links liegenden Schnittpunkt wird die Ortskurve G(jω)vonrechts

nach links von der nichtlinearen Ortskurve durchstoßen. Dieser Grenzzyklus

mit der Frequenz ω

ist stabil.

2.1. Verfahren der harmonischen Balance 63

-5

-50

-1500

-1000

-500

Realteil

Imagin

arteil

G(jω)

−

N(A)

Bild 2.16: Ortskurven G(jω) und −1/N (A).

-2

-4

-6

-50

0.5

1.5

2.5

Zeit t in s

uinNm

,δ

in rad

Bild 2.17: Winkel- und Stellgr

oßenverl

aufe des Grenzzyklus.

Der zweite Grenzzyklus dagegen ist instabil. Er hat also keine prakti-

sche Bedeutung. Der stabile Grenzzyklus dagegen schon. Seine Perioden-

dauer ermittelt man durch Auswertung der Gleichung der harmonischen

Balance, G(jω)=−1/N (A), zu T

harm

=2π/ω

=1.97 s. Aufgrund des

aherungscharakters der harmonischen Balance ist dieser Wert ungenau. Aus

der Simulation des Systems, dargestellt in Bild 2.17, l

asst sich die Perioden-

dauer zu T

sim

=2.42 s ermitteln.