J?rgen Adamy - Nichtlineare Regelungen

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256 Kapitel 5. Regelungen f

ur lineare und nichtlineare Regelstrecken

5.2.5 Beispiel DC-DC-Wandler

Ein DC-DC-Wandler, auch Gleichstromsteller oder getakteter Spannungsstel-

ler genannt, dient dazu, eine Gleichspannung in eine niedrigere bzw. h

ohere

Spannung umzuwandeln. Dabei soll er m

oglichst verlustarm arbeiten. Wir be-

trachten einen Abw

artswandler [178], also einen Wandler, der eine Spannung

in eine niedrigere Spannung u

umwandelt. Bild 5.14 zeigt einen solchen

Wandler einschließlich des zugeh

origen Reglers.

ref

βu

Regler

−

Strom-

messung

Bild 5.14: DC-DC-Wandler.

Aufgabe der Schaltung ist es, die Ausgangsspannung u

auf Basis einer

konstanten Referenzspannung u

ref

so einzustellen, dass

βu

+ R

= u

ref

(5.38)

gilt. Zu diesem Zweck wird ein Leistungs-MOSFET, im Bild 5.14 mit T ge-

kennzeichnet, als Schalter benutzt und

uber den Regler ein- bzw. ausgeschal-

tet. Eine Schaltvariable z kennzeichnet den Schaltzustand des Transistors T .

Ist z = 1, so leitet der Transistor. Ist z = 0, so ist der Transistor gesperrt. Da-

bei wird eine Pulsweitenmodulation (PWM) durchgef

uhrt. Diese bewirkt in

der Induktivit

at L einen kontinuierlichen Stromﬂuss i

so, dass die Spannung

βu

uber R

der Referenzspannung u

ref

entspricht, d. h., Gl. (5.38) erf

ullt ist.

ur die Ableitung ˙u

der Spannung

uber dem Lastwiderstand R

bzw.

dem Gl

attungskondensator C gilt

5.2. Strukturvariable Regelungen mit Gleitzustand 257

˙u

− i





z − u

dt −



. (5.39)

Dabei ist

+ R

Man erh

alt aus Gl. (5.39)

¨u

= −

−

˙u

. (5.40)

Wir deﬁnieren als Zustandsvariablen

= βu

− u

ref

, (5.41)

=˙x

= β ˙u

Mit den Gl. (5.40) und (5.41) ergibt sich das Zustandsraummodell



˙x



⎡

⎣

−

⎤

⎦





u, (5.42)

wobei sich die Stellgr

oße u aus

u = βu

z − u

ref

(5.43)

ergibt.

Das System (5.42), (5.43) ist ideal f

ur die Anwendung einer Gleitzustands-

regelung. Denn zum einen ist durch die digitale Stellgr

oße z schon ein Schalt-

vorgang vorgegeben. Zum anderen vertr

agt der Leistungstransistor ein hoch-

frequentes Schalten, wie es bei Gleitzust

anden auftritt. Ziel der Regelung ist

das Erreichen des Arbeitspunktes

= βu

− u

ref

=0, (5.44)

d. h. u

= u

ref

/β.

Das System (5.42) besitzt jeweils eine stabile Ruhelage x

ur z = 1 und

z =0.ImFallz =1ist



βu

− u

ref



was nach Gl. (5.41) einer Ausgangsspannung von u

= u

entspricht. Im Fall

z = 0 gilt



−u

ref



woraus nach Gl. (5.41) eine Ausgangsspannung u

= 0 resultiert. Man be-

achte, dass der zu erreichende Arbeitspunkt (5.44) des Regelkreises nicht mit

einer der beiden Ruhelagen der Regelstrecke identisch ist.

258 Kapitel 5. Regelungen f

ur lineare und nichtlineare Regelstrecken

Wir wollen nun auch die Trajektorien x(t) des Wandlers betrachten. F

z = 1 ergeben sie sich aus Gl. (5.42) und sind in Bild 5.15 dargestellt. F

z = 0 ergeben sich die Trajektorien ebenfalls als L

osungen von Gl. (5.42),

solange i

> 0 gilt. Ist die in der Spule gespeicherte Energie verbraucht, so

wird i

= 0. Dann sperrt die Diode und der Kondensator C entl

adt sich

gem

aß

˙u

=0,

woraus mit u

= u

(0) die Beziehung

= u

−t/(R

folgt. F

ur die Trajektorien x(t) gilt dann mit Gl. (5.41)

(t)=βu

−t/(R

− u

ref

, (5.45)

(t)=

−βu

−t/(R

(5.46)

und somit durch Einsetzen von Gl. (5.45) in Gl. (5.46)

= −

−

ref

. (5.47)

Im Fall z = 0 setzen sich die Trajektorien x(t) also aus zwei Teilst

ucken

zusammen. Solange i

> 0 gilt, resultieren die Trajektorien aus den L

osungen

von Gl. (5.42). Wird i

= 0, so laufen die Trajektorien auf die Gerade (5.47)

und auf ihr gem

aß den Gl. (5.45) und (5.46) in die Ruhelage x

. Bild 5.16

zeigt die Trajektorien hierzu.

Man w

ahlt nun eine Schaltgerade

Zustand x

z =1

Bild 5.15: Ruhelage x

und Trajek-

torien f

ur den Fall z =1.

Zustand x

z =0

Bild 5.16: Ruhelage x

und Trajek-

torien f

ur den Fall z =0.

5.2. Strukturvariable Regelungen mit Gleitzustand 259

s(x)=r

+ x

= 0 (5.48)

mit r

> 0 und teilt so den Zustandsraum in zwei Bereiche. In einem Bereich

gilt z = 0, im anderen z =1,gem

aß

z =



ur s(x) > 0,

ur s(x) < 0.

Bild 5.17 zeigt beide Bereiche und die jeweiligen Trajektorien. Bild 5.17 ist

dabei jeweils zur H

alfte aus den Bildern 5.15 und 5.16 zusammengesetzt. An

der Schaltgeraden tritt ein Gleitzustand auf.

Wir wollen im Weiteren aus der notwendigen Bedingung f

ur die Existenz

eines Gleitzustandes, s ˙s<0, den Parameter r

der Schaltgeraden (5.48) be-

stimmen. Aus

s ˙s = s(x) · grad

s(x) ·

x < 0

und den Systemgleichungen (5.42) und (5.43) folgt

s ˙s = s(x)



−



−

βu

z − u

ref



< 0. (5.49)

Man w

ahlt

denn dann ist die Existenzbedingung (5.49) unabh

angig von x

= β ˙u

.Es

ergibt sich mit dieser Wahl von r

ur Gl. (5.49) unter Nutzung der Gl. (5.41)

die Bedingung

s ˙s = s(x)

z − u

) < 0. (5.50)

Zustand x

z =0

z =1

s(x)=0

Bild 5.17: Trajektorien, Schaltgerade (blau) und Gleitzustand des DC-DC-Wandlers.

260 Kapitel 5. Regelungen f

ur lineare und nichtlineare Regelstrecken

Aus dieser Bedingung erhalten wir im Fall s(x) < 0 und z =1

. (5.51)

Im Fall s(x) > 0 und z =0erh

alt man aus der Bedingung (5.50)

> 0. (5.52)

Da die Gl. (5.51) und (5.52) oﬀensichtlich erf

ullt sind, ist es die notwendi-

ge Bedingung (5.50) f

ur die Existenz des Gleitzustandes ebenfalls. Weil des

Weiteren

˙s =

z − u

)

immer eine Abnahmerate von −u

β/LC < 0f

ur s(x) > 0 und z = 0 bzw. eine

Zunahmerate von (u

−u

)β/LC > 0f

ur s(x) < 0 und z = 1 aufweist, streben

die Trajektorien der Regelung auch in endlicher Zeit in den Gleitzustand.

Die Dynamik des geregelten Wandlers im Gleitzustand ergibt sich aus

s(x)=r

+ x

= 0 und x

=˙x

(t)=x

(0)e

−r

, (5.53)

d. h., die Dynamik im Gleitzustand ist unabh

angig von

Anderungen des Last-

widerstandes R

oder Schwankungen der Eingangsspannung, d. h. der Batte-

riespannung u

Wir betrachten eine konkrete Ausf

uhrung mit den Parametern u

=24V,

C = 100

F, L = 110 H, R

=6Ω,u

= 12 V und u

ref

=3.3V. Somit

ist β = u

ref

=0.275. Aus R

= βR

/(1 − β) und R

= 870 Ω ergibt sich

= 330 Ω. Die Zeitkonstante 1/r

im Gleitzustand betr

agt 0.6ms.

In Bild 5.18 ist der Verlauf einer Ausregelung f

ur den Fall einer pl

otzlichen

Abnahme der Eingangsspannung u

um 3 V dargestellt. Wie erwartet,

andert

12.5

11.5

00.0025 0.005 0.0075 0.01

Zeit t in s

Ausgangsspannung u

in V

Eingangsspannung u

in V

Bild 5.18: Ausregelung der Ausgangs-

spannung u

nach einem Abfall der Ein-

gangsspannung u

0.0025 0.005 0.0075 0.01

Zeit t in s

Ausgangsspannung u

in V

Bild 5.19: Verlauf der Ausgangs-

spannung u

nach Einschalten des

Wandlers.

5.2. Strukturvariable Regelungen mit Gleitzustand 261

sich die Ausgangsspannung u

nicht. In realen Ger

aten ist ein Spannungsabfall

von einigen 10 mV zu beobachten. Bild 5.19 zeigt den Einschaltverlauf. Der

Ausgangswert von u

= 12 V ist nach einer Zeit von ungef

ahr 5/r

=3ms

erreicht.

5.2.6 Entwurf f

ur nichtlineare Regelstrecken

Der Entwurf von Gleitzustandsreglern f

ur nichtlineare Regelstrecken ist in

bestimmten F

allen nicht schwieriger als der f

ur lineare Regelstrecken. Dies

gilt beispielsweise f

ur eingangslineare Regelstrecken

˙x = a(x)+b(x) · u,

y = c(x)

(5.54)

mit einem relativen Grad von δ = n. F

ur δ<nist der Entwurf

ahnlich.

Die obige Systemdarstellung

uberf

uhren wir, wie in Abschnitt 4.2.1 im

Fall des Reglerentwurfes mittels exakter Linearisierung, in die nichtlineare

Regelungsnormalform. Zu diesem Zweck verwenden wir die Lie-Derivierte

h(x)=

∂h(x)

∂x

f(x) = grad

h(x) · f(x).

Wir berechnen

y = c(x),

˙y =

∂c(x)

∂x

˙x = L

c(x),

¨y =

∂L

c(x)

∂x

˙x = L

c(x),

(n−1)

∂L

n−2

c(x)

∂x

˙x = L

n−1

c(x),

(n)

∂L

n−1

c(x)

∂x

˙x = L

c(x)+L

n−1

c(x) · u

und erhalten mit den neuen Zustandskoordinaten z

= y, z

=˙y, ..., z

(n−1)

und der daraus folgenden Transformation z = t(x) die Darstellung des

Systems (5.54) in nichtlinearer Regelungsnormalform

⎡

⎢

⎣

˙z

n−1

˙z

⎤

⎥

⎦

⎡

⎢

⎣

c(x)+L

n−1

c(x) · u

⎤

⎥

⎦

⎡

⎢

⎣

α(z)

⎤

⎥

⎦



 

˜a(z)

⎡

⎢

⎣

β(z)

⎤

⎥

⎦



 

b(z)

u (5.55)

262 Kapitel 5. Regelungen f

ur lineare und nichtlineare Regelstrecken

mit α(z)=L

c(t

−1

(z)) und β(z)=L

n−1

c(t

−1

(z)).

Der Entwurf eines Gleitzustandsreglers mit der Schaltﬂ

ache s(z)=0ge-

schieht

ahnlich wie im linearen Fall. Wir verwenden wieder den Ansatz

˙s(z)=−q sgn(s(z)) − ks(z) (5.56)

von Gao und Hung. Dieser, wir erinnern uns, stellt sicher, dass die Trajektorien

z(t) die Schaltﬂ

ache in endlicher Zeit erreichen. Es gilt q>0 und k>0.

Unter Verwendung von ˙s(z) = grad

s(z)· ˙z und Gl. (5.55) sowie Gl. (5.56)

ergibt sich f

ur das Regelgesetz

u(z)=−

grad

s(z) · ˜a(z)+q sgn(s(z)) + ks(z)

grad

s(z) ·

b(z)

ur den Fall einer Schalthyperebene s(z)=r

z = 0 vereinfacht es sich zu

u(z)=−

˜a(z)+q sgn(r

z)+k r

b(z)

. (5.57)

Setzen wir nun r

=[r

··· r

n−1

1], so gilt f

ur Gl. (5.57)

u(z)=−

+ ...+ r

n−1

+ k r

z + α(z)+q sgn(r

β(z)

. (5.58)

Eingesetzt in die Regelstrecke (5.55) ergibt sich so f

ur den Regelkreis

⎡

⎢

⎣

˙z

n−1

˙z

⎤

⎥

⎦

⎡

⎢

⎣

−kr

− (r

+ kr

− ...− (r

n−1

+ k)z

⎤

⎥

⎦

−

⎡

⎢

⎣

q sgn(r

⎤

⎥

⎦

Dieser Regelkreis ist frei von Nichtlinearit

aten der Regelstrecke. Weiterf

uhren-

des, z. B. f

ur nichtlineare MIMO-Systeme, ﬁndet sich in [33, 58, 145, 170].

5.2.7 Beispiel optischer Schalter

Wir entwerfen im Weiteren einen Gleitzustandsregler f

ur einen optischen

Schalter. Dieser ist als mikro-elektro-mechanisches System, abgek

urzt MEMS,

ausgelegt und dient dazu, die Lichtbahn zwischen verschiedenen Lichtwellen-

leitern umzuschalten [24, 141]. So ist es m

oglich, ein optisches Signal ohne

Wandlung in ein elektrisches und wieder zur

uck von einem Lichtwellenleiter

in einen anderen zu leiten.

Das Bild 5.20 zeigt den Aufbau eines solchen optischen Schalters. Der

Kammantrieb wandelt eine elektrische Spannung v, die das Eingangssignal

des Schalters bildet, in eine translatorische Ver

anderung der Position x

eines

5.2. Strukturvariable Regelungen mit Gleitzustand 263

Laser

Kammantrieb

ampfung Spiegel

Bild 5.20: Optischer Schalter in mikro-elektro-mechanischer Ausf

uhrung.

Stabes um. An dem Stab ist ein Spiegel befestigt, der auf diese Weise in den

optischen Pfad hinein- und herausgeschoben werden kann. Das Modell des

optischen Schalters ist in nichtlinearer Regelungsnormalform

˙x

= x

˙x

= −

−

+ d

) · x

u + d

(5.59)

gegeben. Dabei ist u = v

ur die Ausgangsgr

oße des Systems gilt y = x

und d ist eine z. B. mechanisch einwirkende, zeitabh

angige St

orung. Die zur

Verf

ugung stehende Spannung v ist beschr

ankt. Es gilt 0 ≤ v ≤ 35 V.

Die Parameter sind die bewegte Masse m =2.35 · 10

−9

kg, die Stei-

ﬁgkeit der Aufh

angung, κ =0.6Nm

−1

,dieD

ampfungskoeﬃzienten d

0.0363 kg s

−1

und d

=5.45 · 10

−7

kg s

−1

sowie die Wandlerkonstan-

te k

=17.8 · 10

−9

−2

des Kammantriebes. Die D

ampfungskoeﬃzienten

und d

ussen hierbei als unsichere Sch

atzung angesehen werden. Der

Ubersichtlichkeit halber k

urzen wir

=2.55 · 10

−1

=1.54 · 10

−1

= 232 s

−1

b =

=7.57 N kg

−1

−2

264 Kapitel 5. Regelungen f

ur lineare und nichtlineare Regelstrecken

ab.

Wir wollen verschiedene Positionen x

des Spiegels vorgeben k

onnen.

Diese Sollpositionen x

korrespondieren mit den Ruhelagen

⎡

⎣

⎤

⎦

, (5.60)

wobei u

die Stellgr

oße ist, die im Falle der Ruhelage x

ben

otigt wird. Wir

erhalten so unter Verwendung von Gl. (5.60) und

= x

+ Δx

ur das Modell (5.59) die Darstellung

Δ ˙x

= x

˙x

= −(a

+ a

)(x

+ Δx

) − a

+ bu+ d.

(5.61)

Als Schaltgerade betrachten wir

s(x)=r · Δx

+ x

mit einem noch zu bestimmenden Parameter r. Mit dem Ansatz von Gao und

Hung aus Gl. (5.56) gilt

˙s(x)=−q sgn(s(x)) − ks(x).

Hieraus folgt durch Gleichsetzen mit ˙s(x) = grad

s(x) · (a(x)+b(x)u)das

Regelgesetz, das wir schon in Gl. (5.58) allgemein hergeleitet hatten, zu

u(x)=−

−(a

+ a

)(x

+ Δx

)−a

+q sgn(s(x))+ks(x)

. (5.62)

Dabei sind q und k noch zu w

ahlende Konstanten. Setzt man das Regelgesetz

(5.62) in die Systemdynamik (5.61) ein, so ergibt sich f

ur den Regelkreis

Δ ˙x

= x

˙x

= −rx

− q sgn(s(x)) − ks(x)+d

bzw. nach Einsetzen von s(x)=rΔx

+ x

Δ ˙x

= x

˙x

= −krΔx

− (r + k)x

− q sgn(rΔx

+ x

)+d.

(5.63)

Dieser Regelkreis besitzt, wenn man den nichtlinearen Teil einmal aus-

blendet, d. h. q = 0 gilt, eine lineare Dynamik mit dem charakteristischen

Polynom

5.2. Strukturvariable Regelungen mit Gleitzustand 265

100 200 300 400

= d

nom

=10d

nom

= 100 d

nom

Zeit t in s

Δx

in m

Bild 5.21: Ausregelung der Ausgangsspannung u

nach einem Abfall der Eingangs-

spannung u

ur verschiedene D

ampfungswerte d

. Bei blauen Kurventeilen ist das

System im Gleitzustand, bei schwarzen nicht.

P (λ)=λ

+(r + k)λ + rk.

Das Polynom hat die Nullstellen λ

= −r und λ

= −k,diemitdenEigen-

werten der linearen Systemdynamik des Modells (5.63) identisch sind.

Wir simulieren den Regelkreis (5.63) f

ur die Parameter k = 20000, r =

20000 und q = 1000 f

ur verschiedene D

ampfungswerte

= d

nom

=0.0363,

=0,

=10d

nom

= 100d

nom

Dabei betrachten wir eine Anfangsauslenkung von x

(0) = 25 m und x

(0) =

−1

. Die Ruhelage x

liegt bei 10 m. Somit ist Δx

(0) = 15 m. F

die St

orung gilt hier d = 0. Bild 5.21 zeigt die Ausregelverl

aufe f

ur die vier

verschiedenen D

ampfungswerte. Man erkennt das in allen vier F

allen gute

Regelverhalten. Bei blau gezeichneten Verl

aufen beﬁndet sich der Regelkreis

im Gleitzustand, bei schwarz gezeichneten Verl

aufen bewegt sich das System

noch auf die Schaltgerade zu. Bei den Werten d

= d

nom

und d

= 0 sind die

Verl

aufe nahezu identisch.

Angemerkt sei auch, dass eine Gleitzustandsregelung immer nur dann ro-

bust ist, wenn sie sich im Gleitzustand beﬁndet. Ver

andert sich die Regelstre-

cke so, dass der Gleitzustand nicht mehr existiert oder nicht mehr erreicht

wird, so ist der Regelkreis auch nicht mehr robust im beschriebenen Sinne.

ur den obigen Regelkreis reduziert sich die Robustheit erst f

ur sehr große

Werte d

 d

nom