J?rgen Adamy - Nichtlineare Regelungen
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216 Kapitel 4. Regelungen f
¨
ur nichtlineare Regelstrecken
Gilt außerdem V (x
1
) →∞f
¨
ur |x
1
|→∞im obigen Satz, so ist die Ruhelage
des Regelsystems global asymptotisch stabil.
Obiges Ergebnis ist in der bisherigen Form nur bedingt n
¨
utzlich, da man
das Regelgesetz α(x
1
) und die Ljapunov-Funktion V (x
1
)f
¨
ur das Teilsystem
(4.66) finden muss und das Teilsystem (4.66) bildet ja den wesentlichen Teil
des bisher betrachteten Systems (4.66), (4.67). Das Ergebnis liefert jedoch,
vorausgesetzt man kennt V und α, die Ausgangsbasis f
¨
ur ein wertvolles Er-
gebnis, das nun hergeleitet werden soll.
Wir betrachten das System
˙x
1
= f
1
(x
1
)+h
1
(x
1
) · x
2
,
˙x
2
= f
2
(x
1
,x
2
)+h
2
(x
1
,x
2
) · u
(4.68)
und transformieren es mittels
u =
u
2
− f
2
(x
1
,x
2
)
h
2
(x
1
,x
2
)
,h
2
(x
1
,x
2
) =0,
zu
˙x
1
= f
1
(x
1
)+h
1
(x
1
) · x
2
,
˙x
2
= u
2
.
F
¨
ur dieses transfomierte System sind das Regelgesetz u
2
(x
1
,x
2
) und die
Ljapunov-Funktion V (x
1
)gem
¨
aß Satz 23 bekannt. Daher l
¨
asst sich das Re-
gelgesetz u auch f
¨
ur das System (4.68) durch folgenden Satz sofort angeben.
Satz 24 (Backstepping). Gegeben sei das System
˙x
1
= f
1
(x
1
)+h
1
(x
1
) · x
2
, (4.69)
˙x
2
= f
2
(x
1
,x
2
)+h
2
(x
1
,x
2
) · u.
Es sei ein virtuelles Regelgesetz x
2
= α(x
1
) mit α(0)=0f
¨
ur das Teilsystem
(4.69) bekannt, das zu einer asymptotisch stabilen Ruhelage x
1R
= 0 des
Teilsystems (4.69) f
¨
uhrt. Ferner sei f
¨
ur das geregelte Teilsystem (4.69) eine
Ljapunov-Funktion V (x
1
) bekannt. Dann stabilisiert das Regelgesetz
u =
1
h
2
(x
1
,x
2
)
·
∂α(x
1
)
∂x
1
(f
1
(x
1
)+h
1
(x
1
)x
2
)
−
∂V
∂x
1
h
1
(x
1
) − k (x
2
− α(x
1
)) − f
2
(x
1
,x
2
)
mit beliebigem k>0 die Ruhelage [x
1R
T
x
2R
]
T
= 0 asymptotisch und
V
ges
(x
1
,x
2
)=V (x
1
)+
1
2
(x
2
− α(x
1
))
2
ist eine Ljapunov-Funktion f
¨
ur das geregelte System.
4.4. Das Backstepping-Verfahren 217
4.4.2 Rekursives Schema f
¨
ur den Reglerentwurf
Auf Basis obiger S
¨
atze k
¨
onnen nun f
¨
ur die zu Beginn des Kapitels betrachteten
Systeme vom Typ
˙x
1
= f
1
(x
1
)+h
1
(x
1
) · x
2
,
˙x
2
= f
2
(x
1
,x
2
)+h
2
(x
1
,x
2
) · x
3
,
.
.
.
˙x
k
= f
k
(x
1
,...,x
k
)+h
k
(x
1
,...,x
k
) · u
Regelgesetze u(x) und Ljapunov-Funktionen V (x) bestimmt werden. Zu die-
sem Zweck gehen wir schrittweise mit dem folgenden rekursiven Entwurfs-
schema vor:
Schritt 1: Man entwirft mittels des Satzes 23 oder des Satzes 24 f
¨
ur das Teil-
system T
1
˙x
1
= f
1
(x
1
)+h
1
(x
1
) · x
2
,
˙x
2
= f
2
(x
1
,x
2
)+h
2
(x
1
,x
2
) · x
3
einen virtuellen Regler
x
3
(x
1
,x
2
)
sowie eine Ljapunov-Funktion V
1
(x
1
,x
2
).
Schritt 2: Man fasst das Teilsystem T
1
zu einer Differenzialgleichung
˙
˜x
1
=
˙x
1
˙x
2
=
f
1
(x
1
)+h
1
(x
1
) · x
2
f
2
(x
1
,x
2
)+h
2
(x
1
,x
2
) · x
3
zusammen und erg
¨
anzt es dann zum Teilsystem T
2
:
˙
˜x
1
=
f
1
(x
1
)+h
1
(x
1
) · x
2
f
2
(x
1
,x
2
)
+
0
h
2
(x
1
,x
2
)
· x
3
,
˙x
3
= f
3
(x
1
,x
2
,x
3
)+h
3
(x
1
,x
2
,x
3
) · x
4
.
Dieses Teilsystem T
2
besteht aus den ersten drei Differenzial-
gleichungen des Gesamtsystems. Es weist aber die Darstellungs-
form aus Satz 24 auf. Da aus dem ersten Schritt ein virtueller
Regler x
3
(x
1
,x
2
) und eine Ljapunov-Funktion V
1
(x
1
,x
2
)bekannt
sind, kann mittels Satz 24 auch eine weitere virtuelle Regelung
x
4
(x
1
,x
2
,x
3
) und eine Ljapunov-Funktion V
2
(x
1
,x
2
,x
3
)f
¨
ur T
2
her-
geleitet werden.
218 Kapitel 4. Regelungen f
¨
ur nichtlineare Regelstrecken
Schritt 3: Man fasst das Teilsystem T
2
zu einer Differenzialgleichung
˙
ˆx
1
=
⎡
⎣
˙x
1
x
2
x
3
⎤
⎦
=
⎡
⎣
f
1
(x
1
)+h
1
(x
1
) · x
2
f
2
(x
1
,x
2
)+h
2
(x
1
,x
2
) · x
3
f
3
(x
1
,x
2
,x
3
)+h
3
(x
1
,x
2
,x
3
) · x
4
⎤
⎦
zusammen und erg
¨
anzt es dann zum Teilsystem T
3
:
˙
ˆx
1
=
⎡
⎣
f
1
(x
1
)+h
1
(x
1
)x
2
f
2
(x
1
,x
2
)+h
2
(x
1
,x
2
)x
3
f
3
(x
1
,x
2
,x
3
)
⎤
⎦
+
⎡
⎣
0
0
h
3
(x
1
,x
2
,x
3
)
⎤
⎦
x
4
,
˙x
4
= f
4
(x
1
,x
2
,x
3
,x
4
)+h
4
(x
1
,x
2
,x
3
,x
4
) · x
5
.
Teilsystem T
3
weist wieder die Darstellungsform aus Satz 24 auf.
Des Weiteren sind aus Schritt 2 ein virtueller Regler x
4
(x
1
,x
2
,x
3
)
und eine Ljapunov-Funktion V
2
(x
1
,x
2
,x
3
) bekannt, so dass mittels
Satz 24 ein Regelgesetz x
5
(x
1
,x
2
,x
3
,x
4
) und eine Ljapunov-
Funktion V
3
(x
1
,x
2
,x
3
,x
4
)f
¨
ur T
3
herleitbar sind.
Schritt 4: ...
.
.
.
Schritt k − 1: ...
Die Schritte 2 und 3 sind nahezu identisch und auch Schritt 4, der hier
nicht aufgef
¨
uhrt ist, entspricht seinen Vorg
¨
angern, so dass man sich rekursiv
vom Teilsystem T
1
zum Teilsystem T
2
, von diesem zu T
3
,dannzuT
4
usw.
hangeln kann. Nachstehendes Schema illustriert dies:
˙x
1
= f
1
(x
1
)+h
1
(x
1
) · x
2
˙x
2
= f
2
(x
1
,x
2
)+h
2
(x
1
,x
2
) · x
3
˙x
3
= f
3
(x
1
,...,x
3
)+h
3
(x
1
,...,x
3
) · x
4
˙x
4
= f
4
(x
1
,...,x
4
)+h
4
(x
1
,...,x
4
) · x
5
.
.
.
˙x
k
= f
k
(x
1
,...,x
k
)+h
k
(x
1
,...,x
k
) · u.
(
T
1
⎫
⎪
⎬
⎪
⎭
T
2
⎫
⎪
⎪
⎪
⎪
⎬
⎪
⎪
⎪
⎪
⎭
T
3
...
⎫
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎬
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎭
T
k−1
Nach k − 1 Schritten hat man schlussendlich das gesuchte Regelgesetz u ge-
funden und auch eine Ljapunov-Funktion des geregelten Gesamtsystems.
Die Vorteile des Backstepping-Verfahrens liegen in seiner systematischen
Entwurfstechnik, die zu einem stabilen Regelkreis f
¨
uhrt. Nachteile sind die
eingeschr
¨
ankte Klasse von behandelbaren Strecken sowie die nur bedingt vor-
hersagbare bzw. beeinflussbare Regelg
¨
ute. Erweiterungen und Erg
¨
anzendes
zum Backstepping-Verfahren finden sich in [106, 107, 167, 203].
4.4. Das Backstepping-Verfahren 219
4.4.3 Illustrationsbeispiele
Wir betrachten in einem ersten Beispiel die Regelstrecke
˙x
1
= x
2
1
− x
1
+ x
2
, (4.70)
˙x
2
= u. (4.71)
F
¨
ur den Entwurf einer Regelung u(x
1
,x
2
) und einer Ljapunov-Funktion
V
ges
(x
1
,x
2
) wird Satz 23 genutzt. Zuerst wird eine Regelung x
2
= α(x
1
)f
¨
ur
das Teilsystem (4.70) entworfen:
x
2
= α(x
1
)=−x
2
1
− x
1
.
Offensichtlich stabilisiert dieser Regler das Teilsystem (4.70), denn setzt man
ihn in Gl. (4.70) ein, so gilt
˙x
1
= −2x
1
.
Des Weiteren ist
V (x
1
)=
1
2
x
2
1
eine Ljapunov-Funktion des virtuellen Regelkreises, die die globale asympto-
tische Stabilit
¨
at des Kreises nachweist. Denn es gilt
˙
V (x
1
)=x
1
˙x
1
= −2x
2
1
< 0
f
¨
ur alle x
1
=0.
Aus Satz 23 folgt dann unmittelbar das Regelgesetz f
¨
ur das Gesamtsystem
(4.70), (4.71) zu
u =
∂α
∂x
1
x
2
1
− x
1
+ x
2
−
∂V
∂x
1
− k(x
2
− α(x
1
)),
wobei k>0 gilt. Mit
∂α
∂x
1
=
∂(−x
2
1
− x
1
)
∂x
1
= −(2x
1
+1)
und
∂V
∂x
1
= x
1
erh
¨
alt man mit k = 1 das Regelgesetz
u = −(2x
1
+1)(x
2
1
− x
1
+ x
2
) − 2x
1
− x
2
1
− x
2
= −x
1
− 2x
3
1
− 2x
2
− 2x
1
x
2
.
(4.72)
Als Ljapunov-Funktion ergibt sich f
¨
ur das Gesamtsystem (4.70), (4.71), (4.72)
220 Kapitel 4. Regelungen f
¨
ur nichtlineare Regelstrecken
V
ges
(x
1
,x
2
)=V (x
1
)+
1
2
(x
2
− α(x
1
))
2
=
1
2
x
2
1
+
1
2
x
1
+ x
2
1
+ x
2
2
.
Bild 4.26 zeigt die Trajektorien des geregelten Systems und die Form der
Ljapunov-Funktion V
ges
.
Im zweiten Beispiel geht man von der Regelstrecke des ersten Beispiels aus
und erweitert sie um einen Integrierer zu
˙x
1
= x
2
1
− x
1
+ x
2
, (4.73)
˙x
2
= x
3
, (4.74)
˙x
3
= u. (4.75)
F
¨
ur den Entwurf einer Regelung u(x
1
,x
2
,x
3
)kannerneutSatz23verwendet
werden. Zum Zweck des Reglerentwurfes teilt man das System (4.73), (4.74),
(4.75) in zwei Systeme auf. Und zwar in das Teilsystem T
1
, bestehend aus den
Gleichungen (4.73) und (4.74), und das Gesamtsystem T
2
, bestehend aus Gl.
(4.73), (4.74), (4.75):
˙x
1
˙x
2
=
x
2
1
− x
1
+ x
2
0
f(x
1
,x
2
)
+
0
1
h(x
1
,x
2
)
·x
3
,
˙x
3
= u.
⎫
⎪
⎪
⎬
⎪
⎪
⎭
T
1
⎫
⎪
⎪
⎪
⎪
⎬
⎪
⎪
⎪
⎪
⎭
T
2
Man kennt aus Gl. (4.72) des ersten Beispiels f
¨
ur das Teilsystem T
1
schon
einen Regler
Bild 4.26: Trajektorien des geregelten Systems und Ljapunov-Funktion V
ges
aus dem
ersten Beispiel.
4.4. Das Backstepping-Verfahren 221
x
3
= α(x
1
,x
2
)=−x
1
− 2x
3
1
− 2x
2
− 2x
1
x
2
und auch eine Ljapunov-Funktion
V (x
1
,x
2
)=
1
2
x
2
1
+
1
2
(x
1
+ x
2
1
+ x
2
)
2
.
Daher folgt wieder aus Satz 23 unmittelbar das Regelgesetz
u =
∂α(x
1
,x
2
)
∂[x
1
x
2
]
T
( f(x
1
,x
2
)+h(x
1
,x
2
) · x
3
)
−
∂V (x
1
,x
2
)
∂[x
1
x
2
]
T
· h(x
1
,x
2
) − k (x
3
− α(x
1
,x
2
))
=
∂α
∂x
1
x
2
1
− x
1
+ x
2
+
∂α
∂x
2
x
3
−
∂V
∂x
2
− k(x
3
− α(x
1
,x
2
))
f
¨
ur das Gesamtsystem T
2
mit den Systemgleichungen (4.73), (4.74), (4.75).
Mit k = 1 und
∂α(x
1
,x
2
)
∂x
1
= −6x
2
1
− 2x
2
− 1,
∂α(x
1
,x
2
)
∂x
2
= −2x
1
− 2,
∂V (x
1
,x
2
)
∂x
2
= x
2
+ x
1
+ x
2
1
ergibt sich
u = −x
1
− 2x
2
1
+4x
3
1
− 6x
4
1
− 4x
2
− 8x
2
1
x
2
− 2x
2
2
− 3x
3
− 2x
1
x
3
.
Als Ljapunov-Funktion des Gesamtsystems erh
¨
alt man
V
ges
(x
1
,x
2
,x
3
)=V (x
1
,x
2
)+
1
2
(x
3
− α(x
1
,x
2
))
2
=
1
2
x
2
1
+
1
2
x
1
+ x
2
1
+ x
2
2
+
1
2
x
3
+ x
1
+2x
3
1
+2x
2
+2x
1
x
2
2
.
Bild 4.27 zeigt die Verl
¨
aufe der Zustandsgr
¨
oßen und der Stellgr
¨
oße f
¨
ur den
Anfangsvektor
x
0
=[1 1.51]
T
.
Zum einen sieht man den integrierenden Charakter der Regelstrecke. Ist x
3
noch konstant, so steigt x
2
bereits linear und x
1
st
¨
arker als quadratisch an. Das
System ist also instabil. Wie aus der Simulation erkennbar und wie aufgrund
des Entwurfes auch erwartet, stabilisiert die Regelung das System. Dabei wird
eine gute Regelg
¨
ute erzielt.
222 Kapitel 4. Regelungen f
¨
ur nichtlineare Regelstrecken
0
0
0
0
1
2
3
8
6
4
2
2
-2
-2
-4
-6
10
-10
-20
-30
0
0
0
0
1
1
1
1
2
2
2
2
3
3
3
3
4
4
4
4
5
5
5
5
6
6
6
6
7
7
7
7
x
1
x
2
x
3
u
Zeit t
geregelt
ungeregelt
Bild 4.27: Verl
¨
aufe der Zustandsgr
¨
oßen x
1
,x
2
und x
3
sowie der Stellgr
¨
oße u aus dem
zweiten Beispiel.
4.4.4 Beispiel Fluidsystem mit chaotischem Verhalten
Wir betrachten ein experimentelles Fluidsystem [32, 169, 193], das aus einem
wassergef
¨
ullten torusf
¨
ormigen Rohr besteht. Dieser Torus wird in seiner unte-
ren H
¨
alfte
¨
uber einen Heizdraht elektrisch erw
¨
armt. Der Heizdraht ist dabei
in engen Wicklungen um den Torus gelegt und mit isolierendem Material so
umgeben, dass die untere Torush
¨
alfte
¨
uberall gleichm
¨
aßig erw
¨
armt wird. Die
obere Torush
¨
alfte ist ringf
¨
ormig mit einem K
¨
uhlmantel umgeben, durch den
K
¨
uhlwasser fließt. Die Temperatur der Toruswand wird so
¨
uber die gesamte
obere H
¨
alfte auf einer konstanten Temperatur gehalten. Bild 4.28 zeigt die
Anordnung. Der Torus hat einen Radius von r
1
= 38 cm und das Torusrohr
einen von r
2
=1.5cm.
4.4. Das Backstepping-Verfahren 223
AB
C
D
r
12r
2
Bild 4.28: Fluidsystem mit chaotischem Verhalten. Im inneren torusf
¨
ormigen Rohr
befindet sich Wasser. Die obere H
¨
alfte des Torus wird gek
¨
uhlt, die untere erhitzt.
An den Stellen A, B, C und D sind jeweils Sensoren angebracht, mit de-
nen die Temperatur des im Torus eingeschlossenen Wassers an diesen Stellen
gemessen wird. Bei einer niedrigen Heizleistung, die kleiner als 190 W ist,
bildet sich ein stetiger Fluss des Wassers innerhalb des Torus aus. Abh
¨
angig
von den Anfangswerten fließt das Wasser im Uhrzeigersinn oder andersherum.
Erh
¨
oht man nun die Heizleistung auf z. B. 600 W, so l
¨
ost sich dieser stetige
Wasserfluss innerhalb des Torus auf. Nun wechselt die Str
¨
omung best
¨
andig
ihre Richtung. Mal fließt das Wasser im Uhrzeigersinn, mal andersherum.
Dabei sind die Richtungswechsel der Str
¨
omung nicht vorhersehbar, sondern
chaotisch.
Dieses chaotische Verhalten l
¨
asst sich wie folgt plausibilisieren. Verringert
die Str
¨
omung aufgrund einer kleinen Unregelm
¨
aßigkeit ihre Geschwindigkeit,
so bleibt das Wasser l
¨
anger als vorher im Heiz- bzw. K
¨
uhlbereich des Torus.
Dadurch steigt die Temperaturdifferenz zwischen dem kalten Wasser in der
oberen und dem heißen Wasser in der unteren Torush
¨
alfte. Folglich steigt auf-
grund der erh
¨
ohten Temperaturdifferenz die Str
¨
omungsgeschwindigkeit. Dies
f
¨
uhrt zu einer schnelleren Vermischung des heißen Wassers aus der unte-
ren Torush
¨
alfte mit dem kalten Wasser aus der oberen. So sinkt die Tem-
peraturdifferenz zwischen kaltem und heißem Wasser wieder, so dass die
Str
¨
omungsgeschwindigkeit wieder abnimmt und sich in manchen F
¨
allen auch
umkehrt.
224 Kapitel 4. Regelungen f
¨
ur nichtlineare Regelstrecken
Obiges Verhalten f
¨
uhrt zu Oszillationen und schließlich zu besagtem chao-
tischen Verhalten. Dieses kann durch die Lorenz-Gleichungen
˙z
1
= p(z
2
− z
1
),
˙z
2
= −z
1
z
3
− z
2
, (4.76)
˙z
3
= z
1
z
2
− z
3
− R
beschrieben werden. Dabei ist z
1
ein Maß f
¨
ur die mittlere Str
¨
omungsgeschwin-
digkeit, z
2
ein Maß f
¨
ur die Temperaturdifferenz T
B
−T
A
zwischen den Punkten
A und B und z
3
eines f
¨
ur die Temperaturdifferenz T
C
− T
D
.Ferneristp>0
die Prandtl-Zahl
[1]
und R ist die Rayleigh-Zahl
[2]
.
Die Rayleigh-Zahl R ist proportional zur Heizleistung, so dass wir
¨
uber
R = R
0
+ u
einen Stelleingriff auf das System besitzen. Der Parameter R
0
ist dabei propor-
tional zu einer konstanten und u zu einer
¨
uberlagerten, variablen Heizleistung.
F
¨
ur u = 0 besitzt das System die Ruhelagen
z
R1
=
⎡
⎣
√
R
0
− 1
√
R
0
− 1
−1
⎤
⎦
, z
R2
=
⎡
⎣
−
√
R
0
− 1
−
√
R
0
− 1
−1
⎤
⎦
, z
R3
=
⎡
⎣
0
0
−R
0
⎤
⎦
.
Wir wollen das System (4.76) nun so regeln, dass in z
R1
eine stabile Ru-
helage vorliegt. Zu diesem Zweck transformieren wir in einem ersten Schritt
die Koordinaten des Systems so, dass die Ruhelage z
R1
nach null verschoben
ist. Dies geschieht mittels der Koordinatentransformation x = z − z
R1
,d.h.
mittels
⎡
⎣
x
1
x
2
x
3
⎤
⎦
=
⎡
⎣
z
1
−
√
R
0
− 1
z
2
−
√
R
0
− 1
z
3
+1
⎤
⎦
.
Das so transformierte System besitzt die Ruhelage x
R
= 0 und mit β =
√
R
0
− 1dieGestalt
˙x
1
= p(x
2
− x
1
), (4.77)
˙x
2
= x
1
− x
2
− (x
1
+ β)x
3
, (4.78)
˙x
3
= x
1
x
2
+ β(x
1
+ x
2
) − x
3
− u. (4.79)
[1]
Die Prandtl-Zahl p = ν/a ist eine konstante dimensionslose Kennzahl von Fluiden
und entspricht dem Quotienten von kinematischer Viskosit
¨
at ν und Temperatur-
leitf
¨
ahigkeit a.
[2]
Die temperaturabh
¨
angige dimensionslose Rayleigh-Zahl ist ein Indikator f
¨
ur die
Art der W
¨
arme
¨
ubertragung in einem Fluid. Unterhalb einer kritischen Rayleigh-
Zahl erfolgt die W
¨
arme
¨
ubertragung im Fluid vorrangig durch W
¨
armeleitung,
oberhalb durch Konvektion. Die Rayleigh-Zahl kennzeichnet dabei die Stabilit
¨
at
thermischer Fluidschichtungen.
4.4. Das Backstepping-Verfahren 225
Das System liegt in strenger R
¨
uckkopplungsform vor und wir k
¨
onnen deshalb
direkt die Entwurfss
¨
atze des Backstepping anwenden.
Wir beginnen mit der Wahl eines virtuellen Regelgesetzes
x
2
= α
1
(x
1
)=0,
welche das Teilsystem (4.77) stabilisiert. Als Ljapunov-Funktion w
¨
ahlen wir
V
1
(x
1
)=
1
2
x
2
1
.
Es gilt mit x
2
= α
1
(x
1
) = 0 und Gl. (4.77)
˙
V
1
(x
1
)=−px
2
1
< 0.
Wir wenden nun Satz 24 auf das Teilsystem (4.77), (4.78), d. h.
˙x
1
= −px
1
f
1
(x
1
)
+ p
h
1
(x
1
)
·x
2
,
˙x
2
= x
1
− x
2
f
2
(x
1
,x
2
)
−(x
1
+ β)
h
2
(x
1
,x
2
)
x
3
,
an und erhalten als virtuelles Regelgesetz
x
3
= α
2
(x
1
,x
2
)=−
1
x
1
+ β
(−px
1
− k
1
x
2
− x
1
+ x
2
) .
Wir w
¨
ahlen k
1
= 1 und erhalten so
x
3
= α
2
(x
1
,x
2
)=
(1 + p)x
1
x
1
+ β
und als Ljapunov-Funktion
V
2
(x
1
,x
2
)=
1
2
(x
2
1
+ x
2
2
).
Im n
¨
achsten Schritt wird Satz 24 erneut angewendet, wobei jetzt das Ge-
samtsystem (4.77), (4.78), (4.79) in unserem Fokus ist. Mit den in Satz 24
verwendeten Bezeichnungen gilt f
¨
ur die Systembeschreibung
˙x
1
˙x
2
=
−px
1
+ px
2
x
1
− x
2
f
1
(x
1
,x
2
)
+
0
−(x
1
+ β)
h
1
(x
1
,x
2
)
x
3
,
˙x
3
= x
1
x
2
+ β(x
1
+ x
2
) − x
3
f
2
(x
1
,x
2
,x
3
)
−1
h
2
(x
1
,x
2
,x
3
)
·u.