J?rgen Adamy - Nichtlineare Regelungen

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3.3. Strukturvariable Regelungen ohne Gleitzustand 145

Bild 3.27: Unterschiedliche Trajektorienverl

aufe bei schaltenden Regelungen: links

ohne, rechts mit Gleitzustand. Die blaue Gerade kennzeichnet jeweils die Schaltge-

rade s(x)=0.

Je nach Auslegung von k

und k

lassen sich unterschiedliche Trajektorien-

verl

aufe erzeugen. Dabei sind zwei prinzipielle F

alle zu unterscheiden. Im ers-

ten wechseln die Trajektorien von einem Gebiet in das andere. Das linke Teil-

bild von Bild 3.27 illustriert dies.

Im zweiten laufen die Trajektorien x(t) von beiden Seiten auf die Schaltge-

rade s(x) zu, wie im linken oberen Quadranten in Bild 3.27 rechts dargestellt.

Dort angelangt wechselt die Trajektorie st

andig von einer Seite auf die an-

dere. Unter fortw

ahrendem Schalten gleitet sie dann in die Ruhelage. Diesen

fortw

ahrenden Schaltvorgang, den wir schon in Abschnitt 1.1.8 kennengelernt

haben, bezeichnet man als Gleitzustand. Gleitzustandsregler bilden eine spe-

zielle Klasse von strukturvariablen Reglern und werden nicht hier, sondern in

Kapitel 5.2 detailliert behandelt.

Strukturvariable Regelungen ohne Gleitzustand, denen wir uns in diesem

Kapitel widmen, liegen im Entwurfsaufwand und in der Regelg

ute zwischen

den linearen und den zeitoptimalen Regelungen. Beispielhaft ist das in Bild

3.28 anhand typischer Sprungantworten dargestellt. Das Zur

uckbleiben der

linearen Regelung hinter der zeitoptimalen ist dabei, wie in Bild 3.29 illus-

triert, auf das schlechte Ausnutzen der zur Verf

ugung stehenden Stellgr

oße

−u

max

≤ u ≤ u

max

zur

uckzuf

uhren. Aufgrund der Linearit

at ist die ver-

wendete Stellgr

oße u bei kleinen Auslenkungen x bzw. Regelabweichungen e

entsprechend kleiner als bei großen Auslenkungen. W

urde man auch bei klei-

nem x bzw. e große Stellgr

oßen u nutzen, so w

are eine schnellere Ausregelung

oglich.

Der Grundgedanke strukturvariabler Regelungen ist es, die Stellgr

oße in-

nerhalb des erlaubten Bereiches −u

max

≤ u ≤ u

max

besser auszunutzen, als

das bei der linearen Regelung der Fall ist. Zu diesem Zweck verwendet man

dann nicht mehr einen linearen Regler, sondern mehrere, zwischen denen man

146 Kapitel 3. Regelungen f

ur lineare Regelstrecken

zeitoptimal

linear

strukturvariabel

Bild 3.28: Vergleich der Sprungant-

worten linearer, strukturvariabler und

zeitoptimaler Regelungen.

max

−u

max

zeitoptimal

linear

Bild 3.29: Typische Stellgr

oßenver-

aufe von linearen und zeitoptimalen

Regelungen.

umschaltet. Dies geschieht so, dass im Verlauf einer Ausregelung auf immer

arkere Regler umgeschaltet wird. Das Ergebnis der Auswahlstrategie h

angt

vom jeweils erreichten Systemzustand ab, wie in Bild 3.25 gezeigt.

Betrachtet werden dabei im Allgemeinen lineare Regelstrecken. Die ein-

zelnen Regler k

onnen linear oder nichtlinear sein. Meistens sind sie linear. In

jedem Fall ist der Regelkreis aufgrund der Umschaltung nichtlinear.

Die G

ute einer parameter- oder strukturumschaltenden Regelung wird

durch drei Faktoren bestimmt: die Anzahl l der Regler, die Art und Auslegung

der Regler und die Auswahlstrategie. Dabei ist die erzielbare Regelg

ute prinzi-

piell umso gr

oßer, je mehr Regler in zeitlich m

oglichst dichter Folge verwendet

werden.

Die Umschaltung muss nicht, wie in obigem einfachen Beispiel, an einer

Schaltgeraden erfolgen. Sie kann auch an anderen Kurven oder, im H

oher-

dimensionalen, an verschiedenen Fl

achentypen erfolgen. Beispielsweise ge-

schieht die Umschaltung bei der im n

achsten Abschnitt beschriebenen Re-

gelung auf der Basis von Ellipsoiden.

Wie schon erw

ahnt, nimmt die erzielbare Regelg

ute einer umschaltenden

Regelung ohne Gleitzustand mit der Anzahl ihrer Regler zu. Das legt den

Gedanken nahe, m

oglichst viele Regler und in letzter Konsequenz eine unend-

liche Zahl von Reglern zu verwenden. Dann erfolgt die Regler

anderung nicht

mehr durch Umschalten zwischen den Reglern, sondern durch eine stetige

Verstellung der Reglerparameter in dem Regelgesetz

u = k(x,p),

wobei

uber den stetig von x abh

angigen Auswahlparameter

p = p(x)

das Regelgesetz variiert wird. Diese Klasse von Regelungen bezeichnet man

auch als weiche strukturvariable Regelungen [3, 27, 54, 77, 113], die als syste-

matische Weiterentwicklung und Verbesserung schaltender Regelungen ange-

sehen werden k

onnen. In Bild 3.30 ist die Struktur solcher Regelungen darge-

stellt.

3.3. Strukturvariable Regelungen ohne Gleitzustand 147

Regler

Reglerverstellung

u=k(x,p)

x = Ax + bu

p =p(x)

Bild 3.30: Weiche strukturvariable Regelung.

3.3.2 Regler mit abschnittweise linearer Struktur

Im Nachfolgenden wird eine umschaltende Regelung ohne Gleitzustand f

lineare Regelstrecken mit Stellgr

oßenbeschr

ankung,

˙x = Ax + bu,

|u|≤u

max

betrachtet [97, 172, 196]. Man bestimmt eine Schar von l Reglern

u = −k

die so entworfen werden, dass der geschlossene Regelkreis

˙x =

A − bk

x =

x (3.28)

mit zunehmendem Index i immer schneller wird. D. h., die Ausregelzeit nimmt

mit steigendem Index i ab. Dies l

asst sich erreichen, indem man k

als linear-

quadratischen Regler auf Basis des G

uteintegrals

J =

∞





Px+



entwirft. Die Matrix P ist dabei positiv semideﬁnit. Der Faktor p

ist so

zu w

ahlen, dass der Regelkreis (3.28) mit zunehmendem p

immer schnellere

Regler mit h

oherem Stellgr

oßenverbrauch erh

alt.

148 Kapitel 3. Regelungen f

ur lineare Regelstrecken

Bild 3.31: Eigenwertlagen λ

des parameterumschaltenden Regelkreises.

Es gibt eine weitere einfache M

oglichkeit, die Reglervektoren k

zu w

ahlen.

Man legt sie mittels Eigenwertplatzierung so fest, dass die Eigenwerte λ

j =1,...,n, des geschlossenen Regelkreises (3.28) mit zunehmendem Index i

immer kleinere Realteile annehmen. Dies kann beispielsweise geschehen, indem

man die Eigenwerte λ

auf Strahlen mit zunehmendem i

j(i+1)

= α

· λ

,α

> 1,

verschiebt. Auch andere Eigenwertverl

aufe sind m

oglich, wie es Bild 3.31 zeigt.

ur jeden der l Regelkreise (3.28) bestimmt man ein Ljapunov-Gebiet

x ∈ IR

| x

x <c

wobei R

aus der Ljapunov-Gleichung

+ R

= −Q

resultiert. Die Matrizen Q

sind geeignet positiv deﬁnit zu w

ahlen.

Die Werte c

legen die Ausdehnung der Ljapunov-Gebiete G

fest. Man

berechnet mit der Lagrange’schen Multiplikatormethode den Skalierungsfak-

tor

max

−1

der das Gebiet G

so festlegt, dass der Rand von G

die Hyperebenen

|u| = |k

x| = u

max

der Stellgr

oßenbeschr

ankung tangiert, wie es Bild 3.32 zeigt. Auf diese Wei-

se ist gew

ahrleistet, dass jede Trajektorie x(t), die in G

beginnt, die Stell-

oßenbeschr

ankung |u| = |k

x|≤u

max

nicht verletzt, da G

ein Ljapunov-

Gebiet ist und deshalb von der Trajektorie x(t) nicht verlassen wird.

3.3. Strukturvariable Regelungen ohne Gleitzustand 149

−k

x < − u

max

−k

x >u

max

x| <u

max

Bild 3.32: Ljapunov-Gebiet G

und

Stellgr

oßenbeschr

ankung.

−k

x = u

max

x = u

max

x = u

max

−k

x = u

max

Bild 3.33: Reihe von ineinander ge-

schachtelten Ljapunov-Gebieten G

In einem n

achsten Schritt

uberpr

uft man, ob alle Ljapunov-Gebiete G

ineinander geschachtelt sind, d. h., ob

⊂ G

l−1

⊂ ...⊂ G

⊂ G

gilt. Bild 3.33 illustriert diese Schachtelung.

Falls die Schachtelung erf

ullt ist, l

auft jede Trajektorie von einem gr

oßeren

Gebiet G

stets in das kleinere Gebiet G

i+1

. Da dabei auf immer bessere, d. h.

schnellere Regler k

i+1

, umgeschaltet wird, wird die Ausregelung von Gebiet

zu Gebiet schneller.

Die Schachtelung der Gebiete G

asst sich leicht

uberpr

ufen. Denn die

Forderung G

i+1

⊂ G

ist genau dann erf

ullt, wenn

i+1

bzw.

0 < x



i+1

−



gilt. Letzteres ist der Fall, wenn die Matrix

i+1

−

(3.29)

positiv deﬁnit ist. Die Schachtelung aller Gebiete G

ist also gew

ahrleistet,

wenn alle Matrizen S

ur i =1,...,l − 1 positiv deﬁnit sind. Ist f

ur eine

vorgegebene Schar von Reglervektoren k

und Ljapunov-Gebieten G

bzw.

150 Kapitel 3. Regelungen f

ur lineare Regelstrecken

Matrizen R

die Schachtelungsbedingung nicht erf

ullt, dann w

ahlt man neue

Vektoren k

und Gebiete G

mit einem gr

oßeren Abstand voneinander, so dass

die Bedingung (3.29) f

ur alle i =1,...,l− 1g

ultig ist.

Das Regelgesetz ist durch

u = −k

mit

i =

⎧

⎪

⎨

⎪

⎩

1 falls x ∈ G

2 falls x ∈ G

l − 1 falls x ∈ G

l−1

l falls x ∈ G

gegeben. Dabei bilden die Diﬀerenzmengen G

i+1

gerade die Zonen zwi-

schen zwei Gebieten G

.EinReglerk

ist also immer gerade dann aktiv,

wenn der Zustandsvektor x in der ringf

ormigen Zone G

i+1

liegt. Da mit

zunehmender Ausregelung die Trajektorie x(t) in immer kleinere Gebiete G

eintritt, werden so auch immer schnellere Regler k

aktiviert. D. h., die Ausre-

gelung wird im Verlauf der Trajektorie immer schneller im Vergleich zu einem

klassischen linearen Zustandsregler, z. B. u = −k

Zusammengefasst ergibt sich folgendes Entwurfsschema:

Schritt 1: F

ur die Regelstrecke

˙x = Ax + bu mit |u|≤u

max

ahlt man eine Schar von Reglern

u = −k

x,i=1,...,l.

Schritt 2: F

ur jeden Teilregelkreis

˙x =

A − bk

x =

x,i=1,...,l,

bestimmt man aus

+ R

A = −Q

,i=1,...,l,

mit einer beliebigen positiv deﬁniten Matrix Q

ein Ljapunov-

Gebiet



x ∈ IR

| x

x <c

max

−1

(

3.3. Strukturvariable Regelungen ohne Gleitzustand 151

Schritt 3: Man

uberpr

uft, ob f

ur alle i =1,...,l− 1 die Matrizen

i+1

−

positiv deﬁnit sind. Ist dies f

ur einen Index i nicht der Fall, so muss

mit Schritt 1 ein neuer Entwurf begonnen werden.

Verwendet man nicht eine endliche Anzahl l von Reglern k

, sondern un-

endlich viele mit unendlich vielen Gebieten G

, so entsteht eine weiche struk-

turvariable Regelung [3, 77, 96, 113, 197]. Die Gebiete G

sind dann inﬁni-

tesimal dicht, also ohne Zwischenraum, geschachtelt. Hierdurch l

asst sich die

Ausregelgeschwindigkeit weiter verbessern. Sie wird nahezu zeitoptimal. Des

Weiteren ist der Stellgr

oßenverlauf stetig, da keine Umschaltungen zwischen

Reglern stattﬁnden, sondern die Reglerparameter stetig in Abh

angigkeit vom

Systemzustand ver

andert werden.

3.3.3 Beispiel Containerkran

Als Beispiel betrachten wir einen Kran [128], wie er in H

afen zum Be- und

Entladen von Containerschiﬀen verwendet wird. Der Container ist dabei

uber

ein Seilsystem unter einer Laufkatze aufgeh

angt, die den Container, wie in

Bild 3.34 gezeigt, vom Kai zum Schiﬀ oder umgekehrt transportiert.

Um eine m

oglichst schnelle Abfertigung des Schiﬀes im Hafen zu erm

og-

lichen, sollen die Kr

ane so viele Container wie m

oglich pro Stunde be- oder

Bild 3.34: Containerkran.

152 Kapitel 3. Regelungen f

ur lineare Regelstrecken

entladen. Das erfordert schnelles Hin- und Herfahren der Laufkatze, was Pen-

delungen der Container bewirken kann. Diese sind nat

urlich unerw

unscht,

da sie ein gezieltes Absetzen der Container unm

oglich machen. Mittels ei-

ner Regelung kann man eine hohe Geschwindigkeit der Laufkatze erzielen und

gleichzeitig vermeiden, dass der Container

uber seiner Absetzposition pendelt.

Die Dynamik der im Bild 3.34 dargestellten Krananlage l

asst sich durch

folgendes Modell

˙x =

⎡

⎢

⎣

01 0 0 0

−βδ

αγ − β

00 0 1 0

−αδ

αγ − β

00 0 0 −ω

⎤

⎥

⎦

x +

⎡

⎢

⎣

⎤

⎥

⎦

beschreiben. Dabei bilden die Position s der Laufkatze, ihre Geschwindig-

keit ˙s, der Pendelwinkel ϕ, die Winkelgeschwindigkeit ˙ϕ und die Kraft

F, die die Laufkatze beschleunigt, die Elemente des Zustandsvektors x =

[s ˙sϕ ˙ϕF]

. Der Strom des Elektromotors der Laufkatze bildet die

Eingangsgr

oße u.F

ur die Parameter des Krans gilt

α = m

+ m

β = m

(f − e),

γ = m

(f − e)

+ J,

δ = m

· g ·



e +

d − b

f +

(d − b)d

− (d − b)



f =

d − b

)

1 −



d − b



Dabei ist m

die Masse der Katze, m

die Masse des Containers und sei-

ner Aufnahmevorrichtung, l die Seill

ange, b und d bilden die Abst

ande der

Seilbefestigungen am Container und an der Katze, e ist der vertikale Ab-

stand der Seilbefestigung des Containers vom Containerschwerpunkt, J das

agheitsmoment des Containers und g =9.81m s

−2

die Erdbeschleunigung.

Siehe Bild 3.35. Die Konstanten K und ω

sind Parameter des Antriebes.

Wir betrachten im Weiteren eine Ausf

uhrung mit

=32t,m

=18.8t,J=20.5tm

d =3m,b=2m,e=1.6m,

l =15m,ω

=0.91 s

−1

,K=0.94 kN s

−1

sowie einer Stellgr

oßenbeschr

ankung von

3.3. Strukturvariable Regelungen ohne Gleitzustand 153

Bild 3.35: Katze und Container.

max

= 100 A.

Mit obigen Parameterwerten erhalten wir

˙x =

⎡

⎢

⎣

01 0 0 0

00−12.4949 0 0.0312

00 0 1 0

00−1.1895 0 0.0011

00 0 0−0.9100

⎤

⎥

⎦

x +

⎡

⎢

⎣

0.94

⎤

⎥

⎦

u (3.30)

als Modell. Der Bereich m

oglicher Anfangsauslenkungen x

= x(0) ist

= {x

∈IR



|s|≤20 m, |˙s|≤3ms

−1

, |ϕ|≤5

◦

, | ˙ϕ|≤2

◦

−1

,F=0kN}.

Hierbei ist zu beachten, dass der Winkel ϕ und die Winkelgeschwindigkeit ˙ϕ

der Anschaulichkeit halber in Grad und Grad pro Sekunde angegeben sind.

In der Diﬀerenzialgleichung (3.30) sind dagegen als Einheiten Radiant und

Radiant pro Sekunde zu verwenden.

ur den Entwurf der umschaltenden Regelung w

ahlen wir zehn Zustands-

reglervektoren k

und bestimmen hierzu passend zehn Ljapunov-Gebiete

x ∈ IR



x <c

Das gr

oßte dieser Gebiete, G

, ist so ausgelegt, dass es das Anfangsgebiet X

enth

alt. Die Daten der Regler k

und der Matrizen R

ﬁnden sich im Anhang

A. Die Eigenwerte der Teilregelkreise

˙x =(A − bk

154 Kapitel 3. Regelungen f

ur lineare Regelstrecken

ReRe

0.50.5

-0.5-0.5

-1-1

-5

-4

-3

-2

-1

-0.8-0.6

-0.4

-0.2

Bild 3.36: Das linke Teilbild zeigt alle Eigenwerte der zehn Teilregelkreise. Das rechte

zeigt einen vergr

oßerten Ausschnitt des linken Teilbildes, so dass die Werte von λ

und λ

sowie λ

und λ

detaillierter zu erkennen sind.

sind in Bild 3.36 dargestellt.

Wir betrachten als Anfangsauslenkung

⎡

⎢

⎣

˙s

˙ϕ

⎤

⎥

⎦

⎡

⎢

⎣

⎤

⎥

⎦

Die Simulation der Zustandsgr

oßen x

= s, x

= ϕ und x

= F sowie der

Stellgr

oße u zeigt Bild 3.37. Vergleichend ist auch eine Ausregelung mit dem

linearen Zustandsregler k

und der zeitoptimalen Steuerung dargestellt. Wie

erwartet, weist der Stellgr

oßenverlauf u(t), d. h. der Motorstrom, des schal-

tenden Reglers Spr

unge auf. Diese sind hier tolerierbar, denn die Kraft F ,

die sich aus dem Motorstrom u ergibt und den Kran antreibt, besitzt einen

stetigen Verlauf.

Die Simulation zeigt beispielhaft die deutlich schnellere Ausregelung des

schaltenden Reglers gegen

uber dem guten linearen Regler. Der lineare Reg-

lervektor k

, der auch der Anfangsregler der abschnittweise linearen Rege-

lung ist, wurde durch eine Parameteroptimierung so bestimmt, dass einer-

seits das Anfangsgebiet X

innerhalb von G

liegt und andererseits die Aus-

regelung m

oglichst gut verl

auft. Eine weitere Verbesserung der Ausregelzeit

asst sich durch die Verwendung von mehr als zehn Reglern erzielen. Aller-

dings steigt mit einer zunehmenden Zahl von Reglern der Entwurfsaufwand.

Es bleibt zu erw

ahnen, dass die gegen

uber der linearen Regelung verbesserte

Stellgr

oßenausnutzung den Nachteil eines h

oheren Stellenergieverbrauchs hat.