J?rgen Adamy - Nichtlineare Regelungen

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Jürgen Adamy

Nichtlineare Regelungen

123

Prof. Dr.-Ing. Jürgen Adamy

TU Darmstadt

Institut für Automatisierungstechnik

FG Regelungstheorie und Robotik

Landgraf-Georg-Straße 4

64283 Darmstadt

jadamy@rtr.tu-darmstadt.de

ISBN 978-3-642-00793-4 e-ISBN 978-3-642-00794-1

DOI 10.1007/978-3-642-00794-1

Springer Dordrecht Heidelberg London New York

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Vorwort

Die Regelungstheorie und die Regelungstechnik sind Teilgebiete der Theorie

dynamischer Systeme und der Automatisierungstechnik. Sowohl in der Mathe-

matik als auch in den Ingenieurwissenschaften bilden sie einen wichtigen Zweig

in Forschung und Lehre. Aber auch in den Naturwissenschaften, insbesondere

in der Biologie,

Okologie und Medizin sowie in der Volkswirtschaftslehre, sind

ihre Inhalte von Bedeutung. So besch

aftigt sich die Mathematik vor allem mit

der Theorie von Regelungssystemen, die dann in den Ingenieurwissenschaften

die Basis f

ur den Entwurf, d. h. die Synthese von Flugregelungen, Kraftwerks-

regelungen, Motorregelungen usw. bildet. In den Naturwissenschaften und

der Volkswirtschaftslehre stehen dagegen die Beschreibung und Analyse von

uckgekoppelten Prozessen, z. B. Populationsdynamiken in der

Okologie und

Marktmodelle in der

Okonomie, im Vordergrund.

Schreibt man ein Buch

uber Regelungssysteme, so muss man es an ei-

ner dieser Wissenschaftssparten ausrichten. Ein Mathematiker wird eine sys-

temtheoretische Strukturierung w

ahlen, ein Ingenieur eine anwendungsorien-

tierte. Das vorliegende Buch ist aus Sicht des Ingenieurs geschrieben und

betont daher den Anwendungsaspekt der Regelungstheorie, also die Rege-

lungstechnik. Dieser Ausrichtung folgend wurden die Beschreibung von Rege-

lungsverfahren und praktische Aspekte st

arker gewichtet als die systemtheo-

retischen Grundlagen. Kurz gefasst: Im Vordergrund steht der Reglerentwurf.

Dementsprechend ist das Buch auch strukturiert. Neben den systemtheoreti-

schen Grundlagen wie Stabilit

at, L

osung nichtlinearer Diﬀerenzialgleichungen

usw.,werdenindreiKapitelnnichtlineare Regelungsverfahren f

ur lineare und

nichtlineare Regelstrecken behandelt. Der Fokus liegt hier bei den zeitkonti-

nuierlichen Regelungssystemen. In relevanten F

allen werden auch zeitdiskre-

te Systeme betrachtet. Da nichtlineare Regler meistens alle Zustandsgr

oßen

ben

otigen, diese aber oft nicht messbar sind, bildet ein Kapitel

uber nichtli-

neare Beobachter den Schluss des Buches.

Das Buch wendet sich an die fortgeschrittenen Regelungstechnikerinnen

und Regelungstechniker. Die Kenntnis der linearen Regelungstechnik, wie sie

z. B. in den Lehrb

uchern von J. Lunze [123, 124], O. F

ollinger [53] sowie

M. Horn und N. Dourdoumas [75] vermittelt wird, ist Vorbedingung f

ur das

Verst

andnis. Das Buch ist, obiges Wissen vorausgesetzt, f

ur ein m

oglichst

schnelles und einfaches Verstehen ausgelegt. Dabei bin ich den Ideen von

G. P´olya [147, 148] gefolgt und vom klassischen Theorem-Beweis-Schema ab-

gewichen. Vielmehr wird, wenn f

ur das Verst

andnis erforderlich, die Herlei-

tung eines Themas in ausf

uhrlichem Stil aus der Problemstellung entwickelt.

Um h

auﬁges Nachschlagen in vorherigen Kapiteln zu vermeiden (was meist

uhsam ist), habe ich den einzelnen Passagen Wiederholungen zugebilligt.

Dies und die bewusste Verwendung nur der notwendigen mathematischen

Symbolik erh

oht die Lesbarkeit. So kommt man mit der Ingenieurmathema-

tik der ersten drei bzw. vier Semester eines Hochschulstudiums durch das

Buch. All diese didaktischen Maßnahmen folgen den kommunikationspsycho-

logischen Anforderungen von F. Schulz von Thun [162]: Pr

agnanz, Ordnung,

Einfachheit und Motivation. Letzterer dienen auch die vierfarbig dargestellten

Praxisbeispiele. Sie sollen den Bezug zur realen Anwendung illustrieren. Die

zugeh

origen Bilder sind dabei bewusst nicht fotorealistisch ausgef

uhrt, obwohl

dies m

oglich gewesen w

are. So ist eine Abstraktion von der realen Anwendung,

wie sie jedes Modell aufweist, sichtbar.

Das Buch h

atte nicht ohne die Unterst

utzung vieler helfender Perso-

nen entstehen k

onnen. Ihnen gilt mein Dank. So erstellten Teile des Latex-

Quellcodes T. Schaal, M. Heil, J. D´ıaz und A. Popescu. A. Popescu erstellte

auch alle zweidimensionalen Graﬁken. K. Karova danke ich f

ur die Hilfe bei

der Erstellung der Matlab-Bilder. Sie sorgte auch durch unerm

udliche Ar-

beit f

ur die Konsistenz des Layouts. W. Hayat und R. Kempf erstellten die

Simulationen der pr

adiktiven Regelungen und R. Kempf simulierte die Fuzzy-

Abstandsregelung. D. Yankulova fertigte die Simulationen der Kranregelun-

gen an. Außerdem lasen und pr

uften S. Muntermann, R. Kempf und V. Wil-

lert sowie meine Doktorandinnen und Doktoranden D. Yankulova, K. Karova,

T. Gußner, A. Schwung, K. Listmann, H. Lens, D. Lens, D. Weiler, K. Kef-

ferp

utz, B. Jasniewicz, A. Ortseifen sowie die Studentinnen und Studenten

A. Popescu, A. Wahrburg, H. Buschmann und K. Kreuter das Buch bez

uglich

Inhalt und Verst

andlichkeit. Ihre oﬀene, ehrliche Kritik und die harmonische

und stimulierende Arbeitsatmosph

are trugen wesentlich zum Gelingen die-

ses Buches bei. Schließlich gilt mein besonderer Dank der Industriedesignerin

V. Ansel, die alle farbigen dreidimensionalen Bilder anfertigte. Es war u. a.

auch die

Asthetik dieser Bilder, die meine Motivation bei der Erstellung des

Buches f

orderte.

Fragen oder Verbesserungsvorschl

age k

onnen Sie an meine E-Mail-Adresse

jadamy@rtr.tu-darmstadt.de

senden.

urgen Adamy, Technische Universit

at Darmstadt, 2009

Inhaltsverzeichnis

Buchversion

1 Grundlagen nichtlinearer Systeme ......................... 1

1.1 Systembeschreibung und Systemverhalten . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1

1.1.1 Lineareund nichtlineareSysteme.................... 1

1.1.2 Systembeschreibung und Regelkreiskategorien . . . . . . . . . 2

1.1.3 RuhelagennichtlinearerSysteme .................... 4

1.1.4 Beispiel Satellit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

1.1.5 RuhelagenlinearerSysteme......................... 8

1.1.6 Stabilit

atvonRuhelagen ........................... 9

1.1.7 Grenzzyklen ...................................... 15

1.1.8 Gleitzust

ande..................................... 17

1.1.9 Chaos............................................ 19

1.1.10 NichtlineareZustandstransformationen............... 21

1.1.11 ZeitdiskreteSysteme............................... 25

1.2 L

osungnichtlinearerDiﬀerenzialgleichungen ................ 27

1.2.1 Grundlegendes und das Verfahren von Euler-Cauchy . . . 27

1.2.2 Genauigkeit der numerischen L

osung................. 29

1.2.3 DasverbesserteEuler-Cauchy-Verfahren.............. 30

1.2.4 Die VerfahrenvonHeun undSimpson................ 31

1.2.5 Die Runge-Kutta-Verfahren......................... 33

1.2.6 AdaptionderSchrittweite .......................... 34

1.2.7 MehrschrittverfahrenvonAdams-Bashforth........... 36

1.2.8 Pr

adiktor-Korrektor-Verfahren von Adams-Moulton . . . 37

1.2.9 Stabilit

at vonIntegrationsverfahren.................. 38

1.2.10 Steife Systeme und ihre L

osung ..................... 41

2 Grenzzyklen und Stabilit

atskriterien ....................... 45

2.1 VerfahrenderharmonischenBalance....................... 45

2.1.1 Idee desVerfahrens................................ 45

2.1.2 Illustrationsbeispiel................................ 49

vi Inhaltsverzeichnis

2.1.3 Kennlinien und ihre Beschreibungsfunktionen . . . . . . . . . 51

2.1.4 Stabilit

atsanalyse vonGrenzzyklen .................. 57

2.1.5 BeispielServolenksystem ........................... 60

2.2 Absolute Stabilit

at ...................................... 64

2.2.1 Der Begriﬀ der absoluten Stabilit

at.................. 64

2.2.2 Das Popov-Kriterium und seine Anwendung . . . . . . . . . . 65

2.2.3 AisermansVermutung ............................. 71

2.2.4 BeispielSchiﬀsregelung............................. 72

2.2.5 DasKreiskriterium ................................ 76

2.2.6 Das Zypkin-Kriterium f

urzeitdiskrete Systeme........ 78

2.3 Hyperstabilit

at.......................................... 81

2.3.1 Der Begriﬀ der Hyperstabilit

at...................... 81

2.3.2 Hyperstabilit

at nichtlinearer SISO-Regelkreise . . . . . . . . 86

2.3.3 Hyperstabilit

atnichtlinearerMIMO-Systeme.......... 89

2.3.4 Illustrationsbeispiele............................... 92

2.4 Die Stabilit

atstheorie von Ljapunov . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95

2.4.1 Die Idee unddie direkte Methode ................... 95

2.4.2 Illustrationsbeispiel................................100

2.4.3 Quadratische Ljapunov-Funktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101

2.4.4 Die direkte Methode f

urzeitdiskreteSysteme .........103

2.4.5 Die indirekteMethode .............................104

2.4.6 Einzugsgebiete....................................105

2.4.7 BeispielMutualismus ..............................108

2.4.8 Instabilit

atskriterium ..............................112

3 Regelungen f

ur lineare Regelstrecken ......................115

3.1 Regler mit Antiwindup . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115

3.1.1 Der Windup-Eﬀekt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115

3.1.2 PID-Regler mit Antiwindup . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117

3.1.3 BeispielGleichstrommotor..........................118

3.1.4 Antiwindup f

urallgemeineReglerstrukturen ..........120

3.1.5 Dimensionierung des allgemeinen Antiwindup-Reglers . . 126

3.1.6 Stabilit

at.........................................128

3.2 ZeitoptimaleRegelungundSteuerung......................128

3.2.1 Grundlagen und der Satz von Feldbaum . . . . . . . . . . . . . . 128

3.2.2 Berechnung zeitoptimaler Steuerfolgen ...............130

3.2.3 Beispiel 1/s

......................................132

3.2.4 Zeitoptimale Regler f

ur Systeme niedriger Ordnung . . . . 136

3.2.5 BeispielU-Boot ...................................139

3.2.6 ZeitoptimaleVorsteuerung..........................142

3.3 Strukturvariable Regelungen ohne Gleitzustand . . . . . . . . . . . . . 143

3.3.1 Grundlagen strukturvariabler Regelungen . . . . . . . . . . . . 143

3.3.2 Reglermitabschnittweiselinearer Struktur ...........147

3.3.3 BeispielContainerkran.............................151

3.4 S

attigungsregler.........................................155

Inhaltsverzeichnis ix

3.4.1 Funktionsweise und Stabilit

at.......................155

3.4.2 EntwurfinmehrerenSchritten ......................160

3.4.3 BeispielHelikopter ................................161

4 Regelungen f

ur nichtlineare Regelstrecken .................165

4.1 Gain-scheduling-Regler...................................165

4.1.1 Grundlagen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 165

4.1.2 Illustrationsbeispiel................................171

4.1.3 Beispiel Solarkraftwerk mit Parabolrinnenkollektor . . . . 173

4.2 Reglerentwurfmittels exakterLinearisierung................179

4.2.1 Grundidee und nichtlineare Regelungsnormalform . . . . . 179

4.2.2 Nichtlinearer Regler und linearerRegelkreis...........182

4.2.3 BeispielMagnetlager...............................184

4.2.4 RegelstreckenmitinternerDynamik .................188

4.2.5 Entwurfsverfahren.................................194

4.2.6 Beispiel Mondlandef

ahre ...........................195

4.3 Control-Ljapunov-Funktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 200

4.3.1 Grundlagen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 200

4.3.2 Control-Ljapunov-Funktion f

ur lineare Systeme .......202

4.3.3 Regler f

ureingangslineareSysteme ..................203

4.3.4 Illustrationsbeispiel................................205

4.3.5 Beispiel KraftwerkmitNetzeinspeisung ..............206

4.4 DasBackstepping-Verfahren ..............................212

4.4.1 Idee desVerfahrens................................212

4.4.2 Rekursives Schema f

ur den Reglerentwurf ............217

4.4.3 Illustrationsbeispiele...............................219

4.4.4 Beispiel Fluidsystem mit chaotischem Verhalten . . . . . . . 222

5 Regelungen f

ur lineare und nichtlineare Regelstrecken .....227

5.1 Modellbasierte pr

adiktiveRegelung........................227

5.1.1 Grundlagen und Funktionsweise . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 227

5.1.2 Lineare modellbasierte pr

adiktiveRegelung...........230

5.1.3 LMPR mit Beschr

ankungen ........................234

5.1.4 Beispiel Entw

asserungssystem.......................237

5.1.5 Nichtlineare modellbasierte pr

adiktive Regelung . . . . . . . 240

5.1.6 BeispielEindampfanlage ...........................246

5.2 StrukturvariableRegelungenmitGleitzustand ..............249

5.2.1 Funktionsweiseund Eigenschaften ...................249

5.2.2 Entwurf f

urlineareRegelstrecken....................252

5.2.3 DynamikimGleitzustand ..........................254

5.2.4 Nachweisder Robustheit ...........................255

5.2.5 BeispielDC-DC-Wandler...........................256

5.2.6 Entwurf f

ur nichtlineareRegelstrecken ...............261

5.2.7 BeispieloptischerSchalter..........................262

5.3 Fuzzy-Control...........................................266

Inhaltsverzeichnis

5.3.1 Einf

uhrung .......................................266

5.3.2 Fuzziﬁzierung.....................................267

5.3.3 Inferenz..........................................270

5.3.4 Defuzziﬁzierung...................................276

5.3.5 Fuzzy-SystemeundFuzzy-Regler ....................277

5.3.6 Beispiel Abstandsregelung f

urAutomobile ............280

6Beobachterf

ur nichtlineare Systeme .......................287

6.1 BeobachtbarkeitnichtlinearerSysteme .....................287

6.1.1 DeﬁnitionderBeobachtbarkeit......................287

6.1.2 BeobachtbarkeitautonomerSysteme.................289

6.1.3 BeispielSynchrongenerator .........................292

6.1.4 Beobachtbarkeit allgemeiner nichtlinearer Systeme . . . . . 294

6.1.5 Nichtlineare Beobachtbarkeitsnormalform . . . . . . . . . . . . . 296

6.1.6 Beobachtbarkeit eingangslinearer Systeme . . . . . . . . . . . . 297

6.2 Luenberger-Beobachter f

ur nichtlineare Regelkreise . . . . . . . . . . 299

6.3 BeobachterentwurfmittelsLinearisierung...................301

6.3.1 FunktionsweiseundEntwurf........................301

6.3.2 RegelkreismitBeobachter..........................305

6.3.3 BeispielBioreaktor ................................306

6.4 DaserweiterteKalman-Filter .............................310

6.4.1 Kalman-Filter f

ur lineare Systeme ...................310

6.4.2 Das EKF f

ur nichtlineareSysteme...................312

6.4.3 BeispielFlugzeugtriebwerk .........................314

6.5 High-gain-Beobachter....................................318

6.5.1 Einf

uhrungund Funktionsweise .....................318

6.5.2 High-gain-Beobachter in allgemeiner Form . . . . . . . . . . . . 322

6.5.3 BeispielchemischerReaktor ........................325

6.5.4 DerFalleingangslinearerSysteme ...................328

orterbuch ...............................................333

7.1 Deutsch → Englisch .....................................333

7.2 Englisch → Deutsch .....................................346

Anhang ........................................................360

A Daten zum Beispiel Containerkran.........................361

B Mathematische Zeichen und Funktionen ...................363

Literaturverzeichnis ...........................................367

Sachverzeichnis ................................................377

Grundlagen nichtlinearer Systeme

1.1 Systembeschreibung und Systemverhalten

1.1.1 Lineare und nichtlineare Systeme

Mittels linearer Modelle und linearer Systembeschreibungen kann nur ein Teil

der Prozesse und Systeme, wie sie in der Natur und der industriellen Praxis

vorkommen, beschrieben werden. Der andere Teil ist nichtlinear und muss

durch nichtlineare Modelle nachgebildet werden. Die lineare Systemtheorie

ist im Allgemeinen auf nichtlineare Systeme nicht anwendbar. Es sei denn,

ein nichtlineares System kann hinreichend genau durch ein lineares Modell

approximiert werden.

ur nichtlineare Systeme und Regelkreise ben

otigt man daher in den meis-

ten F

allen eigene Analyse- und Entwurfsverfahren. Da nichtlineare Systeme

allerdings mathematisch wesentlich komplexer zu handhaben sind als linea-

re, wurden bisher nur f

ur bestimmte Klassen nichtlinearer Systeme und be-

stimmte Anwendungsf

alle solche Verfahren entwickelt. Im Fall linearer Sys-

teme ist das ganz anders. F

ur sie existiert eine nahezu vollst

andig ausge-

arbeitete Systemtheorie, die nur noch wenige unerforschte Gebiete aufweist

[53, 55, 123, 124]. Bild 1.1 illustriert diesen unterschiedlichen Wissensstand.

Da die nichtlineare Systemtheorie eine Sammlung nicht zusammenh

an-

gender Verfahren und Theorien darstellt, ist es eigentlich nicht richtig, von

einer nichtlinearen Systemtheorie zu sprechen. Vielmehr existiert, wie in Bild

1.1 veranschaulicht, eine Reihe von Theorien f

ur verschiedene Klassen nicht-

linearer Systeme und Regelungen [83, 94, 161, 191]. Trotz dieser Verschieden-

heit ist es je nach Schwerpunkt

ublich, diese Theorien unter dem Oberbegriﬀ

nichtlineare Regelungen oder nichtlineare Systeme zu subsumieren.

Die wichtigsten und f

ur die industrielle Praxis relevanten Verfahren der

nichtlinearen Regelungstechnik sind Gegenstand dieses Buches. Zu Beginn,

in diesem Kapitel, werden die Systemdynamik und die L

osung nichtlinearer

Diﬀerenzialgleichungen behandelt. Daran schließt sich eine Schilderung der

Stabilit

atstheorie nichtlinearer Systeme und Regelungen in Kapitel 2 an.

2 Kapitel 1. Grundlagen nichtlinearer Systeme

lineare Systeme nichtlineare Systeme

Bild 1.1: Wissensstand bei linearen und nichtlinearen Systemen. Blaue Fl

achen sym-

bolisieren den bekannten Wissensstand, weiße Unerforschtes.

Obiges Basiswissen ist dann Ausgangspunkt einer Reihe von Entwurfsver-

fahren f

ur nichtlineare Regler sowohl f

ur lineare Regelstrecken in Kapitel 3 als

auch nichtlineare Regelstrecken in Kapitel 4. In Kapitel 5 folgen schließlich

Verfahren, die sowohl f

ur lineare als auch nichtlineare Regelstrecken Verwen-

dung ﬁnden. Da die meisten nichtlinearen Regelungsverfahren den Zustands-

vektor der Regelstrecke ben

otigen, dieser aber oft nicht messbar ist, werden

des Weiteren in Kapitel 6 Beobachter f

ur nichtlineare Regelkreise behandelt.

1.1.2 Systembeschreibung und Regelkreiskategorien

Nichtlineare Systeme lassen sich im Allgemeinen durch eine Vektordiﬀerenzi-

algleichung

˙x = f(x, u)

und eine Ausgangsgleichung

y = g(x, u)

beschreiben. Dabei ist x der n - dimensionale Zustandsvektor, u der m -di-

mensionale Stell- bzw. Eingangsvektor, f die n - dimensionale Vektorfunktion

des Systems, y der r - dimensionale Ausgangsvektor und g die r -dimensio-

nale Ausgangsvektorfunktion. Manchmal wird ein System auch, insbesondere

im Fall einer Eingangs- und einer Ausgangsgr

oße, durch eine explizite Diﬀe-

renzialgleichung h

oherer Ordnung

(n)

= h(y, ˙y,...,y

(n−1)

,...,u

) (1.1)

beschrieben. Durch Einf

uhrung der Variablen

= y,

=˙y,

= y

(n−1)