Иванов-Смоленский А.В. Электрические машины т 2

Подождите немного. Документ загружается.

510

только в том случае, когда коэффициенты при и равны

нулю, получим следующие уравнения для определения i

f 1

и i

кd1

(73.39)

Решив эти уравнения относительно токов i

f 1

и i

кd1

с учетом

(73.33), найдем по (73.31) ток

d 1

= –(i

f 1

+ i

к d 1

/ L

и затем, введя этот ток в (73.36), получим выражение для переходной

индуктивности обмотки статора (с учетом влияния как обмотки воз-

буждения, так и демпферной обмотки)

, (73.40)

где , можно найти по (73.30); T

, T

— по (72.10).

Из полученного выражения следует, что в машине с большим со-

противлением демпферной обмотки по сравнению с обмоткой возбу-

ждения (R

кd

>> R

), когда T

<< T

, << , индуктивность не

отличается от переходной индуктивности , найденной по (73.24)

как для машины без демпферной обмотки. После определения индук-

тивности периодическая составляющая продольного тока стато-

ра (73.31), (73.37) представляется в виде суммы сверхпереходного то-

ка, затухающего с постоянной времени , и переходного тока,

затухающего с постоянной времени :

. (73.41)

Машина с демпферной обмоткой. Поперечная ось. Периодиче-

ские составляющие токов по поперечной оси определяются из второ-

го уравнения (73.18), второго уравнения (73.20) и (73.14), которые

вполне аналогичны уравнениям для продольной оси в машине без

демпферной обмотки [первое (73.18), (73.21)]. Поскольку в попереч-

ной оси со статорным контуром взаимодействует только один ротор-

– t / T

′

– t / T

′

–()i

f 1

′

кd1

–0;=

кd

′

кd

′

–()i

кd0

кd1

–()L

′

f 0

f 1

–()–0.=

⎭

⎬

⎫

кd

′

–

′

–

-------------------

′

−−−−

–

⎝⎠

⎛⎞

–

1–

′

кd

′

кd

′

″

′

dп

– Ψ

dн

″

------

кd

′

---------

–

⎝⎠

⎛⎞

– t / T

′

кd

′

---------

------

–

⎝⎠

⎛⎞

– t / T

′

511

ный контур демпферной обмотки, все формулы могут быть записаны

по аналогии с формулами для продольной оси машины без демп-

ферной обмотки, в которой на роторе также имеется только один

контур — обмотка возбуждения. По аналогии с (73.25) напишем без

вывода выражение для периодической составляющей тока статора

по поперечной оси

, (73.42)

где постоянная времени демпферной обмотки по поперечной оси при

короткозамкнутой обмотке статора определяется по формуле

(73.22)

, (73.43)

причем (72.33)

а сверхпереходная индуктивность обмотки статора по поперечной

оси (73.24)

; . (73.44)

Такой индуктивностью обладает обмотка статора, когда магнит-

ное поле, образованное внезапно появившимся в ней током, не сцеп-

лено со сверхпроводящей демпферной обмоткой по поперечной оси и

замыкается через проводимости для ее полей рассеяния. Картина та-

кого поля и схема замещения, обладающая индуктивностью , по-

казаны на рис. 73.3.

qп

– Ψ

qн

″

------

–

⎝⎠

⎛⎞

– t / T

к d

′

кq

′

кq

′

/ R

кq

′

кqσ

′

+= L

′

------

---------

⎝⎠

⎛⎞

1–

″

aqк

′

+= L

aqк

′

кqσ

------------

---------

⎝⎠

⎛⎞

1–

″

²qU

;

²qU

²q

;

aq²

;

Рис. 73.3. Схема замещения и

картина поля для определения

сверхпереходной индуктивности

обмотки статора по поперечной

оси

512

73.4. Апериодичесие составляющие тоов

Апериодические составляющие токов определяются решением

системы (73.15)—(73.17) при оговоренном выше допущении: R

= R

кd

= R

кq

= 0. Это позволяет рассматривать совместно с (73.15) вме-

сто дифференциальных уравнений (73.16), (73.17) уравнения для по-

токосцеплений роторных контуров, полагая эти потокосцепления

равными нулю

(73.45)

Выразив токи i

f а

и i

кdа

через ток i

dа

, а ток i

кqа

через ток i

qа

и под-

ставляя полученные выражения в формулы для потокосцеплений ста-

тора по продольной и поперечной осям, представим потокосцепления

через токи i

dа

и i

qа

; , (73.46)

где определяется по (73.34); — по (73.44), и, введя записанные

таким образом Ψ

dа

и Ψ

qа

в (73.15), получим два дифференциальных

уравнения для токов i

dа

и i

qа

(73.47)

Исключая ток i

qа

, получаем для определения тока i

dа

следующее

уравнение:

Соответствующее характеристическое уравнение для определе-

ния показателей степени

Два корня этого уравнения

(73.48)

f а

dа

кdа

+()+ 0;==

кdа

кd

кdа

dа

f а

+()+ 0;==

кqа

кq

кqа

qа

+ 0.==

⎭

⎪

⎬

⎪

⎫

dа

″

dа

=Ψ

qа

″

qа

″

dа

″

dа

ωL

″

qа

–+ 0;=

qа

″

qа

ωL

″

dа

++ 0.=

⎭

⎬

⎫

″

dа

″

+()pi

dа

″

+()i

dа

++ 0=

″

+()βω

″

+()++ 0=

β –

″

+()

″

-----------------------------

± jω 1

″

–

()

2ωL

″

------------------------------

–=

513

представляют собой сопряженные комплексные числа (– β

+ jβ

) и

(–β

– jβ

). Поэтому решение дифференциальных уравнений (73.47)

записывается в виде

(73.49)

причем переход от показательной формы записи к тригонометриче-

ской осуществляется элементарными преобразованиями.

Как видно из (73.49), апериодические токи периодически изменя-

ются с частотой β

, а амплитуда колебаний токов затухает с постоян-

ной времени

. (73.50)

При отсутствии демпферной обмотки эта постоянная времени рав-

нялась бы

. (73.51)

Частота колебаний апериодических токов

. (73.52)

При отсутствии демпферной обмотки частота равна:

. (73.53)

Поскольку активное сопротивление мало (R << ), с боль-

шой точностью можно считать

= ω. (73.54)

dа

+ jβ

– jβ

+()e

– β

dа1

tcos i

dа2

tsin+()e

– β

qа

jβ

– jβ

+()e

– β

qа1

tcos i

qа2

tsin+()e

– β

⎭

⎪

⎬

⎪

⎫

″

------

″

+()

-----------------------------

′

------

′

+()

----------------------------

ω 1

″

–

()

2ωL

″

------------------------------

–=

ω 1

′

–()

2ωL

′

-----------------------------

–=

″

≈

514

В дальнейшем, определяя произвольные постоянные i

dа1

, i

dа2

, i

qа1

qа2

в (73.49), сделаем это для машины с демпферной обмоткой. От

этого общего случая легко перейти к машине без демпферной обмот-

ки, положив и . В начальный момент при t = 0 из

(73.49) имеем

d а.н

= i

d а1

; i

q а.н

= i

q а1

Подставляя эти токи в (72.8) при t = 0, получаем уравнения: i

dн

= i

dп.н

+ i

dа.н

+ i

dу

; i

qн

= i

qп.н

+ i

qа.н

+ i

qу

, в которых i

dн

, i

qн

— токи в

нагрузочном режиме до короткого замыкания по (73.1); i

dу

и i

qу

= 0 —

установившиеся токи короткого замыкания по (73.7);

;

— начальные значения периодических составляющих токов по

(73.41).

Решая эти уравнения относительно токов i

dа.н

и i

qа.н

, находим:

; ... (73.55)

Для определения постоянных i

dа2

и i

qа2

подставим токи i

dа

и i

qа

по

(73.49), (73.50), (73.54) в первое из уравнений (73.47) и сократим его

на общий множитель :

+ = 0.

Полученное уравнение должно удовлетворяться на всех стадиях

процесса (при любых t), что может быть лишь при условии равенства

нулю коэффициентов при sin ωt и cos ωt, т.е.

;

″

′

= X

″

dп.н

– Ψ

dн

″

------

–

⎝⎠

⎛⎞

= i

qп.н

– Ψ

qн

″

------

–

⎝⎠

⎛⎞

dа.н

dа1

dн

″

⁄== i

qа.н

qа1

qн

″

⁄==

– t / T

′

dа1

ωtcos i

dа2

ωtsin+()

″

-------

dа1

ωtcos i

dа2

ωtsin+()+–

ω – i

dа1

ωtsin i

dа2

ωtcos+()L

″

ω i

qа1

ωtcos i

qа2

ωtsin+()–

″

-------

–

⎝⎠

⎜⎟

⎛⎞

dа2

ωL

″

dа1

ωL

″

qа2

––0=

″

-------

–

⎝⎠

⎜⎟

⎛⎞

dа1

ωL

″

dа2

ωL

″

qа1

––0=

515

Учитывая малость коэффициента при первом члене в этих уравне-

ниях по сравнению с коэффициентом при последнем члене

<< ,

получаем с учетом (73.55)

; . (73.56)

Подставляя (73.55), (73.56), (73.50), (73.54) в (73.49), запишем вы-

ражения для апериодических составляющих токов в обмотке статора

(73.57)

73.5. Полные тои оротоо замыания в продольном

и поперечном онтрах статора

Выражения для полных токов короткого замыкания в продольной

и поперечной осях получим, вводя (73.7), (73.41), (73.42), (73.57) в

(73.8):

; (73.58)

, (73.59)

где E

f н

= ωL

f н

— ЭДС, соответствующая начальному току возбуж-

дения.

″

-------

–

⎝⎠

⎜⎟

⎛⎞

″

–

″

------------------------

= ωL

″

dа2

qа1

″

------

qн

″

----------

==i

qа2

– i

dа1

″

------

–

qн

″

----------

dа

″

------

dн

ωtcos Ψ

qн

ωtsin+()e

– t / T

″

qа

″

------

qн

ωtcos Ψ

dн

ωtsin+()e

– t / T

″

⎭

⎪

⎬

⎪

⎫

– Ψ

dн

″

------

dк

′

---------

–

⎝⎠

⎛⎞

– t / T

′

dк

′

---------

------

–

⎝⎠

⎛⎞

– t / T

′

++=

″

------

dн

ωtcos Ψ

qн

ωtsin+()e

– t / T

″

f н

ωL

----------

–+

– Ψ

qн

″

------

–

⎝⎠

⎛⎞

– t / T

к q

′

″

------

[Ψ

qн

ωtcos Ψ

dн

ωtsin–]e

– t / T

″

516

В машине без демпферной обмотки выражения для токов коротко-

го замыкания принимают вид:

; (73.60)

. (73.61)

Заметим, что потокосцепления в начальном режиме, предшест-

вующем короткому замыканию, зависят от характера нагрузки:

;

В частном случае, когда короткое замыкание произошло в режиме

холостого хода, т.е. при θ = 0, i

dн

= 0, i

qн

= 0, Ψ

qн

= 0,

d н

= U

/ ω = E

f н

/ ω = L

f н

выражения для токов заметно упрощаются:

(73.62)

73.6. Тои в фазах статора

Для определения токов короткого замыкания в фазах обмотки ста-

тора нужно сначала выразить результирующую комплексную функ-

цию тока статора в осях d, q: ; затем по (71.38) записать

этот комплекс в осях α, β, неподвижных относительно статора

– Ψ

dн

′

------

–

⎝⎠

⎛⎞

– t / T

′

------

[Ψ

dн

ωtcos Ψ

qн

ωtsin+ ]e

– t / T

′

f н

ωL

----------

–+

------

[Ψ

qн

ωtcos Ψ

dн

ωtsin–]e

– t / T

′

dн

f н

+ –

qн

--------

qн

---------

------

θcos====

qн

dн

--------

–

dн

---------

------

θsin====

–

f н

---------

″

------

dк

′

---------

–

⎝⎠

⎛⎞

– t / T

′

dк

′

---------

------

–

⎝⎠

⎛⎞

– t / T

′

–+=

″

------

– t / T

″

ωtcos

------

+ ;–

–

f н

ωL

″

-----------

– t / T

′

ωt.sin=

⎭

⎪

⎬

⎪

⎫

∼

517

, где α = ωt – α

— угол между продольной осью ротора d

и осью фазы А (см. рис. 71.4); α

— угол отставания оси d от оси фазы

A при t = 0. Тогда проекции комплекса на направления осей фаз,

найденные по (69.23), дадут токи фаз:

(73.63)

Для получения наиболее общих выражений для токов короткого

замыкания в фазах статора в (73.63) нужно ввести токи i

и i

по

(73.58), (73.59). Однако в целях упрощения ограничимся здесь случа-

ем короткого замыкания из режима холостого хода, когда токи i

и i

вычисляются по (73.62). Тогда в машине с демпферной обмоткой

, (73.64)

в машине без демпферной обмотки

. (73.65)

Выражения для токов в фазах В и С отличаются от выражений для

тока фазы A только тем, что в них вместо угла α

входит угол (α

+2π/3) для фазы B и угол (α

+ 4π/3) для фазы С. Из (73.64) видно,

что ток фазы А содержит три составляющие:

1) периодически изменяющийся с частотой ω ток, амплитуда ко-

торого, затухая, достигает установившегося значения E

f н

/(ωL

) (этот

∼

αβ

∼

αβ

Re I

∼

αβ

jα

– jα

--------------------------------------

αcos i

α;sin–== =

Re I

∼

αβ

–

α 2π /3–()cos i

α 2π /3–();sin–==

Re I

∼

αβ

–

α 4π /3–()cos i

α 4π /3–().sin–==

⎭

⎪

⎬

⎪

⎫

–

f н

---------

------

dк

′

---------

------

–

⎝⎠

⎛⎞

– t / T

′

″

------

–

⎝⎠

⎛⎞

– t / T

′

++×

⎩

⎨

⎧

ωt α

–()cos×

″

------

″

------

⎝⎠

⎛⎞

cos

---------------

+–

″

------

″

------

–

⎝⎠

⎛⎞

2ωt α

–()cos

-------------------------------------

+ e

– t / T

″

⎭

⎬

⎫

–

f н

---------

------

′

------

–

⎝⎠

⎛⎞

– t / T

′

+ωt α

–()cos –

⎩

⎨

⎧

′

------

–

⎝⎠

⎛⎞

cos

---------------

′

------

–

⎝⎠

⎛⎞

2ωt α

–()cos

-------------------------------------

+ e

– t / T

′

–

⎭

⎬

⎫

518

ток складывается из периодической составляющей и установившего-

ся тока короткого замыкания);

2) часть апериодической составляющей тока с начальным значени-

ем, пропорциональным cos α

, затухающая с постоянной времени ;

3) и, наконец, часть апериодической составляющей тока, изме-

няющаяся с частотой 2ω, амплитуда которой затухает с постоянной

времени .

Найдем наибольшее возможное значение мгновенного тока ко-

роткого замыкания фазы А. Анализ (73.64) показывает, что наиболь-

ший ток появляется через половину периода после возникновения

короткого замыкания, когда ωt = π, cos (ωt – α

) = –cos α

и мгновен-

ный апериодический ток складывается с мгновенным периодиче-

ским током, совпадающим с ним по направлению. Очевидно, ток ко-

роткого замыкания через половину периода после начала процесса

будет наибольшим, если cos α

= ±1, т.е. в том случае, когда короткое

замыкание происходит при совпадении оси полюса с осью фазы А и

угол α = –α

= 0 или π.

Периодическая и апериодическая составляющие тока фазы A стато-

ра при таких начальных условиях и установившийся ток короткого за-

мыкания в фазе показаны на рис. 73.4. Из (73.64) при α

= 0 и ωt = π

или из рисунка следует, что наибольшее возможное мгновенное значе-

ние тока короткого замыкания из режима холостого хода, называемое

ударным током короткого замыкания, определяется

. (73.66)

Напомним, что в этой формуле E

f н

— амплитуда ЭДС возбуждения,

превосходящая в раз действующее значение ЭДС E

f н.д

. Следует

также иметь в виду, что (73.66) получено для таких постоянных време-

ни , , , которые во много раз превосходят время t = π/ω, про-

шедшее от начала процесса до появления наибольшего тока короткого

замыкания. При таком допущении амплитуды составляющих тока ко-

роткого замыкания практически не отличаются от начальных значе-

ний и формула для i

max

приобретает вид (73.66).

Ударным током короткого замыкания в обмотке статора и соответ-

ствующими экстремальными токами, которые появляются в то же

мгновение в роторных контурах, определяются наибольшие электро-

магнитные силы, воздействующие на лобовые части обмоток ма-

шины и элементы магнитопровода. Синхронные машины должны

″

max

f н

ωL

″

------------

f н

″

------------

′

″

519

выдерживать без повреждений симметричное короткое замыкание,

возникшее в режиме холостого хода при напряжении, равном 1,05 но-

минального, когда E

f н

= 1,05U

(здесь U

— амплитуда номинального

фазного напряжения). В этом случае ударный ток, выраженный в от-

носительных единицах (по отношению к амплитуде номинального

тока, принятого за базу), составляет

. (73.67)

В машинах с демпферной обмоткой, сверхпереходное индуктив-

ное сопротивление которых равно = 0,12—0,3, ударный ток

может превосходить амплитуду номинального тока в 7—17,5 раз; в

машинах без демпферной обмотки, сверхпереходное индуктивное

сопротивление которых совпадает с переходным ( = = 0,25—

0,5), — в 4,5—8,5 раза.

fн

/x



fн

/x



fн

/x



fн

/x

fн

/xv

d

2R/Y

2R/(2Y)

Рис. 73.4. Ток фазы А обмотки статора при коротком замыкании из режима холо-

стого хода:

1 — периодическая составляющая и установившийся ток короткого замыкания;

2 — апериодическая составляющая

max

ном

----------

2æ 1,05U

ном

″

--------------------------------

2,1

″

---------

== =

″

′