Иванов-Смоленский А.В. Электрические машины т 2

Подождите немного. Документ загружается.

500

Таким образом, в начальном установившемся режиме напряжение

сети U

с.н

с составляющими u

dн

и u

qн

уравновешивается собственной

ЭДС E

с составляющими e

dн

и e

qн

и суммарная ЭДС в продольном и

поперечном контурах равна нулю. При t = 0 напряжение сети внезап-

но изменяется и делается равным U

с составляющими u

и u

. Напря-

жение U

уже не уравновешивается ЭДС E

, и под действием появ-

ляющихся суммарных ЭДС в продольном и поперечном контурах ста-

тора

+ e

d н

= u

– u

d н

; u

+ e

q н

= u

– u

q н

(73.4)

возникает переходный процесс, при завершении которого снова уста-

навливается равновесие ЭДС. При этом в обмотке статора устанавли-

ваются такие токи i

dу

и i

qу

и потокосцепления Ψ

dу

= L

dу

+ L

f н

qу

= i

qу

, которые обеспечивают равновесие ЭДС

+ e

q у

= 0; u

+ e

d у

= 0, (73.5)

где e

dу

= ωΨ

dу

; e

qу

= –ωΨ

dу

Если при t = 0 появляется симметричное короткое замыкание, на-

пряжение сети полностью исчезает (U

= u

= 0) и переходный

процесс в короткозамкнутых контурах статора возникает под дейст-

вием неуравновешенных ЭДС (73.4):

d н

= –u

d н

и e

q н

= –u

q н

.(73.6)

В результате переходного процесса снова устанавливается равно-

весие ЭДС в короткозамкнутых контурах статора (73.5), устанавлива-

ются собственные ЭДС e

qу

= –u

= 0 и e

dу

= –u

= 0, которым соответ-

ствуют установившиеся потокосцепления

q у

= L

q у

= 0иΨ

d у

= L

d у

+ L

f н

= 0

и установившийся ток короткого замыкания, включающий только

продольную составляющую

d у

= – L

f н

/ L

= –E

f н

/(ωL

) = – E

f н

/ X

.(73.7)

Заметим, что и здесь, и в дальнейшем во все формулы входят при-

веденные величины, а большими буквами (например, Е, U, I ) обозна-

чены амплитудные значения величин. Переходные токи при симмет-

ричном коротком замыкании могут быть найдены путем формально-

математического решения полной системы дифференциальных урав-

нений синхронной машины (71.26), (71.44), включающей два уравне-

ния для обмотки якоря, два — для демпферной обмотки и одно — для

обмотки возбуждения. Однако для определения постоянных времени

501

процесса пришлось бы решить характеристическое уравнение пятой

степени, что может быть сделано только в численной форме и в об-

щем виде вообще невозможно. Поэтому попытаемся найти прибли-

женное (но достаточно точное!) аналитическое решение системы

уравнений на основе физики явлений, приняв некоторые дополни-

тельные допущения.

В переходном процессе, возникающем после короткого замыкания

обмотки статора (в отличие от переходных процессов при изменени-

ях в цепи возбуждения) появляются свободные апериодически зату-

хающие переходные токи не только в контурах ротора, но и в конту-

рах статора. Свободные апериодически затухающие токи в контурах

ротора образуют неподвижные относительно ротора поля, которые

индуктируют в фазах статора переменные периодически изменяю-

щиеся токи. Потери в активных сопротивлениях статора от этих то-

ков покрываются за счет механической мощности, в связи с чем по-

стоянные времени затухания свободных токов ротора не зависят от

активных сопротивлений статора, и последние, не делая заметной

ошибки, можно принять равными нулю.

Свободные апериодически затухающие токи в фазах статора обра-

зуют неподвижные относительно статора поля, которые индуктируют в

контурах ротора переменные токи. Потери в активных сопротивлениях

ротора от этих токов покрываются за счет механической мощности, в

связи с чем постоянная времени затухания свободных токов в контурах

статора не зависит от активных сопротивлений короткозамкнутых кон-

туров ротора и последние можно принять равными нулю. Таким обра-

зом, в контурах машины образуются две системы переходных состав-

ляющих токов, наименование которых связывается с характером изме-

нения составляющих данной системы в фазах статора.

Периодическими составляющими токов называют свободные пе-

реходные токи в контурах ротора и соответствующие им периоди-

ческие (переменные) переходные токи в фазах статора. Апериодиче-

скими составляющими токов называют свободные апериодические

переходные токи в фазах статора и соответствующие им перемен-

ные переходные токи в контурах ротора.

Переходный ток каждого из контуров представляется в виде сум-

мы периодической и апериодической составляющих тока контура. В

целях упрощения рассмотрения определение переходных токов при

коротком замыкании производится в два этапа. На первом этапе опре-

деляются периодические составляющие токов при обоснованном вы-

ше допущении о сверхпроводимости обмотки статора; на втором эта-

пе — апериодические составляющие токов, удовлетворяющие задан-

ным начальным условиям, при допущении о сверхпроводимости кон-

туров ротора.

502

73.2. Обоснование равнений для определения переходных

составляющих тоов

Как следует из (73.6), переходный процесс при симметричном ко-

ротком замыкании, возникающий при t = 0 после обращения в нуль

напряжений u

dн

и u

qн

на выводах машины, можно мыслить как про-

цесс, сопровождающий появление в короткозамкнутых контурах об-

мотки статора неуравновешенных ЭДС

– u

d н

= e

d н

= ωΨ

q н

;–u

q н

= e

q н

= – ωΨ

d н

Под действием этих ЭДС в контурах статора и ротора появляются

переходные периодические составляющие токов i

dп

, i

qп

, i

f п

, i

кdп

, i

кqп

переходные апериодические составляющие токов i

dа

, i

qа

, i

f а

, i

кdа

, i

кqа

и токи контуров складываются из переходных и установившихся то-

ков

(73.8)

где установившиеся токи, соответствующие t = ×, имеют следующие

значения:

[по (73.7)]; i

q у

= 0; i

f у

= i

f н

;

к d у

= i

к q у

= i

к d н

= i

к q н

= 0.

Переходные составляющие токов при коротком замыкании могут

быть определены из системы дифференциальных уравнений для ко-

роткозамкнутых контуров статора, в которые введены ЭДС e

dн

и e

qн

[см. (71.26), (71.44)]:

(73.9)

и уравнений для короткозамкнутых контуров ротора

f п

+ i

f а

) + p(Ψ

f п

+ Ψ

f а

) = 0; (73.10)

(73.11)

dн

dа

dу

++= ; i

qп

qа

qу

++= ;

f п

f а

f у

++= ; i

кd

кdп

кdа

кdу

++= ;

кq

кqп

кqа

кqу

++= ,

⎭

⎪

⎬

⎪

⎫

dу

–

f н

---------

dп

dа

+()p Ψ

dп

dа

+()ωΨ

qп

qа

+()–+ e

dн

qп

qа

+()p Ψ

qп

qа

+()ωΨ

dп

dа

+()++ e

qн

⎭

⎬

⎫

кd

кdп

кdа

+()p Ψ

кdп

кdа

+()+ 0;=

кq

кqп

кqа

+()p Ψ

кqп

кqа

+()+ 0.=

⎭

⎬

⎫

503

При принятых выше допущениях относительно активных сопро-

тивлений контуров эта система распадается на две независимые сис-

темы уравнений: систему уравнений для определения периодических

составляющих и систему уравнений для определения апериодиче-

ских составляющих. Периодические составляющие токов появляют-

ся в контурах под воздействием ЭДС e

dн

и e

qн

, введенных в контуры

статора. В контурах статора эти составляющие должны рассматри-

ваться как вынужденные, в контурах ротора — как свободные состав-

ляющие. Поэтому периодические составляющие можно определить

из следующей системы уравнений:

(73.12)

f п

+ pΨ

f п

= 0; (73.13)

к d

к d п

+ pΨ

к d п

= 0; R

к q

к q п

+ pΨ

к q п

= 0, (73.14)

которую нужно решить при допущении R = 0 и при отсутствии сво-

бодных составляющих в потокосцеплениях Ψ

dп

и Ψ

dп

Апериодические составляющие токов в фазах статора представля-

ют собой свободные затухающие токи, апериодические составляю-

щие токов в контурах ротора могут рассматриваться как вынужден-

ные токи. Потому апериодические составляющие токов должны опре-

деляться из системы однородных дифференциальных уравнений,

правые части которых равны нулю. Формально эту систему можно

получить, вычитая из уравнений для переходных составляющих

(73.9)—(73.11) уравнения для периодических составляющих соответ-

ствующих контуров (73.12)—(73.14):

d а

+ pΨ

d а

– ωΨ

q а

= 0; Ri

q а

+ pΨ

q а

+ ωΨ

d а

= 0; (73.15)

f а

+ pΨ

f а

= 0; (73.16)

к d

к d а

+ pΨ

к d а

= 0; R

к q

к q а

+ pΨ

к q а

= 0. (73.17)

73.3. Периодичесие составляющие тоов

Периодические составляющие токов определяются из системы

(73.12)—(73.14) при внезапном введении в короткозамкнутые конту-

ры статора постоянных ЭДС e

dн

и e

qн

, которые рассчитываются,

исходя из начального режима (73.1), (73.2) при t ≥ 0 и равны нулю

при t < 0.

dп

pΨ

dп

ωΨ

qп

–+ e

dн

ωΨ

qн

;==

qп

pΨ

qп

ωΨ

dп

++ e

qн

– ωΨ

dн

;==

⎭

⎬

⎫

504

Поскольку потокосцепления контуров статора Ψ

dп

и Ψ

qп

не содер-

жат свободных составляющих (включенных в потокосцепления Ψ

dа

qа

), а активное сопротивление якоря, не оказывающее влияния на

периодические составляющие, может быть принято равным нулю

(R = 0), уравнения (73.12) удовлетворяются только при условии

pΨ

dп

= pΨ

qп

= 0 и принимают вид:

(73.18)

В этих уравнениях токи i

dп

, i

qп

представляют собой переходные

периодические составляющие токов контуров статора, обусловлен-

ные свободными составляющими токов ротора (i

f п

, i

кd

, i

кq

) и затухаю-

щие вместе с ними. Токи i

d×

и i

q×

появляются в контурах статора

после затухания (при t = ×) свободных токов в контурах ротора и

переходных токов в контурах статора. Из (73.18), полагая i

dп

= i

qп

= i

f п

= i

кdп

= i

кqп

= 0, находим:

d ×

= –Ψ

d н

/ L

; i

q ×

= –Ψ

q н

/ L

. (73.19)

Переходные периодические составляющие токов находятся из ре-

шения системы однородных дифференциальных уравнений, вклю-

чающих (73.13), (73.14) и уравнения, полученные из (73.18) после

исключения из них токов i

d×

и i

q×

d п

+ (i

f п

+ i

к d

= 0; i

q п

+ i

к q

= 0. (73.20)

Машина без демпферной обмотки. Найдем периодические со-

ставляющие токов сначала для машины без демпферной обмотки. В

этом случае i

кdп

= i

кqп

= 0 и, как видно из (73.20), i

qп

= 0. Поэтому дос-

таточно рассмотреть (73.20) только для продольной оси и (73.13)

d п

+ i

f п

= 0; R

f п

+ p(i

f п

+ i

d п

) = 0. (73.21)

Решение такой системы однородных уравнений было уже получе-

но в § 72.2 при анализе переходных процессов, связанных с измене-

нием возбуждения в машине без демпферной обмотки при коротко-

замкнутой обмотке статора:

, (73.22)

где — постоянная времени обмотки возбуждения при ко-

роткозамкнутой обмотке статора.

dп

d×

dп

+()L

fп

кd

+()L

+ – Ψ

dн

;==

qп

q×

qп

+()L

кq

+ – Ψ

qн

.==

⎭

⎬

⎫

f п

f 1

– tT

′

⁄

′

⁄=

505

Из (73.21), кроме того, следует, что

. (73.23)

Неизвестные начальные значения периодических составляющих

токов возбуждения и статора находим, используя (73.13) при t = 0,

когда поле, образованное током статора, еще не проникло в контур

возбуждения и его потокосцепление равно нулю:

f п(t = 0)

= L

f 1

+ L

d ×

+ i

d 1

) = 0.

Из этого условия выразим начальный ток возбуждения через на-

чальный ток статора

f 1

= –L

d ×

+ i

d 1

)/L

и введем этот ток в (73.18) для продольной оси при t = 0,

откуда

, (73.24)

где

;

— переходная индуктивность обмотки статора по продольной оси.

Такой индуктивностью обладает обмотка статора, когда магнит-

ное поле, образованное внезапно появившимся в ней током (i

d×

+ i

не сцеплено со сверхпроводящей обмоткой возбуждения и замыкает-

ся через проводимости для ее полей рассеяния. Картина такого поля

и схема замещения, обладающая индуктивностью , показаны на

рис. 73.1. Поскольку < L

, переходная индуктивность обмотки

статора по продольной оси всегда меньше индуктивности L

Из (73.19), (73.24) следует, что

dп

–

---------

f п

– t / T

′

d×

+()L

---------

d×

+()––Ψ

dн

d×

+ –

dн

′

----------

′

adf

′

+= L

adf

′

fσ

--------

---------

⎝⎠

⎛⎞

1–

′

adf

′

–

dн

′

----------

d×

+ – Ψ

dн

′

------

–

⎝⎠

⎛⎞

506

и записываем выражение для периодической составляющей тока ста-

тора в машине без демпферной обмотки

. (73.25)

Эта составляющая представляет собой разность начального и ко-

нечного значений продольного тока, затухающую с постоянной вре-

мени .

Машина с демпферной обмоткой. Продольная ось. В этом слу-

чае для определения переходных периодических составляющих то-

ков приходится рассмотреть полную систему однородных дифферен-

циальных уравнений, включающую оба уравнения (73.20) и уравне-

ния для короткозамкнутых контуров ротора (73.13), (73.14). Эта сис-

тема распадается на две независимые системы уравнений для про-

дольных и поперечных составляющих токов.

Продольные переходные периодические составляющие токов

должны удовлетворять системе уравнений:

(73.26)

Выразив из первого уравнения ток статора

(73.27)

и введя этот ток вo второе и третье уравнения, получим систему урав-

нений:

(73.28)

;

abf

;

Рис. 73.1. Схема замещения и картина

поля для определения переходной ин-

дуктивности обмотки статора (в ма-

шине без демпферной обмотки)

dп

– Ψ

dн

′

------

–

⎝⎠

⎛⎞

– tT

′

⁄

′

dп

f п

кdп

+()L

+ 0;=

f п

p[i

f п

dп

кdп

+()L

+ ]+ 0;=

кd

кdп

p[i

кdп

кd

dп

f п

+()L

+ ]+ 0.=

⎭

⎪

⎬

⎪

⎫

dп

– i

f п

кdп

+()

---------

f п

′

f п

′

кdп

+()+ 0;=

кd

кdп

′

кdп

′

f п

+()+ 0,=

⎭

⎬

⎫

507

решение которой уже получено в § 72.2 при анализе переходных про-

цессов, связанных с изменением возбуждения в машине с демпфер-

ной обмоткой при короткозамкнутой обмотке статора [см. (72.37),

(72.40)].

Свободные токи в контурах ротора содержат «медленную» и «бы-

струю» составляющие

, (73.29)

затухающие соответственно с постоянными времени и , кото-

рые рассчитываются по (72.37).

«Медленные» составляющие токов, затухающие с постоянной вре-

мени , в теории синхронных машин принято называть переходны-

ми; «быстрые» составляющие токов, затухающие с постоянной вре-

мени — сверхпереходными. Соответственно постоянная

времени называется «постоянной времени затухания переходных

токов по продольной оси» и обозначается ; меньшая постоянная

времени называется «постоянной времени затухания сверхпереход-

ных токов по продольной оси» и обозначается

; , (73.30)

где σ′, , — см. (72.34)—(72.36).

Рассматривая (73.27), (73.29) совместно, замечаем, что продоль-

ный ток статора также содержит «медленную» и «быструю» состав-

ляющие, затухающие с теми же постоянными времени:

, (73.31)

где

d 1

= –(i

f 1

+ i

к d 1

/ L

; i

d 2

= –(i

f 2

+ i

к d 2

/ L

Неизвестные начальные значения токов в продольных контурах

статора и ротора при t = 0

(73.32)

f п

f 1

– t / T

′

f 2

– t / T

′

;+=

кdп

кd1

– t / T

′

кd2

– t / T

′

,+=

⎭

⎪

⎬

⎪

⎫

′

большая

′

″

′

кd

′

+== T

′

″

σ′T

кd

′

кd

′

dп

– t / T

′

– t / T

′

d×

dп t 0=()

+ i

d×

;++==

f 0

f п t 0=()

f 1

f 2

+== ; i

кd0

кdt 0=()

кd1

кd2

+==

⎭

⎬

⎫

508

найдем, используя (73.18) при t = 0, когда поле, образованное током

статора, еще не проникло в роторные контуры и его потокосцепления

с роторными контурами равны нулю:

Из этих уравнений выразим токи i

f 0

и i

кd0

; (73.33)

и, введя эти токи в (73.18) при t = 0

d 0

+ (i

f 0

+ i

к d 0

= –Ψ

d н

найдем начальный ток в продольном контуре статора

где

(73.34)

— сверхпереходная индуктивность обмотки статора по продольной

оси.

Такой индуктивностью обладает обмотка якоря, когда магнитное

поле, образованное внезапно появившимся в ней током i

, не сцепле-

но со сверхпроводящими роторными контурами и замыкается через

проводимости для полей рассеяния этих контуров. Картина такого

поля и схема замещения, обладающая индуктивностью , показаны

на рис. 73.2. Из (73.32), (73.34) следует, что начальный продольный

ток выражается через сверхпереходную индуктивность

. (73.35)

По аналогии с этим начальный продольный ток, складывающийся

из установившегося тока i

d×

и начального значения «медленной»

f п t 0=()

f 0

к0

+()+ 0;==

кdt 0=()

кd

кd0

f 0

+()+ 0.==

f 0

–

кd

–

кd

–

----------------------------------

= i

кd0

–

кd

–

--------------------------------

–

dн

″

----------

″

f σ

---------

кdσ

------------

---------

⎝⎠

⎛⎞

1–

+ L

″

+==

″

d×

++ –

dн

″

----------

509

(переходной) составляющей, выражается через переходную индук-

тивность обмотки статора

. (73.36)

Переходная индуктивность обмотки статора определяется по

потокосцеплению статора, образованному начальными значениями

медленно затухающих токов в продольных контурах обмотки стато-

ра (i

d×

+ i

), обмотки возбуждения (i

f 1

) и демпферной обмотки

( ). В машине без демпферной обмотки индуктивность =

по (73.24).

Рассматривая (73.35), (73.36) совместно с (73.19), находим:

; . (73.37)

Для определения переходной индуктивности необходимо найти

начальные значения «медленных» составляющих токов роторных

контуров (i

f 1

и i

к d 1

). Выразим предварительно из (73.32) токи ро-

торных контуров через начальные значения «медленных токов» i

f 1

и i

к d 1

(73.38)

и введем эти токи в уравнения роторных контуров (73.28). Имея в ви-

ду, что уравнения будут удовлетворяться на всех стадиях процесса

²dU

;

²dU

²d

;

;

Рис. 73.2. Схема замещения и

картина поля для определения

сверхпереходной индуктивности

обмотки статора по продольной

оси

кd

′

d×

+ –

dн

кd

′

----------

кd

′

кd1

′

кd

′

– Ψ

dн

кd

′

---------

------

–

⎝⎠

⎛⎞

= i

– Ψ

dн

″

------

кd

′

---------

–

⎝⎠

⎛⎞

f п

f 1

– t / T

′

f 0

f 1

–()e

– t / T

′

;+=

кdп

кd1

– t / T

′

кd0

кd1

–()e

– t / T

′

⎭

⎪

⎬

⎪

⎫