Иванов-Смоленский А.В. Электрические машины т 2

Подождите немного. Документ загружается.

450

где

Аналогичные соотношения записываются для токов

; , (70.18)

где

При этом коэффициенты затухания p

, p

рассчитываются в общем

случае с помощью (70.12). Действительная и мнимая части p

и p

существенно зависят от угловой скорости ротора ω.

В частных случаях при неподвижном роторе (ω = 0) их можно рас-

считать по (70.13), (70.14), а при угловой скорости ротора, близкой к

синхронной, — по (70.15), (70.16).

Установившиеся значения потокосцеплений определяются из

(70.8) при t = ×.

Имея в виду, что установившиеся потокосцепления изменяются

гармонически, можно записать их результирующие комплексные

функции в осях статора

Тогда, заметив, что

получим из (70.8) следующие уравнения напряжений для установив-

шегося режима в осях статора:

(70.19)

где s = (ω

– ω)/ω

— скольжение.

∼

1с

∼

1а

∼

1п

+=Ψ

∼

2с

∼

2а

∼

2п

∼

1у

∼

1с

+= I

∼

2у

∼

2с

∼

1с

∼

1а

∼

1п

+= I

∼

2с

∼

2а

∼

2п

∼

–

jω

=Ψ

∼

–

jω

∼

jω

∼

jω

∼

+()Ψ

∼

– U

∼

– k

∼

sj s

+()Ψ

∼

+ 0,=

⎭

⎪

⎬

⎪

⎫

451

Решая уравнения системы (70.19) совместно, получаем

(70.20)

Приближенно при R

= 0 и s

= 0

С помощью (70.5) легко найти установившиеся токи

(70.21)

Для определения четырех неизвестных комплексных коэффициен-

тов в выражениях для свободных составляющих потокосцепления

или токов в (70.17) или (70.18) используются заданные начальные

условия при t = 0. Подставив заданные начальные условия, например,

для потокосцеплений в (70.17)

(70.22)

получаем два из четырех необходимых уравнения.

Еще два уравнения получаем, имея в виду, что однородные диф-

ференциальные уравнения (70.11) должны удовлетворяться как для

апериодических, так и для периодических составляющих потокосцеп-

лений. Вводя в первое из (70.11) апериодические составляющие

∼

1у

∼

js+()

jω

[ s

+()js σs

–()]+

-----------------------------------------------------------------------------------------

;==

∼

2у

∼

jω

[ s

+()js σs

–()]+

-----------------------------------------------------------------------------------------

.==

⎭

⎪

⎬

⎪

⎫

∼

jω

---------

=Ψ

∼

jω

js+()

----------------------------------

∼

1у

∼

σs

js+()

jω

′

[ s

+()js σs

–()]+

------------------------------------------------------------------------------------------------

;==

∼

2у

∼

– k

js()

jω

′

[ s

+()js σs

–()]+

------------------------------------------------------------------------------------------------

.==

⎭

⎪

⎬

⎪

⎫

∼

1н

∼

1у

∼

1а

∼

1п

;++==

t 0=()

∼

2н

∼

2у

∼

2а

∼

2п

,++==

t 0=()

⎭

⎪

⎬

⎪

⎫

452

, , а во второе из (70.11) периодические составляющие

и , после сокращения на или получаем

(70.23)

где

21а

= ( p

+ s

k 1

)/(k

k 1

);

12п

= ( p

+ s

k 2

– jω)/(k

k 2

При угловой скорости ротора, близкой к синхронной (ω ≈ ω

), со-

отношения между потокосцеплениями существенно упрощаются. В

этом случае по (70.15), (70.16) найдем

21а

= jk

k 1

+ s

k 2

)

/(4s

k 1

ω) ≈ jk

k 2

/ ω;

12п

= – jk

k 1

+ s

k 2

)

/(4s

k 2

ω) ≈ – jk

k 1

/ ω.

Здесь при получении приближенных соотношений использована

замена , которая получается тем точнее, чем

меньше отличаются друг от друга s

и s

. Рассматривая (70.22) и

(70.23) совместно, находим коэффициенты

(70.25)

затем по (70.23) — коэффициенты и . Если перед включени-

ем токи в обмотках отсутствовали ( = = = = 0), то из

(70.25) получим

(70.26)

Токи , или их отдельные составляющие могут быть найдены

по (70.5). Из уравнений (70.26), (70.5) можно выразить коэффициенты

∼

1а

∼

2а

∼

1п

∼

2п

∼

2а

∼

1а

+()/ k

()k

21а

∼

1а

;==

∼

1п

∼

2п

jω–+()/ k

()k

12п

∼

2п

,==

⎭

⎬

⎫

70.24()

+()2⁄ s

≈

∼

2п

21а

∼

1н

∼

1у

–()Ψ

∼

2н

∼

2у

]––/k

12п

21а

1–();=

∼

1а

12п

∼

2н

∼

2у

–()Ψ

∼

1н

(Ψ

∼

1у

)]––/k

12п

21а

1–(),=

⎭

⎬

⎫

∼

1п

∼

2а

∼

1н

∼

2н

∼

1н

∼

2н

∼

2п

∼

2у

21а

∼

1у

–()/ k

12п

21а

1–();=

∼

1а

∼

1у

12п

∼

2у

–()/ k

12п

21а

1–().=

⎭

⎪

⎬

⎪

⎫

∼

453

свободных составляющих токов , , , в (70.18) через за-

данные начальные и установившиеся токи , , , :

(70.27)

Пример 70.1. Рассмотреть включение в сеть асинхронного двига-

теля со следующими данными: f

= 50 Гц; ω

= 2π f

= 314 рад/c;

= 3; ω

1σ

= 0,11; ω

2σ

= 0,14; = 0,2441; = 0,2465;

= 0,02441; R

= 0,03696; s

= 0,1; s

= 0,15; k

= 0,9646; k

= 0,9554;

σ = 0,0785 (все величины, кроме f

и ω

, выражены в относительных

единицах). Двигатель вращается cо скоростью ω = ω

(1 – s), которая

остается постоянной в течение всего переходного процесса. Скольже-

ние s = 0,03794. Напряжение сети принять номинальным и равным

= 1.

Комплексная функция напряжения в осях α, β равна =

= , где U

= 1. В синхронных осях +, +j, вращающихся

со скоростью ω

, действительная ось которых при t = 0 повернута от-

носительно оси α (или оси фазы А) на угол (– π/ 2), напряжение изо-

бражается комплексом = 1. Комплекс показан на рис. 70.2 сов-

падающим с действительной осью синхронной комплексной плос-

кости.

∼

1а

∼

1п

∼

2а

∼

2п

∼

1н

∼

2н

∼

1у

∼

2у

∼

1а

1 k

21а

–()

σ k

12п

21а

1–()

-----------------------------------------

1 k

12п

–()I

∼

1у

∼

1н

–()+=

-----

12п

–()I

∼

2у

∼

2н

–()+ ;

∼

1п

12п

–()

σ k

12п

21а

1–()

-----------------------------------------

21а

–()I

∼

1у

∼

1н

–()+=

-----

1 k

21а

–()I

∼

2у

∼

2н

–()+ ;

∼

2а

∼

1а

21а

–()

1 k

21а

–()

-------------------------------------

∼

2п

∼

1п

1 k

12п

–()

12п

–()

--------------------------------------

⎭

⎪

⎬

⎪

⎫

′

∼

j ω

t π/2–()

∼

454

Направление оси фазы А (или оси α) характеризуется в синхрон-

ной плоскости единичной комплексной функцией =

= . При t = 0 эта функция совпадает с мнимой осью

(она равна ). В произвольный момент t ее направление опреде-

ляется относительным временем t/ T

= ω

t /(2π), выраженным в до-

лях периода T

= 2π/ω

= 1/f

. Шкала относительного времени дана

на геометрическом месте концов единичного комплекса фазы А, по-

казанном в виде окружности на рис. 70.2. Предусматривается, что до

включения тока в обмотках отсутствовали: I

1ном

= I

2ном

= 0.

Установившиеся токи рассчитываются по (70.21):

При выбранном скольжении эти токи близки к номинальным. По

(70.24) определяются необходимые вспомогательные коэффициен-

ты k

21а

= j 0,1505 и k

12п

= –j 0,0993, а затем по (70.27) и сами коэф-

фициенты свободных составляющих токов: ; =

= ; ; .

0,2

0,4

1,4

1,6

0,1

0,3

0,5

0,6

0,5

0,8

0,7

1,8

1,4

1п

1max

1а

1п

I=1

(+)

1,2

Рис. 70.2. Изменение токов в процессе включения вращающегося асинхронного

двигателя [ω = ω

(1 – s); s = 0,0394]

j π/2 ω

t–()

2πj 0,25 ω

t 2π()⁄–()

jπ/2

∼

1у

1,029e

– j0,5354

= I

∼

2у

0,9391e

j2,907

∼

1а

4,218e

j1,533

= I

∼

1п

3,843e

j π 1,291+()

∼

2а

4,038e

– j1,62

= I

∼

2п

3,98e

j1,283

455

Корни характеристического уравнения для решения в осях α, β

вычисляются по (70.15) и (70.16):

= p

а α

+ jp

а β

; p

= p

п α

+ jp

п β

где

а α

= –31,4 рад/с; p

п α

= –47,1 рад/с;

а β

= 4,701 рад/с; p

п β

= 297,5 рад/с.

Корни характеристического уравнения для решения в синхронных

осях +, +j определяются с учетом скорости перемещения синхронной

плоскости относительно неподвижной:

а0

= p

а α0

+ jp

а β0

; p

п0

= p

п α0

+ jp

п β0

где

а α0

= p

а α

= –31,4 рад/с; p

п α0

= p

п α

= –47,1 рад/с;

а β0

= p

а β

– ω

= 4,701 – 100π = –309,5 рад/с;

п β0

= p

п β

– ω

= 297,5 – 100π = –16,55 рад/с.

Полные токи в переходном процессе по (70.18), представленные в

синхронных осях:

;

Геометрические места вектора тока статора и его составляю-

щих показаны на рис. 70.2. О перемещении комплексов по геометри-

ческим местам можно судить по приведенной шкале относительных

времен t/T

= 0; 0,2; 0,4; … Видно, что при t = 0 ток = 0; при t =

= 0,42T

ток достигает максимального значения i

1max

= 5,8, а затем

(по мере затухания апериодической и периодической

составляющих тока) ток асимптотически приближается

к установившемуся значению тока .

Для определения тока фазы А (или составляющей по оси α) ток

или его составляющие необходимо спроектировать на направление

фазы A:

∼

1у

∼

1а

а0

∼

1п

п0

++=

∼

2у

∼

2а

а0

∼

2п

п0

++=

∼

1а

а0

∼

1п

п0

∼

1у

∼

Re I

∼

j ω

t π /2–()

456

Осциллограмма тока фазы А, полученная по АВМ для заданных

условий включения, приведена на рис. 70.3. Найденное по осцилло-

грамме отношение максимального тока к амплитуде установившего-

ся тока I

1max

/ I

1у

= 5,71/1 = 5,71 хорошо совпадает с расчетным значе-

нием этого отношения I

1max

/ I

1у

= 5,8/1,029 = 5,63.

Для выражения электромагнитного вращающего момента в отно-

сительных единицах запишем (69.46) в синхронных осях

и представим в долях базисного момента

тогда

, (70.28)

где

Вводя в (70.28) рассчитанные ранее в относительных единицах то-

ки , и индуктивное сопротивление = , можно по-

строить кривую изменения электромагнитного момента в переход-

ном процессе. На рис. 70.4 представлена та же кривая, рассчитанная

на АВМ. Из рисунка видно, что наибольший момент превосходит в

3,9 раза установившийся момент.

1max

= 5,7

max

=3,9

Рис. 70.3. Осциллограмма тока ста-

тора при включении вращающего-

ся асинхронного двигателя [ω =

=ω

(1 – s); s = 0,0394]

Рис. 70.4. Осциллограмма электромаг-

нитного момента при включении вра-

щающегося асинхронного двигателя [ω =

= ω

(1 – s); s = 0,0394]

–()

-----------------------------------------------------------

------------------

Im I

∼

()==

ном

-----------

1ном

2ω

---------------------------------------

-------

Im I

∼

()

–()

---------------------------------------------------------------

== =

()I

1ном

-----------------------------------

()

∼

()

457

70.5. Переходный процесс при симметричном оротом

замыании обмоти статора асинхронной машины

Проанализируем короткое замыкание, которое происходит из ус-

тановившегося начального режима без предварительного разрыва це-

пи обмотки статора. Переходный процесс при таком коротком замы-

кании может рассматриваться как включение AM, по обмоткам кото-

рой протекают начальные токи и , на напряжение = 0.

Такой подход дает возможность применить для анализа процесса

короткого замыкания математическое описание процесса включения

(см. § 70.4) Если заданы параметры машины, напряжение и

скольжение s в начальном установившемся режиме, то установив-

шиеся токи в этом режиме и , являющиеся одновременно

начальными токами для процесса короткого замыкания, легко могут

быть рассчитаны по (70.21).

Пример 70.2. Для асинхронного двигателя с такими же данными,

как в примере 70.1, рассмотреть переходный процесс при симметрич-

ном коротком замыкании из установившегося режима с напряжением

= 1 и скольжением s = 0,03794.

Токи в этом установившемся режиме, играющие роль начальных

токов в рассматриваемом переходном процессе, найдены в примере

70.1:

= ; = .

Токи, устанавливающиеся после завершения переходного процес-

са при котором замыкании (или включения на напряжение = 0),

очевидно, равны нулю: = ; = =

= .

Используя эти исходные данные и результаты § 70.4, нетрудно по

(70.27) найти коэффициенты свободных составляющих токов. Для

двигателя с данными § 70.4 коэффициенты свободных составляющих

при коротком замыкании будут отличаться от соответствующих коэф-

фициентов при включении только по знаку (см. выше):

;;

∼

1н

∼

2н

∼

1у0

∼

2у0

∼

1н

∼

1у0

1,029е

– j0,5354

= I

∼

2н

∼

2у0

0,9391е

j2,907

∼

1н

∼

1у0

1,029е

– j0,5354

= I

∼

2н

∼

2у0

0,9391е

j2,907

∼

1а

– 4,218e

j1,538

= I

∼

1п

– 3,843e

j π 1,291+()

∼

2а

– 4,038e

j1,62

= I

∼

2п

–3,98e

j1,283

458

Полные токи в переходном процессе короткого замыкания по

(70.18), представленные в синхронных осях:

где p

а0

, p

п0

— корни характеристического уравнения, найденные в

§ 70.4.

Эти полные токи складывают из свободных составляющих, отли-

чающихся только знаками от свободных составляющих при включе-

нии. С этой оговоркой изменение тока статора при коротком замыка-

нии может быть определено по диаграмме на рис. 70.2, если отбро-

сить на ней ток . Поскольку ток играет сравнительно неболь-

шую роль, максимальный ток статора при коротком замыкании полу-

чится почти таким же, как при включении; он превосходит ток на-

чального установившегося режима в I

1max

1н

= 5,2 раза.

∼

1а

а0

∼

1п

п0

+= I

∼

2а

а0

∼

2п

п0

∼

1у

∼

1у

459

Глава семьдесят первая

МАТЕМАТИЧЕСКОЕ ОПИСАНИЕ ПЕРЕХОДНЫХ

ПРОЦЕССОВ И АСИНХРОННЫХ РЕЖИМОВ

В СИНХРОННЫХ МАШИНАХ

71.1. Формлирова задачи. Допщения

Рассматривается трехфазная синхронная машина с полной демп-

ферной обмоткой и продольной обмоткой возбуждения. Машина может

иметь ротор явнополюсного или неявнополюсного исполнения.

При переходных процессах или асинхронных режимах (ω ≠ ω

)

вследствие изменения потокосцеплений индуктируются ЭДС не толь-

ко в фазах обмотки статора, но и в роторных контурах: контурах

демпферной обмотки и в контуре обмотки возбуждения*. Под воздей-

ствием этих ЭДС в контурах ротора возникают токи, причем ток, ин-

дуктированный в обмотке возбуждения, накладывается на постоян-

ный ток возбуждения.

Для определения токов в роторных контурах нужно уметь рассчи-

тывать их активные сопротивления и индуктивные параметры (ин-

дуктивности, взаимные индуктивности с другими контурами статора

и ротора). Токи, индуктированные в роторных контурах, принимают

участие в образовании магнитного поля взаимной индукции и пото-

косцеплений с фазами обмотки статора. Для расчета этих потокосце-

плений нужно знать взаимные индуктивности роторных контуров с

фазами обмотки статора.

В целях упрощения расчетов и возможности получения аналити-

ческого описания переходных процессов примем следующие допу-

щения:

относительная магнитная проницаемость стальных участков маг-

нитной цепи бесконечно велика (μ

= ×);

при расчете магнитного поля взаимной индукции учитываются

только основные ( p-периодные) гармонические радиальной состав-

ляющей индукции в зазоре.

* В неявнополюсных машинах роль демпферной обмотки выполняют пазовые клинья и

массивный магнитопровод ротора.