Иванов-Смоленский А.В. Электрические машины т 2

Подождите немного. Документ загружается.

440

откуда

где T

= L

— постоянная времени обмотки ротора при разомкну-

той обмотке статора.

Постоянная интегрирования определяется из начального усло-

вия при t = 0

Окончательно результирующий комплекс тока ротора выражается

в виде

.(70.2)

Его физический смысл наиболее понятен при использовании сис-

темы осей d, q, вращающихся со скоростью ротора ω

= ω. В осях

ротора комплекс затухает с постоянной времени T

оставаясь неподвижным по отношению к ротору. Результирующему

комплексу соответствует система апериодически затухающих то-

ков в фазах ротора

;;,

где

;;

— начальные значения токов.

В осях статора α, β угловая скорость ω

= 0, результирующая ком-

плексная функция тока ротора

вращается со скоростью ротора ω, поскольку именно с этой скоро-

стью перемещается относительно статора МДС, образованная апе-

риодически затухающими токами в фазах ротора.

Как видно из уравнения (69.41), записанного в осях α, β, т.е. при

= 0, поле токов ротора индуктирует в разомкнутой обмотке статора

напряжение

,(70.3)

–

--------

j ω

ω–()–=

–

∼

2н

–

∼

2н

– t / T

– j ω

ω–()t

∼

2н

– t / T

∼

2aн

– t / T

= i

2bн

– t / T

= i

2cн

– t / T

2aн

Re[ I

∼

2н

]= i

2bн

Re[ I

∼

2н

–

]= i

2cн

Re[ I

∼

2н

–

∼

2н

– tT

⁄

jωt

∼

d Ψ

∼

----------

∼

1н

– tT

⁄

jωt

441

где

;;

Это напряжение изменяется с угловой скоростью ротора ω, а его

амплитуда затухает с постоянной времени T

70.3. Переходные процессы при оротозамнтой

или влюченной в сеть обмоте статора

Запись уравнений напряжений через потокосцепления. В этом

случае для исследования переходных процессов в комплексной плос-

кости, вращающейся с произвольной скоростью ω

, приходится рас-

смотреть совместно дифференциальные уравнения для статора и ко-

роткозамкнутого ротора (69.41), (69.42). Считая напряжение статора

заданным и выражая потокосцепление через токи по (69.43а), получа-

ем систему уравнений для определения неизвестных токов

(70.4)

Однако предпочтительнее оказывается система уравнений, состав-

ленная для неизвестных потокосцеплений. Чтобы ее получить, выра-

зим токи через потокосцепления по (69.43а):

(70.5)

В этих уравнениях

— переходная индуктивность обмотки статора при короткозамкнутой

обмотке ротора [аналогичная переходной индуктивности в син-

хронной машине, см. (73.24)];

— переходная индуктивность обмотки ротора при короткозамкнутой

обмотке статора [аналогичная переходной индуктивности в син-

хронной машине, см. (72.23)];

∼

2н

– t / T

jωt

== Ψ

∼

1н

∼

2н

∼

1н

jω

--------

–

⎝⎠

⎛⎞

∼

1н

jωΨ

∼

1н

≈=

pjω

+()L

]+ I

∼

pjω

+()L

∼

+ U

∼

[pjω

ω–()]+ L

∼

pjω

jω–+()L

]+ I

∼

+ 0.=

⎭

⎬

⎫

∼

–()/ L

′

∼

–()/ L

′

⎭

⎬

⎫

′

1–

– L

1σ

2σ

1–

+()

1–

+σL

== =

′

1–

– L

2σ

1σ

1–

+()

1–

+σL

== =

′

442

— коэффициент связи статора;

— коэффициент связи ротора;

— результирующий коэффициент

связи;

— коэффициент рассеяния статора;

— коэффициент рассеяния ротора;

— результирующий коэффициент

рассеяния.

Вводя (70.5) в (69.41), (69.42), получаем систему дифференциаль-

ных уравнений для потокосцеплений статора и ротора:

(70.6)

Прямо через потокосцепления, не определяя токи, можно выра-

зить и электромагнитный момент. Вводя в (69.44) ток , представ-

ленный в функции потокосцеплений по (70.5), и имея в виду, что

= 0, получаем

.(70.7)

В неподвижных осях α, β (при ω

= 0) уравнения (70.6) имеют вид:

(70.8)

где

;;

— постоянная времени обмотки статора при короткозамкнутой

обмотке ротора; — постоянная времени обмотки ротора при ко-

1–

1 σ

–==

1–

1 σ

–==

()

1–

1 σ–== =

1σ

1–

1 k

–==

2σ

1–

1 k

–==

σ 1 L

()

1–

–1k–==

′

()

1–

pjω

]++ Ψ

∼

′

()

1–

∼

– U

∼

– k

′

()

1–

∼

′

()

1–

pjω

ω–()]++ Ψ

∼

+ 0.=

⎭

⎪

⎬

⎪

⎫

∼

Im Ψ

∼

---------

Im Ψ

∼

–

′

--------------

Im Ψ

∼

σL

------------

∼

–()

--------------------------------------------

== =

+()Ψ

∼

– U

∼

– k

∼

jω–+()Ψ

∼

+ 0,=

⎭

⎪

⎬

⎪

⎫

′

()

1–

′

------

==s

′

()

1–

′

------

′

443

роткозамкнутой обмотке статора (аналогична или , см. § 72.3);

— критическое скольжение, соответствующее мак-

симальному моменту, при питании со стороны ротора и короткозамк-

нутом статоре; — критическое скольжение, соот-

ветствующее максимальному моменту, при питании со стороны ста-

тора и короткозамкнутом роторе [в ч. 4 это скольжение вычислялось

по (43.13)].

Составляющие токов и потокосцеплений. При внезапном появле-

нии напряжения ( = 0 при t < 0 и при t ≥ 0) и по-

стоянной угловой скорости ротора ω решение системы дифференци-

альных уравнений (70.8) представляется для каждого из неизвестных

потокосцеплений в виде суммы двух составляющих установившегося

значения ( или ) и свободной составляющей ( или )

; . (70.9)

Таким же образом в результате решения системы (70.4) или с по-

мощью (70.5) могут быть выражены токи статора и ротора:

При этом установившиеся значения потокосцеплений или токов

находятся путем решения системы (70.4) или (70.8) при t = ×. Сво-

бодные составляющие соответствуют решениям систем (70.4) или

(70.8) при = 0. Эти решения представляются в виде суммы двух

показательных функций. Например, свободные составляющие пото-

косцеплений определяются как

(70.10)

где , — начальные значения свободных потокосцеплений, со-

ответствующие корню характеристического уравнения p = p

; ,

— начальные значения свободных потокосцеплений, соответст-

вующие корню характеристического уравнения p = p

′

()⁄=

′

()⁄=

∼

–

jω

∼

1у

∼

2у

∼

1у

∼

+=Ψ

∼

2у

∼

1у

∼

1с

+= I

∼

2у

∼

2с

∼

1с

∼

1а

∼

1п

;+=

∼

2с

∼

2а

∼

2п

,+=

⎭

⎪

⎬

⎪

⎫

∼

1а

∼

2а

∼

1п

∼

2п

444

Характеристическое уравнение и определение его корней. Ха-

рактеристическое уравнение, корнями которого являются коэффици-

енты затухания p

и p

, получим из системы однородных уравнений,

соответствующих (70.8):

. (70.11)

Исключая из этой системы потокосцепления и , записываем

характеристическое уравнение

и находим его корни

. (70.12)

Будем считать, что при знаке «–» перед корнем p = p

, при знаке «+»

p = p

В общем случае коэффициент затухания представляет собой ком-

плексное число p = p

+ jp

. Поскольку свободная составляющая

выражается в форме

действительная часть определяет постоянную времени ,

коэффициент p

при мнимой части p равен угловой скорости свобод-

ной составляющей относительно неподвижной комплексной плос-

кости α, β.

В нескольких важных частных случаях выражение для p (70.12)

существенно упрощается.

Ротор неподвижен. В этом случае ω = 0 и оба значения p оказыва-

ются действительными числами (p

= 0)

+()Ψ

∼

–0;=

– k

∼

jω–+()Ψ

∼

+ 0.=

⎭

⎪

⎬

⎪

⎫

∼

------

–+

⎝⎠

⎛⎞

σs

------

–

⎝⎠

⎛⎞

++ 0=

–0,5 s

+()ω

0,5jω±+=

± 0,5ω

jωω

1–

––()

41 σ–()s

T – p

1–

– 0,5 s

+()ω

[1∓ 14σs

+()

2–

–]==

445

Имея в виду малость второго члена под квадратным корнем по

сравнению с единицей, можно, не делая заметной ошибки, записать p

еще проще

Взяв в этом выражении знак «+» перед квадратными скобками,

получим значение p, соответствующее быстро затухающей апериоди-

ческой составляющей:

= –(s

+ s

)ω

+ σω

+ s

)

–1

Вводя в формулу типичные значения параметров асинхронной ма-

шины (ω

= 314 рад/с; ω

= 31,4 рад/с; ω

= 47,1 рад/с; k

= 0,9675;

= 0,9525; k = 0,92; σ = 1 – k = 0,08), убедимся в том, что второй член

в этой формуле составляет не более 0,02 первого. Отбросив указан-

ный член, найдем коэффициент затухания быстрого процесса

. (70.13)

Взяв в выражении для p знак «–» перед квадратными скобками, по-

лучим значение p, соответствующее медленно затухающей состав-

ляющей:

, (70.14)

где

;

— постоянные времени обмоток статора и ротора при разомкнутой

другой обмотке (см. § 72.2).

Ротор вращается с произвольной скоростью ω. В этом случае для

упрощения выкладок удобно ввести в (70.12) вместо s

и s

их сред-

нее значение, положив s

= s

, где s

= 0,5(s

+ s

). Тогда при-

ближенно

При медленном вращении ротора, когда , квад-

ратный корень в выражении p является действительным числом и,

следовательно, коэффициенты при мнимой части возможных значе-

ний p совпадают

а β

= p

п β

= 0,5ω.

– 0,5 s

+()ω

{1 ∓ [1 2σs

+()

2–

]}–==

– T

1–

– s

+()– T

′

+()T

′

()

1–

== =

– T

1–

–

σ s

σ+

----------------------------------------------

– T

+()

1–

== =

σω

-------------------

------

′

1–

=== T

σω

-------------------

------

′

1–

===

+ – s

0,5jω ±0,5ω

– ω

2–

41 σ–()s

++≈=

ω 2ω

1 σ–<

446

Это означает, что обе составляющие свободного процесса враща-

ются с одинаковой угловой скоростью, равной половине скорости

ротора. Действительные части p в этом диапазоне скоростей ротора,

наоборот, получаются различными:

;

Составляющая с индексом «а» затухает быстрее, составляющая с

индексом «п» — медленнее. Поскольку

геометрическое место комплекса p (рис. 70.1) представляет собой ок-

ружность с центром в точке (–s

), радиус которой равен .

При быстром вращении ротора, когда , квадратный

корень в выражении p является мнимым числом и, следовательно, дей-

ствительные части обоих корней харак-

теристического уравнения совпадают

а α

= p

п α

= –s

Это означает, что обе составляю-

щие свободного процесса затухают с

одной и той же усредненной постоян-

ной времени

Коэффициенты при мнимой части

p в этом диапазоне скоростей ротора,

наоборот, получаются различными

;

аα

– s

0,5ω

41 σ–()s

2–

–––T

1–

пα

– s

0,5ω

41 σ–()s

2–

–+ – T

1–

+()

+ 1 σ–()s

const==

1 σ–

ω 2ω

1 σ–>

------------

0,5 T

′

+()== =

аβ

0,5ω 0,5ω

×–=

2–

41 σ–()s

–×

–0,2–0,3

0,2

0,4

–0,1

0,1

0,3

0,5

0,6

0,24

0,7

0,8

0,9

1,0

–s

Y

YY

=1,0

Y

1,0

Ç1–U

Рис. 70.1. Геометрическое место корней ха-

рактеристического уравнения p = p

+ jp

при изменении относительной угловой ско-

рости ротора ω/ω

447

Таким образом, результирующие комплексы составляющих сво-

бодного процесса вращаются в этом случае с различными угловыми

скоростями p

и p

пβ

≠ p

аβ

Геометрическое место комплекса p (см. рис. 70.1) представляет со-

бой прямую линию, параллельную мнимой оси. Расстояние от нее до

мнимой оси равно –s

. Прямая пересекает окружность при крити-

ческой угловой скорости . Геометрическое место

комплекса p построено на рис. 70.1 для асинхронной машины с ука-

занными выше параметрами, причем все величины представлены в

относительной форме путем деления на ω

Ротор вращается со скоростью, близкой к синхронной (ω ≈ ω

). В

этом случае можно точно учесть различие между s

и s

. Обратимся

к исходному уравнению для p (70.12) и запишем квадратный корень в

нем в виде , где x << 1. Для этого нужно преобразовать выра-

жение под корнем

воспользовавшись приближенным выражением

–s

)

+ 4(1 – σ)s

= (s

+ s

)

(1 – σ),

погрешность при использовании которого весьма мала (для машины

с указанными параметрами не превосходит 0,3 %); вынести за скобки

и, имея в виду, что при ω/ω

≈ 1 второй и третий члены под корнем

малы по сравнению с первым, использовать приближенное соотноше-

ние . После этих преобразований, представив квад-

ратный корень приближенно в виде

можно получить из (70.12) корни характеристического уравнения:

пβ

0,5ω 0,5ω

2–

41 σ–()s

–+=

ω 2ω

1 σ–=

1 x–

–()

2js

–()ω/ ω

– ω

/ ω

41 σ–()s

+–

– ω

/ ω

------

1 s

–()

1 σ–()ω

/ ω

2js

–()ω

/ ω+–

1 x–1x /2–≈

------

[1 s

+()

1 σ–()ω

/2ω

()– js

–()ω

/ ω]+

448

при знаке «–» перед квадратным корнем

, (70.15)

при знаке «+»

. (70.16)

Из (70.15) видно, что комплекс составляющей переходного про-

цесса с индексом «а» затухает с постоянной времени

т.е. с постоянной времени обмотки статора при короткозамкнутой

обмотке ротора (см. выше), и вращается с весьма малой угловой ско-

ростью p

аβ

в сторону вращения ротора (при ω/ω

≈ 1 и приведенных

выше параметрах p

аβ

= 0,0144ω). Отсюда следует, что составляющая

с индексом «а» соответствует свободной (апериодической) системе

токов (потокосцеплений) в обмотке статора.

Ротор по отношению к полю свободных токов статора вращается

со скоростью

мало отличающейся от скорости ω (при приведенных параметрах

ω – p

аβ

= 0,9856ω). В обмотке ротора индуктируется периодическая

система токов (потокосцеплений), изменяющихся с угловой часто-

той ω – p

аβ

Из (70.16) видно, что комплекс составляющей переходного про-

цесса с индексом «п» затухает с постоянной времени

т.е. с постоянной времени обмотки ротора при короткозамкнутой об-

мотке статора (см. выше), и вращается с угловой скоростью p

пβ

, чуть

меньшей, чем скорость ω ротора [при приведенных выше параметрах

пβ

= 0,9856ω], откуда следует, что составляющая с индексом «п» со-

ответствует системе свободных (апериодических) токов в роторе.

При этом система свободных токов ротора, почти неподвижная отно-

аα

аβ

+ – s

jω 1 σ–()s

+()

/4ω

()+==

пα

пβ

+ – s

jω –+==

jω 1 σ–()s

+()

/4ω

()–

′

– p

аα

1–

1 s

()⁄ L

′

⁄== =

ω p

аβ

– ω[1 1 σ–()s

+()

/4ω

()]–=

′

– p

пα

1–

1/ s

()L

′

/ R

== =

449

сительно ротора, вращаясь вместе с ротором со скоростью p

пβ

, индук-

тирует в обмотке статора периодическую систему токов, изменяю-

щихся с частотой

Связывая название составляющих с характером их изменения в об-

мотке статора, присваивают название периодические составляющие

(индекс «п») как периодически изменяющимся переходным токам (по-

токосцеплениям) в обмотке статора, так и взаимно связанной с ними

системе свободных токов (потокосцеплений) в обмотке ротора.

Точно так же название апериодические составляющие (индекс «а»)

присваивается как системе свободных (апериодических) токов (пото-

косцеплений) в обмотке статора, так и системе периодически изме-

няющихся токов (потокосцеплений), которые индуктируются в об-

мотке ротора, перемещающегося со скоростью ω – p

аβ

относительно

поля системы свободных токов статора.

70.4. Влючение асинхронной машины в сеть

Включение происходит при произвольной угловой скорости рото-

ра ω. При t = 0 обмотка статора присоединяется к сети с напряжением

. В осях статора α, β при t < 0 напряжение = 0, при t ≥ 0 напря-

жение , где .

Предполагается, что угловая скорость во время переходного про-

цесса не изменяется и остается равной ω. Считаются заданными на-

чальные токи и потокосцепления обмоток ( , , , ),

которые имелись при t = 0. В общем случае, если включение происхо-

дит в момент, когда токи после отключения предшествующего режи-

ма еще не затухли (см. § 70.1), начальные ток и потокосцепление

ротора, а также потокосцепление статора могут отличаться от нуля

( , , ), начальный ток в обмотке статора всегда

равняется нулю = 0.

Потокосцепления статора и ротора в переходном процессе опреде-

ляются из системы дифференциальных уравнений (70.8), записанных

в осях статора, и выражаются в виде суммы установившегося значе-

ния величины и свободной составляющей:

; , (70.17)

пβ

ω[1 1 σ–()s

+()

/4ω

()]–=

–

∼

–

jω

= U

–

jϕ

∼

1н

∼

2н

∼

1н

∼

2н

∼

1н

0≠Ψ

∼

2н

0≠ I

∼

2н

0≠

∼

1н

∼

1у

∼

1с

+=Ψ

∼

2у

∼

2с