Иванов-Смоленский А.В. Электрические машины т 2

Подождите немного. Документ загружается.

410

тора F

на две пульсирующие составляю-

щие: F

= F

sin α, направленную по оси

щеток q, и F

= F

cos α, направленную

по оси d, перпендикулярной оси щеток.

Под воздействием МДС F

в обмотке не-

подвижного ротора, как во вторичной об-

мотке трансформатора, индуктируется

трансформаторная ЭДС E

2т

и появляется

ток I

, стремящийся уменьшить попереч-

ное поле статора. Этот ток образует МДС

, направленную противоположно F

Ток I

, взаимодействуя с полем Φ

от про-

дольной составляющей МДС статора F

образует (68.15) вращающий момент М =

= , всегда направлен-

ный в сторону, противоположную пово-

роту щеток из положения α = 0. Посколь-

ку при α = 0 ток I

= 0, поток Φ

= Φ

dmax

а при α = 90°, наоборот, Φ

= 0, ток I

= I

2max

, начальный пусковой мо-

мент при α = 0 и α = 90° обращается в нуль. Максимальный пусковой

момент получается при α = 75—80°. После того как ротор под воздей-

ствием момента М приходит во вращение, в обмотке ротора появля-

ется кроме трансформаторной ЭДС E

2т

еще и ЭДС вращения E

2в

. По-

этому установившийся режим во вращающемся двигателе описыва-

ется следующими уравнениями напряжений:

; (68.17)

. (68.18)

При этом приведенная трансформаторная ЭДС в обмотке ро-

тора (68.14) индуктируется вследствие пульсации с частотой f

ре-

зультирующего поперечного потока Φ

, образованного результирую-

щей поперечной МДС , по-

этому

, (68.19)

где X

— индуктивное сопротивление взаимной индукции между об-

мотками статора и ротора, приведенное к обмотке статора.

βcos()/2

–

––E

–

1т

–

2т

′

–

2в

′

+ I

–

′

–

′

–

2т

′

–

+ F

–

αsin F

–

+ I

–

αsin I

–

′

+==

–

2т

′

– j22f

wΦ

–

– jI

–

αsin I

–

′

+()X

–

Рис. 68.15. Репульсионный

двигатель (двигатель Томп-

сона)

411

Трансформаторная ЭДС в обмотке статора индуктируется

вследствие пульсации результирующей МДС, направленной по оси

обмотки: ~ , поэтому

. (68.20)

Приведенная ЭДС вращения в обмотке ротора образуется при

перемещении ротора с угловой скоростью Ω в продольном поле Φ

образованном МДС ~ . По (68.13) найдем:

, (68.21)

где Ω

= Ω/ Ω

— угловая скорость в относительных единицах; Ω

= 2π f

/p — синхронная угловая скорость при частоте f

Рассматривая (68.17)—(68.21) совместно, находим

(68.22)

где — комплексный коэффициент.

Вращающий момент может быть определен по (68.15), (68.16):

Механические характеристики двигателя напоминают характери-

стики однофазного двигателя с последовательным возбуждением.

В номинальном режиме угол α обычно равен 65—75°. Частота враще-

ния двигателя может регулироваться смещением щеток в пределах

= 0,3— 1,1. Имеются также другие модификации репульсионных

двигателей, из которых наилучшими пусковыми и регулировочными

свойствами обладает двигатель Дери. В отличие от двигателя Томп-

сона этот двигатель имеет двойной комплект короткозамкнутых ще-

ток (т.е. число щеток в 2 раза превышает число полюсов). Рабочие ха-

рактеристики этого двигателя похожи на характеристики двигателя

Томпсона. Однако благодаря облегченным условиям коммутации дви-

гатели Дери могут выполняться на большую мощность (до 200 кВт

при 50 Гц) и могут иметь пределы регулирования Ω

от 0 до 1,1.

–

1т

–

+ F

–

sin α+= I

–

′

αsin+

–

1т

– jI

–

′

αsin+()X

–

2в

′

–

cos α= I

–

αcos

–

2в

′

22fwΦ

–

αcos==

–

′

– I

–

αsin jΩ

αcos+();=

–

/[Z

–

sin

α X

ααcossin–()],–+=

⎭

⎪

⎬

⎪

⎫

–

/ Z

–

′

+()=

ср

2в

′

βcos()/ Ω Re E

–

2в

′

–

′

/ Ω[]==

412

Часть седьмая. ПЕРЕХОДНЫЕ ПРОЦЕССЫ

В ЭЛЕКТРИЧЕСКИХ МАШИНАХ

Переходные процессы происходят при переходе от одного устано-

вившегося режима к другому. Они возникают вследствие изменения

напряжений электрических сетей, сопротивлений обмоток или нагруз-

ки, внешнего вращающего момента, приложенного к валу. Переход-

ные процессы могут быть связаны как с эксплуатационными переклю-

чениями, так и с аварийными изменениями напряжения и сопротивле-

ний, которые возникают при коротких замыканиях в электрических

сетях или в обмотках машин.

Примерами переходных процессов эксплуатационного характера

являются включение в сеть переменного тока и последующий разгон

асинхронных двигателей, асинхронный пуск синхронных двигате-

лей, самосинхронизация синхронных генераторов.

Примерами переходных процессов, возникающих вследствие ава-

рий, являются внезапные симметричные и несимметричные короткие

замыкания синхронных и асинхронных машин.

При переходных процессах в обмотках машин могут появляться

токи, во много раз превосходящие номинальные. Электромагнитный

момент и электромагнитные силы также могут быть во много раз

большими, чем в номинальном режиме. В некоторых случаях могут

появляться недопустимо большие электрические напряжения на от-

дельных элементах электрической машины.

Переходные процессы разделяют на две группы: электромагнит-

ные и электромеханические. Электромагнитными называют переход-

ные процессы, в течение которых частоту вращения машины можно

считать постоянной; электромеханическими — переходные процес-

сы, связанные с существенными изменениями частоты вращения и

кинетической энергии вращающихся частей машины.

Машина должна выдерживать без повреждений ожидаемые пере-

ходные процессы. Теория должна обеспечивать возможность предви-

дения протекания эксплуатационных переходных процессов (напри-

мер, дать ответ на вопрос, при каких условиях процесс самосинхро-

низации завершится втягиванием в синхронизм). Заранее выполнен-

ный расчет аварийного переходного процесса (например, внезапного

короткого замыкания) необходим для наладки автоматической защи-

ты электрических машин, которая отключает их от сети. Теория пере-

ходных процессов в электрических машинах весьма сложна. Здесь

413

рассматриваются лишь важнейшие элементы этой теории примени-

тельно к асинхронным и синхронным машинам обычного исполне-

ния. При этом используются материалы ч. 2 «Общие вопросы теории

машин переменного тока».

Глава шестьдесят девятая

МАТЕМАТИЧЕСКОЕ ОПИСАНИЕ ПЕРЕХОДНЫХ

ПРОЦЕССОВ В АСИНХРОННЫХ МАШИНАХ

69.1. Запись дифференциальных равнений асинхронной

машины через фазные величины

Полная система уравнений переходного процесса должна вклю-

чать в себя дифференциальные уравнения напряжений обмоток и

уравнения движения вращающихся частей машины. При промыш-

ленной частоте 50 Гц обмотки машины рассматриваются как электри-

ческие цепи с сосредоточенными параметрами, так как при этом дли-

на электромагнитной волны много больше линейных размеров обмо-

ток. Здесь рассматривается асинхронная машина с p-периодными

трехфазными симметричными обмотками статора и ротора. Однопе-

риодная модель такой машины изображена на рис. 69.1. Обмотка ста-

тора включается в сеть переменного тока. Обмотка ротора замыкает-

ся на сопротивления. Считаются заданными все величины в началь-

ном установившемся режиме, предшествовавшем переходному про-

цессу: мгновенные значения напряжений и токов в фазах обмоток

1A Σ

, u

1B Σ

, u

1C Σ

, u

2aΣ

, u

2bΣ

, u

2cΣ

, i

1A Σ

1B Σ

, i

1C Σ

, i

2aΣ

, i

2bΣ

, i

2cΣ

) и начальная уг-

ловая скорость ротора Ω. В начальном

режиме электромагнитный момент М

уравновешивается внешним моментом

, приложенным к валу ротора. Угло-

вое ускорение равно нулю (dΩ/dt = 0),

а начальная угловая скорость ротора

постоянна (Ω = const). Переходный

процесс возникает при симметричном

или несимметричном изменении фаз

или амплитуд переменных напряжений

первичной сети, питающей обмотку

статора (например, при изменении ам-

плитуд симметричных составляющих

напряжения прямой , обратной2U

Рис. 69.1. Асинхронная машина

с трехфазными обмотками ста-

тора и ротора (однопериодная

модель)

414

или нулевой последовательности). Этот процесс про-

исходит также при внезапном изменении внешнего момента M

, по-

сле которого нарушается равновесие моментов, появляется ускоре-

ние и устанавливается новое значение частоты вращения.

Для определения токов в переходном процессе должна бить реше-

на при заданных начальных условиях система дифференциальных

уравнений для мгновенных фазных напряжений обмотки статора

(69.1)

и мгновенных фазных напряжений обмотки ротора

(69.2)

В уравнение (69.2) вводятся роторные величины, приведенные к

обмотке статора (индекс приведения «′» обычно опускается). Приве-

дение делается в целях упрощения дальнейших преобразований. При

приведении используются формулы § 41.2.

Если магнитная цепь машины не насыщена, потокосцепления с

фазами обмоток статора и ротора выражаются через токи фаз и соот-

ветствующие индуктивности, например для фазы А статора

1A Σ

= L

AAΣ

1A Σ

+ L

ABΣ

1B Σ

+ L

AC Σ

1C Σ

+ L

2a Σ

+ L

2b Σ

+ L

2c Σ

;(69.3)

для фазы а ротора

2a Σ

= L

aaΣ

2a Σ

+ L

abΣ

2b Σ

+ L

ac Σ

2c Σ

+ L

1A Σ

+ L

1B Σ

+ L

1C Σ

.(69.4)

1AΣ

dΨ

1AΣ

------------------

;+=

1BΣ

dΨ

1BΣ

------------------

;+=

1CΣ

dΨ

1CΣ

------------------

⎭

⎪

⎬

⎪

⎫

2aΣ

dΨ

2aΣ

-----------------

;+=

2bΣ

dΨ

2bΣ

-----------------

;+=

2cΣ

dΨ

2cΣ

-----------------

.+=

⎭

⎪

⎬

⎪

⎫

415

Потокосцепления с другими фазами записываются аналогично.

В уравнения для потокосцеплений входят (см. гл. 28) индуктивности

фаз

(69.5)

взаимные индуктивности между фазами статора

взаимные индуктивности между фазами ротора

и взаимные индуктивности между фазами ротора и статора (L

, L

…). Если учитывать высшие гармонические поля в

зазоре только при расчете индуктивностей и взаимных индуктивно-

стей рассеяния (L

AAσ

, L

ACσ

, …, L

aaσ

, L

acσ

…), то все остальные индук-

тивности и взаимные индуктивности (L

, L

, …, L

, L

…)

связаны только с основными гармоническими поля в зазоре и могут

быть рассчитаны по формулам для главных индуктивностей и взаим-

ных индуктивностей (см. гл. 28). Имея в виду, что все величины рото-

ра должны быть приведены к обмотке статора, в формулы вместо

обмоточных данных ротора подставляются обмоточные данные ста-

тора (w

вместо w

, k

о1

вместо k

о2

, m

вместо m

)*. После приведения

к обмотке статора главные индуктивности всех фаз оказываются оди-

наковыми и не зависящими от углового положения ротора:

= L

ВB

= L

;

,(69.6)

где L

— максимальная приведенная взаимная индуктивность между

фазами статора и ротора.

AAΣ

AAσ

;+=

BBΣ

BBσ

…;+=

aaΣ

aaσ

;+=

bbΣ

bbσ

…,+=

⎭

⎪

⎬

⎪

⎫

ABΣ

ABσ

;+=

ACΣ

ACσ

,+=

abΣ

abσ

;+=

acΣ

acσ

⎭

⎬

⎫

* Здесь и в дальнейшем число периодов обозначается p

во избежание совпадения с

символом оператора дифференцирования p

= d/dt.

4μ

------------

о1

()

τl

δk

--------

416

Главные взаимные индуктивности между фазами статора

= L

= –L

/ 2 (69.7)

и взаимные индуктивности между фазами ротора

= L

= –L

/ 2 (69.8)

также равны друг другу и не зависят от углового положения ротора.

И лишь взаимные индуктивности между фазами ротора и статора

зависят от углового положения ротора, характеризующегося углом γ

между осями фаз A и a:

= L

cosα

;

= L

cosα

;

= L

cosα

и вообще

= L

cosα

,(69.9)

где α

— электрические углы между осями фаз статора k = A, B, C и

осями фаз ротора n = a, b, c, которые имеют следующие значения:

= α

= α = p

γ;

= α

= α + 2π/3;

= α

= α + 4π/3.

При вращении ротора с постоянной скоростью угол между осями

фаз A и a возрастает линейно γ = γ

+ Ω

t, в общем случае

. (69.10)

Если требуется учитывать изменение угловой скорости ротора, к

этим уравнениям необходимо добавить уравнение движения ротора

, (69.11)

в котором J — момент инерции ротора машины*, и уравнение для уг-

ловой скорости ротора

. (69.12)

γγ

Ω dt

∫

+ J

dΩ

--------

* Момент инерции ротора рассчитывают с учетом влияния элементов, приводимых в

движение машиной.

ΩΩ

dΩ

------

⎝⎠

⎛⎞

∫

417

При принятых допущениях электромагнитный момент в (69.11)

выражается через производные индуктивностей обмоток по углу γ и

фазные токи и может быть в общем случае рассчитан по (18.6), в ко-

торое входят только производные взаимных индуктивностей между

одной из фаз ротора и одной из фаз статора:

. (69.13)

Система уравнений, включающая (69.1)—(69.13), исчерпываю-

щим образом описывает переходные процессы в трехфазной асин-

хронной машине, однако ее непосредственное решение затруднитель-

но по двум причинам:

1) система содержит много неизвестных (шесть фаз статора и ро-

тора);

2) в нее входят периодически изменяющиеся взаимные индуктив-

ности L

, L

и др., вследствие чего часть коэффициентов при произ-

водных токов в дифференциальных уравнениях (69.1), (69.2) перио-

дически изменяется в функции времени.

Для того чтобы упростить решение исходной системы уравнений,

прибегают к ее преобразованию, при котором естественные перемен-

ные (токи, потокосцепления, напряжения фаз) выражаются через

другие, более удобные переменные величины.

69.2. Выделение составляющих нлевой

последовательности фазных величин

Если фазные величины содержат составляющие нулевой последо-

вательности, то их нужно предварительно выделить. Например, если

мгновенные токи фаз i

1AΣ

, i

1B Σ

, i

1C Σ

в сумме не равны нулю

1AΣ

+ i

1BΣ

+ i

1CΣ

≠ 0

и содержат ток нулевой последовательности

= (i

1A Σ

+ i

1B Σ

+ i

1C Σ

) / 3, (69.14)

то эти токи следует представить в виде сумм двух составляющих:

токов нулевой последовательности в каждой из фаз i

и токов

= i

1A Σ

– i

, i

= i

1B Σ

– i

, i

= i

1C Σ

– i

которые не содержат токов нулевой последовательности и в сумме

равны нулю

= i

+ i

= (i

1A Σ

+ i

1B Σ

+ i

1C Σ

) –3i

= 0. (69.15)

1kΣ

kABC,,=

∑

2nΣ

dγ

------------

n abc,,=

∑

418

Совершенно так же фазные напряжения (u

1A Σ

, u

1B Σ

, …) и потоко-

сцепления (Ψ

1A Σ

, Ψ

1B Σ

, …) нужно представить в виде сумм нулевых

составляющих (u

, Ψ

) и составляющих (u

= u

1A Σ

– u

, …, Ψ

=Ψ

1A Σ

– Ψ

), сумма которых, распространенная на все фазы, равна

нулю:

(69.16)

Аналогичным образом поступают с фазными величинами ротора,

раскладывая их на составляющие нулевой последовательности и со-

ставляющие, которые их не содержат:

(69.17)

где i

+ i

= 0; u

+ u

= 0; Ψ

+ Ψ

= 0.

После представления величин в (69.1), (69.2) в виде сумм указан-

ных составляющих эта система уравнений распадается на две систе-

мы уравнений: систему для фазных величин, не содержащих величин

нулевой последовательности

(69.18)

и систему уравнений для величин нулевой последовательности

; . (69.19)

Выражая токи в уравнениях для потокосцепления (69.3), (69.4) в

виде сумм двух составляющих и учитывая (69.15), (69.17), (69.6), по-

лучаем формулы для составляющих потокосцеплений:

(69.20)

++ 0;=

++ 0.=

⎭

⎬

⎫

2aΣ

;+=

2aΣ

;+=

2aΣ

;+=

2bΣ

…+ ;+=

2bΣ

…+ ;+=

2bΣ

…+ ,+=

⎭

⎪

⎬

⎪

⎫

dΨ

--------------

;+=

dΨ

--------------

;+=

dΨ

--------------

…+ ;+=

dΨ

--------------

…+ ,+=

⎭

⎪

⎬

⎪

⎫

dΨ

-------------

+= u

dΨ

-------------

1AΣ

;+=

2aΣ

;+=

1BΣ

…+ ;+=

2bΣ

…+ ,+=

⎭

⎬

⎫

419

где

= L

+ L

;

= L

+ L

;

= L

+ L

;

= L

+ L

…

— потокосцепления, не содержащие составляющих нулевой после-

довательности;

= L

, Ψ

= L

— потокосцепления нулевой последова-

тельности.

Кроме ранее введенных индуктивностей в выражения для пото-

косцеплений входят:

= L

+ L

1σ

— индуктивность фазы статора для системы токов

, i

, не содержащих токов нулевой последовательности (с уче-

том влияния других фаз);

= L

– L

= 3L

/2 — составляющая индуктивности фазы ста-

тора, связанная с основными гармоническими полей взаимной индук-

ции;

1σ

= L

AAσ

– L

ABσ

— составляющая индуктивности фазы статора,

связанная с полями рассеяния;

= L

+ L

2σ

— индуктивность фазы ротора для системы токов i

, i

, не содержащих токов нулевой последовательности (с учетом

влияния других фаз);

= (L

– L

) = 3L

/2 — составляющая индуктивности фазы ро-

тора, связанная с основными гармоническими полей взаимной индук-

ции;

2σ

= L

aaσ

– L

abσ

— составляющая индуктивности фазы ротора,

связанная с полями рассеяния;

= L

AA σ

+ L

AB σ

+ L

ACσ

и L

= L

aсσ

+ L

ab σ

+ L

ac σ

— индуктивности фаз статора и ротора для токов нулевой последова-

тельности (с учетом влияния других фаз).

При выводе формул для Ψ

, Ψ

и L

, L

учитывается, что

+ L

= 0, L

+ L

= 0иL

+ L

= 0.