Иванов-Смоленский А.В. Электрические машины т 2

Подождите немного. Документ загружается.

480

В обозначениях, принятых для синхронной машины, уравнение

для электромагнитного момента имеет вид

, (71.45)

где — результирующий комплекс потокосцепления

статора; — результирующая комплексная функция тока

статора.

Заметим, что электромагнитный момент, действующий на ротор,

считается положительным, если он направлен в сторону вращения.

Уравнение движения ротора синхронной машины ничем не отлича-

ется от соответствующего уравнения для асинхронной машины (69.11).

71.8. Уравнения трехфазной синхронной машины

в становившемся симметричном синхронном режиме

В установившемся симметричном синхронном режиме угловая

скорость ротора ω = p

Ω постоянна и не отличается от угловой часто-

ты электрических величин статора: токов, напряжений и потокосцеп-

лений статора ω

, т.е. ω = ω

. Кроме того, все электрические величины

статора содержат только составляющие прямой последовательности.

Результирующие комплексные функции статорных величин, пред-

ставленные в неподвижных осях α, β [так же, как в асинхронной

машине, анализ установившегося режима которой см. в § 69.10], сов-

падают с комплексными функциями соответствующих величин для

фазы А статора:

,где ;

,где .

В осях d, q результирующие комплексные функции статорных ве-

личин представляются комплексами, постоянными во времени:

; ; ,

в чем легко убедиться, заметив, что α = ωt = ω

---------

Im Ψ

∼

–()

---------------------------------------------

---------

–()== =

∼

jΨ

∼

αβ

∼

–

jω

== I

–

jβ

∼

αβ

∼

–

jω

== Ψ

–

jη

∼

αβ

∼

–

jω

== U

–

jϕ

∼

αβ

– jα

–

==Ψ

∼

αβ

– jα

–

==U

∼

αβ

– jα

–

481

Обращаясь к уравнению напряжении для статора (71.40), записан-

ному в осях d, q через результирующие комплексные функции, видим,

что в нем исчезает трансформаторная ЭДС (поскольку не

изменяется во времени). Поэтому в установившемся синхронном ре-

жиме в правой части уравнения остается только ЭДС вращения

( ), и после сокращения на оно записывается через ком-

плексные амплитуды:

, (71.46)

где индекс «с» означает, что это напряжение понимается как внешняя

ЭДС сети, введенная в обмотку статора (якоря).

В силу синхронности движения ротора, которое приводит фор-

мально к постоянству составляющих токов статора (i

= const, i

= const), эти токи образуют постоянные потокосцепления с роторны-

ми контурами и, следовательно, не индуктируют ЭДС в этих конту-

рах. Поэтому, как вытекает из анализа (71.26), при короткозамкну-

тых контурах демпферной обмотки по продольной и поперечной

осям (т.е. u

к d

= i

кq

= 0) токи в контурах демпферной обмотки отсут-

ствуют (i

к d

= i

кq

= 0), а постоянный ток в обмотке возбуждения

определяется источником постоянного напряжения u

= const, пи-

тающим обмотку возбуждения:

. (71.47)

Выразив потокосцепление Ψ

в (71.46) через токи статора и об-

мотки возбуждения с помощью (71.43)

и разделив (71.46) на , получим уравнение

, (71.48)

совпадающее с выведенным ранее для установившегося режима

(55.14).

Сравнивая эти уравнения, нужно вспомнить, что

;;;

= ωL

; X

= ωL

; X

= ωL

d Ψ

∼

dt⁄Ψ

∼

– jω

∼

jω

–

сm

–

jω

–

′

------

---------------

== =

–

jΨ

+ L

++ L

–

++== =

–

…++ +=

–

– jX

–

= I

–

+ I

–

+== I

–

–U

–

482

Глава семьдесят вторая

ПЕРЕХОДНЫЕ ПРОЦЕССЫ В СИНХРОННЫХ МАШИНАХ

ПРИ ИЗМЕНЕНИИ ВОЗБУЖДЕНИЯ И ПРИ ГАШЕНИИ

ПОЛЯ

72.1. Общая харатеристиа переходных процессов

Эксплуатационные и аварийные переходные процессы в синхрон-

ных машинах весьма разнообразны. Некоторые из электромеханиче-

ских переходных процессов в синхронных машинах, связанных с су-

щественными изменениями частот вращения (втягивание в синхро-

низм при синхронизации и ресинхронизации, асинхронный пуск, ко-

лебания при сбросе или набросе нагрузки и др.), рассматривались при

ряде упрощающих допущений в ч. 5.

В этой главе, имея в виду трудности, возникающие при углублен-

ном аналитическом исследовании электромеханических переходных

процессов, ограничимся анализом на основе математического описа-

ния гл. 71 лишь электромагнитных переходных процессов в синхрон-

ных машинах, протекающих при постоянной частоте вращения. При

этом рассмотрим только наиболее важные электромагнитные процес-

сы, начиная с самых простых и постепенно переходя к более слож-

ным. Займемся анализом переходных процессов при изменении воз-

буждения и при гашении поля.

Наиболее просто эти процессы протекают в синхронной машине

без успокоительной обмотки на роторе, несколько сложнее — в ма-

шине с успокоительной обмоткой. Ход процесса существенным обра-

зом зависит от того, в каком состоянии находится обмотка статора:

замкнута ли она накоротко или разомкнута. Рассмотрим перечислен-

ные варианты переходного процесса в порядке их усложнения.

72.2. Переходные процессы в машине без демпферной

обмоти (при разомнтой обмоте статора)

В этом случае переходный процесс связан только с изменениями в

цепи, питающей обмотку возбуждения, и описывается уравнением

для этой обмотки

где Ψ

= L

-----

()u

483

Считая магнитную проницаемость стальных участков магнитной

цепи бесконечно большой и индуктивности обмотки возбуждения

и всех других обмоток постоянными, получаем линейное диффе-

ренциальное уравнение первого порядка с постоянными коэффици-

ентами:

Вводя дифференциальный оператор p = d/dt, перепишем уравне-

ние в операторной форме

+ L

= u

.(72.1)

Решение этого уравнения, как известно, представляется в виде

суммы двух составляющих:

а) «установившейся» составляющей, определяемой правой ча-

стью уравнения и представляющей собой ток при t = ×, когда пере-

ходный процесс закончился и pi

= 0. Если переходный процесс вы-

зван скачкообразным изменением напряжения при t = 0, то u

= 0 при

t < 0 и u

= const при t ≥ 0 и установившаяся составляющая тока равна:

f у

= u

/ R

;

б) свободной составляющей, определяемой решением однородно-

го дифференциального уравнения R

f c

+ L

= 0. Решение этого

уравнения имеет вид: i

fс

= Ce

βt

, где β = –R

= –1/T

— корень ха-

рактеристического уравнения R

+ L

β = 0; С — постоянная интегри-

рования; T

= L

— постоянная времени обмотки возбуждения.

Ток в обмотке возбуждения складывается из этих двух составляю-

щих

Рассмотрим переходный процесс при внезапном изменении напря-

жения возбуждения u

. Предположим, что до начала процесса на-

чальный ток в обмотке возбуждения равнялся i

f н

. Тогда при t = 0 из

последнего уравнения найдем постоянную С = i

f н

– i

f у

и, подставив ее

в уравнение, получим решение в виде

.(72.2)

Это решение одинаково пригодно как при увеличении возбужде-

ния, когда i

f у

> i

f н

(рис. 72.1, а), так и при уменьшении возбуждения,

------

+ u

f у

f c

+ i

f у

– t / T

+==

f у

f н

f у

–()e

– t / T

484

когда i

f у

< i

f п

(рис. 72.1, б). Постоянная

времени обмотки возбуждения сравни-

тельно велика: T

= 1—12 с (особенно в

крупных синхронных машинах), поэто-

му при необходимости получить бы-

строе увеличение тока возбуждения

прибегают к форсированию напряже-

ния возбудителя. При этом увеличива-

ют напряжение возбудителя до пре-

дельного значения u

= k

f н0

, в k

раз

превышающего напряжение в номи-

нальном режиме u

f н0

. Ход кривой на-

растания тока при форсировании возбу-

ждения показан на рис. 72.1, а штрихо-

вой линией.

Системы возбуждения обеспечива-

ют кратность предельного напряжения

возбуждения не менее 1,4 в машинах

общего применения; 2 — в гидрогенераторах, турбогенераторах и

компенсаторах.

Уравнение (72.2) можно применить и к анализу переходного про-

цесса при гашении поля, когда требуется быстро снять напряжение с

обмоток машины. Для гашения поля обмотку возбуждения замыкают

на дополнительный гасительный резистор R

и вслед за этим отклю-

чают от возбудителя. В этом случае i

f у

= 0 и

.(72.3)

Однако при расчете постоянной времени T

f г

и напряжения на об-

мотке возбуждения нужно учитывать не только сопротивление са-

мой обмотки R

, но и сопротивление гасительного резистора R

включенного в цепь обмотки. Постоянная времени цепи при гаше-

нии поля T

f г

= L

f г

в R

f г

f 0

раз меньше, чем постоянная времени

самой обмотки возбуждения T

(здесь R

f г

= R

f 0

+ R

)*. Напряжение

на гасительном резисторе u

f г

= i

совпадает с переходным напря-

жением на обмотке возбуждения R

f 0

+ L

. Это следует из (72.1),

если учесть, что при гашении поля u

= 0, R

= R

f 0

+ R

, тогда

f 0

+ pL

= – R

= u

f г

f н

– t / T

fг

* Дополнительные сопротивления в цепи обмотки возбуждения в виде сопротивления

соединительных проводов, скользящих контактов, якоря возбудителя и элементов системы

возбуждения нужно всегда учитывать.

f н

f y

f н

б)

Рис. 72.1. Переходные процес-

сы при изменении напряжения

на обмотке возбуждения

485

Поскольку начальный ток в обмотке возбуждения i

f н

определялся

начальным напряжением u

f н

, i

f н

= u

f н

f 0

, переходное напряжение на

обмотке возбуждения равно:

Сразу после замыкания обмотки на гасительный резистор, т.е. при

t = 0, напряжение на обмотке возбуждения в R

f 0

раз превышает на-

чальное напряжение. Выбирая сопротивление гасительного резисто-

ра, нужно стремиться удовлетворить два противоречивых требования:

возможно более быстро (во избежание развития аварии) погасить поле

так, чтобы возникающее повышение напряжения не привело к по-

вреждению изоляции. При R

≈ 5R

f 0

оба требования достаточно хоро-

шо удовлетворяются (постоянная времени уменьшается в 5 + 1 = 6 раз;

напряжение увеличивается не более чем в 5 раз).

72.3. Переходные процессы в машине с демпферной

обмотой при разомнтой обмоте статора

Появление демпферной обмотки приводит к необходимости со-

вместного рассмотрения двух дифференциальных уравнений: для об-

мотки возбуждения и для эквивалентного контура демпферной об-

мотки (71.26). Запишем эти уравнения в операторной форме:

(72.4)

Предположим, как и в предыдущем случае, что напряжение воз-

буждения при t = 0 изменяется скачкообразно и в дальнейшем оста-

ется постоянным. При этом ток возбуждения изменяется от началь-

ного i

f н

= u

f н

/ R

(при t = 0) до установившегося значения i

f у

= u

/ R

(при t = ×) и складывается из установившейся и свободной состав-

ляющих

= i

f у

+ i

f с

В демпферной обмотке появляется только свободный ток, так как

после завершения переходного процесса ток в ней полностью затуха-

ет (i

кdу

= 0)

к d

= i

к d с

f г

f 0

---------

f н

– t / T

f г

кd

+()+ u

кd

+()+ 0.=

⎭

⎬

⎫

486

Свободные токи в обмотках определяются путем решения системы

однородных линейных уравнений, полученных из (72.4) при u

= 0:

(72.5)

Из теории дифференциальных уравнений известно, что решение

такой системы имеет вид:

(72.6)

где i

f 1

, i

f 2

, i

кd1

, i

кd2

— произвольные постоянные токи, определяемые

из начальных условий и системы (72.4); T

, T

— постоянные време-

ни, которые должны быть найдены из характеристического уравне-

ния.

Для получения характеристического уравнения продифференци-

руем оба уравнения (72.5) и исключим из четырех уравнений ток в

демпферной обмотке и его первую и вторую производные, т.е. i

кdc

и p

кdc

. В результате получим следующее уравнение для тока

возбуждения:

σT

к d

f с

+ (T

+ T

к d

) pi

f с

+ i

f с

= 0, (72.7)

где T

= L

— постоянная времени обмотки возбуждения при ра-

зомкнутых других обмотках; T

кd

= L

кd

— постоянная времени

демпферной обмотки по продольной оси при разомкнутых других

обмотках; σ = — коэффициент рассеяния обмоток

возбуждения и демпферной.

Характеристическое уравнение, соответствующее (72.7), имеет

вид

σT

к d

+ (T

+ T

к d

)β + 1 = 0.

Корнями этого уравнения являются коэффициенты затухания β

, через которые выражаются постоянные времени в (72.6):

= –1/β

; T

= –1/ β

f с

кdc

++ 0;=

кd

кdс

кd

кdс

f с

++ 0.=

⎭

⎬

⎫

f с

f 1

– t / T

f 2

– t / T

;+=

кdс

кd1

– t / T

кd2

– t / T

,+=

⎭

⎪

⎬

⎪

⎫

1 L

/ L

кd

()–

487

Вводя подстановку β = –1/T, получаем квадратное уравнение

– (T

+ T

к d

)T + σT

к d

= 0, (72.8)

корни которого искомые постоянные времени

(72.9)

Обычно постоянные времени T

во много раз больше, чем Т

кd

, по-

скольку R

кd

>> R

. При таком соотношении между постоянными вре-

мени корни (72.8) почти не изменяются, если коэффициент при T уве-

личить на σT

кd

, а свободный член — на . Но тогда

– [(Т

+ Т

к d

) + σТ

к d

]Т + (Т

+ Т

к d

)σТ

к d

= 0

или

[Т – (Т

+ Т

к d

)](Т – σТ

к d

) = 0.

Решив преобразованное таким образом уравнение, получим сле-

дующие приближенные выражения для постоянных времени:

≈ Т

+ Т

к d

; Т

≈ σТ

к d

. (72.10)

Поскольку σ = < 1, постоянная времени Т

= Т

+ Т

кd

>> Т

и каждый из свободных токов в (72.6) представляет собой

сумму двух составляющих: «медленной» с индексом 1, затухающей с

постоянной времени Т

, и «быстрой» с индексом 2, затухающей с по-

стоянной времени Т

Ход медленного процесса определяется главным образом током и

полем обмотки возбуждения. Поэтому постоянная времени медленно-

го процесса мало отличается от постоянной времени обмотки возбуж-

дения Т

≈ Т

+ Т

кd

≈ Т

= L

. Электрическая схема замещения, обла-

дающая постоянной времени Т

, приведена на рис. 72.2. Легко видеть,

что эта схема может быть получена из общей схемы замещения (см.

рис. 71.9), если разомкнуть обмотку статора и демпферную обмотку.

На рис. 72.2 изображена также картина магнитного поля, образованно-

го током в обмотке возбуждения при разомкнутых других обмотках.

Постоянная времени быстрого процесса

≈ σТ

к d

= σL

к d

/ R

к d

–

------

кd

---------------------

кd

---------------------

⎝⎠

⎛⎞

σT

кd

–;+==

–

------

кd

---------------------

кd

---------------------

⎝⎠

⎛⎞

σT

кd

–.–==

⎭

⎪

⎬

⎪

⎫

σT

кd

1 L

/ L

кd

()–

488

выражается через индуктив-

ность

которой обладает продольная

демпферная обмотка при ко-

роткозамкнутой обмотке воз-

буждения, если ее активное

сопротивление считать рав-

ным нулю: R

= 0 («сверхпро-

водящая» обмотка). Постоян-

ная времени Т

существенно

отличается от постоянной времени Т

кd

. Электрическая схема с посто-

янной времени Т

кd

изображена на рис. 72.3, там же показана картина

магнитного поля, образованного током демпферной обмотки при ра-

зомкнутых других обмотках. Электрическая схема с постоянной вре-

мени Т

и индуктивностью σL

кd

изображена на рис. 72.4, там же пока-

зана картина поля, образованная быстрыми составляющими токов

при замкнутой накоротко сверхпроводящей обмотке возбуждения.

Легко проверить, что схемы рис. 72.3 и 72.4 могут быть получены из

общей схемы замещения по рис. 71.9 при выполнении соответствую-

щих условий.

В возможности при анализе быстрых процессов считать обмотку

возбуждения сверхпроводящей не трудно убедиться. Подставляя в

уравнение (72.5) для обмотки возбуждения быстрые составляющие

токов из (72.6)

видим, что при R

<< R

кd

всегда можно пренебречь первым членом

уравнения, имеющим смысл омического падения напряжения, по

сравнению со вторым членом, имеющим смысл ЭДС самоиндукции:

<< L

/Т

= R

к d

/(σL

к d

где

≈ L

к d

, σ < 1.

А это означает, что, анализируя быстрый процесс, можно, не делая

заметной ошибки, считать обмотку возбуждения сверхпроводящей

= 0).

σL

кd

кdσ

---------

f σ

---------

⎝⎠

⎛⎞

1–

f 2

– t / T

------

f 2

– t / T

–

---------

кd2

– t / T

–0=

;

Рис. 72.2. Схема замещения и картина поля

для определения индуктивности обмотки

возбуждения L

489

Индуктивность демпферной обмотки для быстрой составляющей

тока i

кd2

с учетом влияния тока i

f 2

, индуктированного в сверхпрово-

дящей обмотке возбуждения, определяется по результирующему пото-

косцеплению демпферной обмотки как

. (72.11)

Ток i

f 2

в этом уравнении рассчитывается с помощью дифференци-

ального уравнения для обмотки возбуждения (72.5), в котором R

= 0,

= 0, где Ψ

= L

f 2

+ L

кd2

— потокосцепление обмотки возбуж-

дения от быстрых составляющих токов. Интегрируя это уравнение,

приходим к заключению, что потокосцепление сверхпроводящей ко-

роткозамкнутой обмотки возбуждения и вообще сверхпроводящего

короткозамкнутого контура во время переходного процесса остает-

ся постоянным и не отличается от начального потокосцепления:

= Ψ

f 0

= const или Ψ = Ψ

= const. (72.12)

Этот вывод широко используется при исследовании переходных

процессов и существенно облегчает анализ. В рассматриваемом слу-

fσ

³d

;

²dU

²d

²dU

;

fσ

;

²dU

²d

²dU

²d

;

Рис. 72.3. Схема замещения и

картина поля для определе-

ния индуктивности демп-

ферной обмотки по продоль-

ной оси L

кd

Рис. 72.4. Схема замещения и

картина поля для определе-

ния индуктивности демп-

ферной обмотки по продоль-

ной оси при короткозамкну-

той обмотке возбуждения

σL

кd

кd2

----------

кd

кd2

f 2

кd2

--------------------------------------------

-----