Ипатов В.П. Широкополосные сигналы

Подождите немного. Документ загружается.

Задачи.

2.1. Заданы три сигнала

)(),(

tsts

)(

, изображенные на рис. 2.28.

Рис. 2.28. Множество из трех сигналов.

Во сколько раз максимальное расстояние в данном множестве сигналов больше его

минимального значения?

2.2. Наблюдение

)(ty

на выходе АБГШ–канала имеет вид, представленный на рис.

2.29:

Рис. 2.29. Сигнал на выходе канала.

Сигналы на входе канала заданы в задаче 2.1. Каким будет решение оптимального прием-

ника?

2.3. Источник генерирует данные со скоростью

10R

кбит/сек. Каждый бит дан-

ных источника передается по АБГШ–каналу с помощью бинарной ФМ. Допустимой явля-

ется полоса

10W

МГц. Рационально ли использовать сигналы с полосой

10W

МГц?

2.4. Какие сигналы с бинарной ФМ являются предпочтительными для передачи по

АБГШ–каналу:

– прямоугольные импульсы с пиковой мощностью 1000 Вт и полосой 100 КГц;

– прямоугольные импульсы такой же длительности с пиковой мощностью 900 Вт и

полосой 10 МГц?

2.5. Вычислить энергетические потери для пар сигналов, используемых для бинар-

ной передачи данных по АБГШ–каналу (см. рис.2.30), по отношению к оптимальной паре.

2.6. При дифференциальной бинарной фазовой манипуляции (DBPSK) значение

бита передается с чередованием или без полярности двух последовательных импульсов:

импульсы одинаковой полярности соответствуют нулю, а различной – единице. Сравнить

в первом приближении DBPSK и BPSK по уровню потребляемой энергии (основываясь

только на минимуме расстояния) и ширине занимаемой полосы при условии равенства

скоростей.

2/T

U2

)(

U

2/T

)(ty

2.7. При квадратурной ФМ (ФМ-4) два бита (4 сообщения) передаются четырьмя

сигналами с начальными фазами:

2/,,0 

. Является ли данный вариант оптимальным

способом передачи двух бит? Если нет, указать наилучший способ и оценить соответст-

вующий ему асимптотический выигрыш от кодирования по сравнению с ФМ-4.

Рис. 2.30. Три сигнальные пары.

2.8. Можно ли построить 10 эквидистантных сигналов, для которых коэффициент

корреляции между двумя любыми был бы равным

7/1

? Каково максимально возможное

число сигналов с указанным коэффициентом корреляции?

2.9. Вычислить и построить зависимость от

энергетических потерь (в дБ) мно-

жества

ортогональных сигналов по сравнению с множеством

оптимальных сигна-

лов для АБГШ канала. Определить значение потерь в асимптотике при увеличении

2.10. Асимптотический энергетический выигрыш при ортогональном кодировании

в сравнении с не кодированной передачей для случая

2M

стремиться к 0,5 или -3 дБ,

т.е. является отрицательным, демонстрируя потери, а не выигрыш. Как это можно объяс-

нить практически?

2.11. Асимптотический энергетический выигрыш при ортогональном кодировании

в сравнении с не кодированной передачей для случая

4M

стремиться к 1 или 0 дБ, т.е.

отсутствует совсем. Дать физическое объяснение результату.

2.12. Сообщения

)8( M

передаются с использованием ФМ-8, т.е. идентичными

радиоимпульсами с 8-ью различными эквидистантными начальными фазами. Является ли

этот вариант передачи 8 сообщений по гауссовскому каналу наилучшим при отсутствии

ограничений на ширину полосы? Если нет, то каковы энергетические потери варианта с

ФМ-8 по сравнению с оптимальным множеством из

сигналов?

2.13. Сравнить (на основании минимума расстояния) эффективность

–ичной ФМ

с ортогональным кодированием по энергетическим затратам (при заданной вероятности

ошибки) и занимаемой полосе.

2.14. В обратном канале сотовой системы радиосвязи стандарта IS-95 осуществля-

ется ортогональное кодирование блоков из 6-ти бит. Скорость передачи составляет 28.8

кбит/сек. Оценить величину полосы, занимаемую кодированными сигналами (не учитывая

дальнейшего расширения спектра сигнала с помощью длиной M–последовательностью).

2.15. Некоторая система цифровой связи занимает полосу

2288.1W

МГц. Какое

максимальное число

ортогональных сигналов может быть использовано для передачи

данных со скоростью 38.4 кбит/сек?

2.16. В некоторой системе осуществляется передача данных по гауссовскому кана-

лу со скоростью 10 кбит/сек. Проектировщик системы планирует обеспечить энергетиче-

ский выигрыш в 6 дБ по сравнению с передачей без кодирования. Достижима ли эта цель

на основе ортогонального кодирования, если допустимой считается полоса в 320 КГц?

2.17. Некоторой системе отведена полоса, равная 10.24 МГц, при необходимой ско-

рости передачи в 100 кбит/сек. Какой величины может достичь в этой системе потенци-

U

3/2T

T/3

U

альный асимптотический выигрыш от кодирования?

2.18. По гауссовскому каналу необходимо передавать данные со скоростью 100

кбит/сек на несущей в 2 ГГц. Реалистично ли рассчитывать на энергетический выигрыш

10G

дБ при использовании ортогональных сигналов?

2.19. Построить матрицу Адамара размерности 16.

2.20. Какое из следующих преобразований сохранит/нарушит основное свойство

матрицы Адамара (ортогональность строк):

a) перестановка строк;

b) перестановка столбцов;

c) одновременное изменение знака у всех элементов;

d) одновременное изменение знака у всех элементов нескольких строк;

e) одновременное изменение знака у всех элементов нескольких столбцов;

f) изменение знака только у верхнего крайнего слева элемента.

2.21. Матрица Адамара

размера

M 2

построена из исходной матрицы

















с помощью правила Сильвестра. Из матрицы

удален первый столбец, а

строки вновь полученной матрицы используются при формировании сигналов для

–

ичной передачи. Какого вида ансамбль сигналов получается в результате такой операции?

Какую полосу они занимают в сравнении с ортогональным ансамблем?

2.22. Сигнал с ЛЧМ (линейной частотной модуляцией) задается соотношением



































2/,0

,2/,

)(

2cos

)(

tfA

где

– амплитуда,

– несущая частота,

– девиация,

– длительность,



– время за-

паздывания и



– начальная фаза сигнала. Разделить эти шесть параметров на энергетиче-

ские и нет. (Для любого полосного сигнала

,1 fWTf 

2.23. Необходимо измерить неэнергетический параметр сигнала



. Зависимость

коэффициента корреляции

)(

сигнальных копий, отличающихся по величине



, для

трех различных случаев представлена на рис.2.31. В каком случае точность измерения



будет наивысшей и почему?

Рис. 2.31. Зависимость коэффициента корреляции от измеряемого параметра.

2.24. Одновременно должны быть измерены два неэнергетических скалярных па-

раметра

,

. Коэффициент корреляции двух копий сигнала с различными парами зна-

чений

,

определяется

),(



и геометрически представляет собой поверхность в

трехмерном пространстве. Сечение этой поверхности на некотором уровне (например, 0.5)

горизонтальной плоскостью представлено на рис. 2.32 для трех типичных случаев. Какой

)(



)(

из них обеспечивает наибольшую точность одновременного оценивания

,

при усло-

вии отсутствия априорных сведений об их значениях и почему?

Рис.2.32. Горизонтальное сечение поверхности

)(



2.25. Следует измерить амплитуду

сигнала

)();( tAsAts 

. Образцы сигнала

)(ts

представлены на рис. 2.33. В каком из случаев точность измерения

будет наилучшей и

почему?

Рис.2.33. Три варианта образцов сигнала.

2.26. Измеряется амплитуда

сигнала

)();( tAsAts 

. Точность полученной оцен-

ки оказалась неудовлетворительной. Во сколько раз следует увеличить длительность ис-

ходного сигнала

)(ts

, чтобы вдвое уменьшить среднеквадратическое отклонение оценки

при сохранении неизменными всех остальных параметров

)(ts

2.27. Измеряется амплитуда

сигнала

)();( tAsAts 

. Амплитуда исходного сиг-

нала

)(ts

увеличивается вдвое, тогда как его длительность в два раза уменьшается. Что

произойдет с величиной среднеквадратического отклонения оценки

2.28. Необходимо измерить начальную фазу полосного сигнала. Что произойдет со

среднеквадратическим отклонением оценки фазы, если

a) удвоить несущую частоту сигнала;

b) удвоить длительность сигнала;

c) уменьшить в два раза амплитуду;

d) удвоить амплитуду, а длительность уменьшить в четыре раза?

2.29. Необходимо измерить начальную фазу полосного сигнала. Три варианта оги-

бающей сигнала представлены на рисунке к задаче 2.25. В каком случае точность измере-

ния фазы будет наибольшей и почему?

2.30. Измеряется начальная фаза



ЛЧМ сигнала, определенного в задаче 2.22. Из-

менение каких параметров

TWfA ,,,,



, и в каком направлении повлияет на точность



))

T

2/T

2/U

)(ts

-U

-T

2/T

2/T

)(ts

оценки фазы? Что произойдет со среднеквадратическим отклонением оценки фазы, если

все значения

WfA ,,

увеличить в

раз, а

,T

уменьшить в два раза?

2.31. Изобразить автокорреляционные функции сигналов, представленных на рис.

2.34.

Рис. 2.34. Три варианта формы сигнала.

2.32. Полосный бинарный ФМ сигнал состоит из трех последовательных прямо-

угольных импульсов длительностью



каждый. Начальные фазы первых двух равны ну-

лю, а третьего –



. Изобразить автокорреляционную функцию сигнала.

2.33. Задан фильтр, согласованный с прямоугольным видеоимпульсом длительно-

сти



. Какого вида устройства следует добавить к нему, чтобы получить согласованный

фильтр с сигналами на рис. 2.34? Изобразить отклик фильтра, согласованного с сигналом

(с), при подаче на вход именно этого сигнала.

2.34. Задан фильтр, согласованный с прямоугольным радиоимпульсом длительно-

сти



. Какие дополнительные к нему устройства образуют согласованный с сигналом из

задачи 2.32 фильтр? Изобразить отклик согласованного фильтра на сигнал из задачи 2.32.

2.35. Заданы автокорреляционные функции трех альтернативных сигналов, изо-

браженные на рис. 2.35. Какой из сигналов является наилучшим для измерения временной

задержки и почему?

Рис. 2.35. Примеры автокорреляционных функций.

2.36. Параметры простого импульсного сигнала обеспечивают стандартное откло-

нение измерения временной задержки, равное 0.5 мксек и отношение сигнал-шум (SNR)

на выходе согласованного фильтра

102

 NEq

. Оценить грубо длительность сигна-

ла.

4

3



2



U

)(ts



)(ts

3

2



)(



)(

2.37. В некоторой РЛС используется простой импульсный сигнал. Проектировщик

системы планирует уменьшить пиковую мощность в сто раз без ухудшения SNR и в то же

время уменьшить в десять раз стандартное отклонение измеряемого времени запаздыва-

ния. Каким должно быть частотно-временное произведение сигнала в усовершенствован-

ной системе?

2.38. В некоторой РЛС измеряется расстояние посредством излучения импульса с

ЛЧМ (см. задачу 2.22) с частотно-временным произведением

10WT

. В результате по-

ломки модулятора РЛС стала излучать немодулированные импульсы той же пиковой

мощности и длительности. Что произойдет со стандартным отклонением измеряемой

дальности?

2.39. В некоторой системе необходимо уменьшить в десять раз стандартное откло-

нение частотного измерения. Мощность сигнала может быть увеличена только в

1625

раза (1.94 дБ). Насколько должна измениться длительность сигнала?

2.40. В некоторой системе длительность сигнала увеличена в четыре раза без изме-

нения мощности сигнала. Что произойдет со стандартным отклонением оценки частоты?

2.41. Горизонтальные сечения функции неопределенности четырех сигналов пред-

ставлены на рис. 2.36, на котором все размеры, отмеченные символами

.)(

дри



, одина-

ковы. Какой из сигналов является наилучшим для:

Рис. 2.36. Горизонтальные сечения функции неопределенности.

a) измерения только времени запаздывания;

b) измерения только частотного сдвига;

c) одновременного измерения временного запаздывания и частотного сдвига

и почему?

2.42. В ходе модернизации некоторой системы, работавшей первоначально с про-

стым сигналом, излучаемая мощность была уменьшена на 6 дБ. Одновременно была уве-

личена в четыре раза длительность сигнала, а простой сигнал заменен широкополосным с

частотно-временным произведением

100WT

. Что произошло со стандартным отклоне-

нием оценок временного запаздывания и частоты в сравнении с первоначальным вариан-

том?

2.43. Какой из сигналов в задаче 2.41 является наилучшим для разрешения:

a) по времени;

b) по частоте;

c) по времени и частоте одновременно

и почему?

2.44. Горизонтальные сечения функции неопределенности четырех сигналов пред-

ставлены на рис. 2.37, на котором все размеры, отмеченные одинаковыми символами,

равны. Какой из сигналов является наилучшим для разрешения:



a) по времени;

b) по частоте;

c) по времени и частоте одновременно

и почему?

Рис. 2.37. Горизонтальные сечения функции неопределенности.



3. Достоинства технологии распределенного спектра.

3.1. Иммунитет к воздействию помех.

Окружающая обстановка, в которой конкретная система передает и извлекает ин-

формацию, не является дружественной для выполнения указанных целей. На приемной

стороне полезному сигналу могут сопутствовать наряду с тепловым шумом и искажения

различной природы. В частности, источниками искажений могут служить другие соседст-

вующие системы, если диапазон их рабочих частот достаточно близок к рассматриваемой

в качестве «полезной». Следуя повсеместно принятой терминологии, будем называть этот

вид искажений помехами.

В повседневной практике встречается большое разнообразие типов помех в связи с

чем, как правило, принимаются специальные меры, противодействующие их разруши-

тельному действию. В данной главе будет показано, что расширение спектра является

мощным инструментом нейтрализации помех. Исчерпывающее исследование поведения

систем, подверженных комбинированному воздействию помех и теплового шума, потре-

бовало бы вычисления интегральных характеристик, таких как вероятность ошибки или

точность измерения. Конкретные результаты этой достаточно кропотливой работы можно

найти в книгах, например [5, 6] и, в основном, многочисленных специализированных

статьях (см., например, библиографию в [3]), однако наша задача много скромнее и состо-

ит в демонстрации общей идеи борьбы с помехами путем использования сигналов с рас-

пространенным спектром. По этой причине ограничимся только простейшим оценивани-

ем отношения мощностей сигнала к общему мешающему воздействию. В противном слу-

чае, будем полагать, что действует простейший, но и наиболее характерный вид помехи,

описываемый гауссовским случайным процессом, спектр которого перекрывается со

спектром сигнала. Иногда такой упрощенный подход является адекватным, как это имеет

место при передаче данных с помощью BPSK или ASK, когда вероятность ошибки зави-

сит только от выше упомянутого отношения, что предполагает возможность аппроксима-

ции мешающего воздействия гауссовским законом. Другие ситуации (как, например, М–

ичная передача данных или измерение параметров) не настолько очевидны, и характери-

стики качества определяются не только величиной отношения мощностей. Однако данное

отношение остается индикативным, позволяющим судить о потенциальных достоинствах

распределенности спектра. Рассмотрим две основных модели помех, начиная со случая

узкополосной помехи.

3.1.1. Узкополосная помеха.

Данный тип помех наиболее характерен для ситуаций, когда некоторая соседст-

вующая система или системы не имеют враждебных намерений по отношению к рассмат-

риваемой, и создают помехи только в результате своего нормального функционирования.

На рис. 3.1 в виде прямоугольников представлены амплитудный спектр

)(

полезного

сигнала и спектральная плотность мощности помехи

)(

на фоне равномерной спек-

тральной плотности мощности

АБГШ. Назовем помеху узкополосной только по той

причине, что занимаемая ей полоса

меньше полосы

, занимаемой сигналом, и име-

ются области, где спектр сигнала не подвержен искажению помехой. Узкополосная поме-

ха, кроме того, может быть определена как частично-полосная, гармоническая и т.д. [3, 5,

6], однако в нашей ситуации конкретное значение ее полосы не играет роли.

Первоначально предположим, что рассматриваемая система не предпринимает ни-

каких специальных мер для противодействия помехи за исключением только соответст-

вующего выбора сигнала. Подобного рода сценарий означает, что при проектировании

системы предусмотрена возможность присутствия помехи, и она принята в расчет на эта-

пе выбора сигнала, однако система не является адаптивной, и не принимаются специаль-

ные меры путем выбора закона модуляции или алгоритмов обработки, приспособленных к

существующей помеховой обстановке. Другими словами, всегда используется только

фильтр, согласованный с АБГШ, не взирая на наличие или отсутствие помехи на входе

приемного устройства.

При определении отношения

мощностей сигнала и мешающего воздействия

(SIR) на выходе согласованного фильтра отметим тот факт, что при прямоугольном спек-

тре сигнала (

)(

равен константе

в пределах полосы сигнала

и нулю вне ее) ам-

плитудная передаточная функция фильтра равномерна в полосе сигнала

и равна нулю

вне ее. Без потери общности положим, что ее ненулевое значение равняется единице. Сле-

довательно помеха, трактуемая как случайный процесс, проходит на выход фильтра без

изменения своей мощности

, тогда как отфильтрованное значение мощности шума со-

ставит

. С другой стороны, фильтр согласован с сигналом и, значит, когерентно

суммирует все гармонические составляющие сигнала, обеспечивая максимальное значе-

ние амплитуды на выходе







 sWdffsA

out

2)(

, где учтена равномерность спектра в

полосе сигнала

, а удвоение обусловлено вкладом «отрицательных» частот. При анало-

гичных обозначениях энергия сигнала вычисляется с помощью теоремы Парсеваля как

2)(

sWdffsE 







. В итоге имеем

WJN

WNJ

out













. (3.1)

Из последнего равенства можно увидеть, что, несмотря на конкретное значение по-

лосы помехи

, отношение SIR на выходе согласованного фильтра ведет себя так, как

если бы мощность помехи была равномерно распределена в полосе

сигнала (не поме-

хи), образуя дополнительный «АБГШ» со спектральной плотностью

WJ /

Рассмотрим теперь другой вариант, когда данная система приспосабливает свой

приемник к действующему образцу помехи. Оптимальной процедурой обработки в этом

случае следовало бы считать фильтрацию, согласованную с полным мешающим воздейст-

вием, включая и узкополосную помеху. Практически очевидно, что, если помеха значи-

тельно превосходит фоновый АБГШ, то подобная обработка эквивалентна вырезанию

частотного интервала, в котором сосредоточена помеха. Рис. 3.2 иллюстрирует вид спек-

тра на выходе режекторного фильтра. Наблюдается полное отсутствие помех, однако, вы-

)(

Рис. 3.1. Спектр сигнала, помехи и фонового АБГШ.

резаются и частотные компоненты сигнала в пределах полосы помехи, точно также как и

шум. Модель спектра может трактоваться, как образец, в котором исходный сигнал зани-

мал бы только часть полосы

, свободную от помех, и обладал энергией, равной

)/1( WWE



. Тогда согласованный фильтр, очищая этот остаточный сигнал от АБГШ,

обеспечивал бы выходное отношение мощностей сигнала и шума в виде (индекс «J» отве-

чает помехе)

)/1(

)/1(2

WWq

WWE







, (3.2)

где

/2 NEq 

– «истинное» отношение мощностей сигнала и шума SNR на выходе со-

гласованного фильтра в отсутствии помехи.

Из анализа соотношений (3.1)–(3.2), можно заметить, что они оба явным образом

свидетельствуют о достоинствах широкополосных сигналов с точки зрения противостоя-

ния воздействию помех. Действительно, чем шире полоса сигнала

в сравнении с поло-

сой помехи

, тем меньше дополнительная спектральная плотность в первом случае и

энергетические потери – во втором (при постоянстве мощности помехи

), и следова-

тельно, больше

. Однако, если пиковая мощность сигнала

ограничена и не мо-

жет быть увеличена, то расширение полосы сигнала не реализуется тривиальным укоро-

чением длительности сигнала, поскольку в этом случае произойдет уменьшение энергии

сигнала, а также отношений SNR и SIR. В результате приходим к следующему выводу:

достижение высокой помехоустойчивости по отношению к узкополосной помехе, не при-

бегая к увеличению энергии сигнала или пиковой мощности, возможно только расширяя

спектр сигнала независимо от его длительности, т.е. при использовании широкополосной

технологии.

3.1.2. Заградительная помеха.

Во многих военных сценариях и разведывательных мероприятиях часто встречает-

ся ситуация, когда помеха создается преднамеренно как средство радиоэлектронного про-

тиводействия. В подобных ситуациях постановщик помехи может предполагать, что по-

Еще раз подчеркнем, что отношение SNR не является универсальной характеристикой качества. Она отве-

чает этой роли при рассмотрении передачи данных с помощью BPSK или ASK, но, в общем случае, выреза-

ние полосы затрагивает не только энергию сигнала, но и корреляционные свойства тоже. Так, например, ор-

тогональность сигналов может быть нарушена при частичном вырезании полосы. Для исследования подоб-

ного рода эффектов необходим более детальный анализ.

)(

Рис. 3.2. Модель спектра на выходе режекторного фильтра.