Ипатов В.П. Широкополосные сигналы

Подождите немного. Документ загружается.

3.5. Эффекты распространения в беспроводных системах.

Для исследования следующего достоинства распределенного спектра необходимо

приобрести дополнительные сведения об эффектах распространения волновых колебаний

в беспроводных каналах, и данный параграф будет посвящен знакомству с этой областью.

Прежде всего, ключевым параметром, определяющим характеристику любой задачи

приема, является интенсивность сигнала, или отношение сигнал-шум (SNR). Конечно,

энергия сигнала или его мощность во всех предшествующих формулах, устанавливающих

вероятность ошибки, дисперсию оценки и т.п., характеризовали уровень сигнала на входе

приемника. Следовательно, необходимо иметь возможность предсказывать интенсивность

сигнала в некоторой точке пространства, удаленной от передающей антенны, учитывая

эффекты, сопровождающие распространение электромагнитной волны.

Исследование распространения волнового колебания достаточно сложно и с тру-

дом поддается теоретическому анализу. Имеет место большое разнообразие факторов, вы-

зывающих как детерминированное, так и случайное ослабление сигнала, достигающего

входа приемного устройства. Вследствие их воздействия принимаемый сигнал искажается

не только аддитивным шумом (АБГШ), но и мультипликативной помехой, название кото-

рой вытекает из того факта, что она изменяет интенсивность сигнала, т.е. перемножается с

амплитудой сигнала.

3.5.1. Распространение в свободном пространстве.

Начнем рассмотрение с идеализированной модели распространения в свободном

пространстве (см. рис. 3.8), где отсутствуют препятствия между передающей и приемной

антеннами, и излученная волна распространяется по единственно возможному пути, назы-

ваемому линией прямой видимости (line-of sight (LOS)).

Обозначим расстояние между передатчиком и приемником как D. Если передаю-

щая антенна является всенаправленной, то излученная ее мощность

будет равномерно

распределена по внутренней поверхности сферы радиуса

, причем на каждую единицу

площади будет приходиться ее часть, равная

4/ DP



. Тогда на приемную антенну с эф-

фективной площадью раскрыва

попадает мощность, равная

4/ DAPP

rtr



. Если же

передающая антенна является направленной, то в сторону приемной антенны излучается

мощность, которая в

раз превосходит всенаправленную, а величина

называется ко-

эффициентом усиления мощности передающей антенны. В этом случае принятая мощ-

ность также увеличивается в

раз. Для представления принятой мощности в симмет-

ричной форме воспользуемся зависимостью между

и коэффициентом усиления мощ-

ности принимающей антенны

wrr

AG 

, где



– длина волны. В результате прихо-

дим к формуле Фриза для свободного пространства [4]

Передающая

антенна

Приемная

антенна

LOS

Рис. 3.8. Модель распространения в свободном пространстве.



















GGPP

rttr

, (3.10)

показывающей, что ослабление мощности сигнала по линии прямой видимости в свобод-

ном пространстве обратно пропорционально квадрату расстояния.

Модель свободного пространства может быть непосредственно применена для ка-

налов связи, среда распространения в которых представляет собой открытое пространст-

во, например, между космическими носителями или летательными аппаратами, наземным

центром контроля и космическим носителем и т.п. Среда распространения наземных сис-

тем намного менее благоприятна и основное влияние на интенсивность сигнала оказыва-

ют два следующих компонента: затенение (shadowing) и фединг (замирание) вследствие

многолучевого распространения (multipath fading).

3.5.2. Затенение.

Затенение обусловлено деталями ландшафта, препятствующими распространению

по прямой линии: возвышенностями, лесами, чащами, зданиями и т.п. Вследствие их

влияния интенсивность сигнала падает с расстоянием значительно быстрее, чем это пред-

сказывает соотношение (3.10). Очевидно, что нерегулярный характер земной поверхности

делает невозможной или бесполезной попытку создать некоторую универсальную теоре-

тическую модель затенения. С целью накопления необходимых сведений об общем харак-

тере зависимости между принимаемой мощностью и длиной пути распространения было

выполнено множество натурных испытаний, на основании которых был предложен целый

ряд эмпирических моделей [17-19]. Специалистами в области мобильной связи одной из

наиболее популярных признана модель Окумура–Хаты. Согласно последней зависимость

средней принятой мощности

подчиняется соотношению

DkPP /

, в котором кон-

кретное значение показателя

зависит от типа подстилающей поверхности, изменяясь от

3 (для сельской местности) до 5 (для плотной городской застройки), а коэффициент

–

определяется частотным диапазоном и высотой антенн [2, 6, 15,19]. Принимаемая мощ-

ность, определяемая данной моделью, дает лишь очень грубую отправную точку, полу-

чаемую путем усреднения по различным положениям приемника, находящегося на одина-

ковом удалении

от передатчика. Флюктуации

по дуге радиуса

с центром в месте

расположения передатчика значительны и хорошо описываются логнормальным законом

распределения, означающем, что распределение принятой мощности, выраженной в деци-

белах

Px lg10

, является гауссовским (нормальным):





















)(

exp

)(

Общепринятым, согласно библиографическим источникам, считается, что величина стан-

дартного отклонения



величины

Plg10

в последнем соотношении лежит в диапазоне

6–12 дБ.

Уменьшение мощности, обусловленное затенением, носит статический характер и

даже тогда, когда приемник находится в движении, изменение мощности во времени, как

правило, происходит сравнительно медленно вследствие значительного размера компо-

нентов ландшафта (десятки и сотни метров). По этой причине затенение часто рассматри-

вается как крупномасштабный фединг (замирание) (large scale or long term fading).

3.5.3. Замирания вследствие многолучевого распространения.

Обратимся теперь ко второму фактору, влияющему на интенсивность принимаемо-

го сигнала: многолучевое распространение (multipath propagation). Фактически излучен-

ный сигнал может достичь приемной антенны разнообразными путями. Путь прямого

распространения может оказаться либо одним из них, либо отсутствовать при крайне

сложном распространении, тогда как другие пути образуются в результате отражения из-

лученной волны различными объектами. В качестве подобных отражателей могут высту-

пать здания, вышки, летательные аппараты, подстилающая поверхность и многое другое

(см. рис.3.9).

Предположим, что, распространяясь по

–му пути, излученный сигнал с комплекс-

ной огибающей вида

)(tS



приобретает амплитуду

, задержку



и начальную фазу



Тогда комплексная амплитуда принятого сигнала может быть записана в виде





iiir

jtSAtS )exp()()(



, (3.11)

где, без потери общности, вещественная амплитуда исходного сигнала принята равной

единице. В том случае, когда задержка распространения (delay spread)



, т.е. макси-

мальное значение взаимной задержки между сигналами различных путей, не превосходит

длительности сигнала, все многолучевые сигналы перекрываются и интерферируют меж-

ду собой. Для лучшего понимания этого явления первоначально рассмотрим простейший

сценарий распространения, имеющий место в мобильной связи, телевизионном вещании и

др.

Пример 3.5.1. Рис. 3.10 демонстрирует ситуацию, когда излученный сигнал дости-

гает приемника по путям, обусловленным двумя отражателями (зданиями, машинами и

т.п.), путь распространения по прямой (LOS) полностью блокирован препятствием (здани-

ем), в результате чего в (3.11) присутствуют только две составляющие. Отражатели ори-

ентированы в пространстве таким образом, что они образуют вторичные волны, направ-

ленные друг на друга. Приемник, расположенный на линии, соединяющей отражатели,

будет наблюдать суперпозицию двух интерферирующих колебаний, разность фаз



кото-

Передатчик

Приемник

Рис.3.9. Иллюстрацию многолучевого распространения.

100

рых определяется отношением разности путей распространения

2211

DDDD

















длине волны



 /2

. Считая амплитуды отраженных сигналов в точке приема,

равными

, AA

, результирующая амплитуда

может быть найдена с помощью теоремы

косинусов как

 cos2

AAAAA

(см. фазовую диаграмму на рис. 3.11, a). Пе-

риодичность

, как функции



, свидетельствует о ее периодичности в зависимости от

разности распространения



. При движении приемника вдоль линии, соединяющей отра-

жатели, его смещение на величину



в любом направлении изменяет



на одну длину

волны



, так что



изменяется на

2

, и значения

в точках, разнесенных на



одинаковы. Другими словами, интерференция двух наложившихся колебаний образует

стационарную волну с периодом



. Двигаясь вдоль тестовой линии, на входе прием-

ника будут чередоваться максимумы

AA 

и минимумы

AA 

амплитуды наблюде-

ния каждые



метров. Если амплитуды отраженных сигналов близки по величине

(достаточно вероятный случай), то результирующая мощность

 

 cos2/2/

AAAAAP

спадает почти (или в точности) до нуля, когда прием-

Рис. 3.10. Вариант с двумя путями распространения.

Приемник

Отражатель

Передатчик

Препятст-

вие





Рис. 3.11. Интерпретация эффектов многолучевости фазовой диаграммой.



101

ник проходит узлы колебания. Именно этот феномен получил название многолучевого

фединга (замирания, обусловленного многолучевым распространением). Поскольку про-

странственное расстояние между соседними пиками

сравнимо с длиной волны, то для

систем, работающих в метровом и дециметровом диапазоне, временные циклы изменения

на входе мобильного приемника будут достаточно короткими (типичны значения се-

кунд). 

График изменения

в зависимости от времени, представленный на рис. 3.12, от-

вечает значениям параметров, типичным для мобильной связи:

3.0

м и скорость дви-

жения приемника

60

км/час. Как видно из диаграммы, даже при столь незначитель-

ной скорости передвижения изменение принимаемой мощности происходит достаточно

быстро. Это служит объяснением тому, что многолучевому федингу присваивают другое

название: мелкомасштабный фединг (short-term fading или small-scale fading).

Очевидно, что только что рассмотренный пример искусственно упрощен, чтобы

рассмотреть указанный эффект наиболее явным образом. В действительности, число од-

новременно принимаемых многолучевых сигналов

может быть достаточно большим, в

результате чего интерферирующий образец становится более сложным. Фазовая диаграм-

ма на рис. 3.11, b, иллюстрирует именно этот случай. Хаотический характер распределе-

ния отражателей или рассеивателей в окружении приемника делает интерферирующий

образец непредсказуемым, а более подходящим становится его статистическое описание.

Пример 3.5.2. На рис.3.13 представлен временной профиль принимаемой мощно-

сти, полученный в результате моделирования в среде Matlab обстановки распространения

с пятью отражателями, расположенными равновероятно в пределах квадрата со стороной,

равной начальному расстоянию между передатчиком и приемником в

30D

км. Прини-

маемая мощность нормирована к средней. Длина волны и скорость объекта составляют

3.0

м и

км/час соответственно. Нерегулярный характер изменения мощности доста-

точно очевиден, также как наличие глубоких провалов в интенсивности принимаемого

сигнала. 

Согласно центральной предельной теореме суперпозиция независимых и примерно

равных по вкладу случайных слагаемых стремится к гауссовскому распределению по мере

роста их числа. Следовательно, множество распространяющихся по разным путям сигна-

Рис. 3.12. Временной профиль принятой мощности при 2-х лучевом фединге.

102

лов, подчиняющихся приведенным условиям, образуют на входе приемника полосный га-

уссовский процесс. Если среди входных компонентов отсутствует доминирующая детер-

минированная составляющая (подобная сигналу, распространяющемуся по прямой ли-

нии), результирующий гауссовский процесс будет иметь нулевое среднее. Однако оги-

бающая данного процесса подчиняется релеевскому распределению (см. параграф 3.2) и,

таким образом, приходим к модели канала с релеевскими замираниями (Rayleigh fading

channel). В результате принятая амплитуда

является не детерминированной, а слу-

чайной, удовлетворяющей релеевскому закону плотности распределения













.0,0

,0),exp(2

)(

rrr

AAA

(3.12)

Поскольку в произведении

)(tSA



«истинная», действительно измеряемая ампли-

туда поделена между двумя сомножителями, что может быть сделан произвольным обра-

зом, в соотношении (3.12) предполагается соответствующая нормировка, устанавливаю-

щая средний квадрат

равным единице:



. График зависимости плотности распре-

деления вероятности (3.12) представлен на рис. 3.14.

Релеевские замирания характерны для многих систем, включая, наряду со связны-

ми, также локационные, навигационные и др. Присущие им глубокие провалы в интен-

сивности сигнала, как правило, не нейтрализуются спорадическим увеличением

в слу-

чае прихода многолучевых сигналов с близкими фазами. В результате эффект релеевского

замирания носит достаточно вредный характер.

3.5.4. Анализ характеристик.

Рассмотрим в качестве примера передачу бинарных данных по релеевскому каналу

с медленными и амплитудными (flat) замираниями. Первое определение означает, что по-

меховый образец остается стабильным в течение многих символов и текущая опорная фа-

за может быть удалена из принятого сигнала путем усреднения за соответствующий ин-

тервал времени. Другими словами, случайность сигнала не исключает бинарную ФМ из

допустимых вариантов. Второе определение подчеркивает, что задержка распространения

Рис. 3.13. Профиль принятой мощности при 5-ти лучевом фединге.

103

многолучевых сигналов



достаточно мала в сравнении с длительностью

индивиду-

ального бинарного ФМ символа:

bds

T

. В результате последовательные бинарные ФМ

символы не перекрываются друг с другом, т.е. отсутствует межсимвольная интерферен-

ция. Для понимания уместности использования слова “flat” обратимся к (3.11) и отметим,

что адекватной моделью многолучевого канала может служить линия задержки с отвода-

ми, отвечающими значениям



, и весовыми коэффициентами

)exp(

jA 

. Передаточная

функция такой системы сильно зависит от задержек отводов и при

bds

T

достаточно

равномерна (flat) в полосе сигнала, так что все частотные компоненты сигнала искажают-

ся одинаково, а форма сигнала остается неизменной. Единственным видом искажений, ко-

торым в этом случае подвержен сигнал вследствие многолучевого распространения, яв-

ляются релеевские флюктуации амплитуды, описываемые (3.12).

Рис. 3.15 служит иллюстрацией введенным определениям. Диаграммы, построен-

ные в результате моделирования в среде Matlab, демонстрируют медленные амплитудные

замирания (a) в противопоставлении быстрым амплитудным замираниям (b) для случая

колоколообразных символьных импульсов. Второй тип замираний характеризуется быст-

рым изменением во времени интерференционного образца, так что искажения последова-

тельных символов становятся практически независимыми.

Пусть энергия принятого сигнала, отвечающая случаю

1

, равняется

. Тогда

энергия сигнала с другим значением амплитуды составит

EAAE

)( 

, а средняя энергия

снова будет

вследствие ранее принятой нормировки:

EEAAE



)(

. В случае, когда

амплитуда принятого сигнала полагается фиксированной и равной

, для вычисления

условной вероятности ошибки

)(

может быть использовано соотношение (2.19):

)(

)(2

)(

brr

qAQ

QAP 





























где отношение сигнал-шум

2 NEq



отвечает сигналу с энергией

EAE )(

, т.е. с

амплитудой

1

. Фактическая амплитуда

является случайной и изменяется от одно-

го сеанса приема к другому в соответствие с релеевской плотностью распределения (3.12).

Естественно тогда характеризовать качество передачи данных величиной

)(

, усред-

ненной по всем

. Сохраняя теперь термин «вероятности ошибки» и обозначение

за

этим математическим ожиданием, имеем

)(

Рис. 3.14. Релеевская плотность распределения.

104







)exp()(2)()()(

rrrbrrrreree

dAAAqAQdAAWAPAPP

dAdxA

)exp()

exp(







 

 

где использовано определение дополнительной функции ошибки

)(Q

. Поменяв порядок

интегрирования, получаем







































 



)

exp()exp(1

)

exp()exp(2

dAAAP

rrre





























)2(

exp

)

exp(

где первый член равен

2/1)0( Q

, а второй приводится к аналогичной форме после умно-

жения его на

qq /)2(



. Окончательно имеем

















. (3.13)

Для количественной оценки степени вредного влияния замираний обратимся к

рис. 3.16, на котором представлены вероятности ошибки передачи бинарных ФМ сигналов

по гауссовскому и релеевскому каналам. Как следует из графиков, вероятность ошибки

Рис. 3.15. Медленные (a) и быстрые (b) замирания.

105





гарантируется для АБГШ канала при отношении сигнал-шум на бит примерно

равном 10 дБ, тогда как для релеевского канала подобная достоверность передачи требует

энергетических затрат не менее 27 дБ, т.е. в 50 раз выше. Подобные внушительные энер-

гетические потери, обусловленные замираниями, возрастают еще больше при повышении

достоверности передачи и становятся близкими к 25 дБ (300 раз) при





Физическое толкование весьма вредного эффекта замираний достаточно очевидно.

Резкие спорадические провалы интенсивности сигнала, вызванные помехами многолуче-

вости, присущи релеевскому каналу. Интегрирование плотности вероятности (3.12) пока-

зывает, например, что вероятность уменьшения

до уровня ниже 0.4 (снижение отно-

шения сигнал-шум на 8 дБ) составляет 0.15. Тогда из графика на рис. 3.16 (сплошная ли-

ния) следует, что в подобных условиях вероятность ошибки не может быть ниже 0.1 при

исходном отношении сигнал-шум 10 дБ. Поскольку доля таких сеансов приема равна 0.15,

то ее вклад в полную (среднюю) вероятность ошибки будет не меньше, чем

015.015.01.0 

, т.е. в 15 раз больше, чем значение, соответствующее исходному отно-

шению сигнал-шум. Данный эффект никаким образом не может быть компенсирован за

счет возможных благоприятных сеансов с большим отношением сигнал-шум, поскольку

их вклад в полную вероятность ошибки никогда не будет отрицательным.

В случае, когда замирания оказываются частотно-селективными, многолучевое

распространение потенциально может иметь даже более драматические последствия. Ука-

занный термин в противопоставлении к определению “flat” (ровный) описывает ситуацию,

при которой передаточная функция канала не будет равномерной в полосе сигнала. По-

добная ситуация имеет место тогда, когда задержка распространения охватывает несколь-

ко излученных бит, так что на выходе канала предшествующий бит перекрывается с те-

кущим. Для противодействия данной межсимвольной интерференции применяются спе-

циальные фильтры (эквалайзеры), которые спрямляют неравномерную передаточную

функцию канала. С другой стороны, при соответствующем использовании частотная се-

лективность может служить дополнительным источником борьбы с замираниями, позво-

ляя организовать многолучевое разнесение, рассматриваемое в параграфе 3.7.

Рис. 3.16. Вероятность ошибки на бит (

Plg

) для АБГШ и релеев-

ского каналов

106

3.6. Разнесение.

Основная идея борьбы с деструктивными эффектами многолучевости заключается

в использовании разнесения (diversity), которое означает организацию нескольких незави-

симых каналов передачи или ветвей (branches). Вследствие этого, несмотря на то, что ка-

ждая из ветвей остается подверженной релеевским замираниям, вероятность того, что ин-

терференционные (помеховые) образцы во всех из них будут одновременно неудачными,

определяется правилом умножения вероятностей и, таким образом, не может оказаться

значительной. Обратимся к цифрам примера, приведенного в конце последнего параграфа,

и предположим, что каким-либо способом организованы две независимые идентичные

ветви. Тогда вероятность одновременного снижения мощности сигнала в обоих из них до

указанного уровня составит

1025.215.0





, т.е. станет заметно меньше по сравнению с

вероятностью неблагоприятных условий в индивидуальной ветви. С увеличением числа

ветвей это выигрыш от разнесения становится все более и более существенным. Парал-

лельная работа ветвей может рассматриваться так, как будто они обеспечивают друг другу

ослабление ухудшений, вызванных замираниями.

Другими словами, известно, что ухудшение характеристик, связанное с многолуче-

выми замираниями, полностью обусловлено глубокими падениями в отношении сигнал-

шум, которые время от времени происходят. Следовательно, основной целью методов

разнесения является такая совместная обработка сигналов ветвей, которая приводит к

большему влиянию «лучших» (с более высоким отношением сигнал-шум) ветвей на об-

щую характеристику по сравнению с худшими. Такая совместная обработка называется

комбинированием.

3.6.1. Методы комбинирования.

На приемной стороне могут быть применены различные варианты комбинирования

результатов обработки сигналов, пришедших по различным ветвям. Предположим, что

всего имеется

ветвей разнесения, и пусть

A ,



будут текущими сигнальными

амплитудой и фазой и стандартным отклонением шума в

–ой ветви, где

ni ,,2,1 

Каким тогда будет наилучший алгоритм линейной обработки, обеспечивающий макси-

мально возможное результирующее отношение сигнал-шум? Любое линейной объедине-

ние откликов ветвей

niu ,,2,1, 

представляется в виде взвешенной суммы





, где

– весовые коэффициенты, в общем случае комплексные. Тогда резуль-

тирующее отношение сигнал-шум по мощности

представляет собой отношение вели-

чины детерминированной компоненты этой суммы к дисперсии ее шумовой компоненты.

Последнее есть просто взвешенная с коэффициентами

сумма дисперсий шума вет-

вей, поскольку сами они являются независимыми. Таким образом, имеем











iii

jAw

)exp(

. (3.14)

Сумма в числителе соотношения (3.14) может рассматриваться как скалярное про-

изведение двух

–мерных векторов, компонентами которых являются

w 

)exp()/(

iii

jA 

соответственно. Не существует модуля любого скалярного произведе-